PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens

Transcriptie

1 PARADOXEN 4 Dr Luc Gheysens DE COMPLEXE WERELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Hstorsche nota Omstreeks 500 werden n Italë wedstrjden georganseerd voor het oplossen van derdegraadsvergeljkngen Nccolo Fontana (ca ), bjgenaamd Tartagla (letterljk de stotteraar ) ontdekte een formule de een oplossng leverde voor de vergeljkng x³ = ax + b: b b a b b a x Voor de vergeljkng x³ = 6x + 9 geeft dt de volgende oplossng: x Grolamo Cardano (50-576) publceerde als eerste deze formule n zjn Ars Magna (545) en daarom spreken we nu over de formule van Cardano Deze wskundge, medcus, flosoof en astroloog was één van de meest kleurrjke fguren ut de 6 de eeuw Omdat hj een horoscoop van het leven van Chrstus publceerde, werd hj een tjdlang gevangen gezet wegens ketterj Het verhaal gaat dat hj de juste datum van zjn overljden voorspelde In 576 pleegde hj zelfmoord Het was echter een tjdgenoot Rafael Bombell (56-57) de door het toepassen van de formule van Tartagla op de vergeljkng x³ = 5x + 4 als bj toeval de complexe getallen ntroduceerde Als je de formule toepast op de vergeljkng, bekom je de oplossng x Op het eerste gezcht s dt geen reëel getal omdat net bestaat Bombell maakte nu de volgende veronderstellngen: a b en a b en slaagde ern het stelsel n a en b, bepaald door deze twee utdrukkngen, op te lossen Hj vond a = en b = Dan s x 4 Dt s meteen ook een oplossng van de vergeljkng x³ = 5x + 4 Paradoxen 4 dr Luc Gheysens

2 De complexe getallen zouden echter pas tot volle bloe komen vanaf de 8 de eeuw: - Carl Fredrch Gauss ( ) ntroduceerde de notate en gebrukte als eerste de benamng complex getal voor een utdrukkng van de vorm a + b, waarbj a en b reële getallen zjn en ² = - Voor de opeenvolgende machten van geldt dan: 0 =, =, ² = -, ³ = -, 4 =, 5 =, enzovoort - Leonhard Euler (707-78) bewees de formule cos sn In het bjzonder e s dan cos sn, zodat herut de beroemde formule van Euler volgt: e 0 - Abraham de Movre ( ) bewees dat (cos sn ) cos n sn n Als je bj het rekenen met complexe getallen de rekenregels voor reële getallen toepast, of rekenregels voor complexe getallen verkeerd toepast, bots je op een aantal merkwaardge vaststellngen, zoals bljkt ut de onderstaande berekenngen e n = - ( )( ) ² = - Bewjs Bewjs ² sn80 cos80 (sn 60 cos60)³ (formule van de Movre) = [-( sn 60 + cos 60 )]³ = [³ (cos 60 + sn 60 )]³ = 9 (cos 80 + sn 80 ) (formule van de Movre) = (cos 80 + sn 80 ) = - = Bewjs Stel z, dan s z = ( ) ³ ³ z Herut volgt dat = Paradoxen 4 dr Luc Gheysens

3 Bewjs ( )² 4 ( )² 4 ² = Voor alle reële getallen x en y geldt: x y y x Voor x = cos α en y = sn α, s Voor x = sn α en y = cos α, s cos sn sn cos () sn cos cos sn () Ut () en () volgt dan dat cos sn sn cos ² sn cos cos sn zodat ² = π = 0 De formule van Euler geldt voor alle reële waarden van x: e x = cos x + sn x Stel hern x = π, dan s e π = cos π + sn π = Pas nu op bede leden van de gevonden geljkhed e π = de natuurljke logartmsche functe ln toe: dan volgt herut dat π = 0 Wegens de formule van Euler s ln e π = ln, π = - π en ook e π = cos π + sn π = - e - π = cos(-π) + sn(- π) = - Bjgevolg s e - π = e π, zodat (e - π ) = (e π ) Omdat ² = -, geldt dus dat e π = e -π Pas nu op bede leden van de gevonden geljkhed de natuurljke logartmsche functe ln toe, dan volgt herut dat π = - π Paradoxen 4 dr Luc Gheysens

4 = en dus s = e = Stel f = e, waarbj e het getal van Euler s (e =,788 ) () dan s f e Wegens de formule van Euler s e π = cos π + sn π =, zodat f Pas nu op bede leden van deze geljkhed de natuurljke logartmsche functe ln toe, dan volgt herut dat f =, zodat wegens () e = en dus e = We endgen met de merkwaardge vaststellngen dat een complex getal tot de macht een complex getal een reëel getal kan opleveren en dat een reëel getal s Wegens de formule van Euler s = 0, e cos sn Dan s e en omdat ² = - volgt herut dat = e = 0, s reëel Paradoxen 4 dr Luc Gheysens 4

5 We tonen aan dat de magnare eenhed kan geschreven worden als een reële kettngbreuk = + ( ) ( )( ) ( ) Herut volgt dat ( ) ( ) Dt wordt utendeljk een reële kettngbreuk Paradoxen 4 dr Luc Gheysens 5