1. In de hoofdstad van Ivoorkust, Yamoussoukro, meet men de lengte van 100 mannen (in cm) :

Transcriptie

1 . In de hoofdstad van Ivoorkust, Yamoussoukro, meet men de lengte van 00 mannen (n cm) : 68,6 56,4 66,8 85,5 77,3 0,8 77,3 97,3 75,5 69,5 7,7 70,9 90,0 79, 66,8 0,3 6,7 70,0 55,0 68,6 69,5 57,7 68,6 89,5 83, 59, 60,0 68, 7,3 6,8 90,5 86,4 78,6 6,8 97,7 73, 74,5 85,9 65,9 8,8 57,7 78, 7,4 75,0 63,6 83, 80,9 60,9 55,0 04,9 75,5 64,5 86,8 7,3 69,5 64, 67,3 8,8 76,8 80,0 74,5 85,9 65,9 8,8 57,7 78, 7,4 75,0 63,6 83, 70,9 77,3 90,0 55,0 83, 90,5 74,5 7,4 55,0 69,5 85,5 69,5 0,3 57,7 68, 6,8 8,8 83, 64,5 8,8 0,8 70,9 70,0 89,5 6,8 73, 78, 60,9 7,3 80,0 a) Stel een frequentetabel op met als eerste klasse 50,55. (Geef alle gegevens n als L op je rekenmachne en plot het (gewone) hstogram. Gebruk daarna de tracefuncte om alle frequentes af te lezen. Klasse x n cn f Genormalseerde frequente 50,55 5, ,60 57, ,0 60,65 6, ,06 65,70 67, ,03 70,75 7, ,034 75,80 77, ,06 80,85 8, ,06 85,90 87, ,06 90,95 9, ,008 95,00 97, ,004 00,05 0, ,0 05,0 07, (voor de genormalseerde frequente deel je de relateve frequente door de klassenbreedte) b) Teken een boxplot en dud alle relevante waarden aan. Je leest af dat xmn 55, Q 66,35, Me 7,95, Q3 8,8 en xmax 04,9.

2 c) Teken het bjhorende hstogram en bjhorend enkelvoudg frequentepolygoon. Zorg ervoor dat je assen zo gejkt zjn dat het frequentepolygoon kan opgevat worden als een dchthedskromme. Stop n L de klassemddens, nl 3 de frequentes de je n vraag a vond en defneer L 4 als de genormalseerde frequentes door te stellen dat L /00 / 5 4 L 3 - de relateve frequente gedeeld door de klassebreedte). (voor het hstogram en het enkelvoudg frequentepolygoon: ze het antwoord op vraag e). d) Bereken met behulp van je rekenmachne het gemddelde en de standaardafwjkng van deze steekproef. x 74, 59 en s,889 (je neemt s pv omdat het om een steekproef gaat). e) Teken (op dezelfde grafek als het hstogram) de bjhorende normale verdelngskromme. Kan je besluten dat de gegevens mn of meer normaal verdeeld zjn? De normale verdelngskromme (de groene dchthedskromme) s een vrj goede benaderng van de genormalseerde frequentepolygoon. De gegevens zjn dus nderdaad vrj normaal verdeeld. f) Hoeveel % van de mannen ut de steekproef meet meer dan 85 cm? Bereken dt exact met behulp van je rekenmachne. Bereken dt benaderend door ervan ut te gaan dat de verdelng normaal s. Exact s dt 9% van de steekproef en als we de normale verdelng gebruken komen we op 9,06% ut. Dt s nogmaals een bevestgng dat de normale verdelng een hele goede benaderng s.. De tjdsduur van lokale telefoongesprekken s normaal verdeeld met een gemddelde van 9,5 mnuten en een standaardafwjkng van 3 mnuten. a) Welke tjdsduur wordt door 5% van de gesprekken overschreden? 9,5 ; 3. N P a 0, 05P a 0,95a 4, Dus 5% van de gesprekken duurt langer als 4 6. b) Hoeveel procent van de gesprekken duurt mnder dan 5 mnuten? P 5 6, 68%

3 3. Als Mahamadou thus om 8u00 vertrekt naar school dan s hj twee derde van de keren te laat voor de les de stpt om 8u5 begnt. Vertrekt hj om 7u40 dan s hj slechts een achtste van de keren te laat. In de veronderstellng dat Mahamadou zjn restjd naar school normaal verdeeld s, hoe laat moet hj dan thus vertrekken om n net meer dan 5% van de gevallen te laat te komen? 3 van de tjd doet hj er langer over dan 5 mnuten P Z a 3P Z a 3a 0,4307, dus 5 0, van de tjd doet hj er langer over dan 45 mnuten 45 PZ a 8PZa 7 8a,503, dus,503.,503 45,503 45, *: 5 0, ,503,503 0, , , * 30, 4485 Mahamadou doet dus gemddeld 30'7" over de rt met een standaardafwjkng van '39". De tjdsduur T voor een rtje naar school s dus ongeveer normaal verdeeld met T N30,4485 ;,6496. P T t 5% P T t 95% t 5, 553. Mahamadou zal er dus n 5% van de rtten langer dan 5'5"op rjden. Hj moet om zeker te zjn voor 7u34 vertrekken. 4. Een munstuk wordt net zo vaak opgeworpen tot er kop verschjnt, of tot er dre keer na elkaar munt verschjnt. Bepaal de verwachtngswaarde en de varante van het aantal worpen. utkomst x p K MK 4 MMK of MMM Verwachtngswaarde: 7 E px Varante: 49 Varpx (Dus de standaardafwjkng s 0,896) 4

4 5. Bj het kaartspel Whst, n de volksmond wezen genoemd, krjgt edereen bj aanvang 3 kaarten utgedeeld. Noem de stochastsche varabele het aantal azen van één van de spelers. Bereken de verwachtngswaarde en standaardafwjkng en. utkomst x p verklarng 0 azen 0 0,3038 P azen aas 0,43885 P aas azen 0,349 P azen 3 azen 3 0,040 P azen 4 azen 4 0,0064 P azen C C 0 0, C5 C C 0, C5 C C 0, C5 C C 3 0, C5 C C 4 0, C5 Dus E 0.0,3038.0, , , ,0064 (kon je dt voorspellen?) En Var 0.0,3038.0, , ,0406.0,0064 0, ,84 6. In Spanje mogen de werknemers van frma Tammenont s mddags een sësta houden van maxmaal uur. De tjdsduur van de sësta kan beschreven worden door de stochast met als dchthedsfuncte f x cx, x 0,, met cr een constante. 0, x 0, a) Bepaal de waarde van de reële constante c opdat f wel degeljk een dchthedsfuncte s cx 8 3 cx dx c c b) Bereken hoeveel procent van de sësta s langer dan,5u duren P,5 x dx x 3 3,5 3 57,85% 8 8,5 8 64,5 c) Bereken de verwachtngswaarde en de standaardafwjkng van de contnue stochast. 3 3,5 8 3 xf xdx xdx en x f x dx x dx

5 7. Een koperen rng moet passen om een jzeren staaf. Dus de bnnendameter van de rng moet groter zjn dan de dameter van de staaf. Bj de producte van de rngen hangt de preceze waarde van de bnnendameter van het toeval af, net als de preceze dameter van de staven Y. Zowel als Y zjn dus stochastsche varabelen de utgedrukt worden n mllmeter. Stel nu dat N45; 0,3 en Y N44 ; 0,4 ( en Y zjn onafhankeljk van elkaar). a) Bereken de kans dat een wllekeurge rng om een wllekeurge staaf past n dt geval. Ook de stochast V Y s normaal verdeeld, met en 0,5. 0 0, , 75% Dus P Y P Y Y V Y b) Men beslst om de rngen met factor, en de staven met factor,5 te vergroten. Bereken n dat geval opneuw de kans dat een wllekeurge rng om een wllekeurge staaf past. Ook de stochast V ',,5Y s normaal verdeeld, met,,5,.45,5.44 3,4 en,.,5. 0,584. V Y,,5,,5 0 00% Dus P Y P Y 8. De nhoud van een blkje cola s normaal verdeeld met 33cl en 0,5cl. a) Je get dre blkjes cola ut n een glas van exact l. Wat s de kans dat het glas overloopt? De stochast 3C de de nhoud van dre blkjes cola weergeeft s ook normaal verdeeld: 3C N99; 0,5 3 Dus P3C 00 0,4, 4% b) Je koopt een verpakkng van 6 blkjes cola. Wat s de kans dat de gemddelde nhoud klener s dan 3,6cl? De stochast de de gemddelde nhoud weergeeft s ook normaal verdeeld: N33; 0,5 6 Dus P 3, 6 0, 050,5% 9. Leerlngen van het Oscar Romerocollege scoren gemddeld 84 op de eerste ronde van de wskunde olympade, met een standaardafwjkng van 0. Hoeveel leerlngen moeten we mnstens afvaardgen om 95% zeker te zjn van een gemddelde van mnstens 80? De stochast de het gemddelde van n leerlngen geeft s verdeeld als 0 N84,. n Rekenng houdend met de contnuïtetscorrecte worden punten vanaf 79,5 afgerond tot 80. P 79,5 P Z z 95% P Z z 5% z, We weten dat Y Dus moet er gelden dat 79,584, , 6449 n n 3, n 4,5 Vanaf 4 leerlngen zal het gemddelde dus met 95% waarschjnljkhed meer zjn dan 80.

6 0. Bj het spelen van Gutar Hero bljkt dat 8% van de spelers last heeft van hoofdpjn achteraf. Op een vrjgezellenweekend speelt een groepje van 0 vrenden s avonds Gutar Hero. a) Wat s de kans dat achteraf preces personen last hebben van hoofdpjn? Dt aantal s bnomaal verdeeld B0 ; 0,8 Dus P 0, 980 (ongeveer 30%). b) Wat s de kans dat mnstens 3 vrenden achteraf last heeft van hoofdpjn? P P 3 0, 68 (ongeveer 6%). Iemand goot een zuver muntstuk een even aantal keer en wl berekenen hoe groot de kans s dat preces de helft van de keren kop verschjnt. a) Bereken deze kans als hj 0 keer goot exact. Rond af op 4 decmalen nauwkeurg. P B 0, 0 0,76 b) Bereken deze kans als hj 0 keer goot met een normale benaderng. Rond af op 4 decmalen nauwkeurg. B 0, N0, 5 De contnuïtetscorrecte leert ons:, want np 0 0 en npq 0 5. P B 0, 0 P 9,5 N 0, 5 0,5 0,769 Het verschl tussen de antwoorden op de vorge vragen s net zo groot. Het bljkt dat, als het aantal keer gooen (n) groter wordt, dan het verschl tussen de antwoorden klener wordt. c) Leg ut waarom dat zo s Omdat de normale benaderng beter wordt als n groter wordt wegens de centrale lmetstellng. d) Bepaal met je GR vanaf welke n de normale benaderng mnder dan 0,000 verschlt met de exacte berekenng. Stel n x, dan s np x x en npq x x. Geef bj Y n je rekenmachne de functe n de het verschl aangeeft tussen de exacte waarde bnompdf,, en de benaderng met de normale verdelng normalcdf,,,. We kunnen dan eenvoudg aflezen dat het verschl klener wordt dan 0, vanaf n Als je om u s nachts langs de N4 naar hus rjdt heb je kans op 30 om een alcoholcontrole te moeten ondergaan. Hoeveel keer moet je daar passeren om u s nachts om 90% zeker te zjn dat je (mnstens) een alcoholcontrole tegenkomt? P B n, 30 P B n, % n 68 Dt kan echter ook zonder GRM: P Bn 9 log 0,, % 0, n 67,9 30 log 9 30 n

7 3. Voor de lengte L van een ledje ut een hele verzamelng ledjes geldt L N, 30 sec. L, met 4 mn en a) DJ Dder stelt een playlst samen van 6 wllekeurge ledjes. Hoe s de totale lengte van deze playlst verdeeld? Bereken het gemddelde en de standaardafwjkng. Ook de totale lengte Pl s normaal verdeeld met Pl en Pl b) Op een CD s er plaats voor 65 mnuten muzek. Bereken de kans dat Dder zjn playlst op één CD past als je weet dat de brandsoftware tussen elk ledje een pauze van seconde plaatst. Het gemddelde neemt dan toe met 5 seconden, dus Pl' 64, 5, maar de standaardafwjkng bljft dezelfde. L L 6 PPl ' 65 0, 646 Er s een vrj grote kans dat de playlst op de CD past: zo n 64,6% c) Bereken de kans dat er bj zo n playlst mnstens twee ledjes zjn de langer dan 5 mnuten duren. De kans dat één ledje langer dan 5 mnuten duurt s PL 5 0, 075 De kans dat er van de 6 ledjes mnstens twee langer duren s dan bnomaal te berekenen. We krjgen: PB p P B 6, p 6, 0, 0503, dus ongeveer 5% kans. L