WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN Dr. Luc Gheysens. z = r(cos θ + isin θ) r = de modulus van z = mod. z θ = het argument van z = arg. z.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN Dr. Luc Gheysens. z = r(cos θ + isin θ) r = de modulus van z = mod. z θ = het argument van z = arg. z."

Transcriptie

1 WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN D. Luc Gheysens De goniometische schijfwijze van een complex getal Elk complex getal z a + bi kan men schijven onde de vom z (cos θ + isin θ) de modulus van z mod. z θ het agument van z ag. z. a ² + b² cos θ sin θ a a² + b² b a² + b² tan θ a b. a b Veklaing. a + bi a² + b² ( + i). a² + b² a² + b² Opmeking. Het complex getal z 0 + 0i heeft als modulus 0 en het agument is onbepaald. Daaom laten we in de ondestaande eigenschappen het complex getal 0 buiten beschouwing. Eigenschap Twee toegevoegde complexe getallen (niet gelijk aan nul) hebben gelijke moduli en tegengestelde agumenten. Het toegevoegd complex getal van a + bi is gelijk aan a bi. Het toegevoegd complex getal van (cos θ + isin θ) is dan (cos θ isin θ) [cos(-θ)+ isin(-θ)]. Voobeeld. + 3 i (cos 60 + isin 60 ) - 3 i [cos (-60 ) + isin(- 60 )]. Complexe getallen blz.

2 Eigenschap Twee complexe getallen, niet gelijk aan nul, die elkaas omgekeede zijn hebben moduli die elkaas omgekeede zijn en tegengestelde agumenten. z (cos θ + isin θ), dan is z (cosθ + i sinθ ) cosθ isinθ (cosθ + i sinθ )(cosθ isinθ ) (cosθ isinθ ) [cos( θ ) + i sin( θ )]. Voobeeld. + i (cos 45 + i sin 45 ). i Dan is + i ( + i)( i) i i [cos( 45 ) + i sin( 45 )]. Complexe getallen blz.

3 Eigenschap 3 Voo twee complexe getallen, niet gelijk aan nul, geldt dat de modulus van het poduct gelijk is aan het poduct van de moduli en het agument van het poduct is gelijk aan de som van de agumenten. Stel dat z (cos θ + isinθ ) en z (cos θ + isin θ ). Dan is z.z (cos θ + isinθ ) (cos θ + isin θ ) [cos θ cos θ sin θ sin θ + i(sin θ cos θ + cos θ sin θ )] [cos(θ + θ ) + isin(θ + θ )]. Voobeeld. z - 3 -i en z 3i Je kan het poduct diect beekenen : (- 3 -i ). 3i i. We passen nu de bovenstaande eigenschap toe : mod. z en ag. z 0 mod. z 3 en ag. z 90. Dan is mod.( z. z ) 6 en ag.( z. z ) 300. Bijgevolg is z. z 6(cos i sin 300 ) 6 (cos 60 - i sin 60 ) 6 ( - 3 i) i. Complexe getallen blz. 3

4 Eigenschap 4 Voo de n-de macht van een complex getal z (cos θ + i sin θ) (z 0), met n een willekeuig geheel getal, geldt dat [(cos θ + i sin θ)] n n (cos nθ + i sin nθ). STAP : de fomule klopt voo n 0 want z 0 en ook 0 (cos 0θ + i sin 0θ). STAP : de fomule klopt voo elk natuulijk getal n > 0, want dit volgt diect uit eigenschap 3. STAP 3 : de fomule klopt voo elk negatief geheel getal n (met n een positief natuulijk getal) : ((cos θ + i sin θ)) -n [((cos θ + i sin θ)) - ] n [ - (cos(-θ) + i sin(-θ)] n (wegens eigenschap ) ( - ) n. [cos(-n θ)+ i sin(-n θ)] (wegens STAP ) -n [cos(-n θ)+ i sin(-n θ)]. Voobeeld. (- + 3 i) 6 [(cos 0 + i sin 0 )] 6 6 (cos 70 + i sin 70 ) 64. Toepassing. Voo bekomt men de zogenaamde fomule van de Moive: (cos θ + isin θ) n cos nθ + isin nθ. Een leuke toepassing van deze fomule bekomt men voo het geval dat n is : (cos θ + isin θ) cos θ + isin θ (fomule van de Moive). () Andezijds is ook (cos θ + isin θ) cos² θ + i cos θ sin θ sin² θ. () Doo in () en () het eëel gedeelte en het imaginai gedeelte aan elkaa gelijk te stellen, vindt men de gekende fomules voo de dubbele hoek teug : cos θ cos² θ sin² θ en sin θ sin θ cos θ. Complexe getallen blz. 4

