1 Rekenen met complexe getallen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Rekenen met complexe getallen"

Transcriptie

1 Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je complexe getallen kunt voorstellen als punten n het vlak. Maar voor complexe getallen gebruken we net de gewone vlakke coördnaten (x, y) maar een neuwe notatevorm: z = x + y. Met deze neuwe notate wordt rekenen met complexe getallen een eenvoudge zaak. Je leert hoe je daarmee complexe getallen moet optellen, aftrekken, vermengvuldgen en delen.

2 Rekenen. Bereken: a. (3 ) b. ( 3 ) c. (4 ) d. ( ) 3 e. 4 met complexe getallen. Bereken: a. ( ) b. ( 3 6 ) c. ( 4 ) d. ( 3 3 ) e. ( 3 ) Schrjf de volgende wortels n de vorm r waarbj r een postef reëel getal s. Voorbeeld: 5 = 5. Geef exacte antwoorden en vereenvoudg daarbj de wortels zo veel mogeljk (schrjf bjvoorbeeld 3 3 n plaats van 7)..3 a. b. c. d. e a. b. c. d. e Los de volgende verkantsvergeljkngen op. Geef ook her exacte antwoorden en vereenvoudg de wortels..5 a. x x + = 0 b. x + 4x + 5 = 0 c. x + x + 0 = 0 d. x 6x + 0 = 0 e. x 4x + 8 = 0.6 a. x x + 40 = 0 b. x 4x + 6 = 0 c. x + x + 4 = 0 d. x 6x + = 0 e. x + 8x + 0 = 0 De volgende opgave s een echte puzzelsom. Kom je er net ut, dan kun je achtern de oplossng bekjken. Maar eerst zelf proberen!.7 Bj het rekenen met wortels ut negateve getallen moet je oppassen zoals bljkt ut de volgende paradoxale afledng : = ( ) = ( ) = = Probeer de vnger te leggen op de wonde plek! Met andere woorden, welk van de ver geljktekens s (of zjn) ten onrechte gezet, en waarom? 4 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

3 Wortels ut negateve getallen Wortels ut negateve getallen Op school leer je dat er geen getal x bestaat waarvoor x =. Kwadraten zjn mmers noot negatef. Maar wat als we ons nu eens ndenken dat er wél zo n getal zou bestaan? Een getal, we noemen het (van magnar, dat wl zeggen denkbeeldg) waarvoor dus geldt dat = Je zou dat getal dan een wortel ut kunnen noemen: =. Ook ut andere negateve getallen kun je dan een wortel trekken als je de gewone rekenregels toepast. Zo s 6 een wortel ut 36 want (6 ) = 6 6 = 36 = 36 ( ) = 36. Net zo kun je laten zen dat 3 = 3, of dat = = 3 (bedenk daarbj dat = 4 3 = 3). Wat we egenljk hebben gedaan, s het bepalen van een oplossng van de vergeljkng x = a, waarbj a een postef getal s. We vonden a als oplossng, maar natuurljk s a dan ook een oplossng: ( a ) = ( ) ( a) = a ( ) = a. De volledge oplossng van de vergeljkng x = a s dus x = ± a. De abc-formule Als je een getal hebt waarvoor =, kun je ook elke verkantsvergeljkng oplossen, zelfs als de dscrmnant negatef s. Bjvoorbeeld x + x + 5 = 0. Kjk maar: x + x + 5 = 0 (x + ) + 4 = 0 (x + ) = 4 Dt geeft x + = ± oftewel x = + of x =. Waar het op neer komt, s dat je gewoon de bekende abc-formule kunt toepassen. De oplossngen van de verkantsvergeljkng ax + bx + c = 0 worden daarbj gegeven door x, = b ± b 4ac a Als de dscrmnant b 4ac negatef s, s 4ac b postef, en dan geldt dus b 4ac = (4ac b )( ) = 4ac b. In het voorbeeld herboven was a =, b =, c = 5 en b 4ac = 4 5 = 6, en dus geldt nderdaad x, = ± 4 = ±. 5 bron: craats

4 Rekenen met complexe getallen Bereken de volgende complexe getallen, teken ze n n het complexe vlak en bereken hun absolute waarde..8 a. ( ) + (3 4 ) b. (4 ) c. ( ) + ( + ) d. (4 6 ) ( 3 ) e. ( ) + (3 ).0 a. 3 b. 4 c. 5 d. 0 e a. ( )(3 4 ) b. (4 ) c. ( )( + ) d. ( 3 ) e. ( ). a. ( ) 5 b. ( ) 3 c. ( ) 7 d. ( + ) 3 e. ( ) 3 Alle complexe getallen z waarvoor geldt dat Re(z) = 5 vormen samen de vertcale ljn x = 5 n het complexe vlak. Teken de volgende ljnen n het complexe vlak.. a. Re(z) = 4 b. Re(z) = 3 c. Im(z) = d. Im(z) = e. Im(z) = Re(z).3 a. Re(z) + Im(z) = b. Re(z) = Im(z) c. Re(z) Im(z) = d. Re(z) + Im(z) = 5 e. Re(z) + Im(z) = Re(z) Im(z) Alle complexe getallen z waarvoor geldt dat z = 5 vormen samen de crkel met straal 5 en mddelpunt 0. Ga zelf na dat alle complexe getallen z waarvoor geldt dat z = 5 samen de crkel vormen met straal 5 en mddelpunt. Teken nu de volgende crkels n het complexe vlak en geef bj elke crkel het mddelpunt en de straal..4 a. z = 4 b. z = 3 c. z = d. z 3 = e. z + = 5.5 a. z + 3 = 4 b. z = 5 c. z + = d. z = 3 e. z + 3 = 6 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

5 Het complexe vlak Het complexe vlak Bj het oplossen van verkantsvergeljkngen zjn we nu ook getallen van de vorm a + b tegengekomen. Ze heten complexe getallen. Bjvoorbeeld + of 3 5. Je kunt zulke getallen bj elkaar optellen: ( + ) + (3 5 ) = 3. Of van elkaar aftrekken: ( + ) (3 5 ) = Of met elkaar vermengvuldgen: ( + )(3 5 ) = = = 7 +. Gewoon haakjes utwerken dus, en gebruken dat =. Een complex getal a + b lgt helemaal vast door de twee reële getallen a en b. Reële getallen kun je voorstellen als punten op een ljn, de reële getallenljn. Op net zo n maner kun je complexe getallen voorstellen als punten n het vlak, het complexe vlak. Daarn moet dan eerst een coördnatenstelsel gekozen zjn. Het complexe getal a + b hoort dan bj het punt met de coördnaten (a, b): b α = a + b -4 + α a Voor de punten op de x-as s b = 0. In plaats van a + 0 schrjven we dan gewoon a. En voor de punten op de y-as geldt a = 0. De schrjven we dan net als 0 + b maar gewoon als b. En voor schrjven we natuurljk gewoon. De x-as noemen we voortaan de reële as en de getallen daarop de reële getallen. De y-as heet de magnare as en de getallen daarop heten de magnare getallen. Complexe getallen worden vaak aangegeven met de letter z of met Grekse letters zoals α (alfa). We schrjven dan z = x + y of α = a + b. Als α = a + b een complex getal s, heet a het reële deel, notate a = Re(α), en b het magnare deel, notate b = Im(α). Het magnare deel s dus een reëel getal! Het getal a + b heet de absolute waarde van α, notate α. In plaats van absolute waarde wordt ook vaak het woord modulus gebrukt. De absolute waarde van α s de afstand van α tot de oorsprong (stellng van Pythagoras). (Als α een reëel getal s, s α dus de gewone absolute waarde van α.) 7 bron: craats

6 Rekenen met complexe getallen Bereken de volgende quotënten van complexe getallen, dat wl zeggen schrjf elk quotënt n de vorm a + b met a en b reëel..6 a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. d. e Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

7 Vermengvuldgen en delen Vermengvuldgen en delen Vermengvuldgen van complexe getallen s een kweste van haakjes utwerken en gebruk maken van =. Je hebt er n de vorge paragraaf al mee geoefend. Dat gaat altjd als volgt: (a + b )(a + b ) = a a + a b + a b + b b = (a a b b ) + (a b + a b ) Delen s het omgekeerde van vermengvuldgen. We zullen je een rekentruc leren om het quotënt van twee complexe getallen snel en eenvoudg te berekenen. Eerst met een voorbeeld: + 3 ( )( 3 ) = ( + 3 )( 3 ) = = = We hebben bj de derde stap n de noemer het reële getal 3 gekregen, en daarmee konden we vervolgens het quotënt utrekenen, dat wl zeggen schrjven n de vorm a + b. De truc bestaat bljkbaar ut het vermengvuldgen van teller en noemer met hetzelfde complexe getal (daardoor verandert het quotënt net). Dat getal s de zogenaamde geconjugeerde van de noemer. De geconjugeerde van een b α complex getal α = a + b s het getal a b, notate α. Je krjgt α door het teken van het magnare deel van α om te α klappen. In plaats van het geconjugeerde complexe getal zegt men ook wel het toegevoegd complexe getal (dat s de letterljke vertalng). De bovenstaande truc werkt omdat daardoor n de noemer een getal komt van de vorm 0 a αα = (a + b )(a b ) = a ab + ab b = a + b Dat s altjd een postef reëel getal (behalve als a = b = 0, maar dan s α = 0, en ook bj complexe getallen kun je net door 0 delen). In de vorge paragraaf s de absolute waarde α van α gedefneerd als α = a + b. Je zet dus dat αα = α en ook dat α = α. Wat je van het bovenstaande moet onthouden, s egenljk alleen maar dt: Bj vermengvuldgen moet je haakjes utwerken en gebruken dat =. Bj delen moet je teller en noemer vermengvuldgen met de geconjugeerde van de noemer. -b α _ _ α 9 bron: craats

