Hoofdstuk 8 - Complexe functies

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 8 - Complexe functies"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan, ; = = 0 arg( z ) ; = 0 arg( z ) tan = 0, arg( a ) = tan tan,, = z = 0 en 0, + 0 = 0,, dus arg( a z ) = arga+ arg z. arg( a z ) = tan +, en 0, + 0, =,, dus arg( a z ) = arga+ arg z. 8 Noordhoff Utgevers v

2 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel d. z arg. z z O arg argz a z O z Puntspegelng n de oorsprong. z z O Vershuvng over naar lnks en omlaag. z ( ). z O Rotate om O(0,0) over Noordhoff Utgevers v 9

3 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel d z O. z e Rotate om (0, 0) over. z z z f O Projete op de magnare as. z z O Spegelng n de magnare as. ladzjde 7 a f() z = ( 0, + ) z gz ()= z hz () = Re z d kz ()= z a z =, z = en z = + wordt door vermengvuldgng met α afgeeeld op +, dus a= +. gz ( ) = ( + ) = + en gz ( ) = ( + ) = + d a= + = 8 = en Arg a = tan =. Bjvooreeld OA = en OA =. e Vanwege de vermengvuldgng van de lengtes van de zjden met fator a zjn de drehoeken geljkvormg. 0 Noordhoff Utgevers v

4 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel a g (z ) g (z ) z z O z g (z ) gz ( ) = + ; gz ( ) = ; gz ( ) = f( z ) = ( + ) + ( + ) = + = + ( + ) ; f( z ) = ( + ) + ( + ) = + + = + ( ) ; f( z ) = ( + ) ( + ) + ( + ) = = + d De fator van de vermengvuldgng s a= + = ; de draahoek s Arga = tan = en de translatevetor s. 7a, f (z ) f (z ) z f (z ) z O z z en f( z ) zjn elkaars spegeleeld n de ljn Re( z) = Im( z). f( z ) = ( ) = + ; f( z ) = ( + ) = + ; f( z ) = ( ) = + d z= x+ y = ( x y) = x + y= y+ x spegelen n Re z = Im z 8 Stel a = x+ y; = x' + y ' en z= a+, dan s: f() z = a z+ = ( x+ y)( a+ ) + ( x' + y ') = ax + ay + x y + x' + y' = ( ax y + x') + ( ay+ x+ y') a Als nu f( + ) = 0 geldt volgens ovenstaande x y+ x' = 0 en y+ x+ y' = 0, ook f()= geeft vergeljkngen n x, y, x en y, nl y+ x' = 0 en x+ y' =, Dt stelsel van ver vergeljkngen met ver onekende heeft oplossngen: x = 0, y=, x' = en y' =, dus a = en = +. Noordhoff Utgevers v

5 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel Als f() = en f() = krjg je vergeljkngen: y+ x' = ; x+ y' = 0; x+ x' = 0 en y+ y' =. de oplossng van dt stelsel s x = ; y= ; x' = en y' =, zodat a= en = +. ladzjde 7 9a O z f(z) = z O d De rkel met straal om O(0, 0) 0a Bj A hoort z =, j B hoort z =, j C hoort z = en j D hoort z =. Op de rkeloog AB lggen de getallen z waarvoor geldt: z = en 0 Arg z. Nu geldt z = z = en arg z = arg z, dus 0 Arg z. de eelden f()= z z van de getallen z op de kwartrkel AB lggen dus op de halve rkel A B. Evenzo geldt dat de eelden van de getallen z op de kwartrkel CD op de halve rkel C D lggen. z= x+ y z = x y + xy, dus als voor z geldt z = + moet x y = en xy =. Noordhoff Utgevers v

6 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel x y = Oplossng van dt stelsel geeft: xy = x = n de ovenste nvullen y y = y = y y + y = 0 y ( y + )( y ) = 0 y = y= of y= x = of x = Dus z= + of z=. a r =, ϕ = en ϕ =. B O B s de rkelsetor egrensd door het posteve deel van de magnare as, het negateve deel van de reële as en de oog met openngshoek tussen ede assen van de rkel met straal om de oorsprong. 0 0 d O Het eeld s een deel van een rkeloppervlak met de punt n x =. Ze fguur. ladzjde 77 a z = z = r en arg z = arg z = ϕ. Voor de punten n het domen geldt dat het argument hoogut kan vershllen en dat de modulus maxmaal de straal van de halve rkel kan zjn, zeg r. Voor de kwadraten geldt dan een maxmaal vershl voor het argument van en de modulus s maxmaal r, maar dt eslaat just een rkel om O(0,0) met straal r. De rkel met straal wordt op zhzelf afgeeeld. a O z f(z) = z Noordhoff Utgevers v