5 Eigenschap 5 Voo twee complexe getallen, niet gelijk aan nul, geldt dat de modulus van het quotiënt gelijk is aan het quotiënt van de moduli en het agument van het quotiënt is gelijk aan het veschil van de agumenten. Stel dat z (cos θ + isinθ ) en z (cos θ + isinθ ). z Dan is het quotiënt gelijk aan z. (z ) -. Hieop kan achteeenvolgens z eigenschap en eigenschap 3 woden toegepast. Hieuit blijkt dat z z [cos (θ - θ ) + i sin(θ - θ )]. Voobeeld. z -i en z + 3 i. Je kan het quotiënt diect beekenen : i + 3i i( 3i) ( + 3i)( 3i) 3 i. 4 4 We passen nu de bovenstaande eigenschap toe : mod. z en ag. z 70 mod. z en ag. z 60. Dan is mod.( z /z ) ½ en ag.( z /z ) 0. Bijgevolg is z /z ½ (cos 0 + i sin 0 ) ½(-cos 30 - i sin 30 ) 3 ( i) 3 i. 4 4 Complexe getallen blz. 5

6 Definitie. z (cos θ + i sin θ) is een complexe n-de machtswotel uit een gegeven complex getal z 0 0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) als en slechts als z n z 0. Toon aan dat elk complex getal z 0 0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ) n n-de machtswotels heeft en dat voo de modulus en het agument θ van elk van die n-de machtswotels geldt dat n 0 en θ θ + k. met k {0,,,..., n }. n n Toepassing. Bepaal de achtstemachtswotels uit i. Oplossing. De goniometische vom van i is gelijk aan 56(cos 0 + i sin 0 ). De acht achtstemachtswotels hebben dan als modulus 8 56 en de agumenten zijn bepaald doo θ 5 + k45 met k {0,,,...,7}. Zo bekomen we de achtstemachtswotels w 0, w,, w 7 : k 0 : w 0 (cos 5 + i sin 5 ),9 + 0,5i k : w (cos 60 + i sin 60 ) +,7i k : w (cos 05 + i sin 05 ) -0,5 +,9i k 3 : w 3 (cos 50 + i sin 50 ) -,7 + i k 4 : w 4 (cos 95 + i sin 95 ) -,9 0,5i k 5 : w 5 (cos 40 + i sin 40 ) -,7i k 6 : w 6 (cos 85 + i sin 85 ) 0,5,9i k 7 : w 7 (cos i sin 330 ),7 i. Wannee we deze 8 complexe getallen voostellen in het vlak van Gauss, blijken dit de hoekpunten te zijn van een egelmatige achthoek, die ingescheven is in een cikel met een staal. Complexe getallen blz. 6

7 Opgaven. Beeken de volgende uitdukkingen doo gebuik te maken van de goniometische schijfwijze van complexe getallen : a) ( 3 i ) 6 3 b) ( i ) 4 c) (+i) 5 (-i) 5 Beeken het poduct van de complexe getallen z i en z i via de goniometische schijfwijze en contolee het esultaat doo beide complexe getallen diect met elkaa te vemenigvuldigen. 3 Beeken het quotiënt z /z als z i en z 3 + 3i via de goniometische schijfwijze en contolee het esultaat doo beide complexe getallen op de klassieke manie doo elkaa te delen. 4 Beeken de viedemachtswotels uit -6i en stel ze voo in het vlak van Gauss. 5 Beeken de dedemachtswotels uit (i ) en stel ze voo in het vlak van Gauss. 6 Gebuik de fomule van de Moive in combinatie met de fomule voo (a+b)³ om de volgende fomules te bewijzen : cos 3θ 4 cos³θ - 3 cos θ en sin 3θ 3 sin θ - 4 sin³θ. SUCCES! Complexe getallen blz. 7

Inclusie en Exclusie groep 2

Inclusie en Exclusie groep 2 Inclusie en Exclusie goep Tainingsweek 8 3 juni 009 Venndiagammen Als voo elementen in een vezameling twee veschillende eigenschappen een ol spelen, dan kun je voo deze vezameling een Venndiagam tekenen.