8 Rekenen met complexe getallen Samenvattng Complexe getallen zjn getallen van de vorm α = a + b, waarbj a en b reële getallen zjn. Je kunt ze voorstellen als punten n het vlak waarn een coördnatenstelsel gekozen s. Het complexe getal α = a + b s dan het punt met coördnaten (a, b). Termnologe en notates: Als α = a + b dan heet a het reële deel en b het magnare deel van α. Als α = a + b dan heet α = a b de complex geconjugeerde van α. Als α = a + b dan heet α = a + b de absolute waarde of modulus van α. Dt s een net-negatef reëel getal. Het s de afstand van het punt α tot de oorsprong. In plaats van α = a + b schrjft men soms ook α = a + b. Het magnare deel staat dan net vóór de, maar achter de. Rekenregels: Optellen en aftrekken (coördnaatsgewjs): α + α = (a + b ) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) α α = (a + b ) (a + b ) = (a a ) + (b b ) Vermengvuldgen: α α = (a + b )(a + b ) = (a a b b ) + (a b + a b ) Dt s gemakkeljk te onthouden: haakjes utwerken en gebruken dat =. Bjzonder geval: αα = (a + b )(a b ) = a + b. Gevolg: αα = α. Delen: α α = α α α α = (a + b )(a b ) (a + b )(a b ) = (a a + b b ) + ( a b + a b ) a + b = a a + b b a + b + a b + a b a + b Ook dt s gemakkeljk te onthouden: teller en noemer vermengvuldgen met de complex geconjugeerde van de noemer en vervolgens haakjes utwerken. Voor reële getallen (dat wl zeggen complexe getallen a + b met b = 0) komen de rekenregels overeen met de gewone regels voor optellen, aftrekken, vermengvuldgen en delen. De complexe getallen vormen zo dus een utbredng van het systeem van de reële getallen met behoud van de gewone rekenregels. Je vndt de reële getallen op de horzontale as, de daarom ook de reële as heet. De vertcale as heet de magnare as. De getallen daarop heten de magnare getallen. 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

9 De meetkunde van het complexe rekenen In de eerste paragraaf van dt hoofdstuk leer je hoe je complexe getallen kunt zen als vectoren. De som en het verschl van twee complexe getallen zjn daarmee gemakkeljk meetkundg voor te stellen. Ook kun je zo op een eenvoudge maner crkels beschrjven. Vervolgens leer je een neuwe notate voor complexe getallen, de (r, ϕ)-notate, de verwant s aan poolcoördnaten. Met deze notate worden ook de rekenregels voor vermengvuldgen, delen en machtsverheffen meetkundg voorstelbaar. Daarbj speelt een beroemde formule van Leonhard Euler een belangrjke rol. We sluten dt hoofdstuk af met de behandelng van de complexe e-machtfuncte, de complexe snus en de complexe cosnus.

10 De meetkunde van het complexe rekenen. Heronder s steeds een tweetal complexe getallen α en β gegeven. Bereken telkens het complexe getal dat hoort bj de vector met α als begnpunt en β als endpunt. Maak voor jezelf ter controle ook steeds een tekenng. a. α =, β = b. α =, β = c. α = + 3, β = d. α = 4, β = 4 e. α = 8, β = 8. Teken bj elk van de onderdelen van de vorge opgave de vector de hoort bj het complexe getal α + β. Neem daarbj de oorsprong als begnpunt..3 Bepaal de vergeljkng van de volgende crkels en schrjf ze n de vorm zz αz αz + αα r = 0 Voorbeeld: de crkel met mddelpunt + en straal heeft als vergeljkng (z ( + ))(z ( )) = 4 en dt geeft na utwerken zz ( )z ( + )z = 0 a. De crkel met mddelpunt en straal 3 b. De crkel met mddelpunt en straal c. De crkel met mddelpunt en straal d. De crkel met mddelpunt + en straal e. De crkel met mddelpunt en straal Net elke vergeljkng de er op het eerste gezcht utzet als een crkelvergeljkng, stelt ook echt een crkel voor. Neem bjvoorbeeld zz =. Dat s geen crkelvergeljkng, want het lnkerld s voor elk complex getal z groter dan of geljk aan nul. Er zjn dus geen complexe getallen z de heraan voldoen..4 Ga na of de volgende vergeljkngen crkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan het mddelpunt en de straal. a. zz z + z = 0 b. zz + ( + )z + ( )z = c. zz + z z + 4 = 0 d. zz + z + z + 5 = 0 e. zz + ( )z + ( + )z = 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

11 Complexe getallen als vectoren Complexe getallen als vectoren Een vector n het vlak kun je je voorstellen als een pjl de van een begnpunt naar een endpunt loopt. Evenwjdge pjlen met dezelfde rchtng en dezelfde grootte stellen dezelfde vector voor. In het complexe vlak kun je bj elk complex getal α een vector maken door de pjl te tekenen de van de oorsprong naar het punt α loopt. De vector kan dan ook worden voorgesteld door de pjl de van een wllekeurg punt β naar het punt α + β loopt, want het punt α + β vormt samen met de punten 0, α en β een parallellogram (parallellogramconstructe van α + β). β 0 α + β α De vectorvoorstellng s handg als je het verschl β α van twee complexe getallen α en β n beeld wlt brengen: β α s de vector (pjl) de van α naar β loopt. Let op: om het complexe getal β α te vnden, moet je de pjl dus n de oorsprong laten begnnen. Voorbeeld: α = +, β = + dus β α =. De vectorvoorstellng s ook handg bj het werken met crkels. Als C een crkel s met mddelpunt α en straal r dan geldt dus voor elk punt z op C dat z β α β 0 α C z α = r Je kunt je z α voorstellen als de pjl de van α naar z loopt, en de moet dus lengte r hebben. In de fguur herboven s α = + genomen en r = 3. De crkel wordt dus gegeven door z ( + ) = 3, oftewel z + = 3. Soms s het ook handg om net met de absolute waarde te werken, maar gebruk te maken van w = ww (ze bladzjde 9) met w = z α. Dan kun je de vergeljkng van de crkel C met mddelpunt α en straal r dus schrjven als (z α)(z α) = r Bj de crkel herboven wordt dt dus (z + )(z + + ) = 9, ofwel, na haakjes utwerken, zz + ( )z + ( + )z 8 = 0 De eenhedscrkel, de crkel met mddelpunt 0 en straal, wordt gegeven door zz = α 0 3 bron: craats

12 De meetkunde van het complexe rekenen Van sommge hoeken hebben de snus en de cosnus bekende exacte waarden. Zo geldt bjvoorbeeld dat cos 6 π = 3, sn 6 π = en cos 4 π = sn 4 π = (ze bladzjde 66). Dat betekent dat de punten α en β n de tekenng hernaast ook mooe exacte rechthoekge coördnaten hebben, nameljk α = ( 3, ) en β = (, ). Wanneer je α en β als complexe getallen schrjft, krjg je dus β α π 6 π 4 0 α = 3 + en β = + De punten n de volgende opgaven lggen ook allemaal op de eenhedscrkel. Teken ze en geef hun argument (n radalen) n de vorm ϕ + kπ (waarbj k een wllekeurg geheel getal s). Voorbeeld: arg = π + kπ..5 a. b. c. d. + e a. b. 3 c. d. 3 + e. 3 Vermengvuldgen of delen van complexe getallen op de eenhedscrkel doe je door de argumenten bj elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken (ze de toelchtng op de tegenoverlggende bladzjde). Gebruk dt bj de volgende opgaven. Maak ze dus op een meetkundge maner; werk geen haakjes ut!.7 a. ( + ) b. ( ) 3 c. ( 3 + ) 3 d. ( 3 ) 5 e. ( 3 )( ).8 a. ( )/( 3 + ) b. ( ) /( 3 + ) c. ( )/( 3+ ) 3 d. ( 3 ) 6 /( 3 + ) e. ( + 3 ) 3 /( ) 3 4 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

