Inhoudstafel Regressie: exploratieve methoden

Transcriptie

1 Regresse Nascholng voor leerkrachten Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vancaudenberg Inhoudstafel Regresse: explorateve methoden DEEL 1. De deeën achter de formules correct nzcht vanut voorbeelden bjna geen formele notate toegankeljk voor bjna edereen DEEL 2. De formules achter de deeën wskundge notate als hulpmddel extra nzcht (z-scores, correlate) toegankeljk voor velen DEEL 3. Herhalngsopdrachten 4 utgewerkte onderzoeken past bj de endtermen over onderzoekscompetentes volledg oplosbaar vanut DEEL 1. DEEL 4. Appendx voor de leerkracht ddactsche hnts.v.m. onderzoekscompetentes enkele wskundge bewjzen wetten ut de fysca versus regresse

2 Lesmateraal regresse Ram vrjmaken ============ RAM = actef geheugen = nodg bj het utvoeren van opdrachten ARC = archef geheugen = opslagplaats plaats alle egen statstekmateraal n ARC alleen programma s en ljsten de je nu nodg hebt maak je actef Voor programma s Druk y L dan 2:Mem Mgtmt/Del en dan 7:Prgm Loop naar beneden tot ~ naast REGR staat en druk Í. Het sterretje verdwjnt. Druk y 5 Voor ljsten Druk y L dan 2:Mem Mgtmt/Del en dan 4:Lst Loop naar beneden tot ~ naast EXPT staat en druk Í. Het sterretje verdwjnt. Loop verder naar EXPV en druk Í. Loop naar GEWKG en druk Í. Alle andere ljsten de we vandaag nodg hebben staan al zonder sterretje. Druk y 5.

3 Nascholng Regresse Werktekst 1 Opdracht 1 Teken OP ZICHT de rechte de volgens jou het best aanslut bj de puntenwolk. vol Opdracht 2 Volgens de wet van Gay-Lussac s er bj een vaste hoeveelhed gas en een vaste druk een constante verhoudng tussen het volume en de temperatuur. In een labopstellng s het expermenteel volume (EXPV) en de expermentele temperatuur (EXPT) opgemeten. De puntenwolk staat hernaast en de ljsten EXPV en EXPT ztten al n je GRM. temp Neem je GRM, druk y N, druk dan op de groene letter D en loop verder naar beneden tot aan DagnostcOn en druk tweemaal Í. Druk, loop je naar CALC en druk 4 (=4:LnReg(ax+b). Terwjl je naast Xlst: staat doe je het volgende: druk y 9, loop naar beneden tot je naast EXPT staat en druk Í. Ga nu naast Ylst: staan, druk y 9, loop naar beneden tot je naast EXPV staat en druk Í. Loop nu naar Calculate en druk Í. De regresserechte s y=ax+b. Teken de gevonden regresserechte op de fguur herboven (doe dat benaderend). Noteer de waarde van de correlatecoëffcënt: r =. Gebruk de regresserechte om op de volgende vragen te antwoorden (afgerond): - Bj een temperatuur van 6 hoort een volume van - Bj een volume van 10 hoort een temperatuur van lkr nasch regresse_02a experment.doc

4 Nascholng Regresse Werktekst 1 Opdracht 1 Teken OP ZICHT de rechte de volgens jou het best aanslut bj de puntenwolk. temp Opdracht 2 Volgens de wet van Gay-Lussac s er bj een vaste hoeveelhed gas en een vaste druk een constante verhoudng tussen het volume en de temperatuur. In een labopstellng s het expermenteel volume (EXPV) en de expermentele temperatuur (EXPT) opgemeten. De puntenwolk staat herboven en de ljsten EXPV en EXPT ztten al n je GRM. Neem je GRM, druk y N, druk dan op de groene letter D en loop verder naar beneden tot aan DagnostcOn en druk tweemaal Í. Druk, loop je naar CALC en druk 4 (=4:LnReg(ax+b). Terwjl je naast Xlst: staat doe je het volgende: druk y 9, loop naar beneden tot je naast EXPV staat en druk Í. Ga nu naast Ylst: staan, druk y 9, loop naar beneden tot je naast EXPT staat en druk Í. Loop nu naar Calculate en druk Í. De regresserechte s y=ax+b. vol Teken de gevonden regresserechte op de fguur herboven (doe dat benaderend). Noteer de waarde van de correlatecoëffcënt: r =. Gebruk de regresserechte om op de volgende vragen te antwoorden (afgerond): - Bj een volume van 10 hoort een temperatuur van - Bj een temperatuur van 6 hoort een volume van lkr nasch regresse_02b experment.doc

