Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting"

Bertha Moens
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Zwaartepunten, traagedsmomenten en verdeelde belastng Opgeloste Vraagstukken 6.1 Een dunne draad lgt n de dredmensonale rumte en bestaat ut een kwadrant AB van een crkel samen met twee recte stukken BC en CD, de evenwjdge met de z- en x-as georënteerd zjn, respecteveljk, zoals getoond n Fg Bepaal et zwaartepunt van de draad. Fg. 6-5 De plaatsbepalng van de zwaartepunten van alle dre segmenten s bekend of kan eenvoudg gevonden worden, en dus gebruken we een som. Voor x zw geldt er dan: x 1,,, zw L x zw L 1,, waarbj x zw, de afstand voorstelt van et z-vlak naar et zwaartepunt van elk segment, en L zw, de lengte van elk stuk, en we bescouwen de stukken AB, BC, en CD n de volgorde. Dan geldt er:

zjn, respecteveljk, zoals getoond n Fg. 6-5. Bepaal et zwaartepunt van de draad. Fg. 6-5 De plaatsbepalng van de zwaartepunten van alle dre segmenten s bekend of kan eenvoudg gevonden worden, en dus gebruken we een som.

2 1 x zw 8 5,7, zw 1,,,, 1, zw L L,68, z zw 1,,,, 1, zw L L z,7. 6. Bepaal et zwaartepunt van een dreoek. We gebruken et coördnatenssteem zoals n Fg Dan s de -coördnaat van et zwaartepunt: zw A da Fg. 6-6 Het s et eenvoudgste om een element zo te kezen dat etzelfde s voor alle punten n et element. Het orzontale gearceerde gedeelte n de fguur voldoet aan deze voorwaarden, en de elementare oppervlakte da van et element s sd. Dus, zw A sd Het product sd stelt et moment voor van et gearceerde element rond de x-as. Door evenredgeden n geljkvormge dreoeken te gebruken, volgt s/b - /. Door de waarde van s te vervangen n de vorge ntegraal, komt er zw / b d b d b x zw wordt gevonden door een geljkaardge redenerng.

Het orzontale gearceerde gedeelte n de fguur voldoet aan deze voorwaarden, en de elementare oppervlakte da van et element s sd.

3 6. Net Omdat et resultaat n et vervolg wordt gebrukt vermelden we et: Het zwaartepunt van een alve crkel met dameter op de x-as en met de -as als smmetreas s, r/ en dt van een kwart crkel n et eerste kwadrant begrensd door de x-as en de -as s r/, r/. 6. Het oppervlak OAB n Fg. 6-8 wordt begrensd door de coördnaatassen en de parabool H1 x /. Bepaal de x- en -coördnaten van et zwaartepunt van et oppervlak. Per defnte wordt de -coördnaat van et zwaartepunt gegeven door zw da 1. A Om de ntegraal te evalueren, selecteren we een dun vertcaal element gearceerd n Fg. 6-8 met oogte en breedte dx; et zwaartepunt van dt elementar rectoekg element lgt n et mddelpunt van de oogte, dat s, een afstand van / boven de x-as. Fg. 6-8 Het moment van dt element s dan /dx. De oppervlakte A n de noemer van I s dan de som de ntegraal van alle dergeljke rectoekge elementen. Daarom komt er dus: 1 x x dx H 1 dx zw H. dx x 5 H 1 dx De x-coördnaat van et zwaartepunt s x zw xda/a. We gebruken etzelfde rectoekge element en vnden zo dat: x xdx xh 1 dx x zw. dx x 8 H 1 dx 6.5 Bepaal et zwaartepunt van et gearceerde oppervlak n Fg. 6-9, dat et gebed s dat overbljft nadat een oek en een alve crkel van een rectoekg gebed wordt verwjderd. Fg. 6-9

Bepaal de x- en -coördnaten van et zwaartepunt van et oppervlak. Per defnte wordt de -coördnaat van et zwaartepunt gegeven door zw da 1.

4 Het gearceerde deel bestaat ut 1 een rectoek van 15mm bj mm, mn een dreoek van 15mm bj 75mm, mn een alve crkel. Vermts de zwaartepunten van en werden bepaald n vraagstukken 6. en 6., respecteveljk, s ntegrate net nodg en kan een endge som worden gebrukt. De -coördnaat van et zwaartepunt wordt gegeven door zw da/a. De teller, de et moment voorstelt van et gearceerde deel rond de x-as, kan worden geëvalueerd door et moment te nemen van de rectoek, mn dat van de dreoek, mn dat van de alve crkel. Dus: zw 65,8mm Op dezelfde wjze wordt de x-coördnaat van et zwaartepunt gegeven door x zw xda/a. De teller stelt er et moment voor van de rectoek, mn dat van de dreoek, mn dat van de alve crkel, rond de x- as. Dus: x zw 16,mm Bepaal et zwaartepunt van et I-profel van Fg Het zwaartepunt, dat op de -as lgt, eeft als coördnaat zw da/a. De doorsnede van et I-profel kan worden verdeeld n vjf rectoeken de et samenstellen, zoals getoond n de fguur, en de teller van de utdrukkng kan worden geëvalueerd door numerek optellen. Dus: Fg / zw 15,mm De orzontale as de gaat door et zwaartepunt werd n de fguur aangedud met x G. 6.7 Bepaal de x-coördnaat van et zwaartepunt van et gescaduwde gebed n Fg. 6-11, dat bestaat ut een kwadrant van een crkel waarut een klenere alve crkel werd verwjderd. Fg. 6-11

De teller, de et moment voorstelt van et gearceerde deel rond de x-as, kan worden geëvalueerd door et moment te nemen van de rectoek, mn dat van de dreoek, mn dat van de alve crkel. Dus: 1 1.5 15.

5 De x-coördnaat van et zwaartepunt van et gescaduwde gebed wordt gegeven door x zw Σ 1, x A / Σ 1, A. De plaats van et zwaartepunt van een crkelkwadrant werd gegeven n Vraagstuk 6.. De x- coördnaat van et zwaartepunt van een alve crkel lgt op de vertcale as van smmetre, d.w.z. op een afstand van / van de -as. Dus: x zw, Het lcaam ut Fg. 6-1 bestaat ut 1 een rectoekg blok, plus een klener rectoekg op een groter blok, plus een dreoekge wg op et rectse ende, mn een gat met een dameter van 1 cm geboord n et grotere blok, plus 5 een vaste crkelvormge scjf vastgemaakt aan de voorkant van et blok. Zowel de scjft als et gat zjn gecentreerd op de oogte van et grotere blok,,5 cm boven de xzas, zoals getoond. Bepaal de x-coördnaat van et zwaartepunt van et lcaam, rekenng oudend met de dmenses gegeven n de fguur. Fg. 6-1 De x-coördnaat van et zwaartepunt wordt gegeven door: x 1,,, zw V x zw V 1,, De twee sommen kunnen moo utgerekend worden n een tabelvorm, als volgt: Dus s x zw 716,/17,6 6, tot 6. 1 net Volume x zw, n cm V n cm x zw, V n cm , , ½ 5..1,5 11, ,5.1,5-1,178-1,6 5.1.,5 1,57.71 Totaal 17,6 716.

6-1 bestaat ut 1 een rectoekg blok, plus een klener rectoekg op een groter blok, plus een dreoekge wg op et rectse ende, mn een gat met een dameter van 1 cm geboord n et grotere blok, plus 5 een

6 5 Aanvullende vraagstukken 6. Een dunne draad n de dre dmensonale rumte bestaat ut een kwadrant van een crkel AB n et z-vlak, een rect stuk BC evenwjdg met de x-as en lggend n et x-vlak, en een rect stuk CDE dat ook n et x-vlak lgt maar zc utbredt over een afstand van onder et xz-vlak Fg Bepaal de plaats van de -coördnaat van et zwaartepunt van de draag. Ant. zw,165. Fg Bepaal de -coördnaat van et zwaartepunt van een parabolsc oppervlak georënteerd zoals getoond n Fg Ant. zw a/5. Fg Bepaal et zwaartepunt van de doorsnede van et kanaal getoond n Fg Ant. zw,1mm; x zw. Fg. 6-9

x-vlak, en een rect stuk CDE dat ook n et x-vlak lgt maar zc utbredt over een afstand van onder et xz-vlak Fg. 6-7.

7 6 6.5 Bepaal et zwaartepunt van et gearceerde deel n Fg. 6-, waarn een rectoek werd verwjderd ut een alve scjf. Ant. x zw ; zw 7 mm. Fg Bepaal et zwaartepunt van et gearceerde deel n Fg. 6-1, dat overbljft wanneer een geljkzjdge dreoek werd verwjderd ut een rectoek. Ant. x zw ; zw 1,5 mm. Fg Bepaal de -coördnaat van et zwaartepunt van et gearceerde deel n Fg Ant. zw, net. 6.9 Bepaal de -coördnaat van et zwaartepunt van et volume n Fg Ant. zw,67cm.

6-1, dat overbljft wanneer een geljkzjdge dreoek werd verwjderd ut een rectoek. Ant. x zw ; zw 1,5 mm. Fg. 6-1 6.

8 7 EXTA ut et andere boek 1.16 Bepaal et zwaartepunt van et volume getoond n Fg. 1-. Het gat van mm s geboord n et mddelpunt van et bovenvlak en staat loodrect op dat vlak. Ut de smmetre van de fguur volgt dat z zw 1 mm. Stel dat et parallelleppedum wordt genoteerd met 1, et dreoekge stuk met, en et clndervormge met. De waarden de nodg zjn voor de formules worden gegeven n de volgende tabel. Vorm V x zw zw ,5 1 6 x zw zw , 1. 76,6 mm , , 1. 7,9 mm , 1 Fg. 1- Fg Dre bollen met volumes 1, 15 en 5 cm zjn gestueerd met betrekkng tot een staaf zoals getoond n Fg. 1-. Bepaal et zwaartepunt van de dre volumes. Leg de x-as volgens de staaf. Een tabel geeft de ljst van gegevens. Vorm V zw z zw 1 cos - sn cos 5 6 sn cos 6 - sn x zw 16, cm , ,77 5,5 zw -1,58 cm 5-1,5 15 6,77 5,866 z zw -,86 cm 5 Merk op dat de getallen 1, 15 en 5 even goed gewcten of massa s kunnen voorstellen, want ervoor volstaat et ze te vermengvuldgen met un massadcted.

De waarden de nodg zjn voor de formules worden gegeven n de volgende tabel. Vorm V x zw zw 1 178 1 6 1 1 7,5 1 6 x zw zw 178 1.6 1.1-75, 1. 76,6 mm 178 1 1-75, 1 178 1. 1. - 75, 1.

Vergelijkbare documenten

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 3 Toepassng: Codes Als toepassng van vectorrumten over endge lchamen kjken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementare kenns van vectorrumten, en van de volgende functe.