Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3

Transcriptie

1 Drs. J.H. Blanespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Slujter Toegepaste wsunde voor het hoger beroepsonderwjs Deel Derde, herene dru Utwerng herhalngsopgaven hoofdstu HButgevers, Baarn Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van

2 Utwerng herhalngsopgaven deel Hoofdstu.0 (Complexe getallen) a. We spltsen het getal n twee delen: ln+ ( π ) ln ( π ) e e e e ln e (cos( π) + sn( π)) e ( ) e Samengevoegd levert dt een complex getal op met een reëel deel ( ) en e e een magnar deel ( ) e e : + e e b. + + en arg( + ) π, dus ( + ) en arg( + ) 0 arg( + ) π π π (modulo π ) + + en arg( + ) π, dus ( + ) en arg( + ) 8arg( + ) π π π (modulo π ) Dus 0 0 ( + ) ( + ) en 8 8 ( + ) ( + ) ( + ) 0 ( + ) arg 8 π π π ( + ) ( ) We unnen dus schrjven ( ) ( ) ( + ) + + en arg( + ) π, dus arg( + ) arg( + ) π π (modulo π ) + en arg( ) π 8 0 cos π + sn π ( + ) en, dus ( ) ( ) en arg( ) arg( ) π π (modulo π ) We unnen dus schrjven ( + ) ( ) ( cos( π+ π) + sn( π+ π) ) (cos(π) + sn(π)). De bede getallen samengevoegd levert dus een complex getal met een reëel deel 8 en een magnar deel : 8. Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van

3 a. Stel r en arg( ) r en arg( ) arg + arg π + ϕ Dus moet gelden: r < r < en 0 < π+ ϕ < π π< ϕ < 0 Het gaat herbj om het gebed n het complexe vla, dat begrensd wordt door de twee crels met mddelpunt O en stralen resp., n het verde wadrant ( π ϕ 0 < < ). Alleen de rand van de crel met straal telt mee vanwege het geljteen n r <. b. Stel Re( ) x en arg( ) x Re( ) Verder moet gelden 0 < ϕ < π Het gaat herbj om het gedeelte van de ljn x n het complexe vla, dat begrensd wordt door de x-as ( ϕ 0 ) en de ljn y x ( ϕ ). c. Stel r en arg( ) r en arg( ) arg π Dus moet gelden: < r 7 < r en π ϕ < π 8π ϕ < π Het gaat herbj om het gebed n het complexe vla, dat begrensd wordt door de twee crels met mddelpunt O en stralen resp., en de ljnen ϕ π resp. ϕ π 8. Wat de rand van het gebed betreft: Alleen de rand van de crel met straal telt mee (vanwege het geljteen n < r ) en het gedeelte van de ljn ϕ (vanwege het geljteen n π ϕ < π). d. Stel Re( ) x en Im( ) y + x+ y + x y x+ ( y ) x+ ( y ) Dus: x + ( y ) ( x) + ( y) x + ( y ) ( x) + ( y) Utweren ledt tot x + y 0y+ 8x+ x + 9 y+ y 8x y 0 x y 0 Het gaat herbj om de ljn y x n het complexe vla. 8 π. Stel Re( ) x, Im( ) y en arg( ) + 0 x+ y+ x+ + ( y ) 0 8 Herut volgt: ( x+ ) + ( y ) 0 ( x+ ) + ( y ) 00 (). Oo gegeven s: arg( ) π arg π ϕ π, dus x 0 () en y > 0 ( lgt op de posteve magnare as). () ngevuld n () levert: + ( y ) 00 y 99 y + (alleen de posteve oplossng geldt, omdat y > 0). Concluse: ( + ). Het beeldpunt van lgt op de magnare as. Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van

4 b. Het beeldpunt van s t.o.v het beeldpunt van gespegeld t.o.v. de reële as. Het beeldpunt van rjgen we ut het beeldpunt van door het over een hoe van arg() π te draaen n posteve rchtng (het omt dus op de negateve reële as te lggen). Controle: ( + ) en ( + ) ( + ). a Kwadraatafspltsen ledt tot: ( + ) 0 ( + ) ± ± b. Stel w w + w+ 0 Kwadraatafspltsen ledt tot: ( w+ ) ( ) + 0 ( w+ ) Herut volgt w+ ± w of w Dus w of w (cos( π + π) + sn( π + π)) (cos( π+ π) + sn( π+ π)) voor 0,,. Dus cos( π) + sn( π) + cos( π) + sn( π) cos( π) + sn( π) (cos( π + π) + sn( π + π)) (cos( π+ π) + sn( π+ π)) voor 0,,. cos( π) + sn( π) Dus ( ) ( ) ( ) cos( π) + sn( π) ( ) 7 7 cos( π) + sn( π) ( ) c. + ( ) ( ) + 0 (+ ) + 0 Kwadraatafsptsen ledt tot: ( ( + )) (+ ) + 0 ( (+ )) (cos(arg( + ) + sn(arg( + )) (cos(,900) + sn(,900)) dus ( + ) (cos (,.. + π) + sn (,.. + π)) voor 0, Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van

5 Concluse: + +,89888(cos, sn, 779) + +, ,8978 +, ,9709,0 +,87 + +,89888(cos(,779 + π) + sn(, π)) + +,89888 ( 0,8978) +,89888 ( 0,9709) 0, 97 0,87 d. Stel w w + ( ) w 0 Kwadraatafspltsen ledt tot: ( w+ ( )) ( ( )) 0 ( w+ ( )) ( ) + (cos( π + π) + sn( π + π)) Herut volgt w+ ( ) (cos( π+ π) + sn( π+ π)) voor 0, Dus cos( π) sn( π) ( ) ( ) cos( π) sn( π) ( ) ( ) w of w Spltsen we op: (cos( π + π) + sn( π + π)) (cos( π+ π) + sn( π+ π)) voor 0,,. Dus cos( π) + sn( π) + cos( π) + sn( π) cos( π) + sn( π) en (cos(π + π) + sn(π + π)) (cos( π+ π) + sn( π+ π)) voor 0,,. Dus cos( π) + sn( π) + cos(π) + sn(π) cos( π) + sn( π) a. ( ) De fasevector van f ( t ) s π α f e cos( π) + sn( π) De fasevector van gt () sn(t+ π) cos( π t π) cos( t+ π) cos(t π) ( ) s π α g e cos( π) + sn( π) ( ) Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van

6 De fasevector van ht () cos(t+ π) cos(π t π)cos( t+ π) cos(t π) ( ) s π α h e cos( π) + sn( π) ( ) ( ) b. α α + α + α + + s f g h ( ) + + ( ) 0,878,987 Hervan s de modulus α s ( 0,878) + (,987),080,987 en het argument arg( αs ) arctan π, ,878 (we moeten π aftreen want α s lgt n het derde wadrant). Voor f () t + g() t + h() t s het reële deel van f () () () e t c t + gc t + hc t αs (,7898) t (t,7898) fc( t) + gc( t) + hc( t),080e e,080e Het reële deel hervan s (t,7898) Re, 080e, 080cos(t, 7898) ( ) a. du vt () sn dt sn 0 ( t) 0 ( t) ( t ) ( t π ) cm/s 0 ( t) ( t) ( t ) ( t ) cos π ( ) 0 0 cos + dv at () cos dt 0 cos π cos π cm/s of cos π cm/s + b. 0 De fasevector van u(t) s α 0e 0 u ( π) (op de posteve reële as) 0 0 De fasevector van v(t) s α e v (op de posteve magnare as, over π gedraad t.o.v de fasevector α u en met een factor vermengvuldgd) 0 π 0 De fasevector van a(t) s α e t a 9 9 (op de negateve reële as, weer over π gedraad en met een factor vermengvuldgd, maar nu t.o.v de fasevector α v. Toegepaste wsunde, deel Utwerngen herhalngsopgaven hoofdstu Pagna van