5 Nascholng Regresse Werktekst 2 Bouw je model Vaders en zonen Een klassek voorbeeld n de regresse gaat over het verband tussen de lengte van een vader en van zjn oudste volwassen zoon. We begnnen met zo n voorbeeld. Het cjfermateraal toont een steekproef van 29 geznnen met volgend resultaat (de lengte s afgerond tot op de cm): Volgnr. gezn Lengte vader Lengte zoon Volgnr. gezn Lengte vader Lengte zoon Volgnr. gezn Lengte vader Lengte zoon Deze opmetngen kan je vnden op waar je de bestanden VADER.8xl en ZOON.8xl kan downloaden. Breng deze bestanden over naar je GRM als ljsten VADER en ZOON.[Is al gedaan voor de nascholng] Opdracht Zoals gewoonljk begn je met een dataset grafsch voor te stellen. Doe dat op de fguur heronder waar de lengte van de vader als x-veranderljke s gekozen en de lengte van de zoon als y-veranderljke. [Is al gedaan voor de nascholng]. Geeft de puntenwolk de ndruk dat de punten verstrood lggen rond een rechte? Is het her znvol om het verband voor te stellen met een rechte? Is dat verband postef of negatef en s het zwak, matg of sterk? Motveer je antwoord. lkr nasch regresse_03 respons en verklarende.doc

6 Nascholng Regresse Werktekst 3 Verklarende veranderljke en respons Termnologe Bj een stude naar samenhang tussen 2 veranderljken onderzoek je of utkomsten van de ene veranderljke (de respons) verschllend zjn naarmate de andere veranderljke (de verklarende veranderljke) verschllende waarden aanneemt. Als je bjvoorbeeld kjkt naar samenhang tussen het geboortegewcht en het geslacht, dan s de prmare veranderljke de je bestudeert, het gewcht. Dat s de respons n de stude. De veranderljke de verklaart waarom er een verschl s tussen gewchten van jongens en gewchten van mesjes s het geslacht. De verklarng s net noodzakeljk de oorzaak van het geconstateerde verschl. Rol van de verklarende veranderljke en de respons In de stude van de volumewet van Gay-Lussac heb je expermenteel vastgesteld dat de regresserechte verschlt als je de rol van de verklarende veranderljke (de x-veranderljke) en van de respons (de y-veranderljke) verwsselt. In regresse spelen de verklarende veranderljke en de respons een egen rol de je net zomaar mag omdraaen. Dat heeft te maken met de bedoelng van je stude. lkr nasch regresse_03 respons en verklarende.doc

