INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR

Transcriptie

1 INLEIDING FYSISCH-EPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen bent. Doe dt wel beknopt! Bljf net te lang hangen op één opgave (onderdeel); probeer tjdnood te vermjden. OPGAVE 1 (a). Wat s de algemene formule (rekenregel) voor de onzekerhed S y n de groothed y de een functe s van de gemeten grootheden x 1,..., x n volgens y = f (x 1,..., x n )?De onzekerheden n x 1,..., x n worden gegeven door de 68%-ntervallen S x1,.., S xn. Utgaande van deze algemene rekenregel voor 68%-ntervallen s te bewjzen dat, wanneer de groothed y het product s van de gemeten grootheden x 1 en x (dus y = x 1 x ), de ³ ³ relateve onzekerheden kwadratsch moeten worden opgeteld, m.a.w. Sy Sx1 y = x 1 + ³ Sx. x Tevens s te bewjzen dat wanneer y berekend wordt ut y = cx α 1,datdan S y y = α S x 1 x 1.. Toon één van bede aan. Als nu y berekend wordt ut de gemeten groothed x 1 volgens y = x 1, dan zou volgens de eerste regel met x = x 1 gelden dat S y y = S x 1. Volgens de tweede regel (met c =1 x 1 en α =) geldt dat S y y =S x 1 x 1.. Welk van de twee utdrukkngen s correct en waarom s de andere net correct? Verklaar. (b) Een handboogschutter schet vanaf een afstand D op een zgn. blazoen, een schetschjf de er als volgt utzet wt 1 3 zwart blauw rood geel 1

2 De schjf s verdeeld n concentrsche crkels met verschllende kleuren, van bnnen naar buten geel, rood, blauw, zwart en wt. Iedere kleur s weer n zones verdeeld van elk 4 cm breed. Een schot n een zone levert het aantal punten op dat n de fguur s aangegeven. De 10-punten-zone heeft een dameter van8cm. Detotaledametervan het blazoen s 80 cm. De schutter schet vanaf D =40meter en het bljkt dat de hoekafwjkngen α van zjn treffers t.o.v. de normaal (ze onderstaande fguur) een soort Gausssche verdelng hebben waarvoor geldt p α (α) = exp µ α α>0 σ α π σ α Merk op dat dt keer de echte Gauss-verdelng s. Dt komt omdat de hoekafwjkngen α altjd postef zjn. α r D In plaats van de kansdchthed p α (α) voor de hoekafwjkng α kun je ook werken met de kansdchthed p r (r) voor de afwjkngen r t.o.v. het mddelpunt van de schetschjf. Merk op dat deze p r (r) een andere kansdchthedsfuncte s dan p α (α).. Laat zen dat p r (r) bj benaderng gegeven wordt door onderstaande utdrukkng. Hern s D de afstand van de schutter tot het blazoen. Ã! p r (r) = exp (r/d) Dσ α π σ α = exp µ r waarbj σ r = Dσ α σ r π σ r Hnt: de kans p r (r)dr om een pjl te scheten n een klene strook met straal r en dkte dr s geljk aan de kans p α (α) dα dat de pjl een hoekafwjkng α heeft de bj deze r hoort. Bedenk dat α zeer klen s, zodat geldt tan (α) α. Bljf net te lang hangen op deze opgave. Merk op dat ook p r (r) een factor verschlt van de Gaussverdelng omdat r>0 s. De schutter schet bj een afstand D =40m gemddeld 80% van zjn pjlen n de rode en gelezones(dus7puntenenhoger).. Welk percentage verwacht je dat hj zal scheten n de blauwe zones samen (5 en 6 punten, dus met stralen r tussen 16 en 4 cm)? Hnt: Gebruk eerst het gegeven dat 80% van de pjlen terecht komt n de gele en rode zones om σ r ut te rekenen; gebruk de tabel voor de gereduceerde normale verdelng enletgoedopdeextrafactornp α (α) en/of p r (r). De schutter gaat nu op een afstand van 80 meter staan.. Welk percentage van zjn pjlen zal hj nu n de rode en gele zones samen scheten?