7 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel O d Voor een getal z ut B geldt z= a+, dan s f() z = ( a+ ) = ( a ) + a Noem het reële deel u= ( a ) en het magnare deel v= a. Elmneer nu a en je krjgt: v= a a = v.dt j u nvullen geeft u = v v v = = en dt s een paraool. a Het kwadraat van s, dus a = en z top =. (Het kwadraat van s ook, maar a > 0.) Stel z= x+ y, dan s ( x y ) + xy = 8. dus x y = 0 en xy = 8. de oplossng van dt stelsel s x = en y = of x = en y =, dus z= + of z= (vervalt want Re z < 0 ). O d Een punt van A s z= + y. Dus het kwadraat s ( y ) + y. Noem het reële deel u= y en het magnare deel v= y y= v Elmneer y en je krjgt u= ( v) = v, een paraool.. a z f(z) = z O 0 Voor een getal ut B geldt z= x+ en voor f() z geldt f() z = x + x. Je krjgt voor de vergeljkng van de eeldparaool dus x = y. De top s dus (, 0) en z =. top Noordhoff Utgevers v

8 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel a Stel a= a+ en = u+ v. Dan f() = ( a+ ) + ( u+ v) = a + u v = a v+ ( + u) = a v= 0 v= a en + u= u= + f() = a+ + u+ v = a+ u+ ( + v) = a+ u=0 en + v= Comneren van de ver vergeljkngen geeft a+ = en a = = = en vervolgens u=, a =, v = Dus a= en = +. Stel a en weer als j opdraht a. f ( a) = 0 a + a = 0 aa ( + ) = 0 a = 0(kan net) of a = a + a = u v a = u en a = v f( ) = 0 ( a+ ) + ( u+ v) = a + u v =0 a v= 0 v= a en + u= 0 u= Comneren van de ver vergeljkngen geeft a = en a = a a( ) = 0 a = 0 of = (kan net). a = 0 = = 0 (kan net) of =. Dus a = 0, =, v= 0, u=. Dt geeft a= en = ladzjde 78 7a Laat Y=, ^ Xen Y = ( Y( X+ 0, 0) Y( X))\ 0, 0 en maak een tael: Deze hellngsfunte s ook weer exponenteel, want als je het quotënt van opvolgende funtewaarden neemt (de stapgrootte s 0,0) s de utkomst steeds mn of meer 0,90. Idem Laat Y= ^ Xen Y = ( Y( X+ 00, ) Y( X)) \ 00, en maak weer een tael: De hellngsfunte s weer exponenteel, want de opvolgende funtewaarden van Y heen weer een ongeveer onstant quotënt. a 0, 0 voor het geval a =, en a, 099 als a =. 8-9a Volgens de kettngregel: f( ϕ) = e ϕ f'( ϕ) = e ϕ = e ϕ, dus f'( ϕ) = f ( ϕ). f( ϕ) = a( ϕ) + ( ϕ), dus f'( ϕ) = a'( ϕ) + '( ϕ), omdat f( ϕ) = f '( ϕ) geldt nu dat a'( ϕ) + '( ϕ) = ( a( ϕ) + ( ϕ)). a'( ϕ) + '( ϕ) = ( ϕ) + a( ϕ), dus a'( ϕ) = ( ϕ) en '( ϕ) = a( ϕ). Noordhoff Utgevers v

9 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel d a( ϕ) = os φ en ( φ) = sn ϕ voldoen, want nu s nderdaad a'( ϕ) = sn ϕ = ( ϕ) en '( ϕ) = os ϕ = a( ϕ). e - ladzjde 79 0 O a = = e, = + = e, γ = = e en δ = = e. O a = e = +, e =, γ= e = + en δ = e =. ϕ a Stel z= re = r(osϕ+ sn ϕ), dan s: z= r(os sn ) = r( os( ) + sn( )) = re ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. ϕ Stel z= re = r(osϕ+ sn ϕ), dan s: = = = z r re r e ϕ (osϕ+ sn ϕ) ϕ ( ) = + = = ( ϕ+ k) ϕ+ k f( ϕ+ k) = e = e = os( ϕ+ k) + sn( ϕ+ k) (osϕ sn ϕ) e ϕ f( ϕ). a arg ( e ) =arg ( ) +arg e ϕ = + ϕ, dus het getal e met modulus s te ( shrjven als e + ) e + =. a = ( ) e = e e ϕ ϕ + ϕ = ; = ( + ) e = e e = e ; γ = ( + 7 ) e = e e = e ϕ ϕ ϕ ( en δ = e = e e = e. Noordhoff Utgevers v