Nadere informatie

9. Matrices en vectoren

9. Matrices en vectoren Computealgeba met Maxima 9. Matices en vectoen 9.1. Vectoen In Maxima is een vecto een datatype bestaande uit een geodende lijst (ij) van gelijksootige elementen welke via een index kunnen woden geselecteed.

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 15 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 15 mei uur Eamen VW 07 tijdvak maandag 5 mei.0-6.0 uu wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 5 vagen. Voo dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voo elk vaagnumme staat hoeveel punten met een goed antwood

Nadere informatie

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten Keple s eeste wet Afleiding Keple s eeste wet, op basis van Newton s wetten 1 Inleiding Johannes Keple leefde van 1571 tot 1630 en was een Duitse wiskundige. Afwijkend van wat tot die tijd gedacht wed,

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Tentamen Electromagnetisme I, 30 juni 2008, uur

Tentamen Electromagnetisme I, 30 juni 2008, uur Tentamen Electomagnetisme I, 3 juni 8, 1. - 13. uu Het tentamen estaat uit 6 opgaven.van de vagen 3,4,5,6 woden e slechts die meegenomen voo de eoodeling. Als je alle vie inlevet woden de este die geuikt

Nadere informatie

Tentamen wi2140tnw Differentiaalvergelijkingen september 2004 (1)

Tentamen wi2140tnw Differentiaalvergelijkingen september 2004 (1) T.U. Delft Faculteit E.W.I. Tentamen wi4tnw Diffeentiaalvegelijkingen 4. - 6. cijfe (..+ + (..+ + (..+ + (..+ + (..+ 6 septembe 4 Het gebuik van een voo het VWO-eindexamen goedgekeude ekenmachine is toegestaan..

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-I

wiskunde B pilot vwo 2017-I wiskunde B pilot vwo 07-I Fomules Goniometie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u)

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2013-I

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2013-I Eindexamen vwo natuukunde pilot 03-I Beoodelingsmodel Opgave Spint maximumscoe De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagam (vanaf 4 seconde) een echte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

Beantwoord de vragen bij Verkennen. Denk aan de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus!

Beantwoord de vragen bij Verkennen. Denk aan de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus! 1 Vectoen in 2D Vekennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectomeetkunde Vectoen in 2D Inleiding Vekennen Beantwood de vagen bij Vekennen. Denk aan de goniometische vehoudingen sinus

Nadere informatie

Inclusie en Exclusie groep 1

Inclusie en Exclusie groep 1 Inclusie en Exclusie goep 1 Tainingsweek 8 13 juni 2009 Venndiagammen Als voo elementen in een vezameling twee veschillende eigenschappen een ol spelen, dan kun je voo deze vezameling een Venndiagam tekenen.

Nadere informatie

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35

Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden

Nadere informatie

Uitwerkingen bij de opgaven van. De Ster van de dag gaat op en onder

Uitwerkingen bij de opgaven van. De Ster van de dag gaat op en onder Uitwekingen bij de opgaven van De Ste van de dag gaat op en onde Statopgave Google Maps geeft bijvoobeeld 52.382306, 6.644897. Mocht je niet bekend zijn met de begippen Noodebeedte en Oostelengte, zoek

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde I uur uur woensdag 12 januari 2005 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs

Tentamen Natuurkunde I uur uur woensdag 12 januari 2005 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs Tentamen Natuukunde I 09.00 uu -.00 uu woensdag januai 005 Docent Ds.J.. Vijdaghs anwijzingen: Dit tentamen omvat 4 opgaven met totaal 9 deelvagen Maak elke opgave op een apat vel voozien van naam, studieichting