3 (c) Met behulp van de onderstaande schakelng wordt de capactet C van een condensator gemeten: V B R scoop C De spannng V B en de weerstand R zjn (bjzonder nauwkeurg) bekend. Op tjdstp t =0 wordtdeschakelaargeslotenenwordtderhalvedecondensatorc va de weerstand R opgeladen. Met behulp van de scoop wordt op een aantal tjdstppen t de spannng V R (t) over de weerstand gemeten. Deze wordt gegeven door V R (t) =V B exp t RC. De relateve onzekerhed n de gemeten spannngen V R bedraagt n alle gevallen 10%. We wllen de resultaten n een grafek weergeven en daarut m.b.v. de klenste-kwadratenmethode (rechte-ljn-ft) de capactet C van de condensator bepalen. We kunnen kezen ut de volgende mogeljkheden: (1) ln (V R ) utzetten tegen t en ftten met de ljn y = ax + b. () t utzetten tegen ln (V R ) en ftten met de ljn y = ax + b. (3) ln (V R /V B ) utzetten tegen t en ftten met de ljn y = ax. (4) t utzetten tegen ln (V B /V R ) en ftten met de ljn y = ax.. Welk van deze mogeljkheden (eventueel meerdere) s/zjn correct en waarom.. Moet voor deze ft de eenvoudge klenste-kwadraten-methode(dezondergewchts- factoren) worden toegepast of de ngewkkelde (met gewchtsfactoren). Verklaar je antwoord. (d) De lneare utzettngscoëffcënt λ van een vaste stof wordt bepaald met behulp van de vergeljkng L = L λ T, waarbj L de lengteveranderng (utzettng) s ten gevolge van de temperatuursveranderng T en L de lengte s bj de temperatuur T. Er wordt gemeten aan een rechthoekg blokje van het materaal als n onderstaande fguur: 0 mm 180 mm 0 mm Het blokje kan bj kamertemperatuur (0 C) worden gemeten en bj 100 C. Voor deze metng s een schufmaat beschkbaar met een afleesnauwkeurghed van 0.05 mm (= 50 µm) en een meetberek van 0 tot 0 cm of een mcrometer met een afleesnauwkeurghed van mm (= 5 µm) en een meetberek van 0 tot 5 cm. De te bepalen utzettngscoëffcënt λ lgt n de buurt van 10 5 ( C) 1. 3

4 . Welk van de meetnstrumenten (schufmaat of mcrometer) gebruk je om een zo nauwkeurg mogeljke metng van λ te doen?. Met welke nauwkeurghed λ kan λ n dat geval worden bepaald (100%-nterval)? (e) De hoogte H van een gebouw wordt op de volgende maner gemeten. Eenstalenkogelwordtvanhetgebouwlosgelatenendetjdwordtgemetendedekogel nodg heeft om de grond te raken. De wrjvng speelt herbj geen rol. Het experment wordt 10 keer herhaald met als resultaten 1,48 s, 1,443 s, 1,471 s, 1,458 s, 1,501 s, 1,434 s, 1,469 s, 1,473 s, 1,447 s, 1,443 s. Gegeven s de waarde voor de valversnellng n Nederland g=(9,810±0,005) m/s. Bereken de hoogte van de toren H en de onzekerhed ern. OPGAVE Met behulp van een precse-hoogtemeter kan de hoogte van een object heel nauwkeurg gemeten worden. Hj werkt schematsch als volgt: V meetstft object tafel De meetstft kan n- of utschuven. Het apparaat geeft een spannng af de rechtevenredg s met de poste H (egenljk de hoogte van het onderlggende object) van de meetstft. Deze spannng V wordt dus gegeven door V = kh V 0 waarbj k en V 0 onbekend zjn. Deze spannng V wordt gemeten met de voltmeter V. Het te meten object wordt onder de meetstft geplaatst. De poste van de hoogtemeter t.o.v. de tafel kan worden ngesteld. Vóórdat een (onbekend) voorwerp kan worden gemeten, moet de opstellng eerst gekalbreerd worden. Herbj worden dus k en V 0 bepaald. Daarvoor worden een aantal blokjes onder het apparaat gelegd, de een zeer goed bekende hoogte hebben. De resultaten van de kalbrate staan n de onderstaande tabel. Alle spannngen zjn slechts éénmaal gemeten. 4