10 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel ladzjde 80 a z = (osϕ+ sn ϕ) = (os ϕ sn ϕ) + snϕosϕ = osϕ+ sn ϕ Stel z= e ϕ ϕ ϕ, dan s z = ( e ) = e = osϕ+ sn ϕ ϕ ϕ Evenzo: z = (os ϕ+ sn ϕ) = ( e ) = e = osϕ+ sn ϕ a z + 8 = 0, dus z = 8 = e. Dus z e + k. = Oplossngen: z = e = ( + ) = +, z = e = ( + 0) = en z = e = ( ) =. De oplossngen lggen n de hoekpunten van een geljkzjdge drehoek. z z O z e k z =, dus z = e k, zodat z=. dt geeft oplossngen: z =, z = e 0, 97 +, 8, z = e, 7 +, 7, z = e, 7, 7 en z = e 0, 97, 8 8 z z z O z z + k + k z = z = e z= e z = of z = e z 7 = of z = e = + z O z Noordhoff Utgevers v 7

11 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel d ( z+ ) = geeft met ehulp van opdraht de oplossngen z = + of z = + ( ) of z = + ( +. z z z O 7a r = ( ) + ( ) = en Arg a = tan =, dus a n n a e. = = e. ladzjde 8 k 8 8 k 8 8a z = z = e z= e z = en z = e = + en z = = z = e = + en z = e = en z = e = en z = e = en 7 z = e =. 8 z z z e en z z O z z 8 z 7 Omdat alle oplossngen modulus heen lggen ze allemaal op de rkel z =. k k k k = = = + = k ( ) 8 d z e e (os sn ) e = ( ) z k + k + k 9a z = z = e z= e z= e = + of z= e = k k 0 z = z = e z= e z= e = ofz = e = + of z= e = + of z= e = ofz= e = + of z = e = + of z= e = of z e = = ofz= e = of z= e = of z e = = ofz= e =. k z = z = z = + ( e z= e +k ) z= e = + of z = e = of z= e = + of z= e = of z= e = of z= e =. d z = 8 z 8 = 0 ( z 9)( z + 9) = 0 z=± of z=± 8 Noordhoff Utgevers v

12 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel e z z e z e = = = neem k = 0,,,,,, 7, en 8 en je krjgt: z = of z= + of z= of z= + of z = of z= of z= of z= f Ze opdraht e, de varaele z vervangen door z geeft oplossngen: z = of z= + + of z= + of z= + of z = 0 of z= of z= of z= k k 0a r = a = ( 8) + ( 8 ) = en Arg a = tan ( ) = Punt C + k + k z = a z = e, handger (vm de verde maht) z = e, dan krjg je + k z = e, dus z= e = of z= e = + of z= e = + of z= e = d A, B, C en D e Vervang door, de oplossngen zjn dan: z=, z=, z= + en z= +. a ( + ) = ( e ) = e = ( ) = ( e ) = e = 09 ladzjde 8 a z + 7z+ = 0 ( z+ )( z+ ) = 0 z= of z= z z+ 9 = 0 ( z ) = 0 z= z + 8z = 0 z = 8 99, of z = 8 + 9,. d z z = 0 zz ( + ) = 0 z= 0 of z= of z= a z z = ( z )( z+ ) z + 9z 0 = ( z + z 0) = ( z+ 8)( z ) z z+ = ( z+ )( z ). d z = ( z + )( z ) = ( z+ )( z )( z+ )( z ) + ki a z + = 0 z = z = e z= e z z = e = + of = e = of z= e = Dus z + = ( z+ )( z + )( z ) Pz () = z + = ( z+ )( z z+ ) a P( ) = 0, P( 0) = 7 en P( ) = 0, dus en zjn nulpunten. Pz () = z + z 7= ( z )( z + 7) = ( z+ )( z )( z+ 7 )( z 7) ladzjde 8 a P() =, P( ) = 0 en P( ) = 00, dus s een nulpunt. Pz () = z z z + z+ = ( z )( z z ) = ( z ) ( z + z+ ) = ( z )( z+ ) Noordhoff Utgevers v 9