Nadere informatie

Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1

Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1 Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1 1. Macro s in Cabri Indien een constructie geregeld uitgevoerd moet worden, is het interessant deze constructie op te slaan in een macro. Het definiëren

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

Rotatie in 2D. Modeltransformaties. Translatie in 2D. Rotatie van een punt tov rotatiepunt (pivot) over een rotatiehoek:

Rotatie in 2D. Modeltransformaties. Translatie in 2D. Rotatie van een punt tov rotatiepunt (pivot) over een rotatiehoek: 23 24 Modeltansfomaties Opbouwen van een tafeeel met gafische pimitieven Objecten in een tafeeel laten evolueen. met een tussentijd t de fsische positie van alle coödinaten van een tafeeel hebeekenen en

Nadere informatie

collectieformules zorgt ervoor

collectieformules zorgt ervoor collectiefomules zogt evoo 2015 De Collectie-fomules bpost biedt u meedee Collectie-fomules aan. Elk van deze fomules geeft u de zekeheid om die postzegels te ontvangen die het best passen in uw vezameling.

Nadere informatie

Voor de warmteoverdracht Q van punt A naar punt B geldt de formule:

Voor de warmteoverdracht Q van punt A naar punt B geldt de formule: Wamteovedacht 6. Wamteovedacht Onde wamteovedacht wodt bedoeld de ovegang van enegie onde invloed van een tempeatuuveschil. Zolang een tempeatuuveschil aanwezig is zal wamte in een bepaalde ichting stomen,

Nadere informatie

OPGAVEN

OPGAVEN www.resolf.nl OPGAVEN Principe Het spel RESOLF is een wiskunde- en rekenspel gebaseerd op de principes van een puzzel. Het ontwerp van het spel is in de vorm van een graaf. Een graaf bestaat uit knopen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 2 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2015

Wiskundige Technieken 2 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2015 Wiskundige Techniek Uitweking Ttam 6 januai 5 Nomeing voo pt vag andee vag naa ato: pt pt pt pt pt goed begep én goed uitgevoed, evtueel met kele onbelangijke ekfoutjes gote lijn begep, maa technische

Nadere informatie

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010)

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N00) 8 juni 007, 4.00-7.00 uu Opmekingen:. Dit tentamen bestaat uit 4 vagen met in totaal 9 deelvagen.. Het is toegestaan gebuik te maken van bijgeleved fomuleblad en een ekenmachine.

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. methode 1 Omdat de luchtweerstand verwaarloosd wordt, geldt: v( t) = gt. ( ) ( ) 2

Vraag Antwoord Scores. methode 1 Omdat de luchtweerstand verwaarloosd wordt, geldt: v( t) = gt. ( ) ( ) 2 Opgave Indoo Skydive maximumscoe 3 uitkomst: h =,7 0 m voobeelden van een beekening: methode Omdat de luchtweestand vewaaloosd wodt, geldt: v( t) = gt. Invullen levet: 40 = 9,8 t t = 6,796 s. 3, 6 h =

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus

Nadere informatie

1 Proef van Oersted. Elektriciteit deel 2

1 Proef van Oersted. Elektriciteit deel 2 Elekticiteit deel oofdstuk 7. 1 Poef van Oested Elektomagnetisme. Bij deze poef wed voo het eest het veband gelegd tussen elektische stoom en magnetisme. Pofesso Oested wilde de wamteweking van de elektische

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

1. Langere vraag over de theorie

1. Langere vraag over de theorie 1. Langee vaag ove de theoie a) Beschijf in detail het opladingspoces voo een condensato die in seie wodt geschakeld met een gelijkspanningsbon en met een weestand (de inwendige weestand van de gelijkspanningsbon

Nadere informatie

Calculus I, 20/10/2014

Calculus I, 20/10/2014 Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

Multiplicatieve functies

Multiplicatieve functies Multplcateve functes 1 Defnte Een ekenkundge functe s een functe f :: N C. Een ekenkundge functe dukt een zekee egenschap van de natuuljke getallen ut. Defnte 1.1. Een ekenkundge functe f s multplcatef