13 Complexe getallen op de eenhedscrkel Complexe getallen op de eenhedscrkel Elk punt op de eenhedscrkel (de crkel met straal en de oorsprong als mddelpunt) heeft n rechthoekge coördnaten utgedrukt de vorm (cos ϕ, sn ϕ). Herbj s ϕ de hoek de de voerstraal (de verbndngsljn met de oorsprong) maakt met de posteve x-as (ϕ s de Grekse letter ph ). We meten ϕ n radalen, tegen de klok n (80 s geljk aan π radalen). De hoek s dan tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Als complex getal geschreven, s een punt op de eenhedscrkel dus altjd van de vorm z = cos ϕ + sn ϕ sn ϕ cos ϕ + sn ϕ Inderdaad geldt voor zo n getal dat cos ϕ+ sn ϕ = cos ϕ + sn ϕ = = ϕ 0 cos ϕ De hoek ϕ heet het argument van z, met als notate ϕ = arg(z). Het argument s tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Wat gebeurt er als je twee van zulke getallen, bjvoorbeeld z = cos ϕ + sn ϕ en z = cos ϕ + sn ϕ met elkaar vermengvuldgt? Dan s z z = (cos ϕ + sn ϕ )(cos ϕ + sn ϕ ) = (cos ϕ cos ϕ sn ϕ sn ϕ ) + (cos ϕ sn ϕ + sn ϕ cos ϕ ) Maar volgens bekende gonoregels (ze bladzjde 67) s en dus s cos ϕ cos ϕ sn ϕ sn ϕ = cos(ϕ + ϕ ) en cos ϕ sn ϕ + sn ϕ cos ϕ = sn(ϕ + ϕ ) z z = cos(ϕ + ϕ ) + sn(ϕ + ϕ ) Dt s dus weer een getal op de eenhedscrkel met als argument de som ϕ + ϕ van de argumenten van z en z. Met andere woorden: Het product z z van twee complexe getallen op de eenhedscrkel s weer een getal op de eenhedscrkel, en wel het getal dat als argument de som van de argumenten van z en z heeft. Voor het quotënt van twee van zulke complexe getallen geldt: Het quotënt z z van twee complexe getallen op de eenhedscrkel s weer een getal op de eenhedscrkel, en wel het getal dat als argument het verschl van de argumenten van z en z heeft. 5 bron: craats

14 De meetkunde van het complexe rekenen Door ϕ = π n te vullen n Eulers formule op de tegenoverlggende bladzjde krjg je e π = cos π + sn π = + 0 = dus e π + = 0 Ook dt s een beroemde formule van Euler. De vjf belangrjkste constanten ut de wskunde, e, π,, en 0 worden ern verengd. Bereken nu.9 a. e π b. e π c. e π d. e 3π e. e 4π.0 a. e 3 π b. e 3 π c. e 5 π d. e 3 6 π e. e 006π. a. e π e 3 π b. e 3π e π. a. b. e 4 3 π e 4 3 π e 3 π e 6 π c. e 3 π e π c. e 5 π e 3π d. e. e π e 3 π e 4 π e 3 4 π d. e. e 7 6 π e 3 π e π e 4π 6 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

15 De formules van Euler De formules van Euler Halverwege de achttende eeuw bewees de grote wskundge Leonhard Euler de formule e ϕ = cos ϕ + sn ϕ Wj gaan her net op Eulers argumenten n, maar presenteren deze formule op dt moment gewoon als een defnte, of, zo je wlt, als een verkorte notate. In plaats van cos ϕ + sn ϕ schrjven we voortaan e ϕ (of e ϕ ). Let op: het s net de bekende, reële e-machtfuncte de her staat, want de exponent ϕ s geen reeel getal, maar een magnar getal. En natuurljk zt er meer achter: later zullen we e z voor wllekeurge complexe getallen z defnëren (bladzjde ). In de vorge paragraaf hebben we afgeled dat sn ϕ ϕ 0 cos ϕ e ϕ = cos ϕ + sn ϕ (cos ϕ + sn ϕ )(cos ϕ + sn ϕ ) = cos(ϕ + ϕ ) + sn(ϕ + ϕ ) In de neuwe notate zet dat er een stuk overzchteljker ut: e ϕ e ϕ = e (ϕ +ϕ ) Net als bj gewone e-machten geldt dus ook her: bj het vermengvuldgen van magnare e-machten worden de exponenten bj elkaar opgeteld. En natuurljk geldt ook: e ϕ e ϕ = e (ϕ ϕ ) Bj het delen van magnare e-machten worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Als je n de eerste formule van deze paragraaf ϕ n plaats van ϕ nvult, krjg je e ϕ = cos( ϕ) + sn( ϕ) = cos ϕ sn ϕ Tel je de twee formules bj elkaar op, dan krjg je e ϕ + e ϕ = cos ϕ oftewel cos ϕ = e ϕ + e ϕ Trek je ze van elkaar af, dan krjg je e ϕ e ϕ = sn ϕ oftewel sn ϕ = e ϕ e ϕ Ook deze twee beroemde formules zjn van Euler afkomstg. 7 bron: craats

16 De meetkunde van het complexe rekenen Schrjf de volgende complexe getallen n de (r, ϕ)-notate. Gebruk daarbj de arctangensfuncte (nverse tangens) op een rekenmachne. Werk n radalen en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg..3 a. + b. 4 c. 3 d. 3 e. 3.5 Schrjf de volgende complexe getallen n de notate z = x + y. Gebruk daarbj een rekenmachne en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg. a. e b. 3e c. 0.e 0.3 d..e.5 e. e a. + b. c. d. 5 + e. 3.6 In deze opgave s z = 3e. Geef nu ook de volgende getallen n de (r, ϕ)-notate: a. z b. z c. (z) 5 d. z e. z n (n geheel).7 Gegeven zjn de complexe getallen z = e 5 en z = 3e. Laat met behulp van de (r, ϕ)-notate zen dat a. z z = z z ( ) z b. = z z z.8 Toon nu algemeen met behulp van de (r, ϕ)-notate aan dat voor alle complexe getallen z = r e ϕ en z = r e ϕ geldt dat a. z z = z z ( ) z b. = z z z Hnt: ga op dezelfde maner te werk als bj de vorge opgave, maar laat nu letters staan n plaats van getallen. 8 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

17 De (r, ϕ)-notate voor complexe getallen De (r, ϕ)-notate voor complexe getallen Elk complex getal z = x + y kun je schrjven n de vorm z = r(cos ϕ + sn ϕ) waarn r = z = x + y de absolute waarde van z, en ϕ = arg(z) het argument van z s, dat wl zeggen de hoek de de voerstraal (de verbndngsljn van z met de oorsprong) met de posteve x-as maakt. Herbj geldt x = r cos ϕ en y = r sn ϕ. De verkorte notate ut de vorge paragraaf geeft z = r e ϕ Men noemt dt wel de (r, ϕ)-notate of polare notate (omdat ze verwant s met poolcoördnaten). De (r, ϕ)-notate s bjzonder handg bj het vermengvuldgen en delen: z z = r e ϕ r e ϕ = r r e (ϕ +ϕ ) z z = r e ϕ r e ϕ = r r e (ϕ ϕ ) y e ϕ ϕ z = x + y = r e ϕ r 0 Bj vermengvuldgen worden de absolute waarden met elkaar vermengvuldgd en de argumenten bj elkaar opgeteld. Bj delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken. Voor het verband tussen x, y, r en ϕ geldt x = r cos ϕ, y = r sn ϕ r = x + y, tan ϕ = y x Hermee kun je de gewone notate z = x + y van een complex getal z omzetten n de (r, ϕ)-notate z = r e ϕ en omgekeerd. Er ztten echter een paar addertjes onder het gras bj de berekenng van ϕ als je x en y kent. In de eerste plaats s ϕ net gedefneerd als x = y = 0. Verder geldt: als x = 0, y > 0 dan s ϕ = π, en als x = 0, y < 0 dan s ϕ = π. In alle andere gevallen kun je ϕ berekenen met behulp van de arctangens-functe (de nverse van de tangens). Maar let op: de arctangens geeft altjd een utkomst tussen π en π. Voor getallen z = x + y n het lnkerhalfvlak (dat wl zeggen met x < 0) moet je daar dan nog π bj optellen: ϕ = arctan y x + kπ als x > 0 en ϕ = arctan y + π + kπ als x < 0 x Bedenk dat het argument tot op gehele veelvouden van π na bepaald s. x 9 bron: craats

18 De meetkunde van het complexe rekenen Schrjf de volgende complexe getallen n de notate z = x + y. Gebruk daarbj een rekenmachne en geef je antwoord n 4 decmalen nauwkeurg..9 a. e + b. e 3 c. e d. e.+.5 e. e a. e 3+ b. e c. e 3 d. e +5 e. e a. cos( ) b. cos(π + ) c. sn( ) d. sn( 3 ) e. sn(4π 3 ) In de volgende opgave ga je de functe w = e z n kaart brengen aan de hand van de onderstaande fguur. Van zo n complexe functe kun je net gemakkeljk een grafek tekenen, want zowel de z-waarden (de orgnelen) als de w-waarden (de functewaarden) bevnden zch n een vlak. Voor een grafek zou je dus ets verdmensonaals moeten tekenen, en dat kunnen we net. In plaats daarvan tekenen we twee complexe vlakken naast elkaar, een z-vlak en een w-vlak, en we geven daarn aan welke w-waarden bj welke z-waarden horen. We hebben al een begn gemaakt. z-vlak w-vlak π w = e z 0 0. a. Ga na dat het vertcale deel 0 y π van de y-as n het z-vlak op de aangegeven wjze wordt afgebeeld op de eenhedscrkel n het w-vlak. b. De beelden van z = 0 en z = π zjn n het w-vlak net helemaal correct getekend. Wat s er ms, en waarom zjn ze toch zo getekend? c. In het z-vlak s n de blauwe strook een aantal horzontale ljnen getekend. Ga preces na waarop de terecht komen n het w-vlak. d. Is er een punt z dat afgebeeld wordt op de oorsprong n het w-vlak? Zo ja, welk punt, zo nee, waarom net? e. Bepaal de beelden van de vertcale ljnstukken x =, 0 y π en x =, 0 y π n het z-vlak. f. Wat s het beeld van de gehele y-as? g. Bereken alle z de afgebeeld worden op w = n het w-vlak. 0 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

19 De complexe functes e z, cos z en sn z De complexe functes e z, cos z en sn z Je kent de reële e-machtfuncte e x en je weet dat e y = cos y + sn y Daarmee ken je dus de functe e z voor alle z-waarden de zuver reëel zjn en alle z- waarden de zuver magnar zjn. Voor wllekeurge complexe getallen z = x + y defnëren we nu e z = e x e y Met deze defnte geldt voor alle complexe getallen z en z dat e z +z = e z e z want e z +z = e (x +x )+ (y +y ) = e x +x e (y +y ) = e x e x e y e y = e x e y e x e y = e x + y e x + y = e z e z Voor alle gehele getallen k geldt e kπ =, dus e z+kπ = e z e kπ = e z Met andere woorden: de functe e z s perodek met perode π. Verder ze je dat e z = e x en dat arg(e z ) = y + kπ want e x e y s nets anders dan de polare notate voor e z met r = e x. Met behulp van de formules van Euler kunnen we nu ook de cosnus en de snus voor wllekeurge complexe getallen z defnëren: cos z = e z + e z en sn z = e z e z Ut het fet dat de e-macht perodek s met perode π volgt dan drect dat de cosnus en de snus perodek zjn met perode π, preces zoals je verwacht: cos(z + kπ) = cos z en sn(z + kπ) = sn z voor alle gehele k Zonder bewjs of nadere toelchtng vermelden we nog dat de functes e z, cos z en sn z ook gedfferenteerd kunnen worden, en dat de bekende regels en formules ook n het complexe geval geldg bljven. Zo geldt d dz (e z ) = e z met andere woorden: de e -machtfuncte s geljk aan zjn egen afgelede. Herut kun je met behulp van de somregel en de kettngregel ook de geldghed afleden van de bekende formules d dz (cos z) = sn z en d (sn z) = cos z dz bron: craats

20 De meetkunde van het complexe rekenen Samenvattng Je kunt complexe getallen zen als vectoren: het complexe getal α hoort bj de vector (pjl) de van de oorsprong naar het punt α n het complexe vlak loopt. Pjlen met dezelfde grootte en rchtng stellen dezelfde vector voor. Optellen van complexe getallen correspondeert met de vectoroptellng (parallellogramconstructe). Het complexe getal β α hoort bj de vector de loopt van α naar β. De crkel met mddelpunt α en straal r wordt gegeven door de vergeljkng (z α)(z α) = r Formules van Euler: e ϕ = cos ϕ + sn ϕ cos ϕ = e ϕ + e ϕ sn ϕ = e ϕ e ϕ De (r, ϕ)-notate (polare notate) van een complex getal z = x + y s z = r e ϕ. Herbj s r = z = x + y en x = r cos ϕ, y = r sn ϕ. Het getal r heet de absolute waarde of modulus van z, en ϕ heet het argument van z, notate ϕ = arg(z). Het argument wordt gemeten n radalen. Het s tot op gehele veelvouden van π na bepaald. Als x = 0 dan s tan ϕ = y/x en dan kan ϕ als volgt ut x en y berekend worden als x > 0 dan s ϕ = arctan y x + kπ als x < 0 dan s ϕ = arctan y x + π + kπ Bj vermengvuldgen van complexe getallen worden de absolute waarden met elkaar vermengvuldgd en de argumenten bj elkaar opgeteld. Bj delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken. De complexe e -macht: e z = e x+ y = e x e y = e x (cos y + sn y) Er geldt e z = e x met perode π. en arg (e z ) = y + kπ. De complexe e-macht s perodek De complexe cosnus en de complexe snus: cos z = e z + e z sn z = e z e z De complexe cosnus en de complexe snus zjn perodek met perode π. Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

21 3 Wortels en polynomen In dt hoofdstuk maak je kenns met complexe wortels en complexe polynomen. Je leert dat elk complex getal preces n complexe n-demachtswortels heeft, en bovenden dat de wortels n het vlak de hoekpunten vormen van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als mddelpunt. Je leert vervolgens wat complexe n-degraadspolynomen en complexe n-degraadsvergeljkngen zjn. De hoofdstellng van de algebra zegt dat elke complexe n-degraadsvergeljkng preces n oplossngen heeft, mts je ze op de juste maner telt. Tot slot leer je dat elk reëel n-degraadspolynoom gespltst kan worden n reële lneare factoren en reële kwadratsche factoren met een negateve dscrmnant.

22 3 Wortels en polynomen Bepaal alle heronder gegeven n-demachtswortels n de (r, ϕ)-notate (voor elke n-demachtswortel zjn er n mogeljkheden). Geef exacte antwoorden of antwoorden n ver decmalen nauwkeurg. Geef telkens ook met een tekenng aan hoe de n-demachtswortels de hoekpunten vormen van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als centrum. Als voorbeeld zjn heronder de zeven zevendemachtswortels 7 α getekend voor α = Hervoor geldt α.67 en arg(α) kπ zodat 7 α = 7 α.40 en arg( 7 α) = 7 kπ arg(α) dus 7 α.40 e ( kπ 7 ) voor k = 0,,..., 6 α 0 3. a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. d. e Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

23 Wat zjn complexe n-demachtswortels? Wat zjn complexe n-demachtswortels? We weten al dat = want =. Of egenljk zouden we beter kunnen zeggen dat = ± want ook ( ) =. Maar wat zou 3 zjn? Het moet een complex getal z zjn waarvoor geldt dat z 3 =. Kennen we zulke getallen? Jazeker, z = voldoet, want ( ) 3 =. Maar ook z = e 3 π voldoet, want ( ) z 3 = e 3 π 3 = e 3( 3 π ) = e π = En natuurljk voldoet ook z = e 3 π want daarvoor geldt dat z 3 = e π =. We vnden dus dre complexe getallen z waarvoor geldt dat z 3 =. Alledre kunnen ze aanspraak maken op de ttel 3. Anders dan bj de reële wortels maken we n de wskunde van de complexe getallen geen afspraken over een voorkeursbehandelng voor een van de dre wortels. Dat bljkt nameljk om allerle redenen net handg te zjn. Als we dus n het vervolg 3 opschrjven, moet ut de context dudeljk zjn welke van de dre wortels we bedoelen. - _ 3 π e _ 3 π 0 De voerstralen van de dre derdemachtswortels van maken onderlng hoeken van 3 π. De wortels zelf zjn de hoekpunten van een geljkzjdge drehoek met de oorsprong als centrum. Waarom dat zo s, wordt dudeljk als we de bepalng van 3 nog wat beter bekjken. We zoeken complexe getallen z = r e ϕ waarvoor z 3 =. Maar z 3 = ( r e ϕ) 3 = r 3 e 3 ϕ en dat moet geljk zjn aan. Omdat = en arg( ) = π + kπ moet r 3 = zjn en 3ϕ = π + kπ. Herut volgt r = (want r s een reëel getal dat net-negatef s) en ϕ = 3 π + 3 kπ. Voor k = 0, k = en k = krjgen we z = e 3 π, z = e π =, z = e 5 3 π = e 3 π Voor alle andere gehele waarden van k krjgen we ook weer één van deze dre wortels. Je zet dat het argument telkens met 3 π toeneemt, en na dre stappen ben je weer op je utgangspunt terug. Je kunt dt n het algemeen doen voor de derdemachtswortel ut een wllekeurg complex getal α = 0: n alle gevallen vnd je dre derdemachtswortels, en hun voerstralen maken onderlng hoeken van 3 π. Nog algemener, nu voor een wllekeurg postef geheel getal n: Elk complex getal α = r e ϕ met r = α > 0 heeft preces n n-demachtswortels, nameljk n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n e - _ 3 π 5 bron: craats

24 3 Wortels en polynomen z-vlak w-vlak w = z z-vlak w-vlak 3 w = 3 z = 3 3 z-vlak w-vlak 3 w = 3 z = Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

25 Waarom wortels meerwaardg zjn Waarom wortels meerwaardg zjn In de vorge paragraaf hebben we de n-demachtswortel ut een complex getal α gedefneerd als n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n waarbj er dus (tenzj α = 0) preces n verschllende mogeljkheden voor zo n wortel zjn. Bj de gewone verkantswortel ut een postef reëel getal, bjvoorbeeld 4, zjn er n prncpe ook mogeljkheden, nameljk en, maar bnnen de reële getallen hebben we de vaste afspraak dat we onder 4 altjd de posteve wortel verstaan, dus 4 =. Waarom doen we bj de complexe wortels net ook ets dergeljks? Je zou her toch ook heel goed een afspraak kunnen maken, bjvoorbeeld: kes altjd de wortel met een mnmaal net-negatef argument. De reden dat zoets net gedaan wordt, s dat de complexe wortels vaak gebrukt worden als functes of onderdelen van functes, en dat je bj het gebruk van zulke functes alleen maar last zou hebben van een dergeljke afspraak. Heronder lchten we dat toe aan de hand van enge voorbeelden. Neem eerst functe w = z. Een grafek van zo n functe kun je net zó maar maken, want zowel de z-waarden als de functewaarden bevnden zch n een vlak, dus voor een grafek zou je ver dmenses nodg hebben. In plaats daarvan werken we met een z-vlak en een w-vlak naast elkaar. Hernaast ze je n de bovenste fguur zo n llustrate. We bekjken de wortelfuncte w = z op een rnggebed om de eenhedscrkel n het z-vlak, waarbj we z laten begnnen n en vervolgens tegen de klok n langs de eenhedscrkel laten lopen. Als we = kezen n het begnpunt, loopt w vanaf w = ook langs de eenhedscrkel, maar met de halve snelhed want n dt geval s w = z = ( e ϕ = e ϕ) / = e ϕ Na één volledge omloop n het z-vlak s w = z n het w-vlak dus bj de andere wortel aangekomen, met andere woorden, nu geldt =. Zouden we nu een vaste afspraak voor de betekens van z hebben, dan zouden we onderweg ergens een sprong n de functewaarden moeten maken, en dat s gekunsteld. Hetzelfde doet zch voor bj eder pad n het z-vlak dat één maal rond de oorsprong loopt: je komt dan altjd van de ene tak van de wortel op de andere terecht. De oorsprong heet daarom een vertakkngspunt. Voor hogeremachtwortels geldt ets dergeljks. Hernaast s aangegeven hoe je bj de functe w = 3 z door n het z-vlak één maal om de oorsprong te lopen van 3 = bj 3 = e π /3 komt (tegen de klok n) of bj 3 = e π /3 (met de klok mee). Ook her zou een vaste afspraak voor 3 z alleen maar lastg zjn. 7 bron: craats

26 3 Wortels en polynomen Bepaal een tweedegraadspolynoom van de vorm p(z) = z + α z + α 0 dat de getallen z en z als nulpunten heeft, waarbj 3.5 a. z =, z = b. z =, z = 5 c. z =, z = d. z =, z = e. z = +, z = 3.6 a. z = 0, z = b. z =, z = c. z = 0, z = d. z = +, z = e. z = +, z = + Bepaal een derdegraadspolynoom van de vorm p(z) = z 3 + α z + α z + α 0 met z, z en z 3 als nulpunten waarbj 3.7 a. z =, z =, z 3 = 0 b. z =, z =, z 3 = 0 c. z =, z =, z 3 = d. z =, z =, z 3 = 3 e. z =, z =, z 3 = 3.8 a. z =, z =, z 3 = 3 b. z = +, z =, z 3 = c. z =, z = 0, z 3 = d. z =, z = 0, z 3 = e. z =, z =, z 3 = 8 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

27 Over n-demachtswortels en n-degraadspolynomen Over n-demachtswortels en n-degraadspolynomen We hebben gezen dat er dre derdemachtswortels ut zjn, nameljk, e 3 π en e 3 π. Voor het gemak schrjven we nu ρ = e 3 π en ρ = e 3 π (ρ s de Grekse letter rho ). De dre wortels zjn dan dus, ρ en ρ. De derdemachtswortels ut zjn de complexe getallen z waarvoor geldt dat z 3 =, met andere woorden, het zjn de oplossngen van de derdegraadsvergeljkng z 3 + = 0 ρ = e _ 3 π Nog weer anders gezegd, het zjn de nulpunten van het derdegraadspolynoom z 3 +. Maar bekjk nu eens de vergeljkng (z ( ))(z ρ)(z ρ) = 0 Het s dudeljk dat de oplossngen hervan ook geljk zjn aan, ρ en ρ. Zou het lnkerld msschen geljk zjn aan z 3 +? Werk de haakjes ut: - 0 ρ _ = e - _ 3 π (z ( ))(z ρ)(z ρ) = (z + )(z (ρ + ρ)z + ρρ) Maar ρ = + 3 dus ρ + ρ = en ρρ = (ga na!), zodat nderdaad (z + )(z (ρ + ρ)z + ρρ) = (z + )(z z + ) = z 3 z + z + z z + = z 3 + Wat we n dt bjzondere geval gezen hebben, bljkt n het algemeen te gelden: Als een n-degraadspolynoom p(z) = z n + α n z n + + α z + α 0 n verschllende nulpunten z, z,..., z n heeft, dan kan p(z) geschreven worden als p(z) = (z z )(z z ) (z z n ) In het bovenstaande voorbeeld was p(z) = z 3 + en z =, z = ρ, z 3 = ρ. In de vorge paragraaf hebben we telkens de n-demachtswortels van een getal α bepaald. Het bjbehorende polynoom was dan telkens van de vorm p(z) = z n α. We hebben gezen dat er dan nderdaad steeds n nulpunten (de n-demachtwortels) zjn, behalve n het flauwe geval dat α = 0. Hoe het n het algemeen zt bj een n-degraadspolynoom, behandelen we n de volgende paragraaf. 9 bron: craats

28 3 Wortels en polynomen 3.9 Heronder zjn telkens een polynoom p(z) en een getal α gegeven. Ga na dat steeds geldt dat p(α) = 0 en bepaal vervolgens het polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z α)q(z). a. p(z) = z 4 z 3 z, α = b. p(z) = z 4 z 3 + 3z 3z, α = c. p(z) = z 5 z 4 z +, α = d. p(z) = z 4 4z 3 + 5z 4z + 4, α = e. p(z) = z 4, α = f. p(z) = z 4 + z +, α = Hnt: Je kunt de bovenstaande opgaven gewoon oplossen door systematsch proberen, maar degenen de weten wat een staartdelng s, zullen merken dat het daarmee wel zo gemakkeljk gaat. Als voorbeeld geef k herbj de staartdelng de hoort bj het geval p(z) = 3z 4 7z 3 + 3z z en α =. Invullen laat zen dat α = een nulpunt s, dat wl zeggen dat p() = 0. De volgende staartdelng geeft je het quotëntpolynoom q(z) = 3z 3 z + z +. / z 3z 4 7z 3 + 3z z 3z 3 z + z + 3z 4 6z 3 z 3 + 3z z 3 + z z z z z z z Onderzoek bj elk van de onderdelen van de vorge opgave de multplctet van het nulpunt α en bepaal vervolgens ook de andere nulpunten van het polynoom p(z). 30 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

29 De hoofdstellng van de algebra De hoofdstellng van de algebra Voordat we verder gaan, geven we eerst een formele defnte van de term polynoom en een aantal daarmee verband houdende veel gebrukte termen. Defnte: Een polynoom (Engels: polynomal) s een functe van de vorm p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0. De complexe getallen α n, α n,..., α, α 0 heten de coëffcënten, en het complexe getal z heet de varabele. We veronderstellen altjd dat α n = 0 (want anders kun je de term α n z n beter weglaten). De andere coëffcënten kunnen wél nul zjn. Het getal n heet de graad van het polynoom. In plaats van polynoom wordt ook wel veelterm gebrukt. Bj elk complex getal z geeft zo n polynoom een complex getal p(z) als functewaarde. Als voor een zekere z 0 geldt dat p(z 0 ) = 0 dan heet z 0 een nulpunt van het polynoom. Het getal z 0 s dan een oplossng van de vergeljkng α n z n + α n z n + + α z + α 0 = 0 Zo n vergeljkng heet een n-degraadsvergeljkng. In plaats van een oplossng van de vergeljkng zegt men ook wel een wortel van de vergeljkng, zelfs al komen er n de schrjfwjze van zo n oplossng geen wortels voor. Voor elk n-degraadspolynoom p(z) met n > geldt de volgende stellng. Factorstellng: Als p(z) een nulpunt z 0 heeft, dan bestaat er een polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z z 0 )q(z). Je kunt dan dus een factor (z z 0 ) van p(z) afspltsen. Een eerstegraadspolynoom heet ook wel een lnear polynoom; de bjbehorende vergeljkng noemt men dan ook vaak een lneare vergeljkng. Een tweedegraadsvergeljkng heet ook wel een kwadratsche vergeljkng of verkantsvergeljkng. Verkantsvergeljkngen kun je oplossen met de abc-formule. Complexe verkantsvergeljkngen hebben altjd twee complexe oplossngen z en z. Het bjbehorende polynoom p(z) = α z + α z + α 0 kan dan geschreven worden als p(z) = α (z z )(z z ). Als de dscrmnant nul s, vallen z en z samen en dan geldt dus p(z) = α (z z ). In het algemeen geldt voor complexe n-degraadspolynomen de volgende stellng, de bekend staat als de hoofdstellng van de algebra en de voor het eerst bewezen s door C.F. Gauss n het begn van de negentende eeuw. Hoofdstellng van de algebra: Bj elk n-degraads polynoom p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 met n zjn er n complexe getallen z,..., z n zo, dat p(z) = α n (z z )... (z z n ). De getallen z,..., z n zjn de nulpunten van p(z). Ze hoeven net verschllend te zjn. Komt een nulpunt k maal voor, dan spreekt men van een k-voudg nulpunt; k heet de multplctet van het nulpunt. Elk n-degraadspolynoom met n heeft dus preces n complexe nulpunten als je ze elk met hun juste multplctet telt. 3 bron: craats

30 3 Wortels en polynomen 3. Splts de volgende reële polynomen n reële lneare factoren en reële kwadratsche factoren met een negateve dscrmnant. (Hnt: als je zo n ontbndng net drect zet, zoek dan eerst een nulpunt en gebruk de factorstellng.) a. z 3 + b. z 3 c. z 4 d. z e. z 4 + z + f. z 4 z + 3. Stel dat n een oneven getal s en dat p(x) = x n + a n x n + + a x + a 0 een reëel n-degraadspolynoom s. Ook zonder gebruk te maken van complexe getallen kun je bewjzen dat p(x) mnstens één reëel nulpunt heeft, nameljk door p(x) te schrjven als p(x) = x n ( + a n x + + a x n + a 0 x n ) en het gedrag van p(x) voor grote posteve en grote negateve x-waarden met elkaar te vergeljken. Geef zo n bewjs. Over het oplossen van n-degraadsvergeljkngen Bj verkantsvergeljkngen kan men de oplossngen vnden met de abc-formule. Ook voor derdegraads- en verdegraadsvergeljkngen zjn er zulke exacte formules. De zjn echter een stuk ngewkkelder; we behandelen ze her net. Voor n-degraadsvergeljkngen met n 5 bestaan er geen vergeljkbare algebraïsche methodes om op een dergeljke maner alle oplossngen te vnden. In zulke gevallen zal men zjn toevlucht vaak nemen tot numereke methodes waarmee de nulpunten kunnen worden benaderd. De hoofdstellng van de algebra garandeert dus dat er altjd n oplossngen zjn (mts geteld met de juste multplctet), maar de stellng geeft geen algemene methode om ze te vnden! 3 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

31 Reële polynomen Reële polynomen Wanneer alle coëffcënten van een polynoom reële getallen zjn, noemen we het een reëel polynoom. Het s dan van de vorm p(z) = a n z n + a n z n + + a z + a 0 voor zekere reële getallen a n,..., a 0. We veronderstellen weer dat a n = 0. Ook zo n reëel polynoom heeft n complexe nulpunten, maar de hoeven net reëel te zjn. Zo heeft p(z) = z + geen reële nulpunten. We kunnen wel drect zeggen dat er hoogstens n reële nulpunten zjn. Omdat reële polynomen natuurljk veel voorkomen, s het goed om er een aantal specale egenschappen van af te leden. De belangrjkste s de volgende stellng. Stellng: Als z 0 = x 0 + y 0 een net-reëel nulpunt s van het reële polynoom p(z) = a n z n + + a 0 dan s de geconjugeerde z 0 = x 0 y 0 ook een nulpunt van p(z). Het bewjs, dat heel eenvoudg s, berust op dre egenschappen de onmddelljk ut de defnte van geconjugeerde volgen:. Als a een reëel getal s, dan s a = a.. Voor elk tweetal complexe getallen α en β geldt α + β = α + β. 3. Voor elk tweetal complexe getallen α en β geldt αβ = α β. Ut de derde egenschap volgt n het bjzonder dat z k = (z) k voor elke k. Bewjs: Stel z 0 = x 0 + y 0 s een nulpunt van p(z), dus p(z 0 ) = 0. Dan geldt p(z 0 ) = a n (z 0 ) n + a n (z 0 ) n + + a z 0 + a 0 = a n z n 0 + a n z n a z 0 + a 0 = a n z n 0 + a n z n a z 0 + a 0 = p(z 0 ) = 0 = 0 Als er n de ontbndng p(z) = a n (z z )... (z z n ) een factor (z z k ) s waarvoor z k = x k + y k net reëel s, dan s er dus ook een factor (z z k ). We nemen ze samen en werken de haakjes ut: (z z k )(z z k ) = z (z k + z k )z + z k z k = z x k z + x k + y k Dt s een reëel kwadratsch polynoom met dscrmnant 4xk 4(x k + y k ) = 4y k. De s negatef, zoals verwacht. Afspltsen van de kwadratsche factor geeft een polynoom van graad n waarop we weer hetzelfde kunnen toepassen, enzovoort. We hebben hermee bewezen: Stellng: Elk reëel polynoom kan geschreven worden als een product van reële lneare polynomen en reële kwadratsche polynomen met een negateve dscrmnant. Een drect gevolg s dat de graad van een reëel polynoom zonder reële nulpunten altjd even s. Bjgevolg heeft elk reëel polynoom van oneven graad mnstens één reëel nulpunt. 33 bron: craats

32 3 Wortels en polynomen Samenvattng De n-demachtswortels van een complex getal α = r e ϕ zjn gedefneerd als n α = n r e ( n ϕ+ kπ n ) voor k = 0,,..., n waarbj er dus (tenzj α = 0) preces n verschllende mogeljkheden voor zo n wortel zjn. Ze vormen de hoekpunten van een regelmatge n-hoek met de oorsprong als mddelpunt. Een polynoom s een functe van de vorm p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 (met α n = 0) De complexe getallen α n, α n,..., α, α 0 heten de coëffcënten, en het complexe getal z heet de varabele. Het getal n heet de graad van het polynoom. Factorstellng: Als een polynoom p(z) van graad groter dan een nulpunt z 0 heeft, dan bestaat er een polynoom q(z) waarvoor geldt dat p(z) = (z z 0 )q(z). Je kunt dan dus een factor (z z 0 ) van p(z) afspltsen. Hoofdstellng van de algebra: Bj elk n-degraads polynoom p(z) = α n z n + α n z n + + α z + α 0 van graad groter dan of geljk aan zjn er n complexe getallen z,..., z n zo, dat p(z) = α n (z z )... (z z n ) De getallen z,..., z n zjn de nulpunten van p(z), met andere woorden, het zjn de oplossngen van de n-degraadsvergeljkng p(z) = 0. De nulpunten hoeven net verschllend te zjn. Komt een nulpunt n de bovenstaande ontbndng k maal voor, dan spreekt men van een k-voudg nulpunt; k heet de multplctet van het nulpunt. Elk n-degraadspolynoom met n heeft dus preces n complexe nulpunten als je ze elk met hun juste multplctet telt. Stellng: Elk reëel polynoom kan geschreven worden als een product van reële lneare polynomen en reële kwadratsche polynomen met een negateve dscrmnant. Gevolgen:. De graad van een reëel polynoom zonder reële nulpunten s altjd even.. Elk reëel polynoom van oneven graad heeft mnstens één reëel nulpunt. 34 Jan van de Craats: Complexe getallen voor wskunde D

Statica in een notendop

Statica in een notendop Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd

Nadere informatie

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 3 Toepassng: Codes Als toepassng van vectorrumten over endge lchamen kjken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementare kenns van vectorrumten, en van de volgende functe.

Nadere informatie

Verslag Regeltechniek 2

Verslag Regeltechniek 2 Verslag Regeltechnek 2 Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktugbouw deeltjd Cohort 2004 Inhoudsogave Inledng blz. 3 2 Oen lus eerste-orde systeem blz. 4 3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Complexe functies

Hoofdstuk 8 - Complexe functies Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte vwo D deel ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan,

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 21 mei 2006 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden

Nadere informatie

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 3--00, 4.00-6.30 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen

Nadere informatie

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters Het s net zo gebrukeljk om voor klene jachten een sleepproef te laten utvoeren. Zo'n proef s duur en daardoor vaak net rendabel. Toch loont een sleepproef de moete. Aan de hand ervan kunnen bj voorbeeld

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Correlate: eplorateve methoden Werktekst voor de leerlng Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vancaudenberg Statstek voor het secundar onderwjs

Nadere informatie

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder Waardeoverdracht Uw opgebouwde pensoen meenemen naar uw neuwe pensoenutvoerder In deze brochure 3 4 5 6 Gefelcteerd! Een neuwe baan Wel of net kezen voor waardeoverdracht? Vergeljk de regelngen Hoe waardevast

Nadere informatie

Rekenen met rente en rendement

Rekenen met rente en rendement Rekenen met rente en rendement Woekerpols? Lenng met lokrente? Er wordt met de beschuldgende vnger naar banken en verzekeraars gewezen de op hun beurt weer terugwjzen naar de consument: Deze zou te weng

Nadere informatie

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht Gemeentefonds verevent mnder dan gedacht Maarten A. Allers Drecteur COELO en unverstar hoofddocent aan de Rjksunverstet Gronngen De rjksutkerng aan gemeenten wordt verdeeld op bass van utgangspunten de

Nadere informatie

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be STUDIEBOEK Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethsptaels@gmal.com wskunde Breuken, procenten en kommagetallen Klenste gemeenschappeljk veelvoud Grootste gemeenschappeljke deler Romense cjfers Deelbaarhed

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool)

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool) Mddenkaderfunctonars bouw & nfra (Netwerkschool) MBO College voor Bouw, Infra & Intereur Door ondernemend te zjn krjg k meer verantwoordeljkhed. 2013-2014 BOL Nveau 4 Thorbeckelaan 184 Almelo Crebo: 22012

Nadere informatie

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Al cohol kenn s door gespeel d Eval uat eal cohol voor l cht ng doorpeer sopf est val s ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Evaluate alcoholvoorlchtng door peers op festvals December 2005 INTRAVAL Gronngen-Rotterdam

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april 2010. Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A.

C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april 2010. Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A. C.P. van Splunter Grote afwjkngen Bachelorscrpte, 2 aprl 200 Scrptebegeleders: prof.dr. F. Redg prof.dr. E.A. Verbtsky Mathematsch Insttuut, Unverstet Leden Inhoudsopgave Inledng 3 2 Bovengrens 6 3 Ondergrens

Nadere informatie

Dubbelplaneten. Vakantiecursus

Dubbelplaneten. Vakantiecursus Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december 2007 287 Raner Kaenders Semnar für Mathematk und hre Ddaktk Mathematsch-aturwssenschaftlche Fakultät Unverstät zu Köln Gronewaldstrasse 2 5093 Köln r.kaenders@un-koeln.de

Nadere informatie

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg

Getal & Ruimte. Uitwerkingen. vwo. complexe getallen. J. v.d. Meer H. v. Tilburg J vd Meer H v lurg Getl & Rumte vwo complee getllen Utwerkngen Hoofdstuk Complee getllen Neuwe getllen ( ( ( ( c ( ( ( d ( 7 7 e f ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( ( ( 9 d ( ln(,9, ( ln,77, c e d, 7 ( en, en

Nadere informatie

Scalair en vectorieel product

Scalair en vectorieel product (HOOFDSTUK, ut Theory and problems of Vector Analyss, door Murray, R. Spegel, Schaum s Seres, McGraw-Hll, New Yor). Scalar en vectoreel product SCALAIR PRODUCT. Het scalar product (of nwendg product) van

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

De Critical Bias van het Hamilton-spel

De Critical Bias van het Hamilton-spel De Crtcal Bas van het Hamlton-spel Lotte de Jonker 22 jul 20 Bachelorscrpte Begeledng: Dr. T. Müller KdV Insttuut voor wskunde Facultet der Natuurwetenschappen, Wskunde en Informatca Unverstet van Amsterdam

Nadere informatie

Een levensloopregeling voor software

Een levensloopregeling voor software Een levensloopregelng voor Neuwe benaderng - en nformatebevelgng De gebruker van een nformatesysteem streeft naar contnuïtet. De ongestoorde werkng van s hervoor essenteel. Maar wat weet de gebruker van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Technsche Natuurkunde Tentamen Optca 3NA7 Dnsdag 14 augustus 212 van 14. tot 17. uur Dt tentamen bestaat ut 4 vraagstukken met n totaal 12 deelopgaven en 1 pagna

Nadere informatie

Onderzoeksmethoden en techieken I

Onderzoeksmethoden en techieken I Naam:... Voornaam:... Studejaar en -rchtng:... MEERKEUZEVRAGEN Onderzoeksmethoden en techeken I Examen september 000 KLAD: omcrkel op het opgaven formuler telkens HET BESTE antwoord, er s telkens 1 best

Nadere informatie

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 Cats Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 ] Motverng vanjhet beroepschrft n cassate (rolnummer 10/00158) tegen de utspraak van het Gerechtshof te Arnhem van 1 december 2009, nr. 08/00145, j j/ nzake SËËÊÊÊÈÈÊÈtemÈ

Nadere informatie

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur,

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur, / - Mr. W. Nass Vrjstraat 2a Postbus 420 5600 AK Endhoven Tel 040-2445701 Fax 040-2456438 Advocatenkantoor Mr. W. Nass Het bestuur van de BOA. e-mal Neuwe Purrnerweg 12 na~kanooma.n 1025 VS Amsterdam nternet

Nadere informatie

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden?

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden? 3. Dagnostek 3.7. Hoe meet je verbeterng of verslechterng n het dageljks functoneren met betrekkng tot de mobltet (ztten, staan, lopen, verplaatsen) bj CP? 3.7.3 Welke meetnstrumenten zjn geschkt voor

Nadere informatie

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking Behoefte aan Archtectuur Lfecycle Management Ontvlechtng van ICT verest neuwe samenwerkng Bnnen de ICT s sprake van verzulng van zowel de systemen als het voortbrengngsproces. Dt komt doordat de ICT n

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 0 REEKS Naam:... Score /0 Voornaam:... Studerchtng:. Studentennummer:... Studerchtng (laatste) mddelbaar:. Uren wskunde per week (laatste mddelbaar):. Enkele belangrjke

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015 Bronnen & Methoden bj Marktscan medschspecalstsche zorg 2015 Hoofdstuk 2: Wachttjden voor medsch specalstsche zorg Ontwkkelng van wachttjden Voor de wachttjdanalyses s gebruk gemaakt van gegevens afkomstg

Nadere informatie

effectief inzetten? Bert Dingemans

effectief inzetten? Bert Dingemans archtectuur Is meten weten? Kwaltateve en kwanttateve analyse n archtectuurmodellen Kwaltateve en kwanttateve analyses kunnen de denstverlenng van de enterprsearchtect verbeteren. Toch s de nzet van deze

Nadere informatie

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl MRT/RT MKT/KT Wormwelreductoren www.trston.nl Het s tjd voor Trston! Natuurljk wlt u dat uw producteproces soepel verloopt. Trston helpt. Want met de wormwelreductoren van Trston kest u voor langdurge

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie GEVER WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP E!C16-1 GEVER 7 Bètawerelden De opdrachten van het Eureka!Cup sezoen worden geplaatst bnnen een van de 7 bètawerelden: Voedng & Vtaltet Mobltet & Rumte Lfestyle & Desgn Scence

Nadere informatie

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN.

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. - 8h -% RH www.quck-step.com www.quck-step.com Cement

Nadere informatie

Van beschrijvende naar verklarende statistiek

Van beschrijvende naar verklarende statistiek Hoofdstuk 5 Van beschrjvende naar verklarende statstek We hebben gezen n de beschrjvende statstek hoe we data grafsch kunnen voorstellen en samenvatten door centrum- en spredngsmaten als we beschkken over

Nadere informatie

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO werken en leren n de brugklas 2014-2015 Je groet op de RGO INhoudsopgave Voorwoord.........................................................................................................................................

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 15 Leerkern 16 1 Wat s model-drven development? 16 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 16 1.2 Systeemgenerate 16 1.3 Informate,

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Heerhugowaard Stad van kansen

Heerhugowaard Stad van kansen Heerhugowaard Stad van kansen Bestuursdenst I adves aan Burgemeester en Wethouders Reg.nr: BW 13-0415 Sector/afd.: SO/OV Portefeullehouder: S. Bnnendjk Casenr.: Cbb130383 Steller/tst.: E. Brujns Agenda:

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 3 Leerkern 4 1 Wat s model-drven development? 4 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 4 1.2 Systeemgenerate 4 1.3 Informate, presentate

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2011 2012 Integere programmerng voor cyclsche personeelsplannng Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Scence

Nadere informatie

Ontwerpen van programma s

Ontwerpen van programma s Volgens G. Polya (end jaren veertg) zjn er 4 stappen nodg om een algortme te ontwerpen: 1. Begrjp het probleem. 2. Tracht een dee te vormen over hoe een algortmsche procedure het probleem zou kunnen oplossen.

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting Zwaartepunten, traagedsmomenten en verdeelde belastng Opgeloste Vraagstukken 6.1 Een dunne draad lgt n de dredmensonale rumte en bestaat ut een kwadrant AB van een crkel samen met twee recte stukken BC

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Forse besparing op telefonie

Forse besparing op telefonie KleurRjk dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - februar 2015 Verder n deze neuwsbref: The Thunderbes maken razendsnel naam op nternet Forse besparng op telefone RvB en RvT bezoeken Berkenhofcollege

Nadere informatie

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen T-servcemanagement Zo krjg je wél grp op T-nvesterngen ntegrate van applcate- en projectportfolomanagement Met één druk op de knop een overzcht genereren van alle T-projecten en bjbehorende applcates (of

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004.

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004. Utwerkngen tentamen Statstek voor TeMa Maandag 8-3-4. Opgave a. Model: Y = β + β* x+ ε met ε ~ Nd(, σ ) Y s het energeverbruk, x s de omgevngstemperatuur.. Volgens het scatterplot n de bjlage ljkt er sprake

Nadere informatie

VDAB. Wanneer inschrijven? p Bij afstuderen:

VDAB. Wanneer inschrijven? p Bij afstuderen: AFGESTUDEERD wat nu? GEFELICITEERD Je hebt je dploma op zak of zegt de schoolbanken vaarwel om je op de arbedsmarkt te storten. Wat je ook studeerde, er komt heel wat op je af als je de schoolpoort achter

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Onderzoeksmethoden en techieken I

Onderzoeksmethoden en techieken I Naam:... Voornaam:... Studejaar en -rchtng:... MEERKEUZEVRAGEN Onderzoeksmethoden en techeken I Examen september 2000 KLAD: omcrkel op het opgaven formuler telkens HET BESTE antwoord, er s telkens 1 best

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

EH SmartView. Een slimme kijk op risico s en mogelijkheden. www.eulerhermes.nl. Monitoring van uw kredietverzekering. Euler Hermes Online Services

EH SmartView. Een slimme kijk op risico s en mogelijkheden. www.eulerhermes.nl. Monitoring van uw kredietverzekering. Euler Hermes Online Services EH SmartVew Euler Hermes Onlne Servces Een slmme kjk op rsco s en mogeljkheden Montorng van uw kredetverzekerng www.eulerhermes.nl EH SmartVew Montor uw rsco s en maak onmddelljk gebruk van neuwe kansen

Nadere informatie

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling B000012403 25 ĩ O Toelchtng adves gemeenteraad bj aanvraag aanwjzng als lokale publeke meda-nstellng Ì...Ï 1. Algemeen De wetgever heeft gekozen voor een s ys teem waarbj per gemeente, voor de termjn van

Nadere informatie

Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een

Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een Vloebaar-krstal schermen Wat s een vloebaar krstal? Wat jn de bouwstenen? Optsche egenschappen van vloebare krstallen. en vloebaar krstal n een aangelegd elektrsch veld. Vloebaar-krstal cellen en vloebaar

Nadere informatie

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th 3 Ladngseffecten treden ten eerste op wanneer een gegeven element ut het systeem de karakterstek van een vorg element beïnvloedt of wjzgt. Op haar beurt kunnen de egenschappen van dt element gewjzgd worden

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie.

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie. 1\1. H. CORBEY El'\ R. A JAT\SEJ'\ FLEXBLTET EN LOGSTEKE KOSTEN DE LOGSTEKE GELDSTROOMDAGt LOGSTEKE KOSTEN Voor het onderzoek 'Logsteke geldsrroomdagnose' zjn verschllendc utgangspunten geformuleerd. Ten

Nadere informatie

Aanvullende Opgaven Inleiding Besliskunde II 2010 2011

Aanvullende Opgaven Inleiding Besliskunde II 2010 2011 Last Update: 24 1 2010, Clff Voetelnk Aanvullende Opgaven Inledng Beslskunde II 2010 2011 Aanvullende Opgave 1: Routerngsprobleem (ILP) Dt s een aangepaste verse van opgave 2.3 ut het boek van Tms. Vrachtwagens

Nadere informatie

5.1 Elektrische stroom en spanning

5.1 Elektrische stroom en spanning 5. Elektrsche stroom en spannng Opgave a lleen elektronen kunnen zch verplaatsen en net de postef geladen kern. Omdat de ladng van emer postef s, s hj negatef geladen elektronen kwjtgeraakt. Je erekent

Nadere informatie

Regressie, correlatie en modelvorming

Regressie, correlatie en modelvorming Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate

Nadere informatie

Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur

Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur Kenmerk: TW6/SK/5/kp Datum: 9--6 Tentamen van Wskunde B voor CT (57) Tentamen van Statstek voor BIT (533) Vrjdag 7 januar 6 van 9. tot. uur Dt tentamen bestaat ut 9 opgaven, tabellen en formulebladen.

Nadere informatie

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α

De beeldpunten P en P van gelijke hoeken vallen samen. y 1 P=P' cos α 65 5 VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor Goniometrie. Gebruik de applets, 2, 3, 4,

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten, Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Rekenen met complexe getallen 1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Het Miller-effect

Hoofdstuk 5: Het Miller-effect Elektronca: Tweede kanddatuur ndustreel ngeneur 1 Hoofdstuk 5: Het Mller-effect 1: De feedback-capactet Bj elke reële versterker bestaat er een zogenaade feedback-capactet C f tussen de utgang (o) en de

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

flits+ Geen idee Ongeveer de helft? Wanneer is de vraag... Uh..? Ik weet het! bpfhibin.nl Ik verkoop mijn huis Wie dan leeft... Zien we dan wel weer

flits+ Geen idee Ongeveer de helft? Wanneer is de vraag... Uh..? Ik weet het! bpfhibin.nl Ik verkoop mijn huis Wie dan leeft... Zien we dan wel weer pensoen Hoeveel pensoen denk je dat je krjgt? Wat ontvang je egenljk als je met pensoen gaat? 5 prangende vragen aan drecteur Rob Braaksma Verantwoordngsorgaan De regelng n nfographc Feten, cjfers en wetenswaardgheden

Nadere informatie

Beperkt? Niet in de mode!

Beperkt? Niet in de mode! dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - 2015 - Nr. 3 Verder n deze neuwsbref: De projecten van RICHTPUNT 2015 Beperkt? Net n de mode! Vrenden van De Hondsberg ontvangen groot bedrag En nog

Nadere informatie

De Waarde van Toekomstige Kasstromen

De Waarde van Toekomstige Kasstromen De Waarde van Toekomstge Kasstromen De kosten van onderpandmnmalserng Jeroen Kerkhof, VAR Strateges BVBA Introducte Voor de fnancële crss hadden fnancële ngeneurs op bass van een aantal redeljke assumptes

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

ACCU-CHEK. Compact Plus. Gebruiksaanwijzing SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE

ACCU-CHEK. Compact Plus. Gebruiksaanwijzing SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE ACCU-CHEK Compact Plus SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE Gebruksaanwjzng Op het verpakkngsmateraal, het typeplaatje van de meter en de prkpen kunnen volgende symbolen voorkomen. De betekens hervan

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Clock Radio AR180D GB 2 NL 12 FR 23 ES 34 DE 45 EL 55

Clock Radio AR180D GB 2 NL 12 FR 23 ES 34 DE 45 EL 55 Clock Rado AR180D User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως GB 2 NL 12 FR 23 ES 34 DE 45 EL 55 Inhoudsopgave 1. Velghed... 13 1.1 Beoogd

Nadere informatie

Wmo inzicht. Scharnieren in de regio: Zuid Oost Brabant. december 2014 nummer 15. ⓮ Cliënt in. In dit e-zine: ⓬ Over de grenzen.

Wmo inzicht. Scharnieren in de regio: Zuid Oost Brabant. december 2014 nummer 15. ⓮ Cliënt in. In dit e-zine: ⓬ Over de grenzen. Wmo nzcht Gehandcaptenzorg Neuwe Stjl december 2014 nummer 15 ❸ Scharneren n de rego: Zud Oost Brabant In dt e-zne: Rdderkerk over de grenzen heen ❺ Aan de keukentafel met: Marga de Goej, wethouder gemeente

Nadere informatie

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.:

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.: 13INK00403 mn 11 Mnstere van Bnnenlandse Zaken en Konnkrjksrelates > Retouradres Postbus 200112500 EA Den Haag Burgemeesters Wethouders Gemeenteraadsleden Overhedsmedewerkers GEMEENTE HELLEN DOORN lchand.:

Nadere informatie

Prijs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD

Prijs ƒ 3.- OCTllCO' HA AD Prjs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD._,-, Ter nzage gelegde, j^-vk Octrooaanvrage Nr./ 7 3 1 4 8 6 0 Int. Cl. G 01 t l/l8. NEDERLAND ludenugsdatum: 25 oktober 1973? Datum van ternzageleggmg: 19 november 1974. 15

Nadere informatie

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Martjn Moest Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Auteur: Martjn Moest Begeleder:

Nadere informatie

Duratec Control. Gebruikershandleiding bij versie 1.0.0.0

Duratec Control. Gebruikershandleiding bij versie 1.0.0.0 Duratec Control Gebrukershandledng bj verse 1.0.0.0 De Duratec-vakspecalst Stempel Verse: 30-7-2014 2014 by Duratec Vergssngen en technsche wjzgngen voorbehouden Fabrkant Duratec, een merk van Vectron

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Den Haag, i g. Kenmerk: DGB 2013-5559

Den Haag, i g. Kenmerk: DGB 2013-5559 Den Haag, g NOV Kenmerk: DGB 2013-5559 Beroepschrft n cassate tegen de utspraak van de Rechtbank te 's-gravenhage X "Z van 3 oktober 2013, nr. 13/07712, op een beroepschrft van SHMRMMI tefj betreffende

Nadere informatie