13 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel 7a Pz () = z + z + 8z+ = ( z+ )( z + z+ ) = ( z+ ) ( z+ ) z = s een nulpunt met multpltet. Er s nog een nulpunt. Pz () = z + z + z+ = ( z+ )( z + z+ ) = ( z + ) z = s het enge nulpunt. Het heeft multpltet. Pz () = z z z + z = zz ( z z+ ) = zz ( )( z z ) = z( z )( z ) z= heeft multpltet, de andere nulpunten zjn 0 en, ede met multpltet. d Pz () = z + z z = z ( z + z ) = z ( z+ ) z= s een nulpunt met multpltet, het andere nulpunt s 0, eveneens met multpltet. ladzjde 8 8a s een n het oog sprngend nulpunt Pz () = ( z )( z + z + ) Pz () = ( z )( z + z+ ) = ( z )( z + ), dus het andere nulpunt s 9 Pz () = z = ( z )( z + ) = ( z+ )( z )( z+ )( z ) 0a Als je z = w stelt, krjg je Pz ()= z 8z 9 = w 8w 9 Pz () = w 8w 9 = ( w 9)( w+ ) = ( z 9)( z + ) = ( z + )( z )( z+ )( z ) k k a z = z = e z = e z = e 0 = of z= e = + of z= e = + of z = e = of z= e = of z= e =. Pz () = z = ( z )( z )( z+ )( z + )( z+ + )( z + ) z + z = + + = en z z = ( + )( ) = + + = d z = + en z = zjn elkaars geonjugeerde en z z = ( + )( ) = + + = en z + z = + + = e z = + en z = zjn elkaars geonjugeerde en z z = ( + )( ) = + + = en z + z = ( + ) + ( ) = f Pz () = z = ( z )( z+ )( z + z+ )( z z + ) ladzjde 8 k k a z = z = e z= e z= e = ofz = e = + of z= e = of z= e = + ofz= e = of z= e = of z e 7 = = ofz= e = 70 Noordhoff Utgevers v

14 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel z z z z z 0 O z z 7 z De paren ( z, z ), ( z, z ) en ( z, z ) zjn geonjugeerd 7 8 d Pz () = z = ( z+ )( z )( z + )( z + z + )( z z + ) a P( ) = ( ) + ( ) + ( ) + 8 ( ) + 8 = = 0. = Pz () = z + z + z + 8z+ 8 = ( z + )( z + z + ) de andere twee nulpunten zjn dus d de oplossngen van z Ze + z+ = 0. Dat zjn ± = ± a Pz () = z 8z + z+ = ( z )( z 7z 7z ) Pz () = z z + z z+ = ( z ) ( z + ) + k + k a z = z = e z= e z= e = + of z= e = of z e 7 = = + ofz= e = of z = e = ofz= e = Qz () = ( z + )( z + z + )( z z + ) a Pz () = ( z )( z + z + z + z + z+ ) = z Ze opdraht a: z = e 0 = of z= e = + of z= e = + of z = e = of z= e = of z= e =. Behalve z = zjn de nulpunten van Pz () ook nulpunten van Q() z 8 d W() z = ( z ) R() z = z. Om de nulpunten van Rz ()te vnden moet je de oplossngen van z 8 = 0 heen. De vnd je n opdraht a. Behalve z = zjn het nulpunten van R. Dus z = e = + ofz= e = of z= e = + of z = e = of z= e = of z e 7 = = ofz= e =. 7 Rz () = z = ( z + )( z ) = Q() z P() z. De oplossngen zjn dan de van en de van samen. ladzjde 8 8a De met de punten orresponderende getallen zjn elkaars geonjugeerde, dus ( z z )( z z ) en ( z z )( z z ) heen reële oëffënten en P() z dan ook. P() z = ( z + )( z )( z )( z + ) = z 8z + 7z 8z+ Dus a = 8, = 7, γ = 8 en δ = Noordhoff Utgevers v 7

15 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel Aangezen de met de punten orresponderende getallen geen geonjugeerde heen, komen er n de ontndng geen tweedegraads fatoren voor. Er moeten dus ver eerstegraads fatoren zjn, dat etekent dat de ede nulpunten multpltet twee moeten heen, of éen van ede heeft multpltet en de andere s enkelvoudg. d Ze e P () z = ( z ) ( z ) of P () z = ( z ) ( z ) of P () z = ( z )( z ) 9a z z z z O f( z ) = + ; f( z ) = + ; f( z ) = en f( z ) = +. z z z f (z ) f (z ) z f (z ) f (z ) O d De getallen f() z lggen op de eenhedsrkel e Stel z= a+, dan s f ()= z a + a + a + en f f z a a a () = + = a + = f() z = + + a + a + dus f projeteert getallen op de eenhedsrkel. f()=γ z heeft dus alleen oplossngen als γ een punt van de eenhedsrkel s. 0a Het getal z vermengvuldgen met a etekent dat het argument van a j het argument van z wordt opgeteld. Als dat argument s en het moet worden, dan moet je er dus j optellen. Je moet dus vermengvuldgen met een zuver magnar getal. Aangezen de verzamelng een ljn s, doet de modulus van a er net toe. De modulus moet ljven, het argument doet er net toe, want B etreft een rkel. a moet dus modulus heen! 7 Noordhoff Utgevers v

16 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel a ladzjde 87 f (V ) V O Het eeld van V s de ovenste helft van de magnare as. f (V ) V O voor z n V geldt: f() z = ( x+ x) = x ( + ) = x ( + ), dus f ( V ) s een halve rehte ljn (want x 0 ) met rhtngsoëffënt. d Als z= x+ y en y= ax geldt z = ( x+ ax) = x ( a + a). Dus de getallen z a lggen voor a op de halve ljn y= x, x > 0. Voor a = op de posteve helft a van de magnare as a Er geldt: sn( ϕ) = sn( ϕ) = sn ϕ os( ϕ) = osϕ e ϕ = os( ϕ) + sn( ϕ) = osϕ sn ϕ ϕ ϕ d e +e = osϕ+ sn ϕ+ osϕ sn ϕ = os ϕ ϕ ϕ + e osϕ = e e ϕ ϕ f e -e = (osϕ+ sn ϕ) (osϕ sn ϕ) = sn ϕ, dus snϕ = e ϕ ϕ a + + = = = = Im( z) y + = Im( y) + ( y ) = y + ( y ) = y Kwadrateer aan weerszjden: + ( y ) = y + y y+ = y y= y =. Dat getal s dus z=. x+ y+ = Im( x+ y) ( x+ ) + ( y ) = y ( x+ ) + ( y ) = y Kwadrateren geeft: ( x+ ) + ( y ) = y x + x+ + y y+ = y y= x + x + Dt s een paraool. e Noordhoff Utgevers v 7

17 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel a a= a+ en = p+ q. f( + ) = ( a+ )( + ) + ( p+ q)( + ) = 0 a + p+ p+ q q= 0 + p q = 0 en a+ p+ q = 0. f() = ( a+ ) + ( p+ q) = a + p q= a q= 0 a = q en + p = 0 = p Deze vergeljkngen oplossen geeft: p+ + p q = 0 en q+ p+ q = 0 p q+ = 0 en p q= 0 q + = 0 q= p= a = en = 0. Dus a= en = + f( ) = 0 a + = 0 = 0 of a = a = en = 0. f() = ( a+ ) + ( p+ q) = a + p q= a q= 0 a = q en + p = 0 = p. Dus = 0 p= 0, q= 0, a = 0, = a = of a =, q=, = 0, p= a = en = +. e = os+ sn =, dus e + s nderdaad 0 ladzjde 90 T-a Bj g De funte h veroorzaakt een spegelng Spegelng n de ljn y= x d De funte f s een draang e De draahoek s arg( + ) = tan ( ) 0, 98 T-a r =, r =, ϕ = en ϕ = 8 f (A) 0 8 O 8 Het eeld van A, f( A), s het geed egrensd door de rkelogen met straal en 9 rond de oorsprong, de openngshoek s van tot T- a a = = e 0 0 a = = = ( e ) e e = 0 0 = + = e = ( e ) = e = γ = + = e γ = ( e ) = e = 087e = Noordhoff Utgevers v

18 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel T-a Als je de haakjes weg zou werken ljkt de derdegraads term weg te vallen en je houdt een tweedegraads vergeljkng over! a = a = a = dus ( z ) ( z ) z z = k k w = w = e w = e w= e = ofw= e = + of w= e =. d ( z ) = ( z + ) z. z + = Stel z = w dan krjg je volgens opdraht : z+ z z z z+ = = + en deze vergeljkng heeft geen oplossngen. Ook z z z z z+ = + = + + = ( )( ) z+ z ( ) = + = + = + z z + = + De tweede oplossng z = door. vnd je door n ovenstaande overal te vervangen T-a z 8z + 8 = 0 ( z 8)( z ) = 0 ( z 9)( z + 9)( z )( z + ) = 0 z=, z=, z=, z=, z=, z=, z=, z=. z z + z = z ( z ) ( z + ) = 0 z= of z= of z= z z + z= ( z ) = 0 z = d z z z = 0 z ( z z ) = 0 z= 0 of z= of z = + e De vergeljkng j heeft een oplossng met multpltet, j de derdegraads vergeljkng n opdraht he je één oplossng met multpltet en de vergeljkng n opdraht d heeft de oplossng z = 0 met multpltet. T-a P( ) = ( ) ( ) + 8( ) 8 = 0, dus z = s nderdaad een nulpunt van P. en zjn ook nulpunten van P. Pz () = z z + 8z 8 = ( z+ )( z+ )( z )( z z+ ) d z z+ = 0 z= ± = ± T-7a A O Noordhoff Utgevers v 7

19 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel g (A) O De rkelsetor krjgt straal, had straal, maar a= dus dat wordt nu. Bovenden s de setor naar rehts gedraad, want j het argument van elk getal n A wordt arg( a) = opgeteld. f (A) O d Het geed van opdraht s nu twee eenheden naar lnks en één eenhed omhoog geshoven. ha ( ) s de rkelsetor A, naar lnks gedraad over arg( γ) =. De straal van de setor ljft, want γ=. T-8 a Stel z= a+, er geldt: f() z = f( a+ ) = Im( a+ ) = en f( z+ ) = f( a+ + ) = Im( a+ + ) = De ljnen lopen evenwjdg met de vetor. T-9 a A s de rkel met mddelpunt O( 00, ) en straal, de eenhedsrkel. Het eeld s deze rkel, maar dan twee eenheden naar lnks en eenheden omhoog geshoven, dus de rkel met mddelpunt (, ) en straal. B s nderdaad een rkel en wel de rkel met straal en mddelpunt ( 0, ). 7 Noordhoff Utgevers v

20 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel O Het eeld van deze ljn onder f s de ljn de je krjgt als je deze ljn twee eenheden naar lnks en dre eenheden omhoog shuft. Noordhoff Utgevers v 77

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan, ; = = 0 arg( z ) ; = 0 arg( z

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Complexe getallen

Hoofdstuk 7 - Complexe getallen Moderne wskunde 9e edte vwo D deel. Soorten getallen ladzjde a Ja. Ja. a 0en 0 d Nee, jvooreeld s geen natuurljk getal. d Nee, jvooreeld : s geen natuurljk getal. e De som, het vershl en het produt van

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3 Drs. J.H. Blanespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Slujter Toegepaste wsunde voor het hoger beroepsonderwjs Deel Derde, herene dru Utwerng herhalngsopgaven hoofdstu HButgevers, Baarn Toegepaste wsunde, deel

Nadere informatie

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg J vd Meer H v lurg Getl & Rumte vwo complee getllen Utwerkngen Hoofdstuk Complee getllen Neuwe getllen ( ( ( ( c ( ( ( d ( 7 7 e f ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( ( ( 9 d ( ln(,9, ( ln,77, c e d, 7 ( en, en

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

1 Rekenen met complexe getallen

1 Rekenen met complexe getallen Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 8 Utwerkngen van de opdrachten Hoofdstuk 1 Inledng Opdracht 1 Analyse De constructe estaat ut een dre keer geknkte staaf de j A s ngeklemd en j B n vertcale rchtng s gesteund. De staafdelen waarvan

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 4 Dr Luc Gheysens DE COMPLEXE WERELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Hstorsche nota Omstreeks 500 werden n Italë wedstrjden georganseerd voor het oplossen van derdegraadsvergeljkngen Nccolo Fontana

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen

Nadere informatie

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 8 Utwerkngen van de opdrachten Hoofdstuk 1 Inledng Opdracht 1 Analyse De constructe estaat ut een dre keer geknkte staaf de j A s ngeklemd en j B n vertcale rchtng s gesteund. De staafdelen waarvan

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Neurale Netwerken (2L490), op woensdag 28 juni 2006, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Neurale Netwerken (2L490), op woensdag 28 juni 2006, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Wskunde en Informatca Examen Neurale Netwerken 2L49, op woensdag 28 jun 26, 9. - 2. uur. Alle antwoorden denen dudeljk geformuleerd en gemotveerd te worden..

Nadere informatie

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos 9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faultet Tehnshe Natuurkunde Tentamen Golven & Opta 3AA70/Opta 3NA70 Dnsdag 0 augustus 00 van 9.00 tot.00 uur Dt tentamen bestaat ut 5 vraagstukken met eder deelopgaven

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Toegepaste analyse

Hoofdstuk 6 - Toegepaste analyse 6 Voorkenns: Afgeleden en prmteven ldzjde 6 V- f ( ) sn f '( t) sn + os k( ) os os f '( t) os + sn os sn l( ) e + l'( ) e + ln d m m ln ( ) ln '( ) ln V- f ( ) + sn f '( ) + os k( ) ( ) k'( ) ( ) l( )

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

2 Modulus en argument

2 Modulus en argument Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Bij een invalshoek i =(15.0 ± 0.5) meet hij r =(9.5 ± 0.5). 100%-intervallen. Welke conclusie kan de onderzoeker trekken?

Bij een invalshoek i =(15.0 ± 0.5) meet hij r =(9.5 ± 0.5). 100%-intervallen. Welke conclusie kan de onderzoeker trekken? INLEIDING FYSISCH-EPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) --003, 9.00-.00 UUR Dt tentamen bestaat ut 3 opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Hoofdstuk 3 - Differentiëren Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok 1 - Vaardigheden ladzijde 6 1a + 8 3 e + 6 i 6 10 3 3 3 1 3 3 10 f + 6 j 10 + 3 0 + 3 8 1 3 6 6 6 6 1 18 10 1 g ( 3) 3 6 k 9 6 d ( 3+ ) 10 + 6 3 h 3 8 l 1 3 1 3 a Antwoord: 6 invoer: goed Antwoord:

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra

Hoofdstuk 6 - Werken met algebra Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden 0 0 4 0

Nadere informatie

Statica in een notendop

Statica in een notendop Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting Zwaartepunten, traagedsmomenten en verdeelde belastng Opgeloste Vraagstukken 6.1 Een dunne draad lgt n de dredmensonale rumte en bestaat ut een kwadrant AB van een crkel samen met twee recte stukken BC

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 maandag 9 januari 2006, Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 maandag 9 januari 2006, Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA maandag 9 januar 6, -3 Bj elke vraag dent een berekenng of motverng worden opgeschreven Beschouw de vectorrumte V = R 3 met de lneare deelrumten U = span{ } en W = {x = x R 3

Nadere informatie

UITWERKINGEN VOOR HET HAVO B1 DEEL 2 HOOFDSTUK 1 KERN 1 FUNCTIES

UITWERKINGEN VOOR HET HAVO B1 DEEL 2 HOOFDSTUK 1 KERN 1 FUNCTIES UITWERKINGEN VOOR HET HAVO B DEEL HOOFDSTUK KERN FUNCTIES a) h f l b) m a) y x g p b) b a t s c) v x w t n d) d c m n ut a) r A b) r A π π a) B t b) Een Exponentële Functe c) 9 ; 99 dusna jaar. a) u s

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8 Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a

Nadere informatie

Knik en de Eurocode 3

Knik en de Eurocode 3 Staltet van het evenwcht Knk en de Voorschrten Knk en de Eurocode 3 Bj het dmensoneren van een constructe op knk wordt n de Eurocode 3 utgegaan van een toets n de uterste grenstoestand waarj de rekenwaarde

Nadere informatie

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen 1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Functies van eigen maak

Functies van eigen maak Controle stroom Funtes vn egen mk def () : sttement 1. r = funte(). sttement n def funte() : sttement 2. whle vw : routne(). return x def routne() :. f voorwrde : sttement 3 return sttement 4 return hoofdprogrmm

Nadere informatie

5.1 Constructie van de complexe getallen

5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2

z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2 Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen

Nadere informatie

Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese

Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese 1 Introductie van algebraïsche oppervlakken. Een algebraïsche oppervlak in R 3 wordt gegeven door een polynoom

Nadere informatie

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m. Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Opgave 1: I, II, IV en V zijn tweedegraads vergelijkingen. III is een eerstegraads vergelijking en VI is een derdegraads vergelijking.

Opgave 1: I, II, IV en V zijn tweedegraads vergelijkingen. III is een eerstegraads vergelijking en VI is een derdegraads vergelijking. Hoofdstuk : Vergelijkingen en ongelijkheden.. Tweedegraadsvergelijkingen Ogave : I, II, IV en V zijn tweedegraads vergelijkingen. III is een eerstegraads vergelijking en VI is een derdegraads vergelijking.

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen.

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Hoofdstuk Functies en de GRM Kern Functies met de GRM a H (dm) 5 Na ongeveer 6 dagen. 6 8 0 t a De functie heeft geen functiewaarde voor X < 0.

Nadere informatie

4 a -23 c -21 e. b -61 d 2 f 5 LUKAKU. 6 a Õ c Œ b Õ d Œ. gemengd repeterend. c 0,05151 X f 0,133 X 3 1. h 0,0377 X 7 03.

4 a -23 c -21 e. b -61 d 2 f 5 LUKAKU. 6 a Õ c Œ b Õ d Œ. gemengd repeterend. c 0,05151 X f 0,133 X 3 1. h 0,0377 X 7 03. = Oplossingen. Rationale getallen (lz. 8) a -7-6 g 0,000, e -7 h -6 f -, i a - - e -6 f LUKAKU 7 6 a 6 6 g e - f 8 i a - 7,6 g - e h -6 f -0 h i - 0 - - - 0 8 6 a Õ Œ Õ Œ 7 eimale vorm zuiver repeteren

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op , 1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.

Examen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv lazije 48 a x+ y= x+ y p(x+ y ) x y= x y+ qx ( y + Optellen van e vergelijkingen geeft an p( x+ y ) + q( x y+ ). 4 4 O 4 4 Kies q =. Dit geeft e vergelijking x+ y ( x y+ ). x+ y x+ 9y. Herleien geeft y

Nadere informatie

Regressie en correlatie

Regressie en correlatie Statstek voor Informatekunde, 005 Les 6 Regresse en correlate Als we na twee kenmerken van elementen van een populate kjken, s het een voor de hand lggende vraag of we aan de hand van de waarde van het

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

5.1 Elektrische stroom en spanning

5.1 Elektrische stroom en spanning 5. Elektrsche stroom en spannng Opgave a lleen elektronen kunnen zch verplaatsen en net de postef geladen kern. Omdat de ladng van emer postef s, s hj negatef geladen elektronen kwjtgeraakt. Je erekent

Nadere informatie

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga

Nadere informatie

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 3 Toepassng: Codes Als toepassng van vectorrumten over endge lchamen kjken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementare kenns van vectorrumten, en van de volgende functe.