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

Alternatieve evenwichten -Alledaags of niet?-

Alternatieve evenwichten -Alledaags of niet?- Voo de docent Uitweking van de vagen Opdacht 1 t t (t) e ' (t) e (t) De voospelling van Malthus is gebaseed op een lineai toenemende voedselpoductie en een exponentieel goeiende bevolking. Het is eenvoudig

Nadere informatie

voorgesteld ). Loopt er een magnetisatiestroom binnen de materie, dan stellen we de ruimtestroomdichtheid voor door J r m

voorgesteld ). Loopt er een magnetisatiestroom binnen de materie, dan stellen we de ruimtestroomdichtheid voor door J r m Opgaven Mateie in een magnetostatisch veld. A. Magnetisatie en magnetisatiestoom Als in mateie de kingstoompjes elkaa niet oveal compenseen blijft e een esulteende stoom ove. Deze heet de magnetisatiestoom

Nadere informatie

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopgaven hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefenopgaven hoofdstuk 2 Uitwekingen oefenopgaen hoofdstuk Opgae 1 a Met gebuik an de enegiebalans Noem het beginpunt an de al A en het tefpunt met de gond B. De totale enegie in A is gelijk aan de zwaate-enegie in A. Tijdens

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma

Nadere informatie

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert.

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert. Cikelbewegingen Gaden adialen Zie bladzijde 135 t/m 137 Baiboek wikunde van de Caat en Boch ISBN 90-430-1156-8 Een aanade voo Sinteklaa! http://taff.cience.uva.nl/~caat/functiene.pdf Eenpaige cikelbeweging

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses

19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses 19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober 2016 De complexe imaginaire wereld Didier Deses 43 Creatief in C met de TI-84+ Didier Deses 1, Philip Bogaert 2 1 Leerkracht wiskunde K. A. Koekelberg,

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

Relativiteitstheorie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten

Relativiteitstheorie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten Relativiteitstheoie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten Banen van Planeten en Satellieten...1 1. Klassieke Mechanica: Planeetbanen... 1.1 Into: het centale massa pobleem... 1. Snelheid en vesnelling

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:

Nadere informatie

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn : HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende

Nadere informatie

O = 3 4 3 1 3 2 1 4 = 12 1 3 2 = 12 6 = 5 cm. (teken over roosterlijnen een rechthoek er omheen)

O = 3 4 3 1 3 2 1 4 = 12 1 3 2 = 12 6 = 5 cm. (teken over roosterlijnen een rechthoek er omheen) G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 e oevlakte van figuu is de oevlakte van een echthoek van 7 bij O = 7 = (de halve cikel aan de bovenkant ast ecies in de inham aan de ondekant a O ( QP

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

natuurkunde vwo 2016-II

natuurkunde vwo 2016-II natuukunde vwo 01-II Jupite fl-b Lees het atikel. Een uimtevekenne (m = 1,0 ton) die het zonnestelsel wil velaten, moet voldoende snelheid hebben om aan de aantekkingskacht van de zon te ontsnappen. Daaom

Nadere informatie

Uitwerkingen 1. Opgave 2 a. Ueff. 2 b. Opgave 3

Uitwerkingen 1. Opgave 2 a. Ueff. 2 b. Opgave 3 Uitwerkingen Opgave De momentane spanning is de spanning op een moment. De ectieve spanning zegt ook iets over de hoogte van de spanning maar is een soort tijdgemiddelde. Opgave U U U P 30 V, 5 V 30 W

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b Deel Complexe getallen 1 Tweedimensionale Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en scalaire vermenigvuldiging = ( ab, ) ab, is de verzameling van alle koppels reële getallen { } Zoals we ons de reële

Nadere informatie

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 4 Kromme banen ( ) Pagina 1 van 13

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 4 Kromme banen ( ) Pagina 1 van 13 Stevin vwo deel Uitwekingen hoofdstuk 4 Komme anen (15-10-013) Pagina 1 van 13 Opgaven 4.1 De kogelaan 1 1 1 3,5 = 9,81 t t = 0,713.. t = 0,844.. = 0,84 s x 7,0 vx = = = 8,8.. = 8,3 m/s t 0,844.. Hoe lang

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36 4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift

Nadere informatie

L0000512. Garantievoorwaarden/Gebruikershandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN

L0000512. Garantievoorwaarden/Gebruikershandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN L0000512 Gaantievoowaaden/Gebuikeshandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN I. INHOUD I. INHOUD p 1 II. ALGEMEEN p 2-6 III. INSTALLATIE p 7-8 IV. GEBRUIK EN ONDERHOUD p 9-12 V. CE-ATTEST p 13 VI. BIJLAGEN p 14

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1 De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze

Nadere informatie

Steekproefkarakteristieken en betrouwbare uitspraken

Steekproefkarakteristieken en betrouwbare uitspraken Steekpoefkaakteistieke e betouwbae uitspake Steekpoefkaakteistieke. De ities Ee steekpoef uit X s W (; ) is ee ij X ; X ; :::; X zo dat de X i zij oafhakelijk; de X i hebbe dezelfde vedelig als X. Belagijke

Nadere informatie

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α 65 5 VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor Goniometrie. Gebruik de applets, 2, 3, 4,

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

5 Algemene oplossing baanvergelijking, r = ξ/(1 + e cos f)

5 Algemene oplossing baanvergelijking, r = ξ/(1 + e cos f) 5 Algemene oplossing baanvegelijking, = ξ/(1 + e cos f) De bewegingsvegelijking van een planeet met massa m 2 ond de zon met massa m 1 schijven we als = GM 3, (5.1) waa M = m 1 +m 2. Omdat dit een tweedegaads

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Tentamen: Gravitatie en kosmologie

Tentamen: Gravitatie en kosmologie 1 Tentamen: Gavitatie en kosmologie Docent: Jo van den Band Datum uiteiken: 3 decembe 2012 Datum inleveen: 14 decembe 2012 bij Maja of voo 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: 17-21 decembe 2012 afspaak

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Centraal Bureau voor de Statistiek

Centraal Bureau voor de Statistiek Methodebeschijving Outputpijsindexcijfe van nieuwbouwwoningen 1. Inleiding Dit is een methodebeschijving van de statistiek Outputpijsindexcijfe van nieuwbouwwoningen (O-PINW). De beschijving heeft alleen

Nadere informatie

} is rechtsdraaiend en orthonormaal. Een tweede basis { r ε 1. r r r

} is rechtsdraaiend en orthonormaal. Een tweede basis { r ε 1. r r r Tentamen mehania voo BMT (8W) dinsdag /6/5 9u-u Dit tentamen bestaat uit delen. Deel (opgave t/m 4) is een hekansing van het e deeltentamen en is faultatief voo diegenen die aan het e deeltentamen hebben

Nadere informatie

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10 exta of hemshe themodynama en hemsh evenwht VWO, shekunde 2, Huenkamp, v1b EXR SOF IJ PULSR-CHEMIE, VWO, HOOFDSUK 10 Enege en enege-effeten hebben te maken met het ontaan en de lggng van het evenwht bj

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

We gebruiken de volgende standaardvorm van een cirkel met middelpunt M en straal r : ( ) ( ) 2

We gebruiken de volgende standaardvorm van een cirkel met middelpunt M en straal r : ( ) ( ) 2 Wiskunde D Online uitweking VWO lok les jnui Pgf Opgve We geuiken de volgende stnddvom vn een cikel met middelpunt M en stl : De cikel met middelpunt (-,) en stl voldoet n de vegelijking De cikel met middelpunt

Nadere informatie

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

) translatie over naar rechts

) translatie over naar rechts Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k

Nadere informatie

Asynchrone motoren (inductiemotor)

Asynchrone motoren (inductiemotor) Aynchone moto Aynchone motoen (inductiemoto) Van Genechten K. 1/94 Aynchone moto 1. Inleiding In het voige hoofdtuk hebben we de ynchone moto betudeed welke i afgebeeld op ondetaande tekening: Deze moto

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie