Meten en experimenteren

Transcriptie

1 Meten en expermenteren Statstsche verwerkng van gegevens Een korte nledng Ze syllabus voor detals 16 februar 2012 Catherne De Clercq

2 Statstsche verwerkng van gegevens Kursus Toegepaste Statstek door J. Schoukens In deze les wordt een samenvattng gegeven van de formules nodg n het practcum fysca Deel I: Toevallge veranderljken Bronnen van onzekerheden Bepalen van de statstsche onzekerhed op een groothed Steekproef, hstogram Karaktersate van de steekproef: gemddelde, varante, standaarddevate Centrale lmetstellng: normale of gausssche verdelng Herhaalde metngen: gemddelde en varante Deel II: Deel III: Deel IV: Voortplanten van statstsche onzekerheden Lnear verband tussen 2 grootheden Bepalen beste rechte met methode der klenste kwadraten Net lneare problemen Presentate van resultaten Aantal bedudende cjfers, afronden van getalwaarden Grafeken, tabellen, eenheden etc Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p2

3 Deel I Toevallge of stochastsche veranderljken Bronnen van onzekerheden Bepalen van de statstsche onzekerhed: Steekproef Hstogram Karaktersate van de steekproef: gemddelde, varante en standaarddevate Centrale lmetstellng: normale of gausssche verdelng Herhaalde metngen: gemddelde en varante Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p3

4 I. Toevallge veranderljken experment = metng van een bepaalde groothed x utgevoerd met een bepaald nstrument volgens een bepaalde procedure Een experment wordt meestal beïnvloed door verschllende factoren: vb bepalng verbruk van een auto, meten valversnellng Het resultaat t van een experment s meestal noot exact reproduceerbaar De verschllende waarnemngen of resultaten t van een experment vertonen een spredng Men noemt de groothed x (het resultaat t van het experment) een toevallge of stochastsche veranderljke Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p4

5 I. voorbeeld Ik meet het verbruk van mjn auto gedurende een jaar. Elke week noteer k welke afstand k afleg met een volle benznetank. Welke van deze factoren beïnvloedt het verbruk van mjn auto NIET? 1. Het gebed waar k rj s soms vlak, soms heuvelachtg 2. Er wordt benzne getankt bj verschllende merken: ESSO, BP, 3. Ik rj soms sportef soms rustg 4. Er s soms tegenwnd en soms geen wnd Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p5

6 I. Onzekerheden op een groothed Autoverbruk wordt elke week gemeten en men vndt verbruk ( l /100 km ) = 7, 2 7,3 7,1 6,9 7,5... De spredng s het gevolg van toevallge factoren Naast de waarde zelf s deze spredng een even belangrjke nformate voor de butenwereld Na 100 metngen bekomt men bvb x= 7,3 ± 0,2 l /100 km ( ) De spredng s te wjten aan de statstsche onzekerhed op de metng?? Hoe schat men de statstsche onzekerhed op een groothed? Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p6

7 I. Voorbeeld valversnellng Proef bepalng van de zwaartekrachtversnellng op 1 maart luchtkussenbaan gljder trekgewcht Tjdpoort A Tjdpoort B mg Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p7

8 I. Voorbeeld valversnellng Proef bepalng van de zwaartekrachtversnellng op 1 maart luchtkussenbaan gljder Exacte plaats waar gljder losgelaten wordt trekgewcht Tjdpoort A Tjdsmetng Chronometer 0,001s Tjden van enkele seconden Tjdpoort B Massa van trekgewcht en gljder Weegschaal 0,01g Massa s s 5 tot 20 g Afstand tussen de tjdpoorten Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p8

9 I. Voorbeeld valversnellng Veronderstel 1000 zorgvuldg utgevoerde metngen Resultaat s schattng van de valversnellng Hoe klener de spredng op de metngen hoe beter de kwaltet van de metng Student A neemt het gemddelde van zjn1000 metngen en bekomt g student A = g ±Δ g = g ± s ( ) g Betekens = de probabltet dat de juste waarde n het nterval g s, lgt s g g + sg 68% Probabltet dat juste waarde n het nterval g 3 sg, g + 3s g lgt s 0,3% Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p9

10 I. Bronnen van onzekerheden Statstsche onzekerheden Te wjten aan toevallge fluctuates n de metngen De onzekerhed op de concluse ut de metngen verklent wanneer men beschkt over een grotere steekproef Systematsche t onzekerheden Reproduceerbare afwjkngen te wjten aan slecht afgesteld apparaat Bvb amperemeter meet systematsch te hoge stroom De metngen herhalen geeft geen betere nauwkeurghed en geeft net meer zekerhed e e over de concluses cusesutde ut proef poe Blunders = fouten de net ngeschat kunnen worden Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p10