Nadere informatie

2 Keten met een weerstand R in serie met een condensator met capaciteit C.

2 Keten met een weerstand R in serie met een condensator met capaciteit C. Hoofdstuk 3. Serekrngen. Algeeenheden. In dt hoofdstuk worden twee of eer eleenten n sere geplaatst. TIP : o geakkeljk te werken s het aangeraden de stroo als referente te kezen, verts de stroo door elk

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999, TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie

Vaardigheden. bladzijde 52. deel van 240 = 96 en 3 deel = 144. deel = ( 11 : 25 ) 2110 = 928, 40 euro en. deel = ( 14 : 25 ) 2110 = 1181,60 euro

Vaardigheden. bladzijde 52. deel van 240 = 96 en 3 deel = 144. deel = ( 11 : 25 ) 2110 = 928, 40 euro en. deel = ( 14 : 25 ) 2110 = 1181,60 euro Vaardigheden ladzijde 5 a 7 f 8 0 g 8 0,96 h 9 d 9 i 0 e 8 j a 7,5 e 8 5 6 f 6 g 5, 0, = 0, 3 3 9 d 9 h = = =, 5 3a 8, = 3, 88 euro a 6, 365 = 58 dagen 6 3, = 3568, gram Drie dagen is 7 uur, dus 0, 7 =

Nadere informatie

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking

De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =

Nadere informatie

Regressie en correlatie

Regressie en correlatie Statstek voor Informatekunde, 006 Les 7 Regresse en correlate Als we na twee kenmerken van elementen van een populate kjken, s het een voor de hand lggende vraag of we aan de hand van de waarde van het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen

Nadere informatie

Oplossen van een vergelijking van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d =0

Oplossen van een vergelijking van de vorm ax 3 + bx 2 + cx + d =0 CARDANO S METHODE (oor ng. P.H. Stkker) Olossen vn een vergeljkng vn e vorm x x x 0 Verse: 8 fe. 00 PDF rete wt fftor trl verson www.fftor.om LET OP ER ZULLEN NOG ENKELE VOORBEELDEN LATER WORDEN TOEGEVOEGD

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening hoofdstuk a Voor punten op lijn l geldt: heen coördinaten x + λ en y + λ. Invullen in de vergelijking x + y 5 van cirkel c geeft ( + λ) + ( + λ) + 6λ+ 9λ + + λ+ λ 5 λ + λ λ + λ ( λ+ )( λ

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - De kettingregel

Hoofdstuk 2 - De kettingregel Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) 0 0 + 0 0 + 0 60 W + + + a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Correlate: eplorateve methoden Werktekst voor de leerlng Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vancaudenberg Statstek voor het secundar onderwjs

Nadere informatie

1 Gedeelde differenties

1 Gedeelde differenties Inhoudsopgave Gedeelde dfferentes Verband met de nterpolerende veelterm 2 Een explcete formule 2 3 Verband met afgeleden 3 4 Verband met de nterpolerende veelterm van Newton 4 5 Productformule (formule

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan

Nadere informatie

Zo n grafiek noem je een dalparabool.

Zo n grafiek noem je een dalparabool. V-a Hoofdstuk - Funties Hoofdstuk - Funties Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in de tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het hellingsgetal is. d

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Technsche Natuurkunde Tentamen Optca 3NA7 Dnsdag 14 augustus 212 van 14. tot 17. uur Dt tentamen bestaat ut 4 vraagstukken met n totaal 12 deelopgaven en 1 pagna

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

1. In de hoofdstad van Ivoorkust, Yamoussoukro, meet men de lengte van 100 mannen (in cm) :

1. In de hoofdstad van Ivoorkust, Yamoussoukro, meet men de lengte van 100 mannen (in cm) : . In de hoofdstad van Ivoorkust, Yamoussoukro, meet men de lengte van 00 mannen (n cm) : 68,6 56,4 66,8 85,5 77,3 0,8 77,3 97,3 75,5 69,5 7,7 70,9 90,0 79, 66,8 0,3 6,7 70,0 55,0 68,6 69,5 57,7 68,6 89,5

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse vrijdag 21 juni 2013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen

Examen Complexe Analyse vrijdag 21 juni 2013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen Examen Complexe Analyse vrijdag 1 juni 013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Er is een bonusvraag

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie