Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur

Transcriptie

1 Kenmerk: TW6/SK/5/kp Datum: 9--6 Tentamen van Wskunde B voor CT (57) Tentamen van Statstek voor BIT (533) Vrjdag 7 januar 6 van 9. tot. uur Dt tentamen bestaat ut 9 opgaven, tabellen en formulebladen. Vermeld ook je studentnummer op je werk en tentamenbrefje. Opgave In zjn roman Bomber argumenteert Len Deghton dat een ploot n de tweede wereldoorlog % kans had neergeschoten te worden bj elke vlucht. In vluchten heeft hj dus 4% kans neergeschoten te worden. Is dt just of onjust? Motveer je antwoord. Opgave Is de bewerng P( B A) = P( B A) waar voor wllekeurge gebeurtenssen A en B? Zo ja: toon dt aan. Zo nee: geef een tegenvoorbeeld. Opgave 3 Het aantal brandmeldngen X n een bepaalde stad per dag wordt verondersteld Posson verdeeld te zjn met parameter μ =. 5. Het aantal vragen per dag voor brandweerhulp voor andere zaken Y s hervan onafhankeljk en heeft eveneens een Posson verdelng, met parameter μ = 3.. a. Bereken de kans P ( X + Y = ). b. Is Y X ook verdeeld volgens een Posson verdelng? Motveer je antwoord. c. Bepaal var( 3Y X ). Opgave 4 Spjkers worden vaak verkocht n dozen. De dozen worden gevuld aan de hand van het gewcht van de nhoud, echter men wl graag een mnmaal aantal spjkers garanderen. Stel het gewcht van (een bepaald soort) spjker s verdeeld met verwachtng. gram en met standaardafwjkng. gram. Om te vermjden dat er vaak of mnder spjkers n een doos terecht komen, vult men de dozen tot een nhoud van 3.6 gram berekt s. a. Benader de kans dat het gewcht van (wllekeurg gekozen) spjkers tenmnste 3.6 gram bedraagt. b. Ga na dat de kans van onderdeel a een klene kans s en verfeer dat deze kans klener wordt als vervangen wordt door een lager aantal.

2 Opgave 5 Een statstsch experment levert een stochastsche varabele X op de B (, p) verdeeld s, met onbekende succeskans p. a. Wat s de m.a. schatter van p( p)? b. Is deze schatter zuver? Zo ja: toon dt aan. Zo nee: bepaal een zuvere schatter van p( p). Opgave 6 Verschllen de dverse beroepsgroepen n hun eetgewoonten? Een Brts onderzoek vergeleek 98 chauffeurs en 83 conducteurs van Londense dubbeldekkers. De baan van de conducteur vraagt meer lchameljke actvtet. Het artkel waarn verslag wordt gedaan van de stude geeft de data als: Gemddeld dageljks verbruk ± de geschatte standaardafwjkng van het gemddelde. Enkele resultaten van het onderzoek staan heronder genoemd. (Ut J.W. Marr and J.A. Heady, Wthn- and between-person varaton n detary surveys: Number of days needed to classfy ndvduals, Human Nutrton: Appled Nutrton 4 A (986), blz ) Chauffeurs Conducteurs Alcoholconsumpte (grammen).4 ±.6.39 ±. a. Bereken (!) de steekproefstandaardafwjkng s van de dageljkse alcoholconsumpte van de chauffeurs van Londense dubbeldekkers. b. Bereken het 9%-betrouwbaarhedsnterval voor het verschl n verwachtngen tussen chauffeurs en conducteurs van de dageljkse alcoholconsumpte. Opgave 7 Een staalproducerend bedrjf maakt stalen platen ( cold reduced ) en s met name geïnteresseerd n de (gemddelde) hardhed (Rockwell 3-T) van een plaat staal als de onthardngstemperatuur op 5 graden Fahrenhet gesteld s. Om dt te schatten heeft men ten proeven genomen, resulterend n de volgende waarden voor de varabelen onthardngstemperatuur (x, eenhed: graden Fahrenhet) en hardhed (y): metng x y

3 fguur : y versus x In fguur s de varabele y utgezet tegen x. We onderzoeken wat het verband s tussen de twee varabelen. Daartoe gaan we eerst ut van enkelvoudge lneare regresse, met y als afhankeljke varabele en x als verklarende varabele. Voor de volgende vragen mag je utgaan van de volgende output. Analyss of varance df SS MS Regresson Resdual Total Estmates of regresson coeffcents B s.e. B Constant x x Steekproefgemddelde. Steekproefvarante.9 a. Geef de (gebrukeljke) schattng voor σ. b. Bereken de waarde van R. Geef commentaar op het resultaat. c. Bereken het 95%-betrouwbaarhedsnterval voor de verwachte hardhed bj een waarde van.5 voor x. 3

4 Opgave 8 We gaan nog steeds ut van de stuate van opgave 7. We proberen nu het model te verbeteren door te onderzoeken of kwadratsche regresse beter past bj de data. We nemen nu aan dat de waarden y utkomsten zjn van stochastsche varabelen Y = β x + U + βx + β waar de storngen U onderlng onafhankeljk zjn en N( μ, σ ) -verdeeld, de parameters β, β β en, 3 σ zjn onbekend. De volgende output hebben we verkregen: Analyss of varance df SS MS Regresson Resdual Total Estmates of regresson coeffcents B s.e. B Constant x x Toets de nulhypothese H : β = tegen de alternateve hypothese H : β. Gebruk herbj een onbetrouwbaarhedsdrempel van 5% en volg de laatste zes stappen van het schema van acht stappen, geplaatst aan het ende van dt tentamen. Opgave 9 Een machne de pakjes met poeder vult, levert net elke keer preces dezelfde hoeveelhed af. Er s een zekere spredng rond de ngestelde waarde. De afgeleverde hoeveelheden worden verondersteld onderlng onafhankeljk en normaal verdeeld te zjn met een standaardafwjkng van.75 gram. Om de kans klen te houden dat een koper van een pakje mnder dan 5 gram poeder krjgt, wl men de machne rum afgesteld hebben, nameljk met een verwachte afgeleverde hoeveelhed van 5.75 gram. Omdat het vermoeden bestaat dat de machne te laag s afgesteld, wordt van 5 aselect gekozen pakjes zeer nauwkeurg de nhoud gewogen. De gewchten zjn n grammen Deze gewchten worden opgevat als utkomsten van onderlng onafhankeljke stochastsche varabelen X, X,..., X 5 de N( μ,(.75) )-verdeeld zjn, met μ 4

5 onbekend. De nulhypothese H : μ wordt getoetst tegen de alternateve = hypothese H : μ < Besloten wordt H te verwerpen als X 5.75 X 5.75 T = =.33,.75/5.5 5 = X met = X. De utkomst van T bljkt. 7 te zjn. 5 a. Bereken de overschrjdngskans. b. Bereken het onderschedend vermogen van de aangegeven toets voor μ = 5.. Normerng. 3a 3b 3c 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b 7c 8 9a 9b Totaal: 35 punten Schema van acht stappen.. Formuleer het kansmodel.. Formuleer nulhypothese H en alternateve hypothese H n termen van de parameters van het kansmodel. 3. Formuleer een geschkte toetsngsgroothed n termen van de voorkomende s.v.-en. 4. Geef de kansverdelng van de toetsngsgroothed onder (het randpunt van) H 5. Bereken of geef de waarde van de toetsngsgroothed. 6. Bepaal de krteke waarde(n) en geef het krteke gebed. of * 6. Bereken de overschrjdngskans. 7. Formuleer de concluse omtrent het al dan net verwerpen van H bj de gegeven onbetrouwbaarhed(sdrempel). 8. Vermeld de concluse n gewone woorden. Bjlagen: N(,) -tabel, t -tabel, Enkele formules en formuleblad regresse. Tentamen voor ngekort programma Wskunde B voor master studenten: Dt tentamen bestaat ut opgaven 4, 7, 8 en 9 van bovenstaand tentamen. Te behalen punten voor ngekort Wskunde B: = 7 5