Analyse met infinitesimalen

Transcriptie

1 Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15

2 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen van functies aan te tonen. Gebruikt in de differentiaalrekening van Leibniz en Newton. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, (Hans Vernaeve) 2 / 15

3 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx (Hans Vernaeve) 3 / 15

4 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx (Hans Vernaeve) 3 / 15

5 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx (Hans Vernaeve) 3 / 15

6 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e dx (Hans Vernaeve) 3 / 15

7 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e dx = e x (1 + dx ) = ex (Hans Vernaeve) 3 / 15

8 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e dx = e x (1 + dx ) = ex eerste lijn: we delen door dx, dus dx 0 (Hans Vernaeve) 3 / 15

9 Voorbeeld: de afgeleide van e x Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e dx = e x (1 + dx ) = ex eerste lijn: we delen door dx, dus dx 0 laatste lijn: we verwaarlozen dx, dus dx = 0. (Hans Vernaeve) 3 / 15

10 Kritiek op infinitesimalen They are neither finite Quantities, nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities? Bisschop George Berkeley, The Analyst, (Hans Vernaeve) 4 / 15

11 De 19de eeuw: infinitesimalen verbannen Wiskundige analyse werd ontwikkeld zonder infinitesimalen. Bernard Bolzano ( ) Karl Weierstrass ( ) f is continu in a als ( ε > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f (x) f (a) < ε) (Hans Vernaeve) 5 / 15

12 De 20ste eeuw: infinitesimalen gefundeerd Abraham Robinson, Non-standard analysis, (Hans Vernaeve) 6 / 15

13 Robinson realiseert de Droom van Leibniz Gottfried Wilhelm von Leibniz (brief aan Varignon, 1702): Aan het getallenstelsel moeten oneindig kleine en oneindig grote ideale elementen toegevoegd worden In het uitgebreide getallenstelsel moeten dezelfde rekenkundige wetten gelden als in het gewone stelsel (Hans Vernaeve) 7 / 15

14 Robinson realiseert de Droom van Leibniz Robinson construeert een uitbreiding R van R die infinitesimalen bevat: Definitie x R is infinitesimaal als r < x < r voor elke r R +. Notatie: x 0. Notatie: x y betekent x y 0. (Hans Vernaeve) 8 / 15

15 Robinson realiseert de Droom van Leibniz Overdrachtsprincipe Rekenregels voor reële getallen blijven gelden voor hyperreële getallen. Voorbeelden ( x)(x 2 0) ( x, y)((x 1) 2 + (y 1) 2 = 0 x = y = 1) ( x)(x 0 ( y)(xy = 1)) ( x)( sin x x ) ( x, y)(e x+y = e x e y ) (Hans Vernaeve) 9 / 15

16 Robinson realiseert de Droom van Leibniz Overdrachtsprincipe Rekenregels voor reële getallen blijven gelden voor hyperreële getallen. Voorbeelden ( x R)(x 2 0) ( x, y R)((x 1) 2 + (y 1) 2 = 0 x = y = 1) ( x R)(x 0 ( y R)(xy = 1)) ( x R)( sin x x ) ( x, y R)(e x+y = e x e y ) (Hans Vernaeve) 9 / 15

17 Robinson realiseert de Droom van Leibniz Overdrachtsprincipe Rekenregels voor reële getallen blijven gelden voor hyperreële getallen. Voorbeelden ( x R)(x 2 0) ( x, y R)((x 1) 2 + (y 1) 2 = 0 x = y = 1) ( x R)(x 0 ( y R)(xy = 1)) ( x R)( sin x x ) ( x, y R)(e x+y = e x e y ) hyperreële getallen hebben zelfde look and feel als reële getallen (Hans Vernaeve) 9 / 15

18 Voorbeeld: de afgeleide van e x (nogmaals) Voor een infinitesimaal dx geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e + 1 dx = e x (1 + dx ) = ex (Hans Vernaeve) 10 / 15

19 Voorbeeld: de afgeleide van e x (nogmaals) Voor een infinitesimaal dx 0 geldt: de x dx = ex+dx e x dx = ex (e dx 1) dx dx2 x 1 + dx + 2 = e + 1 dx = e x (1 + dx ) ex In niet-standaard analyse is (e x ) = st( dex dex dx ), het unieke reëel getal dx. (Hans Vernaeve) 10 / 15

20 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. (Hans Vernaeve) 11 / 15

21 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). (Hans Vernaeve) 11 / 15

22 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). (Hans Vernaeve) 11 / 15

23 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Als nu x a, dan is x a < δ (Hans Vernaeve) 11 / 15

24 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Als nu x a, dan is x a < δ, en dus ook f (x) f (a) < ε. (Hans Vernaeve) 11 / 15

25 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Als nu x a, dan is x a < δ, en dus ook f (x) f (a) < ε. We hebben dus bewezen: ( ε R + ) ( x a) f (x) f (a) < ε. (Hans Vernaeve) 11 / 15

26 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Bij definitie bestaat δ R + waarvoor ( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Als nu x a, dan is x a < δ, en dus ook f (x) f (a) < ε. We hebben dus bewezen: ( ε R + ) ( x a) f (x) f (a) < ε. M.a.w., ( x a) f (x) f (a). (Hans Vernaeve) 11 / 15

27 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Nu moeten we bewijzen dat ( δ R + )( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). (Hans Vernaeve) 11 / 15

28 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Nu moeten we bewijzen dat ( δ R + )( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). (Hans Vernaeve) 11 / 15

