Lucia de B. Gonny Hauwert 12 september 2007

Transcriptie

1 Luca de B Gonny Hauwert 12 september

2 Inhoudsopgave 1 Inledng 2 2 Berekenngen voor de rechtszaak Opmerkngen over deze methode 5 3 Statstsche toetsen Besprekng van de toetsen Vergeljkngen van de toetsen Data samenvoegen 12 4 Concluse 13

3 1 Inledng Deze scrpte gaat over de statstsche berekenngen de gebrukt zjn voor de rechtszaak van Luca de B. Zj s n jun 2004 door het gerechtshof n Den Haag veroordeeld voor 7 moorden en 3 pogngen tot moord. Zj heeft hervoor levenslang en TBS gekregen. Zj heeft n verschllende zekenhuzen gewerkt waaronder het Julana Knderzekenhus (JKZ en het Rode Krus Zekenhus (RKZ. De statstcus dr. Elffers s door de rechter gevraagd om een statstsch rapport te schrjven over de zaak. In eerste nstante heeft hj alleen berekenngen gedaan voor het JKZ, omdat alleen van dat zekenhus de gegevens vrj gegeven waren. In dt zekenhus zjn ze haar gaan verdenken, omdat er erg veel ncdenten tjdens haar densten plaats vonden (onder ncdenten worden sterfgevallen en reanmates verstaan. Op verzoek van de rechter zjn later ook berekenngen gedaan voor twee afdelngen van het RKZ waar ze n dezelfde perode gewerkt heeft. Men vroeg zch af of het toeval zou kunnen zjn dat Luca betrokken was bj al de ncdenten, terwjl ze onschuldg was. De rechter heeft tjdens de rechtszaak aan dr. Elffers gevraagd wat de kans s dat het toeval zou kunnen zjn dat Luca bj zoveel ncdenten aanwezg was. Dr. Elffers heeft utgerekend wat de kans s dat een wllekeurg persoon betrokken kan zjn bj zoveel ncdenten, als de ncdenten volgens toeval gebeuren. Waarom zjn deze berekenngen zo belangrjk en welke nvoeld hebben ze tjdens de rechtszaak gehad? Statstc geloofden dat er medsch bewjs was voor de moorden en de medc geloofden dat daar statstsch bewjs voor was. Dt heeft er toe geled dat de rechter Luca schuldg heeft bevonden. In deze scrpte zullen we kjken naar de berekenngen de dr. Elffers gedaan heeft, de aanmerkngen daarop en mogeljke verbeterngen. Hervoor worden alternateve statstsche toetsngsgrootheden besproken en met elkaar vergeleken. 2

4 2 Berekenngen voor de rechtszaak Tjdens de rechtszaak van Luca wlde de rechter weten of er sprake was van toeval of geen toeval, dat zj bj zoveel ncdenten aanwezg was. Om deze rede s er aan Dr. Elffers gevraagd om dt te berekenen. Hj heeft een methode gebrukt de per afdelng vraagt of het denkbaar s, dat gegeven het aantal ncdenten, de verdelng van de ncdenten over de verpleegkundge vergeljkbaar s met toeval. De methode neemt het aantal ncdenten en het totaal aantal densten dat alle verpleegkundge gedraad hebben als gegeven. Voor deze methode heeft hj twee aannamen gedaan. Ten eerste neemt hj aan dat de kans dat Luca aanwezg was tjdens een ncdent even groot s als voor elke andere verpleegkundge. Ten tweede heeft hj aangenomen dat de ncdenten onafhankeljk zjn voor verschllende densten. Het aantal densten per verpleegkundge s hermee hypergeometrsch verdeeld. In de volgende tabel staan de gegeven de bekend gemaakt zjn voor deze rechtszaak: Tabel1: JKZ met ncdent zonder ncdent totaal Denst waar Luca aanwezg was Denst waar Luca net aanwezg was Totaal Tabel2: RKZ-42 met ncdent zonder ncdent totaal Denst waar Luca aanwezg was Denst waar Luca net aanwezg was Totaal Tabel3: RKZ-41 met ncdent zonder ncdent totaal Denst waar Luca aanwezg was Denst waar Luca net aanwezg was Totaal Omdat dt de enge bekende gegevens zjn, heeft dr. Elffers verder nog een aantal aannamen gedaan. ameljk dat er een vaste kans p s op een ncdent tjdens een denst (de kans hangt er dus net vanaf of het een dag-, avond- of nachtdenst was. Daarnaast nam hj aan dat de ncdenten onafhankeljk van elkaar gebeurd zjn. Door te condtoneren op het totaal aantal densten en het aantal densten dat Luca wel en net heeft gedraad, kun je de kans berekenen dat Luca preces bj 0,1,2...,9 ncdenten aanwezg zou zjn. Dt s mogeljk met de formule voor de hypergeometrsche verdelng. De waarden n de onderstaande tabel worden als volgt benoemd: m s het totaal aantal densten van Luca n s het totaal aantal densten waar Luca net aanwezg was x s het aantal densten van Luca waarn een ncdenten plaats heeft gevonden y s het aantal densten waar Luca net aanwezg was en een ncdenten plaats heeft gevonden Tabel: met ncdent zonder ncdent totaal Denst waar Luca aanwezg was x m x m Denst waar Luca net aanwezg was y n y n Totaal z = x + y m + n x y m + n 3

5 De hypergeometrsche verdelngsfuncte zer er n dt geval als volgt ut: h(x = ( m ( n x ( y m+n z Door het gebruk van een condtonele verdelng hangt de kansverdelng van de ncdenten tjdens Luca haar densten net meer af van de onbekende parameter p. Dt wskundge model kunnen we beschouwen als het vaasmodel. Voor het JKZ heb je een vaas met 1029 knkkers, wat staat voor het totaal aantal densten n het zekenhus. Acht van deze knkkers zjn zwart, deze staan voor de densten met ncdenten zjn wt en staan voor de densten zonder ncdenten. We wllen de kans weten dat alle acht de ncdenten tjdens Luca haar densten per toeval plaats vonden. Dt kunnen we berekenen door 142 knkkers ut de vaas te pakken, welke staan voor het aantal densten dat Luca gedraad heeft. We kjken dan naar het aantal mogeljkheden waarop je 134 wtte knkkers en de 8 zwarte kunt pakken. Dr. Elffers heeft de volgende nulhypothese genomen: als de ncdenten allemaal per toeval zjn gebeurd dan zjn ze hypergeometrsch verdeeld. Hj verwerpt deze hypothese als de p-waarde klener s dan In hoofdstuk 3 gaan we deper n op statstsche toetsen. We kunnen nu de p-waarde en kans utrekenen dat Luca aanwezg was bj mnstens het aantal ncdenten dat ze heeft meegemaakt, verdeeld over haar densten op de verschllende afdelngen. We doen dt door de waarde van de hypegeometrsche verdelng van het aantal ncdenten waar ze aanwezg was te berekenen. Herbj tellen we de waarde van de hypergeometrsche verdelng van elke mogeljke groter aantal ncdenten op. We wllen nameljk de kans dat ze mnstens bj zoveel ncdenten aanwezg was bepalen. Voor tabel 1 van het JKZ geldt de volgende berekenng voor de p-waarde: h(8 = ( 142 ( ( = Dt geeft ook geljk de p-waarde, omdat ze bj alle ncdenten aanwezg was. Er s een correcte factor toegevoegd aan de p-waarde van het JKZ, omdat we de kans wlllen weten dat een wllekeurge zuster aanwezg s bj zoveel van de ncdenten. De waarde van het JKZ s daarom vermengvuldgd met het aantal zusters dat er werken, nameljk 27. Zo krjg je de kans dat een wllekeurge zuster acht van de acht ncdenten meemaakt. De p-waarde wordt dan = Dt geeft aan dat de kans dat Luca aanwezg was bj acht van de acht ncdenten ongeveer 1 op de s. Voor tabel 2 van het RKZ afdelng 42 geldt: h(5 = ( 58 ( ( = Deze tellen we op bj h(6 tot en met h(14. Dt geeft een p-waarde van De kans dat Luca betrokken was bj mnstens vjf van de 14 ncdenten s ongeveer 1 op de 14. Luca heeft maar één denst op afdelng 41 van het RKZ gedraad. Tjdens deze denst vond een stefgeval plaats. In de tjd dat zj er gewerkt heeft waren er totaal 366 densten en 5 ncdenten. Omdat zj er een erg korte perode heeft gewerkt kunnen we de p-waarde net op dezelfde maner berekenen. Dr. Elffers 4

6 heeft gekeken naar de kans, dat het toeval s dat Luca tjdens de ene denst één van de vjf sterfgevallen heeft meegemaakt. Hj kwam ut op = , oftewel een kans van ongeveer 1 op de 73. Bj het RKZ s de correcte factor net toegepast, omdat Luca toen al verdacht was. u zjn alle kansen van de verschllende afdelngen berekend en moeten ze nog samengevoegd worden om een utspraak te kunnen doen. Dr. Elffers berekende de kans dat Luca toevallg aanwezg was bj zoveel ncdenten, door de verschllende p- waarde te vermengvuldgen onder de gegeven condtes. De utendeljke p-waarde s volgens hem geljk aan = , oftewel een kans van ongeveer 1 op 342 mljoen. Dr. Elffers heeft er wel bj gezegd dat dt net bewjst dat Luca schuldg s. 2.1 Opmerkngen over deze methode Het staat net vast hoe je statstek n deze zaak kunt gebruken, maar we kunnen wel laten zen dat er op een heleboel punten aan de berekenngen van dr. Elffers getwjfeld kan worden. Een aantal wordt heronder genoemd. Hj heeft aangenomen dat de kans dat er emand overljd n één van de zekenhuzen overal even groot s. Herdoor vallen de kansen n zjn berekenngen tegen elkaar weg. Maar zjn de kansen wel aan elkaar geljk? In het JKZ werkte ze op de medum care waar redeljk ernstg zeke knderen lagen. In het RKZ heeft ze op twee verschllende afdelngen gewerkt waar oudere mensen lagen. Is de kans dat een knd n het JKZ overljd even groot als de kans dat er een ouder emand overljd n het RKZ? Dt s ets waar we net zeker over kunnen zjn. De gegevens van het JKZ wordt twee keer gebrukt n zjn berekenngen. Een keer om de verdachte te dentfceren en daarna om de p-waarden mee te berekenen. Hj gebrukt dus eerst de data om een hypothese op te zetten en daarna test hj de hypothese met dezelfde data. Vanwege deze reden heeft hj ook de correcte factor van 27 toegevoegd zoals beschreven wordt n de vorge paragraaf, maar s de correcte wel genoeg? Of deze methode heel realstsch s hangt af van de realtet van de aannamen de gemaakt zjn. Hoe realstsch s bjvoorbeeld de aanname dat de ncdenten wllekeurg verdeeld zjn over de densten van de zusters. Je kunt bjvoorbeeld bedenken dat er een correlate bestaat tussen de zusters en de ncdenten. Msschen overljden mensen vaker s nachts dan overdag. Een zuster de vaak nachtdensten draat heeft dan een grotere kans om een ncdent mee te maken. Een goede zuster zou alerter kunnen zjn op ontwkkelngen van crsssen en wordt eerder ngedeeld op moeljke densten zoals bjvoorbeeld de nachtdensten. Een aantal opeenvolgende ncdenten bnnen een korte tjd zouden msschen een gevolg kunnen zjn van veranderngen bnnen een afdelng. Een zuster zou n een bepaalde tjd meer kunnen werken door bjvoorbeeld vakantes van andere zusters. Een ncdent n denst n + 1 zou een gevolg kunnen zjn van ets dat n denst n gebeurt s. Als je naar kortere perodes gaat kjken hoeven de densten dus net meer geheel wllekeurg ngevuld te worden. Er kunnen dus onschuldge redenen zjn voor correlate tussen ncdenten en zusters. 5

7 Hj vermengvuldgt de dre p-waarden van de zekenhuzen met elkaar. Dt betekent dat hj aanneemt dat onder zjn nulhypothese de ncdenten totaal wllekeurg op elk van de dre afdelngen voorkomen en dat ze onafhankeljk over de afdelngen verdeeld zjn, maar met mogeljke verschllende aantallen bnnen de afdelngen. Door het vermengvuldgen van de p-waarden van verschllende afdelngen, kan je elke wllekeurge zuster de n genoeg verschllende zekenhuzen of op genoeg verschllende afdelngen werkt verdacht maken. De p-waarde wordt nameljk na elke vermengvuldgng klener. 3 Statstsche toetsen Een statstsche toets s een methode om na te gaan of een bepaalde veronderstellng, de nulhypothese, met de waargenomen data verworpen dent te worden. Als de nulhypothese net verworpen kan worden dan wordt deze geaccepteren, zj het bj gebrek aan bewjs. De gemaakte veronderstellng wordt verworpen als de waargenomen verschllen met wat verwacht was net meer op toeval ljken te berusten. De p-waarde geeft aan hoe extreem de gevonden waarde voor de toetsngsgroothed n de verdelng onder de nulhypothese s. Hoe klener de p-waarde, hoe extremer de utkomst. In de praktjk worden waarden van 5% en 1% aangehouden als grens; s de p-waarde klener, dan spreekt men van een sgnfcante, resp. sterk sgnfcante utkomst. Er zjn verschllende statstsche toetsen om je hypothese te toetsen. Her onder zal k een aantal relevante toetsen beschrjven, de mogeljk bj het toetsten van de hypothese aan de hand van de data voor de rechtzaak gebrukt kunnen worden. De ch-kwadraat toets. Deze toets wordt gebrukt om te zen of waargenomen aantallen systematsch afwjken van verwachte aantallen. Deze toets wordt vaak gebrukt om krustabellen te analyseren. In het geval van deze zaak kjkt de toets naar hoe moordlustg Luca n het RKZ was en n de andere zekenhuzen. Mantel-Haenszel toets. Deze toets s ontworpen om de alternateve hypothese met een grote p-waarde te verwerpen. Hermee bereken je het onderschedend vermogen van de onafhankeljkhed van de data. Fshers methode voor het combneren van verschllende tabellen. Fsher heeft een methode bedacht om verschllende p-waarden te combneren. Dt kun je bjvoorbeeld doen voor p-waarden de gebaseerd zjn op de Fsher s exact test. Er s ook nog de mogeljkhed om de data te combneren van de verschllende zekenhuzen. Dus als het ware alle densten op één hoop te gooen alsof alles n één zekenhus heeft plaats gevonden en vervolgens de p-waarde berekenen met de ch-kwadraat toets. 6

8 3.1 Besprekng van de toetsen Om een utleg te geven over de verschllende toetsen de n de vorge paragraaf genoemd zjn, begnnen we met het formuleren van de hypothese de we wllen toetsen. Er zjn dre afdelngen waar Luca gewerkt heeft en waar we de gegevens van hebben. Op deze afdelngen hebben meerdere ncdenten plaats gevonden n de tjd dat zj er gewerkt heeft. We zjn geïntereseerd n de volgende nulhypothese: n alle dre de afdelngen s er geen verband tussen de aanwezghed van Luca en de ncdenten. We gaan kjken naar de egenschappen van de verschllende toetsngsgrootheden onder de nulhypothese. Hervoor gebruken we de volgende 2x2 tabel: met ncdent zonder ncdent totaal Denst waar Luca aanw. was ˆp n = x n x n Denst waar Luca net aanw. was ˆq m = y m y m Totaal x + y n + m x y n + m met = 1, 2, 3 omdat er gegevens bekend zjn van dre afdelngen. Veronderstel dat X Bn(m, p en Y Bn(n, q onafhankeljk van elkaar. Herbj zjn X en Y het aantal ncdenten de tjdens respectveljk de densten van Luca m en de densten van de andere verpleegkundge n plaats hebben gevonden. Verder s p de kans op een ncdent als Luca denst heeft en q de kans op een ncdent als ze geen denst heeft. De ˆp en ˆq zjn de kansen de ut de gegeven data volgen. We begnnen met de ch-kwadraat toetsngsgroothed. Deze groothed zet er als volgt ut: 12 χ 2 ( j E j 2 = j=1 met j de dre keer ver cellen van de dre 2x2 tabellen. E j geeft het rjtotaal keer het kolomtotaal gedeeld door het totaal aantal trekkngen en j geeft de waarnemng. In ons geval geeft dt de volgende formule met de verschllende tabellen: E j χ 2 = 3 =1 ( (x n(x+y n +m 2 n (x +y n +m + + y m(x+y n +m + m (x +y n +m (n x (n x(n (x+y n +m (n x (n (x +y n +m (m y (m y(m (x+y n +m (m y (m (x +y n +m Onder de nulhypothese s χ 2 bj benaderng verdeeld als χ 2 3. Ten tweede de Mantel-Haenszel toetsngsgroothed. Deze wordt gegeven door de volgende formule: χ 2 MH = ( 3 =1 3 =1 n m n +m (ˆp ˆq n m n +m 1 ˆr (1 ˆr Om te begrjpen wat deze groothed doet, gaan we kjken naar de verschllende onderdelen. Hervoor hebben we de odds rato (κ nodg. De odds rato s de verhoudng tussen twee odds. De odds s een quotënt van waarschjnljkheden: de kans dat ets plaats vndt gedeeld door de kans dat het net plaats vndt. De Mantel- Haenszel toets s ontworpen om een goed onderschedngs vermogen te hebben, dat 7

9 wl zeggen dat κ voor alle afdelngen geljk s. De odds rato wordt gegeven door: κ = p 1 p q 1 q voor alle. Herbj s p de kans op een ncdent als Luca denst heeft en q de kans op een ncdent als Luca geen denst heeft. Als de odds rato geljk s aan 1 dan s de kans dat er een ncdent gebeurd tjdens de densten van Luca geljk aan de kans op een ncdent als zj net aanwezg s. We toetsen nu κ = 1 versus κ > 1. Het s mogeljk om q ut te drukken n p, voor de helderhed hebben we de ndex weg gelaten: κ = p 1 p q 1 q = p(1 q q(1 p p(1 q q = κ(1 p = p pq κ(1 p pq q + κ(1 p = q(1 + p κ(1 p = p κ(1 p q = = p κ(1 p κ(1 p+p κ(1 p = p κ(1 p + p κ(1 pp κ(1 p(κ(1 p + p Heraan kun je zen dat als κ groter wordt, wordt q klener. Dt geeft aan dat voor een grotere κ de kans op een ncdent tjdens Luca haar denst groter s dan de kans op een ncdent tjdens de densten van andere verpleegkundgen. eem S = 3 n m =1 n +m (p q. We bekjken een vast aantal tabellen en nemen aan dat de tabellen onderlng onafhankeljk zjn. eem m en n groot en κ = 1, omdat de nulhypothese ervan utgaat dat p = q. oem de kans p = q geljk aan r. Vervolgens kunnen we de varante van S bepalen: Var(S = = = ( n m n + m 2 ( p (1 p n + q (1 q m ( n m 2 n + m r (1 r n + m n m n m r (1 r n + m Schat p en q met ˆp en ˆq, omdat p en q onbekend zjn. Dt geeft dat r, ˆr wordt. De verwachtngswaarde van r veranderd als volgt: E[ˆr (1 ˆr ] = E[ˆr ] E[ˆr 2 ] = r (r 2 + r (1 r = r (1 r 1 r n + m n + m = n + m 1 n + m r (1 r Door het vervangen van r door ˆr wordt de verwachtngswaarde ets klener. Dt verklaart de n 1 n de noemer van de Mantel-Haenszel toets. De Mantel-Haenzel toetsngsgroothed geeft de som over de absolute waarde van S n het kwadaart met 8

10 een klene correcte voor klene steekproef aantallen. Vervolgens word dt gedeeld door de varante van S. Om wat meer over deze toets te kunnen zeggen gaan we de varante en de verwachtngswaarde van de toets utrekenen. Dt kunnen we doen door te condtoneren op de kolomtotalen x + y, wat ervoor zorgt dat alleen x varabel s, om vervolgens de score test toe te passen. De score toets s unform de meest krachtge toets om de nulhypothese κ = 1 versus κ > 1 te toetsen. Deze toets houd n dat je de afgelede van het logartme van P (x neemt. Waar κ x( ( m n x y P (x = P (X = x X + Y = x + y = x =x+y,m x =0,x+y y κx ( (. m n x x+y x We nemen eerst het logartme van P (x ( m log(p (x = xlog(κ + log( x leden dt vervolgens af naar κ: ( n y κ logp (x = x κ x =x+y,m ( ( m x log(κ x x =0,x+y y ( m ( n κ x x+y x ( m ( x x n x+y x n x + y x en bekjken dt onder de nulhypothese, waar geldt dat κ = 1 ( ( x m n x log(p (x = x x+y x ( κ m+n = x E κ=1 [X] = x x + y m + n m. x+y Voor alle tabellen samen volgt dan: κ log(p (x = = = = = x x + y m + n m m x + n x m x m y m + n n x m y m + n n m ( x y m + n m n n m (p q m + n Dt geeft voor de score toets: T = κ logp (x κ=1 = n m m +n (p q We gaan de varante en verwachtngswaarde van deze toets T bekjken. eem hervoor aan dat de steekproefgrootte s met = en = n + m, m = α en n = β met α en β vast en α + β = 1. De kansen p en q hangen af van, wat we als volgt noteren p en q en er geldt dat p p en 9

11 q p voor. We wllen κ dchtbj 1, daarom kjken we naar κ 1 = De nulhypothese wordt: δ = 0 versus δ > 0. Var( S = 1 = = ( n m n + m 2 ( p (1 p m + q (1 q n 1 α β 2 ( 2 ( p (1 p + q (1 q β + α β α 1 α β 2 ( 2 ( α + β p (1 p α + β α β δ. = = α β α + β p (1 p α β p (1 p S E[ ] = = = = = 1 n m p m n q n + m n + m 1 1 p p +κ(1 p α β 2p α β 2 α + β α + β 2 α β p (1 1 p +κ(1 p 1 α β p (1 1 1 p + δ(1 p α β p (1 (1 δ(1 p + O( 1 1 α β δp (1 p α β δp (1 p T Voor geldt: (δ α β p (1 p, α β p (1 p Ten derde de methode van Fsher om p-waarden te combneren. Om te zen wat deze groothed doet, kjken we naar zjn verdelng. Stel alle verschllende nulhypotheses zjn waar, voor alle k met k onafhankeljke toetsngsgrootheden T. Onder de nulhypothese s het product van alle p-waarden ongeveer unform (0, 1 verdeeld. Dan s 2 k =1 log(p-waarde 2Gamma(k, 1 = Gamma( 2k 2, 1 2 = χ2 2k verdeeld. Kjk nu naar de verdelng van T σ = Z dan s Z (δσ, 1 Z + δσ. Dt geeft 2 k =1 log(1 Φ 1 (Z + δσ met Φ de standaardnormaleverdelng. We kunnen net veel over deze methode zeggen. Alleen dat deze mnder goed s dan de van Mantel-Haenszel, de s nameljk gebaseerd op T, gegeven unform de meest krachtge toets. Ten verde gaan we alle data bj elkaar optellen. Om dt te mogen doen nemen we aan dat alle p s van de verschllende afdelngen geljk aan elkaar zjn. Dt s 10

12 hetzelfde als het kjken naar één zekenhus waarvoor we de volgende tabel hebben: met ncdent zonder ncdent Totaal Denst waar Luca aanwezg was Denst waar Luca net aanwezg was Totaal Dt heeft een χ 2 1 verdelng. 3.2 Vergeljkngen van de toetsen We wllen weten wat een goede toetsngsgroothed zou zjn om de data van de dre afdelngen waar Luca gewerkt heeft te combneren. Om dt te bepalen gaan we de alternatevehypotheses en de verwachtngswaarde vergeljken. We doen dt omdat we de toets wllen gebruken de de meeste zekerhed geeft dat als we Luca schuldg bevnden, dat ze ook daadwerkeljk schuldg s. Een toetsngsgroothed met een grote verwachtngswaarde en een net te grote alternatevehypothese geeft dt resultaat. We weten dat de nulhypothese voor alle toetsen p = q s. Eerst gaan we kjken naar de verschllende voorwaarden onder de alternatevehypothese. Voor de χ 2 groothed s de alternatevehypothese p q. Deze hypothese kjkt naar alle verschllende mogeljkheden voor p en q. Dt zjn alle mogeljke kansen op ncdenten bj alle verpleegkundge. De methode de er vanut gaat dat alles n één zekenhus gebeurd, s heeft als alternatevehypothese p q. Dt s ongeveer hetzelfde als de χ 2 methode. De alternatevehypothese van de Mantel-Haenszel groothed s p 1 p = η q 1 q met η > 0. Deze hypothese kjkt heel specfek naar de verhoudng tussen het wel of net betrokken zjn bj ncdenten van Luca ten opzchte van de andere verpleegkundge. Voor de Fshers combnate methode s de alternateve hypothese dat één of meer nulhypothesen net waar zjn zodang dat de p-waarde van de toets de negng hebben om heel klen te zjn. Dt s een eenzjdge toets en heeft dus een grote mogeljkhed voor het alternatef. u bekjken we de verwachtngswaarde van de veschllende grootheden. De ch-kwadraat methode s onder de nulhypothese bj benaderng verdeeld als χ 2 3. Dt geeft met dezelfde voorwaarde de we bj de Mantel-Haenszel groothed n de vorge paragraaf gegeven zjn dat: ( χ 2 3 δ ( = δ α β p(1 p, 2 α β p(1 p, 1 α β p(1 p Als we de verwachtngswaarde en varante ut de vorge paragraaf nvullen n de Mantel-Haenszel toetsngsgroothed dan geldt: MH 3 =1 ( = α β p (1 p α β p (1 p α β δp (1 p, α β δp (1 p α β p (1 p 2, 1 11

13 = ( δ α β p(1 p, 1 Om te weten te komen welke verwachtngswaarde het grootst s. Gaan we α β en α β met elkaar vergeljken. eem = µ, α +β = γ = 1 en α α +β = ϕ. Dt geeft voor de verwachtngswaarde van χ 2 3 het volgende: α β = = = = 2 µ γ ϕ µ γ (1 ϕ µ γ ϕ µ γ µ γ ϕ µ γ ϕ µ γ ϕ µ γ ( µ γ ϕ 2 µ γ ϕ ( µ γ ϕ 2 en voor Mantel-Haenszel α β = = µ γ ϕ γ (1 ϕ µ γ 2 ϕ (1 ϕ = µ γ 2 ϕ µ γ 2 ϕ 2 = µ γ ϕ µ γ 2 ϕ 2 Voor α en β geldt dat ze bede tussen 0 en 1 n lggen. We kunnen ze dus vergeljken met kansen, daarvoor s bekend dat E[X 2 ] E[X] 2 dus γ2 ϕ2 ( γ ϕ 2. Wat aangeeft dat de χ 2 groothed een betere toets s om te gebruken, onder de voorwaarden dat de gegeven p s allemaal geljk aan elkaar zjn en dat de α s allemaal verschllend zjn. Deze waarde van de χ 2 groothed s klener dan de van de Mantel-Haenszel dus de verwachtngswaarde s groter, wat een betere verwerpngskans geeft. Als alle α s hetzelfde zjn geldt de geljkhed. In paragraag 3.1 hebben we laten zen dat we net zo veel over de verwachtngswaarde van de methode van Fsher kunnen zeggen. Voor de methode om alle data bj elkaar op te tellen s de verwachtngswaarde geljk aan de van de χ 2 3 verdelng, alleen dan zonder de ndex. 3.3 Data samenvoegen We hebben voor een aantal berekenngen gebruk gemaakt van de aanname dat p = q voor grote, maar hoe groot s de fout de we maken als p q. Dt hebben we gebrukt bj het berekenen van de verwachtngswaarde en varante ven de Mantel- Haenszel toets en de Ch-kwadraat toets. Meer nformate en deze berekenngen zjn te vnden n het artkel The Cochran-Mantel-Haenszel test and the Luca the Berk case van Prof. dr. Rchard D. Gll. Hern laat hj zen dat als we p en q laten af hangen van een klene θ we een fout krjgen de afhangt van θ. Dt betekent dat de verwachtngswaarde van één van de toetsen geljk aan nul s, dus δ = 0 12

14 de verwachtngswaarde ongeljk aan nul zou kunnen zjn. Het kan fout gaan bj de afdelngen waar de kans op succes groot s. Dus als Luca relatef meer uren werkt op een afdelng waar veel ncdenten plaats vnden. 4 Concluse Luca de B. s veroordeeld voor 7 moorden en 3 pogngen tot moord. Voor haar rechtszaak zjn statstsche berekenngen gedaan. De vraag s hoe goed waren deze berekengen. Op een groot aantal punten zjn er aanmerkngen op de methode de gebrukt s. We hebben ver mogeljke andere methode/statstsche toetsngsgrootheden besproken de mogeljk beter zouden zjn om n het geval van Luca te gebruken. De methode van Fscher om de data van de verschllende afdelngen te combneren, ljkt mj het mnst geschkte alternatef. Deze s mnder goed dan de Mantel-Haenszel toets en we hebben er weng gegevens over. De methode om alle data bj elkaar op te tellen en er vanut te gaan dat alles n één zekenhus s gebeurd vnd k net zo realstsch. Je gaat er dan vanut dat de kans p op een ncdent tjdens een denst van Luca op alle verschllende afdelngen hetzelfde s. Dt s een aanname waarvan we net weten hoe realstsch deze s. Verder hebben we nog gekeken naar de Ch-kwadraat toets en de Mantel-Haenszel toets. De verwachtngswaarde van de Ch-kwadraat toets geeft een beter resultaat onder de aannamen de we gedaan hebben, maar de alternatevehypothese van de Mantel-Haenszel toets s meer gercht op wat we nodg hebben voor de rechtszaak van Luca. Deze hypothese kjkt nameljk heel specfek naar de verhoudng tussen het wel of net betrokken zjn bj ncdenten van Luca ten opzchte van de andere verpleegkundge. Dus onder de aannamen dat de steekproefgrote groot s ljkt de Mantel-Haenszel toetsngsgroothed de beste statstsche toets om te gebruken. 13

15 Referentes [1] T. Derksen, Luca de B., Veen Magaznes, Demen (2006. [2] Dr.H. Elffers, Verdelng reanmate- en overljdensgevallen n het Julana Knderzekenhus en Rode Kruszekenhus, (2002. [3] R.D. Gll, Elffers methode and Ellfers mstake, (2007. [4] John A. Rce, Mathematcal Statstcs and Data Analyss, Seccond Edtoan, Duxbury Press, Belmont, Calforna, (1995. [5] Joseph L. Fless, Bruce Levn, Myunghee Cho Pak, Statstcal Methods for Rates and Proportons, Thrd Edton, Wley, (2003. [6] R.D. Gll, The Cochran-Mantel-Haenszel test and the Luca the Berk case, (