11 I. Bepalng statstsche onzekerhed: steekproef Om een groothed met statstsche onzekerhed te bepalen heeft men een steekproef nodg Men wl meestal ut het experment een fyssche groothed bepalen, bvb de valversnellng Elk experment wordt beïnvloed door verschllende wllekeurge factoren Het s dus best om een groot aantal expermenten ut te voeren, at random (wllekeurg) gekozen Dt s een steekproef waarut men concluses wenst te trekken over de fyssche groothed Men bekomt een verzamelng gegevens {x 1,x 2,x 3, x n } Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p11

12 I. Karaktersate steekproef Na het utvoeren van n expermenten beschkt men over een verzamelng gegevens {x 1,x 2,x 3, x n } Men kan deze verzamelng beschrjven met behulp van de volgende emprsche grootheden : Het aantal gegevens Het steekproefgemddelde: maat voor de locate van de gegevens De steekproefvarante en de -standaarddevate: maat voor de spredng van de gegevens De gegevens worden vaak grafsch voorgesteld n een hstogram Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p12

13 I. Hstogram - nledng Gegevens ndelen n klassen men telt het aantal per klasse Het hstogram geeft een eerste nformate over de utkomst van het experment: gemddelde en spredng, subklassen, De keuze van de breedte van de klassen hangt af van de nauwkeurghed waarmee men de groothed gemeten heeft, van het aantal gegevens Voorbeelden : Men zaagt 100 houten staafjes met de hand tot op een lengte van 200mm Men meet de lengte van 1100 wllekeurg gekozen mannen n Brussel Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p13

14 I. hstogram: 100 metngen lengte balk n 10 klassen van elk 1mm breed n 4 klassen van elk 2,5mm breed Het hstogram met 10 klassen geeft meer nformate over de spredng van de steekproef dan het hstogram met 4 klassen. Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p14

15 I. hstogram: Lengte 1100 mannen In 60 klassen van 1cm In 10 klassen van 6cm In 300 klassen van 0,2cm Het hstogram met 60 klassen geeft voldoende nformate over de structuur t van de steekproef en er zjn voldoende elementen n elke klasse. Het hstogram met 10 klassen geeft te weng nformate over de structuur. In het hstogram met 300 klassen zjn er n sommge klassen te weng elementen en s de spredng bnnen de klassen relatef te groot Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p15

16 I. Karaktersate steekproef Een steekproef met n metngen wordt gekarakterseerd door de volgende grootheden: Rekenkundg gemddelde: 1 n kental van de locate x schattng verwachtngswaarde μ n = 1 = x Steekproefvarante: s = ( x x ) 2 kental van de spredng n 1 schattng varante σ 2 = n Standaardafwjkng of standaarddevate s = s 2 Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p16

17 I. Gemddelde en standaarddevate Lengteverdelng van 100 staafjes van ongeveer 200mm Met de hand gezaagd => spredng Gemddelde waarde = 200mm Standaarddevate = 1mm Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p17

18 I. Centrale lmetstellng voor een onendg (heel groot) aantal metngen kan elke verdelng benaderd worden door de normale verdelng. Men tracht dus een zo groot mogeljk aantal metngen ut te voeren M.a.w. de theore van de onzekerheden mag gebaseerd worden op de normale verdelng ook voor klene steekproeven Voorbeeld : metng lengte staafjes met hand gezaagd ongeveer 200mm lang 100 of metngen Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p18

19 I. metngen lengte staafjes 100 metngen metngen + normale verdelng lengte(mm) Het hstogram met metngen benadert goed een normale verdelng Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p19

20 I. Normale of gausssche verdelng 1 gemddelde waarde μ = poste standaardafwjkng σ = spredng Waarschjnljkheds [0;0,45] verdelng f(x) ( x-μ ) f x = e 2σ ( ) σ 2π 1 N μ = lm x N N σ 2 1 = 1 N = lm N N = 1 ( x μ ) 2 freque ente [-2;0,7] [0;1] [0;2,24] 24] Groothed x Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p20

21 I. Normale of gausssche verdelng 2 68% van de metngen lgt n het nterval [µ-σ, µ+σ] 95% van de metngen lgt n het nterval [µ-2σ, µ+2σ] 99,7% van de metngen lgt n het nterval [µ-3σ, µ+3σ] 1 - ( x-μ) 2 f ( x) = e 2σ σ π 2 2 Probabltet om buten [µ-5σ, µ+5σ] te lggen s 6 x 10-5 Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p21

22 I. voorbeeld: just of fout? Twee studenten voeren de proef valversnellng ut. De gemddelde waarde n Belgë s g=9,81 m/s 2 De studenten t bekomen de volgende waarden g ( A ) = 10,0 ± 0,1 m s ( ) 2 g( B) = 9,86 ± 0,01 m s ( ) 2 1. Het resultaat van student A s n overeenstemmng met de verwachtng 2. Het resultaat t van student t B s n overeenstemmng met de verwachtng 3. Student A heeft een afwjkng van de zwaartekracht wet ontdekt 4. student B heeft ets neuws ontdekt Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p22

23 I. Centrale lmetstellng Steekproef s noot onendg groot. Men benadert verwachtngswaarde μ door rekenkundg gemddelde x varante σ 2 door steekproefvarante s 2 Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p23

24 I. Herhaalde metngen : gemddelde met onzekerhed De metngen herhalen levert een resultaat met een klenere statstsche onzekerhed Wanneer men N geljkwaardge metngen utvoert t van een groothed x, {x, =1,N}, dan zjn 1 N het steekproefgemddelde x = N = 1 2 de steekproefvarante ( ) 2 s x N 1 = x x N 1 Onzekerhed op het steekproefgemddelde ut voortplanten van onzekerheden = 1 s s s 2 2 = met = x x x 2 s N Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p24

25 I. Herhaalde metngen : gemddelde met onzekerhed x ± s N Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p25

26 I. In de praktjk : just of fout? metngen van de lengte van de staafjes met een bepaalde opstellng geeft een grotere onzekerhed dan 100 metngen 2. de statstsche onzekerhed hangt af van de nauwkeurghed van de toestellen 3. Als n de klas elke student 1 metng van de valversnellng utvoert bekomen ze alle dezelfde onzekerhed 4. Student A de 50 expermenten n 5 uur utvoert heeft n prncpe een beter resultaat dan student B de 20 expermenten utvoert n 2 uur Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p26

27 PAUZE

28 Deel II Voorplanten van statstsche onzekerheden Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p28

29 II. Bewerkngen met toevallge varabelen De metngen utgevoerd n een of meerdere expermenten zjn zelden zelf het endresultaat waarn men geïnteresseerd s De proeven utgevoerd n de fysca bestaan meestal ut metngen van verschllende grootheden, elk met een statstsche onzekerhed Bewerkngen met de metngen leden tot het endresultaat verwerkng van de gegevens Hoe moet men de statstsche onzekerhed bepalen op het endresultaat? Dt gebeurt d.m.v. voortplantng van onzekerheden Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p29

30 II. Voorbeeld: bepalng snelhed auto Voor één afstand x doen we N metngen van de tjd t x N keer Verband tussen de afstand en de tjd: x = v( t t ) + x veronderstel t = 0, x = De snelhed wordt dan v = x t Vraag: wat s de onzekerhed op de snelhed? Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p30

31 II. Voorbeeld: bepalng snelhed auto We doen 100 metngen van de tjd t We maken een hstogram van t Daarut halen we de gemddelde tjd met statstsche onzekerhed Het juste antwoord s t 1) t = ( 200 ± 1) s 2) t = 200 ± 3 s ( ) 3) t = 200,00 ± 0,1 s ( ) Tjd t (sec) Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p31

32 II. Voorbeeld: bepalng snelhed auto v = x t gemddelde tjd met onzekerhed kan berekend worden ut 1 t N = t N = 1 1 N 1 N = 1 s = t ( t t ) 2 De afstand s gekend met een onzekerhed s x N Vraag: wat s de onzekerhed op de snelhed? v ± s v Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p32

33 II. Voorplanten van onzekerheden 1 beschouw een varabele z=f(u,v), een functe van 2 varabelen u en v bvb snelhed als functe van afstand en gemddelde tjd Voor elke metng van z geldt f( u, v ) Voor N metngen {z, =1,N} bekomt men het gemddelde z en de varante z = z 1 N 2 = z ( z -z ) z N = N 1 N 1 σ = lm N =1 2 =? Vraag s z f( ( uv, ) Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p33

34 II. Voorplanten van onzekerheden 2 N N 2 1 σ z = lm z -z N =1 ( ) 2 z =?? f ( uv, ) Voor een lnear verband geldt deze relate altjd, bvb eenparge bewegng x= vt+ x z = vu+ C 0 Voor een net-lnear verband geldt deze relate bj benaderng, bvb eenparg versnelde bewegng x= at + v 0t+ x 0 1 a 2 C 1 C 2 z = u + u+ 2 De functe f(u,v) wordt rond het gemddelde gelnearseerd Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p34

35 II. Voorplanten van onzekerheden 3 Dt geschedt door een ontwkkelng n Taylorreeks rond het punt ( u, v) enkel 1ste orde behouden f f f( u, v) = f( u, v) + ( u u) + ( v v) +... u v uv, uv, f(x) Functe wordt benaderd door raakljn Voorbeeld: Parabool of eenparg versnelde bewegng x f ( ) 2 f x = x 6x+ 5 Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p35

36 II. Voorplanten van onzekerheden 4 f f f( u, v) = f( u, v) + ( u u) + ( v v) +... u v uv, uv, Termen van 2de en hogere orde worden verwaarloosd Dus (z -z) 2 = f f ( u, ) (, ) v f u v ( u u) + ( v v) u uv f v ( ) 2,, uv 2 Voor een lneare functe s z = f u, v ( ) z = f u, v = f u, v ( ) ( ) Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p36

37 II. Voortplanten van onzekerheden 5 De varante op z wordt, n 1ste orde benaderng σ = z-z 2 1 z = lm N N N = 1 ( ) 2 f f N 1 lm ( u u) u, v ( v v) u, v N N + = 1 u v 2 1 f 1 f = lm ( ) ( ) + lm ( ) ( ) N N u N v N N u u v v N = 1 = 1 N 1 f f + 2lm ( u )( ) u v v N N = 1 u v Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p37

38 II. Voortplanten van onzekerheden 6 resultaat ( f z u ) v( f ) 2 f σ σ + σ + σ f uv u v u v Parteel afgeleden van f(u,v) naar u en v σ 2 u = varante van de verdelng van varabele u = kwadraat van onzekerhed op u De covarante σ uv s nul voor net gecorreleerde veranderljken, wat n alle practca het geval s Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p38

39 II. Voorbeeld: bepalng snelhed auto x 100 keer De auto legt 100 keer een afstand van 4000m af We veronderstellen dat deze afstand exact gekend s We meten voor de gemddelde tjd t = ( 200,0 ± 0,1) s Welke s de snelhed v met statstsche t t onzekerhed? v = x σ x = 0 t 2 2 v 2 2 v 2 σ t s t σv σx( ) + σt ( ) x t σ v sv Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p39

40 II. Voorbeeld: bepalng snelhed auto x 100 keer De auto legt 100 keer een afstand van 4000m af We veronderstellen dat deze afstand exact gekend s We meten voor de gemddelde tjd t = ( 200,0 ± 0,1) s Welke s de snelhed v met statstsche t t onzekerhed? Antwoord : v = x σ x = 0 t 2 2 v 2 2 v 2 σ t s t σv σx( ) + σt ( ) x t σ v sv ( 20,0000 ± 0,01 01 ) ( 72,00 ± 0,04 04 ) v= ± m s = ± km h Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p40

41 Deel III Bepalen van de beste rechte door de metngen Methode van de klenste kwadraten Net lneare problemen Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p41

42 III. Een lneare fyssche wet Voorbeeld : bepalng veerconstante x 0 Een veer wordt opgehangen veer aan een punt men hangt achtereenvolgens verschllende massa s onderaan de veer x dt veroorzaakt een elongate van de veer men meet de poste x van het onderste punt van de veer als functe van de massa m Massa m Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p42

43 III. Bepalen van de beste rechte - voorbeeld Fyssche wet 30x(cm) k x x mg 0 = 0 ( ) k = veerconstante 15 g=valversnellng g x= m+x k m(g) vraag: wat s de veerconstante k voor deze veer? Of: welke s de beste schattng van k ut deze metngen? de beste schattng van k geeft de beste rechte door de meetpunten (m,x) Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p43

44 III. Bepalen van de beste rechte Hoe bepaalt men de beste rechte door de meetpunten? Met de methode van de klenste kwadraten. y 5 metngen van y ± σ [ ] 1 5 bj x,...x x Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p44

45 III. Methode van de klenste kwadraten 1 Met een steekproef van N metngen {x,y ±σ } schat men de beste rechte y=ax+b Dt s de rechte de het best de metngen beschrjft de beste schattng wordt bekomen door mnmsate van de χ 2 χ N 1 = [ ] 2 ( y ax + b ) = 1 σ 2 2 σ y ax +b Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p45

46 III. Methode van de klenste kwadraten 2 de beste schattng wordt bekomen door mnmsate van de χ 2 N 1 χ 1 = ( y [ ax + b] ) = 1 σ verloop van χ 2 als functe van parameter a(rco) 30 χ2 ch mnmum a rco a Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p46

47 poste(cm m) III. Voorbeeld : de veer g x= m + x k 0 y = ax+ b = [ ax + b ] elongate vd veer fv massa χ y massa(g) 1 ( ) N 2 2 ( 2 ) = 1 σ y N x ± σ a b Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p47

48 III. Methode van de klenste kwadraten 3 Het mnmum van de χ 2 functe wordt bekomen door de parteel afgeleden naar de parameters a en b geljk aan nul te zetten 2 2 χ χ Parameters a,b a = 0, = 0 b van beste rechte Geeft een stelsel l met 2 vgl en 2 onbekenden a a x x x y N 2 N N + b = = 1 σ = 1 σ = 1 σ x 1 y + b = σ σ σ N N N = 1 = 1 = 1 a,b Oplossng naar a en b: ze syllabus formules (15),(16) Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p48

49 III. Schattng van onzekerheden op a,b Bvb a a 1 x y 1 x y = Δ N N N N = 1 σ = 1 σ = 1 σ = 1 σ Onzekerheden op a en b worden bekomen door voortplanten van onzekerheden σ σ 2 N 2 a 2 a = σ = 1 y 2 N 2 b 2 b = σ = 1 yy σ Utwerkng:ze syllabus formules (17) en (18) a, σ b Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p49

50 III. Inden de fyssche wet geen rechte volgt De methode van de klenste kwadraten s steeds geldg. Men berekent de χ 2 en ledt af naar de parameters om het mnmum te vnden. Dt kan utgevoerd worden met de Matlab ft functes. Bvb voor valbewegng χ 1 1 = N = ( y ) 2 gt 1 σ 2 Men kan het probleem ook lnearseren Bvb valbewegng: nden men t 2 pv t als x varabele gebrukt bekomt men een rechte waarvan de rchtngscoëffcent = g/2 y 1 2 g t = 2 Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p50

51 Deel IV Presentate van resultaten Aantal bedudende cjfers Afronden van getalwaarden Grafeken, tabellen, eenheden etc Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p51

52 Aantal bedudende cjfers Meest LINKSE cjfer ( 0) s meest bedudende cjfer Geen decmaal punt : mnst bedudende cjfer s meest RECHTSE cjfer ( 0) Wel ldecmaal punt : : mnst bedudende d d cjfer s meest RECHTSE cjfer, ook al s dt 0 Aantal bedudende cjfers = aantal tussen meest en mnst bedudende cjfers 5280 : 3 bedudende cjfers 5280, : 4 bedudende cjfers 0,0094 : 2 bedudende cjfers 3,010 x 10 4 : 4 bedudende cjfers Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p52

53 Afronden van getalwaarden Resultaat van de proef: hoeveel bedudende cjfers moet men geven? Men rond eerst de onzekerhed op het resultaat t af tott 2 of 3 bedudende cjfers Men kest de meest aangepaste eenheden, bvb keuze tussen 1,0mm (3 bedudende cjfers) 0,1cm (1 bedudend cjfer) Dan rondt men het resultaat zelf af tot hetzelfde aantal decmalen als de onzekerhed Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p53

54 Grafeken, tabellen, eenheden Tabellen en grafeken geven een dudeljk overzcht van de metngen gebruk ze! Grafek: geef assen een naam en eenheden Kes de schaal zodang dat de gegevens over het gehele gebed verspred zjn Geef dudeljk de schalen aan van de assen Tabel: zet bovenaan de naam van de groothed en de eenheden Vergeet eenheden net bj het geven van resultaten van metngen en berekenngen Zet ttels boven grafeken en tabellen Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p54

55 Statstek voor fysc Cursus toegepaste statstek n BA1 s onvoldoende depgaand voor opledng tot Fyscus Het s sterk aangeraden om het keuzevakk Statstschet t Verwerkng van Expermentele gegevens (J. D Hondt) te volgen n 2BA Expermentele Fysca Verwerkng van gegevens p55