29 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Nu moeten we bewijzen dat ( δ R + )( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Dit is vervuld, want kies willekeurig δ 0, δ > 0. Als dan x a < δ, dan is x a (Hans Vernaeve) 11 / 15

30 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Nu moeten we bewijzen dat ( δ R + )( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Dit is vervuld, want kies willekeurig δ 0, δ > 0. Als dan x a < δ, dan is x a, en dus ook f (x) f (a). (Hans Vernaeve) 11 / 15

31 Infinitesimale karakterisering van continuïteit Stelling f is continu in a ( x a) f (x) f (a). Bewijs. : kies ε R +. Nu moeten we bewijzen dat ( δ R + )( x R)( x a < δ f (x) f (a) < ε). Dit is vervuld, want kies willekeurig δ 0, δ > 0. Als dan x a < δ, dan is x a, en dus ook f (x) f (a). I.h.b. f (x) f (a) < ε. (Hans Vernaeve) 11 / 15

32 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Modeltheorie = deel van de logica. Bestudeert welke wiskundige structuren (modellen) aan een gegeven stel axioma s voldoen. (Hans Vernaeve) 12 / 15

33 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Modeltheorie = deel van de logica. Bestudeert welke wiskundige structuren (modellen) aan een gegeven stel axioma s voldoen. Voorbeeld (Axioma s van het euclidisch vlak) Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte. Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte. Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de eindpunten als middelpunt. Alle rechte hoeken zijn gelijk. Gegeven een rechte L en een punt p niet op L gelegen, bestaat er juist één rechte door p die L niet snijdt (parallellenpostulaat). (Hans Vernaeve) 12 / 15

34 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte. Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte. Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de eindpunten als middelpunt. Alle rechte hoeken zijn gelijk. Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel. (Hans Vernaeve) 13 / 15

35 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte. Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte. Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de eindpunten als middelpunt. Alle rechte hoeken zijn gelijk. Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel. Er bestaan andere modellen! Bijv.: hyperbolische meetkunde (Gauss - Bolyai - Lobachevsky, ) (Hans Vernaeve) 13 / 15

36 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte. Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte. Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de eindpunten als middelpunt. Alle rechte hoeken zijn gelijk. Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel. Er bestaan andere modellen! Bijv.: hyperbolische meetkunde (Gauss - Bolyai - Lobachevsky, ) (Hans Vernaeve) 13 / 15

37 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte. Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte. Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de eindpunten als middelpunt. Alle rechte hoeken zijn gelijk. Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel. L p Er bestaan andere modellen! Bijv.: hyperbolische meetkunde (Gauss - Bolyai - Lobachevsky, ) (Hans Vernaeve) 13 / 15

38 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het model dat men oorspronkelijk voor ogen had (Hans Vernaeve) 14 / 15

39 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het model dat men oorspronkelijk voor ogen had Voorbeelden De hyperbolische meetkunde is een niet-standaard model van de axioma s van Euclides (zonder parallellenpostulaat) (Hans Vernaeve) 14 / 15

40 Vanwaar de benaming niet-standaard analyse? Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het model dat men oorspronkelijk voor ogen had Voorbeelden De hyperbolische meetkunde is een niet-standaard model van de axioma s van Euclides (zonder parallellenpostulaat) R is een niet-standaard model van R (Hans Vernaeve) 14 / 15

41 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. (Hans Vernaeve) 15 / 15

42 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] (Hans Vernaeve) 15 / 15

43 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. (Hans Vernaeve) 15 / 15

44 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. (Hans Vernaeve) 15 / 15

45 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = ( 1 + kx ) ω ω (Hans Vernaeve) 15 / 15

46 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω ) ω (Hans Vernaeve) 15 / 15

47 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ) ω ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω = 1 + kx + k2 x kn x n ! n! want ( ) ω (kx n ω ) n = ω! (ω n)!n!( kx ω ) n ω(ω 1)... (ω n + 1) ( kx = n! ω ) n (Hans Vernaeve) 15 / 15

48 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ) ω ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω = 1 + kx + k2 x kn x n ! n! want ( ) ω (kx ) n ω! kx ) n ω(ω 1)... (ω n + 1) ( kx ) n = = n ω (ω n)!n!( ω n! ω = ω ω 1 ω ω... ω n + 1 (kx) n ω n! (Hans Vernaeve) 15 / 15

49 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ) ω ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω = 1 + kx + k2 x kn x n ! n! want ( ) ω (kx ) n ω! kx ) n ω(ω 1)... (ω n + 1) ( kx ) n = = n ω (ω n)!n!( ω n! ω = ω ω 1 ω ω... ω n + 1 (kx) n = 1 1 (kx)n ω n! n! (Hans Vernaeve) 15 / 15

50 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω = 1 + kx + k2 x kn x n ! n! Vermits a willekeurig is, kunnen we a zo kiezen dat k = 1 ) ω (Hans Vernaeve) 15 / 15

51 Euler s afleiding van e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... (a R, a > 1, x R) Zij ε 0, zodat a ε = 1 + δ voor een zekere δ 0. [a x cnt. a ε a 0 = 1] Stel δ = kε. Dan is a ε = 1 + kε. Stel nu ω = x ε. Vermits ε 0, is ω oneindig groot. Dan is ( a x = a εω = (a ε ) ω = (1 + kε) ω = 1 + kx ω = 1 + ω kx ( ) ω (kx ) ( ) 2 ω (kx ) n ω ω n ω = 1 + kx + k2 x kn x n ! n! Vermits a willekeurig is, kunnen we a zo kiezen dat k = 1, d.w.z. a = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + = Voor dit getal zullen we het symbool e gebruiken. (Hans Vernaeve) 15 / 15 ) ω