5 H (cm) V (V) (± 1 µm) (a) Maak een grafek van de kalbratemetngen volgens de regels (b) Bereken ut de kalbrate zo nauwkeurg mogeljk de onbekenden k en V 0 en hun onzekerhed. Vervolgens wordt een onbekend blokje onder de hoogtemeter gelegd en gemeten wordt een spannng van 5.6 V. Deze spannng s slechts eenmalg gemeten en wel op dezelfde maner als de kalbratemetngen. (c) Geef een schattng van de onzekerhed n deze gemeten spannng V. Hnt: Hoe groot s de onzekerhed n de losse kalbrate-metngen? (d) Bereken de hoogte van dt onbekende blokje zo nauwkeurg mogeljk en geef de onzekerhed ern. 5

6 Formules voor een rechte-ljn-ft y = ax + b met geljke onzekerheden S y n y : Hellng: a = N P x y P P x y N P x (P x ) met onzekerhed S a = Asafsnjdng: b = x y x x y N P x (P x ) met onzekerhed S b = s NS y N P x (P x ) v u t S y x N P x (P x ) Formules voor een rechte-ljn-ft y = ax met geljke onzekerheden S y n y : Hellng: a = P x y P x met onzekerhed S a = S y pp x Formules voor een rechte-ljn-ft y = ax + b met ongeljke onzekerheden S n y : Hellng: a = Asafsnjdng: b = 1 x y S S 1 x S x S 1 S v x y S S µ met onzekerhed S a = u x t 1 S S v x x y S S S µ x met onzekerhed S b = u x t S S S y 1 S µ x x S 1 S x S x S S µ x S Formules voor een rechte-ljn-ft y = ax met ongeljke onzekerheden S n y : Hellng: a = x y S x S met onzekerhed S a = 1 s x S 6

7 Overschrjdngskans voor de gereduceerde normale verdelng P (z z c ) E- 9.51E- 9.34E- 9.18E- 9.01E- 8.85E- 8.69E- 8.53E- 8.38E- 8.3E E- 7.93E- 7.78E- 7.64E- 7.49E- 7.35E- 7.1E- 7.08E- 6.94E- 6.81E E- 6.55E- 6.43E- 6.30E- 6.18E- 6.06E- 5.94E- 5.8E- 5.71E- 5.59E E- 5.37E- 5.6E- 5.16E- 5.05E- 4.95E- 4.85E- 4.75E- 4.65E- 4.55E E- 4.36E- 4.7E- 4.18E- 4.09E- 4.01E- 3.9E- 3.84E- 3.75E- 3.67E E- 3.51E- 3.44E- 3.36E- 3.9E- 3.E- 3.14E- 3.07E- 3.01E-.94E E-.81E-.74E-.68E-.6E-.56E-.50E-.44E-.39E-.33E-.0.8E-.E-.17E-.1E-.07E-.0E- 1.97E- 1.9E- 1.88E- 1.83E- P (z z c ) E- 1.79E- 1.39E- 1.07E- 8.0E-3 6.1E E E-3.56E E E E E E E-4.33E E E-4 7.3E E E-5.07E E E E E-6.11E E E E E E E E E E E E E E-9 Aanwjzng: zoek n de eerste kolom en n de eerste rj (de som ervan) naar de juste z c -waarde. Voorbeeld: P (z 1.13) = 0.19 (rj de begnt met 1.1, kolom de bovenaan 0.03 heeft staan) 7