Scalair en vectorieel product

Transcriptie

1 (HOOFDSTUK, ut Theory and problems of Vector Analyss, door Murray, R. Spegel, Schaum s Seres, McGraw-Hll, New Yor). Scalar en vectoreel product SCALAIR PRODUCT. Het scalar product (of nwendg product) van twee vectoren A en B, genoteerd met AB (lees: A scalar B ), s product van vermengvuldgng van de lengtes van A en van B met de cosnus van de hoe de ze met elaar vormen. Notate: AB = A.B.cos,. Mer op dat AB een getal s (een scalar, vandaar de benamng) en geen vector. De volgende egenschappen zn voldaan:. AB = BA Commutatvtet de het scalar product. A(B + C) = AB + AC Dstrbutvtet. m(ab) = (ma)b= AmB) = (AB)m waarn m een getal s. 4. = = = 0 en = = =. 5. Als A = A + A + A en B = B + B + B, dan AB = A B + A B + A B AA = A = A + A + A BB = B = B + B + B 6. Als AB = 0 en als A en B net-nul vectoren zn, dan staan A en B loodrecht op elaar. HET VECTORPRODUCT. Het vectorproduct (of utwendg product) van twee vectoren A en B s de vector C = AB (lees A vectoreel B). De lengte van AB wordt gedefneerd als het product van de lengtes van A en van B met de snus van de hoe de ze met elaar vormen. De rchtng van de vector C = AB s deze van de loodrechte op het vla van de vectoren A en B, en zn zn s zodang dat A, B en C een rechtshandg systeem vormen. Notate: AB = A.B.snu, waar u een eenhedsvector s de de rchtng en de zn van AB aangeeft. Als A = B of wanneer A evenwdg s met B, dan s sn=0 en defneert met AB = o. De volgende egenschappen gelden. AB = - BA (Ant-commutatvtet van het vectorproduct). A(B+C) = AB + AC Dstrbutvtet.. m(ab) = m(ab) = A(mB) = A(Bm) waar m een getal s. 4. = = = o, =, =, =. 5. Als A = A + A + A en B = B + B + B, dan s

2 Vectoren en scalaren: producten. AB = A A A. B B B 6. De lengte van AB s gel aan de oppervlate van het parallellogram met zden A en B.. Als AB = o, en als A en B net-nul vectoren zn, dan zn A en B parallel.

3 Vectoren en scalaren: producten. OPGELOSTE OEFENINGEN SCALAIR PRODUCT.. Aantonen dat AB = BA. AB = A.B. cos = B.A. cos = BA Hermee s dus de commutatvtet van het scalar product geverfeerd.. Aantonen dat de proecte van A op B gel s aan Ab, waar b een eenhedsvector s gercht volgens B. Door de oorsprong en het ende van A gaan vlaen loodrecht op B de steunen n de punten G en H respectevel, zoals aangegeven op de fguur hernaast. Dus s de proecte van A op B = GH = EF = A cos = Ab.. Aantonen dat A(B + C) = AB + AC. Z a een eenhedsvector gercht volgens A; dan s: proecte van (B + C) op A = pro. van B op A + pro. van C op A (B + C). a = B. a + C. a Door vermengvuldgng met het getal A, (B + C). Aa= B. Aa + C. Aa en (B + C). A= B. A + C. A Door de commutatvtet van het scalar product: A. (B + C) = A. B + A. C Zodat de dstrbutvtet werd gecontroleerd. 4. Aantonen dat (A + B). (C + D) = A. C + A. D + B. C + B. D. Volgens oefenng, (A + B). (C + D) = A. (C + D) + B. (C + D) = A. C + A. D + B. C + B. D De algebraïsche bewerngen zn geldg voor scalare producten. 5. Evalueer el van de volgende utdrungen (a). = cos 0 = ()()() = (b). = cos 90 = ()()(0) = 0 (c). = cos 90 = ()()(0) = 0 (d). ( + ) =.. +. = = - (e) ( ). ( + ) =. ( + ). ( + ) = ) = = 6 6. Als A = A + A + A en B = B + B + B, toon aan dat dan A. B = A B + A B + A B. AB = (A + A + A )(B + B + B ) = A (B + B + B ) + A (B + B + B ) + A (B + B + B ) = A B + A B + A B + A B + A B + A B + A B + A B + A B

4 4 Vectoren en scalaren: producten. A. B = A B + A B + A B. Immers,. =. =. = en alle andere scalare producten zn nul.. Als A = A + A + A toon dan dat A = A A = A A A. A = (A)(A)cos0 = A. Dus A = A A En A. A = (A + A + A ). (A + A + A ) = A A + A A + A A = A + A + A volgens oefenng 6, door B = A te nemen: Dan A = A A = A. A A s de lengte van A. Soms wordt A. A geschreven als A. A 8. Bepaal de hoe gevormd door A = + - en B = A. B =A.B cos, A = ( ), B = 6 ( ) = A. B = ()(6) + ()(-) + (-)() = = 4 A B 4 4 Dus s cos = = = = 0,905 en = 9, benaderend. AB ()() 9. Als A. B = 0 en A en B net nul zn, toon dan aan dat A loodrecht staat op B. Als A. B = AB cos = 0, dan s cos = 0 of = 90. Omgeeerd, als = 90, s A. B = Bepaal de waarde van a zodang dat A = + a + en B = loodrecht op elaar staan. Volgens oefenng 9, zn A en B orthogonaal als A. B = 0. Dan A. B = ()(4) + (a)(-) + ()(-) = 8- a - = 0 voor a =.. Toon aan dat de vectoren A = - +, B = - + 5, C = een rechthoege drehoe vormen. We moeten eerst aantonen dat de vectoren een drehoe vormen. Volgens de fguren (a) (b) zet men dat de vectoren een drehoe vormen nden aan een van de volgende voorwaarden s voldaan: (a) een van de vectoren, () bvoorbeeld, s de resultante of de som van () en (), of (b) de som of de resultante van de vectoren (), () en () s nul, naargelang (a) twee vectoren een gemeenschappel ende hebben, of (b) geen van de vectoren een gemeenschappel ende heeft met een andere. Her vnden we dan door even te proberen dat A = B + C en zo vormen de vectoren wel degel een drehoe. Omdat A. B = ()() + (-)(-) + ()(5) = 4, A. C = ()() + (-)() + ()(-4) = 0, en B.C = ()() + ( -)() + (5)( -4) = -, volgt er dat A en C loodrecht op elaar en de drehoe rechthoeg s.

5 Vectoren en scalaren: producten. 5. De hoeen vnden de de vector A = maat met de coördnaatsassen. Z,,, de hoeen gevormd door A en de posteve rchtngen van de x, y, z assen respectevel. A. = (A)() cos = ( 6) () cos = cos A. = ( ). = = Dan s cos = / = 0,486, en = 64,6 b benaderng. Op dezelfde wze s cos = -6/, = 49 en cos= /,=,4. De cosnussen van, en heten de rchtngscosnussen van A. (ze oo oefenng ut het vorge hoofdstu).. Bepaal de proecte van de vector A = - + op de vector B = B Een eenhedsvector gercht volgens B s b = = = - +. B 4 ( 4) De proecte van A op de vector B = A. b = ( - + ). ( ) =. + (-).(- ) +. = De cosnusregel voor vlaen drehoeen aantonen. Volgens de fguur (a) heronder s B + C = A of C = A - B. Dus s C. C = (A - B). (A - B) = A. A + B. B - A. B en dus C = A + B - AB cos. Fg. (a) Fg. (b) 5. Aantonen dat de dagonalen van een rut loodrecht staan. Vergel met de fguur (b) herboven OQ = OP + PQ = A + B OR + RP = OP of B + RP = A en RP = A - B Dan s OQ. RP = (A + B). (A - B) = A - B = 0, want A = B Dus staat OQ loodrecht op RP. 6. Bepaal een eenhedsvector loodrecht op het vla van A = - 6 en B = 4 +. Stel dat C = c + c + c een vector s loodrecht op het vla bepaald door A en B. Dan moet C loodrecht staan op A en loodrecht staan op B. Dus: CA = 0 = c 6c c en dus () c 6c = c CB = 0 = 4c + c c en dus () 4c + c = c

6 6 Vectoren en scalaren: producten. Door () en () tegel op te lossen volgt c = c / en c = -c /, C = c ( - + ). Dus s een eenhedsvector gercht volgens C gegeven door C C = c c = ( + 6 ).. Bepaal de arbed verrcht door de verplaatsng van een voorwerp langs de vector r = + 5 nden de racht de wordt toegepast F = - s. Vergel met de fguur (a). Verrchte arbed = (grootte van de racht n de rchtng van de bewegng) (afgelegde afstand) = (F cos (r) = Fr = ( - )( + 5) = = 9. Fg. (a) Fg. (b) 8. Bepaal de vergelng van het vla loodrecht aan de vector A = en gaande door het ende van de vector B = (Ze de fguur (b) herboven). Net unnen 9. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het vla n oefenng 8. Net unnen 0. Als A een wlleeurge vector s, toon dan aan dat A = (A. ) + (A. ) + (A. ). Omdat A = A + A + A, A. = A. + A. + A. = A en analoog A. = A en A. = A. Dan A = A + A + A = (A. ) + (A. ) + (A. ).

7 Vectoren en scalaren: producten. VECTORPRODUCT.. Aantonen dat A /\ B = - B /\ A. Fg.(a) Fg.(b) A/\B = C heeft als lengte ABsn en heeft een zn zodang dat A, B en C een rechtshandg orthogonaal assenstelsel vormen. (Fg. (a) herboven). B/\A = D heeft als lengte BAsn en heeft een zn zodang dat B, A en D een rechtshandg orthogonaal assenstelsel vormen. (Fg. (b) herboven). Dus heeft D dezelfde lengte als C maar staat h n tegenovergestelde zn, d. w. z. C = -D of A /\ B = - B /\ A. De commutatvtet geldt net voor vectorproducten.. Als A /\ B = o en als A en B net nul zn, toon dan aan dat A dan evenwdg s aan B. Als A/\B = ABsn u =o, dan s sn= 0 en dus = 0 of =80.. Aantonen dat A /\ B + A. B = A B. A /\ B + A. B = ABsn u + ABcos = A B sn + A B cos = A B = A B. 4. Evalueer el van de volgende utdrungen: (a) /\ = (f) /\ = o (b) /\ = (g) /\ = - /\ = - (c) /\ = (h) () /\ () = 6 /\ = 6 (d) /\ = - /\ = - () () /\ (-) = -6 /\ = 6 (e) /\ = o () /\ - = - - = Als A loodrecht staat op B en op C, toon dan aan dat A /\ (B + C) = A /\ B + A /\ C. Omdat A loodrecht staat op B, s A /\ B een vector loodrecht op het vla van A en B, met lengte AB sn 90 = AB of dus met de lengte van AB. Dt s equvalent met de vermengvuldgng van de vector B met A en een draang van 90 van de resulterende vector, de deze n poste brengt aangegeven n de fguur hernaast. Op dezelfde wze s A /\ C de vector verregen door C met A te vermengvuldgen en een draang van 90 toe te passen op deze vector zodat de n de aangegeven poste omt. Op analoge wze s A /\ (B + C) de vector verregen door B + C te vermengvuldgen met A en door een draang toe te passen van 90 van de vector zodat de n de aangegeven poste omt.

8 8 Vectoren en scalaren: producten. Omdat A /\ (B + C) de dagonaal s van het parallellogram waarvan A /\ B en A /\ C de zden zn, unnen we besluten dat A /\ (B+C) = A/\B + A/\C. 6. In het algemeen geval, waar A, B en C net coplanar zn, toon dan aan dat A /\ (B + C) = A /\ B + A /\ C. Ontbnd B n twee vectorcomposanten, waarvan een loodrecht staat op A en de ander evenwdg s met A, en noteer deze met B en B // respectevel. Dan s B = B + B //. Als de hoe s gevormd door A en B, dan s B = B sn. Op deze wze s de lengte van A /\ B gel aan AB sn, net zoals deze van A /\ B. De rchtng en de zn van A /\ B zn oo dente aan deze van A /\ B. Dus s A /\ B = A /\ B. Op dezelfde wze, s, als C zch laat ontbnden volgens twee vectorële composanten C en C //, evenwdg aan en loodrecht op respectevel A, dan A /\ C = A /\ C. Dus, omdat B + C = B + B // + C + C // = (B + C ) + (B // + C // ) volgt er dat A /\ (B + C ) = A /\ (B+ C). Nu zn B en C vectoren de loodrecht staan op A en dus volgens oefenng 5, A /\ (B + C ) = A /\ B + A /\ C Dus A /\ (B + C) = A /\ B + A /\ C. en dus s de dstrbutvtet geverfeerd. Door een vermengvuldgng met - en gebru te maen van oefenng, omt er dan (B + C) /\ A= B /\ A + C /\ A. Mer op dat de volgorde van de factoren van belang s n het vectorproduct. De gebruele wetten van de algebra laten zch alleen toepassen als de orde wordt bewaard.. Als A = A + A + A en B = B + B + B, dan s A /\ B = A B A B A B. A /\ B = (A + A + A ) /\ (B + B + B ) = A /\ (B + B + B ) + A /\ (B + B + B ) + A /\ (B + B + B ) = A /\ B + A /\B + A /\B + A /\ B + A /\ B + A /\ B + A /\ B + A /\ B + A /\ B = A B o + A B + A B (-) + A B (-) + A B o + A B + A B + A B (-) + A B o = (A B -A B ) + (A B A B ) +(A B A B ) = A A A B B B 8. Als A = - - en B = + 4 -, vnd dan (a) A /\ B, (b) B /\ A, (c) (A + B) /\ (A - B). (a) A /\ B = ( - - ) /\ ( ) = = = Andere methode. ( - - ) /\ ( ) = /\ ( ) - /\ ( ) - /\ ( ) = /\ + /\ 4 - /\ - /\ - /\ 4 + /\ - /\ - /\ 4 + /\ = o o o = 0 + +

9 Vectoren en scalaren: producten. 9 (b) B /\ A = ( ) /\ ( - - ) = 4 4 = = Door vergelng met (a), blt A /\ B = - B /\ A. Mer opdat dt equvalent s met de stellng: Als twee lnen van een determnant worden omgewsseld, verandert de determnant van teen." (b) A + B = ( - - ) + ( ) = + - A - B = ( - - ) - ( ) = - + Dus s (A + B) /\ (A - B) = ( + - ) /\ ( - + ) = = - + = Andere methode (A + B) /\ (A - B) = A /\ (A - B) + B /\ (A - B) = A /\ A - A /\ B + B /\ A - B /\ B = o - A /\ B - A /\ B - o = -A /\ B = -(0 + + ) = door gebru te maen van (a). 9. Als A = +, B = +, en C = - +, bepaal dan (a) (A /\ B) /\ C, (b) A /\ (B /\ C). (a) A /\ B = = En dus (A /\ B) /\ C = ( ) /\ ( - + ) = 5 = (b) B /\ C = = = En dus A /\ (B /\ C) = ( + ) /\ (- 5-5) = = Dus s (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C) wat llustreert dat het noodzael s om n de utdrung A /\ B /\ C haaes te plaatsen om dubbelznnghed te vermden. 0. Aantonen dat de oppervlate van een parallellogram met zden A en B gel s aan A /\ B. De oppervlate van het parallellogram = h B = A sn B = A /\ B Mer op dat de oppervlate van een drehoe met zden A en B = / A /\ B.. Bepaal de oppervlate van een drehoe met hoepunten P(,,), Q(,-,), R(-,,). PQ = (-) + (--) + (-) = - 4, PR = (--) + (-) + (-) = - +.

10 0 Vectoren en scalaren: producten. Door oefenng 0, Oppervlate van de drehoe = ½ PQ PR = ½ ( ) (- + ) = ½ 4 = ½ = ½ ( 5) ( 9) = ½ 0.. Bepaal een eenhedsvector loodrecht op het vla van A = en B = A /\ B s een vector loodrecht op het vla van A en B. A /\ B = 6 = A B Een eenhedsvector evenwdg aan A /\ B s = A B Een andere eenhedsvector n tegengestelde zn s ( )/. Vergel dt met oefenng = Toon de snusregel aan voor vlae drehoeen. Stel dat a, b en c de zden zn van een drehoe ABC zoals aangegeven n de fguur; dan s a + b + c = o. Door achtereenvolgens te vermengvuldgen met a /\, b /\, en c /\, verrgen we a /\ b = b /\ c = c /\ a d. w. z. ab snc = bc sna = ca snb sn A sn B sn C. a b c 4. Gegeven een tetraëder met zvlaen F, F, F, F 4, en V, V, V en V 4 vectoren waarvan de lengtes gel aan de oppervlaten van F, F, F, F 4 en de gercht zn volgens loodlnen op deze zvlaen, naar buten toe. Toon aan dat V + V + V + V 4 = o. Volgens oefenng 0 wordt de oppervlate van een zvla van een drehoe bepaald door R en S gegeven door ½ RS. De vectoren geassoceerd aan el van de zvlaen van de tetraëder zn: V = ½ AB, V = ½ BC, V = ½ CA, V 4 = ½ (C A) (B A). Dan s V + V + V + V 4 = ½ [ AB + BC + CA + (C A)(B A) ] = ½ [ AB + BC + CA + C B CA + AB + AA] = o. Dt resultaat an worden veralgemeend tot een gesloten veelvla en n zeere gevallen tot el gesloten oppervla. Door deze toepassng, s het soms aangewezen om een rchtng te geven aan een oppervla, en men spreet dan van een vector van een oppervla. 5. Bepaal de utdrung van het moment van een racht F met betreng tot een punt P. Het moment M van F met betreng tot P heeft een lengte gel aan F vermengvuldgd met de afstand van P tot de rchtng van F. Dus, als r de vector s de P verbndt met de oorsprong Q van F: M = F (r sn ) = rf sn = r /\ F

11 Vectoren en scalaren: producten. Als we n P een urentreer plaatsen loodrecht op het vla van r en F, dan zal wanneer de racht zch utoefent de urentreer zch verplaatsen n de rchtng van r /\ F. Daarom s een gepast het moment te defnëren als de vector M = r /\ F. 6. Een vast lchaam draat rondom een as door O aan een hoesnelhed. Toon aan dat de (lneare) snelhed v van een punt P van het lchaam, met een postevector r, gegeven wordt door v = /\ r, waar de vector s met lengte waarvan de rchtng en de zn deze zn van de verplaatsng van een urentreer n de rchtng van de gegeven draang. Net unnen

12 Vectoren en scalaren: producten. SUPPLEMENTAIRE OEFENINGEN 55. Evalueer: (a). ( + ), (b) ( - ). ( + ), (c) ( + ). ( + - ). Antw.: (a) 0 (b) -6 (c) 56. Als A = + - en B = Bepaal: (a) A. B, (b) A, (c) B, (d) A+B, (e) (A + B). (A - B). Antw.: (a) -0 (b) 4 (c) 6 (d) 50 (e) Bepaal de hoe gevormd door: (a) A = en B = (b) C = en D = Antw. : (a) 90 (b) arc cos 8/ = 6 6' 58. Voor wele waarden van a staan A = a - + en B = a + a - 4 loodrecht op elaar? Antw. : a =, Bepaal de scherpe hoeen de de rechte vormt de gaat door de punten (, -, ) en (, -5, ) met de coördnaatassen. Antw. : arc cos /, arc cos /, arc cos / of 48 ', 48 ', 0 '. 60. Bepaal de rchtngscosnussen van de rechte gaande door de punten (,, -4) en (, -, ). Antw. : /, /, -6/ of -/, -/, 6/. 6. Twee hoeen van een drehoe worden gevormd door de vectoren A = en B = Bepaal de hoeen van de drehoe. Antw.: arc cos / 5, arc cos 6/ 5, 90 of 6 4', 5 56', De dagonalen van een parallellogram worden gegeven door A = en B = Toon aan dat het parallellogram een rut s en bepaal de lengte van de zden en de grootte van de hoeen. Antw. : 5 /, arc cos /5, 80 - arc cos /5 of 4,; 8'; 0 5'. 6. Bepaal de proecte van de vector op de vector + +. Antw. : 8/. 64. Bepaal de proecte van de vector op de rechte gaande door de punten (,, -) en ( -, -4, ). Antw.:. 65. Als A = en B = - + -, bepaal dan een eenhedsvector loodrecht op zowel A als B. Antw.: ±( - - )/. 66. Bepaal de scherpe hoe gevormd door twee dagonalen van een ubus. Antw. : *arcsn / of 0 '. 6. Vnd een eenhedsvector evenwdg aan het vla xy en loodrecht op de vector Antw. : ±( + 4)/ Toon aan dat A = ( - + )/, B = ( + + )/ en C = ( + - )/ eenhedsvectoren zn de twee aan twee loodrecht op elaar staan. 69. Bepaal het wer verrcht door een voorwerp n bewegng op een rechte vanaf het punt (,, -) tot aan het punt (, -,4) n een rachtenveld gegeven door F = Antw : Bereen el van de volgende utdrungen: (a) /\ ( -4), (b) ( + ) /\, (c) ( - 4) /\ ( + ), (d) (4 + - ) /\ ( + ), (e) ( + - ) /\ ( - + 4). Antw.: (a) -8-6, (b) -, (c) , (d) - 0 -, (e) Als A = - - en B = + +, bepaal dan: (a) A /\ B, (b) (A+B) /\(A - B), (c) (A + B) /\ (A - B). Antw. : (a) 95. (b) , (c) Als A = + - en B = - +, vnd dan een vector met lengte 5 loodrecht op zowel A als op B. Antw. : 5( )/( + + ).

13 Vectoren en scalaren: producten. EN NOG WAT OEFENINGEN (UIT EEN VORIGE CURSUS) Vnd de (scherpe) hoe tussen de dagonalen van een verhoe met als hoepunten (0,0,0), (,,0), (4,6,0) en (,,0). Antw.: = 8 5' Een drehoe heeft de hoepunten A(,,-), B(-,,) en C(,-,). Vnd de lengte van de zwaarteln tegenover de zde AB. Vnd de proecte van de vector A = - + op de vector B = Antw.: Een eenhedsvector e B 4 4 gercht volgens B s e = (4-4 + )/9. De proecte van A op de vector B B 4 ( 4) wordt A.e = ( - + )(4-4 + )/9 = 9/9. Vnd een eenhedsvector n de rchtng van de resultante van de vectoren A = - +, B = + + en C = Antw.: )/89. Bereen (A+B)(A-B) als A = en B = + -. Antw.: 4. Bereen a zodang dat A = en B = + a - orthogonaal zn. Antw.: a =-4/. Als A = + +, B = - + en C = - 4 +, vnd dan de proecte van A + C n de rchtng van B. Antw.: /. Een drehoe heeft hoepunten A(,,), B(-,,) en C(,-,). Vnd de cosnus van de scherpe hoe de de zwaarteln t. o. v. AC maat met de zde BC. Antw.: cos = 9/4. Als A = - + en A = +, vnd dan AB. Antw.: AB = = Vnd (A+B)(A-B) als A = + en B = + -. Antw.: 5. Vnd een eenhedsvector loodrecht op de vla van de vectoren en A = en B = + -. Antw.: (+)/5. Illustreer de gelhed: AB = -BA n een teenng met een numere voorbeeld. Toon met een voorbeeld aan dat het vectoreel product van vectoren net noodzael assocatef s.