7 Nascholng Regresse Werktekst 4 Als je, op bass van de temperatuur een utspraak wl doen over het bjhorende volume, dan neem je de temperatuur als verklarende veranderljke en het volume als respons. Als je omgekeerd, op bass van het volume ets wl zeggen over de bjhorende temperatuur, dan neem je volume als verklarende veranderljke en temperatuur als respons. De keuze de je maakt voor de verklarende veranderljke en voor de respons bepaalt ook de verdere maner van werken. Je behandelt de verklarende veranderljke (de x-veranderljke) als een nauwkeurg opgemeten groothed de je (zo goed als) exact kent. De bjhorende respons (de y-veranderljke) behandel je als een resultaat dat aan het toeval onderhevg s. Als je een volgende keer terug een opmetng doet bj exact dezelfde x-waarde dan verwacht je een bjhorende y-waarde de een beetje verschlt van de vorge. In een labopstellng s het denkbaar dat je bjvoorbeeld heel nauwkeurg de gewchten kent de je aan een veer hangt maar dat je voor de lengte van de veer net altjd hetzelfde resultaat vndt bj eenzelfde gewcht. Als je dan op bass van het gewcht een utspraak wl doen over de lengte dan kes je het gewcht als verklarende veranderljke en de lengte als respons. De boven beschreven werkwjze (de x-veranderljke ken je exact en op de y-veranderljke ztten meetfouten) ljkt her logsch. Maar ook n andere stuates bljft men bj regresse de verklarende veranderljke behandelen als exact gekend en de respons als aan het toeval onderhevg. Bj de lengte van vaders en zonen zjn bede veranderljken toevallge utkomsten. Als je ut de populate van alle geznnen er lukraak één trekt, dan heb je een toevallg resultaat ut alle mogeljke koppels ( x, y ) met x = lengte vader en y = lengte zoon. De bedoelng van je stude s nu van crucaal belang en bepaalt hoe je verder werkt. Als je op bass van de lengte van de vaders een utspraak wl doen over de lengte van de zonen, dan kes je de lengte van de vader als verklarende veranderljke en de lengte van de zoon als respons. Je behandelt dan de lengte van de vaders als exact opgemeten getallen en de lengte van de zonen als toevallge utkomsten. Om dudeljk het verschl te zen tussen de verklarende veranderljke en de respons gebruk je n regresse een specale termnologe waarbj de volgorde van de woorden belangrjk s. De algemene utdrukkng zet er als volgt ut: regresse van de respons over de verklarende veranderljke Nota. - Vanaf nu zetten we de verklarende veranderljke ut op de x-as en de respons op de y-as. - In andere teksten kom je voor verklarende veranderljke soms de woorden regressor of covarabele of predctor of onafhankeljke veranderljke tegen. De respons wordt soms ook de afhankeljke veranderljke genoemd. Opdracht In een landbouwschool heeft men, bj een aantal percelen, genoteerd hoeveel meststof er werd gestrood en wat de opbrengst was. Als men n deze context spreekt van regresse van opbrengst over meststof, wat s dan de bedoelng van de stude? Wat s de verklarende veranderljke en wat s de respons? lkr nasch regresse_03 respons en verklarende.doc

8 Nascholng Regresse Werktekst 5 Gemddelde respons Nadat je besloten hebt welke groothed je als verklarende veranderljke neemt en welke als respons moet je bepalen hoe je het verband tussen de twee grootheden beschrjft. De verklarende veranderljke behandel je als exact maar op de respons zt varabltet. Wat doe je daar mee? Als voorbeeld vervolgen we onze stude waarbj we ervoor kezen om op bass van de lengte van vaders ets te zeggen over de lengte van hun zonen. We doen dus een regresse van lengte zoon over lengte vader. Vaders de 177 cm groot zjn hebben zonen de net allemaal even groot zjn. Dat s nu eenmaal zo. Op de fguur ze je n de vertcale strp punten ( x, y ) waarbj telkens x = 177 (lengte vaders) maar waarbj de y s verschllende waarden hebben (lengte zonen). Welke utspraak ga je nu doen over de lengte van zonen waarvan de vader een lengte van 177 cm heeft? Een eenvoudg kengetal om globaal de lengte van al de zonen te beschrjven s het gemddelde. In dt voorbeeld heb je (n de vertcale strp) 4 zonen met lengte (n cm) 168 ; 176 ; 184 en 192. De gemddelde lengte s her 180 cm. Msschen heb je vroeger gezen dat het gemddelde het getal s dat de som van de kwadratsche afstanden mnmaal maakt. Als je her zou zoeken voor welk getal c de som (168 c) (176 c) (184 c) (192 c) 2 zo klen mogeljk s, dan s dat voor 4 1 c y y 180. Op de fguur kjk je bnnen 4 1 de vertcale strp naar vertcale afstanden tussen meetpunten en hun gemddelde [dat gemddelde s op de fguur de y-coördnaat van het punt Δ = ( 177, y ) = ( 177, 180 )]. Net omdraaen a.u.b. In puntje 3.2 las je: In regresse spelen de verklarende veranderljke en de respons een egen rol, de je net zomaar kan omdraaen. Dat had te maken met de bedoelng van de stude. Inderdaad, maar her ze je dat het ook te maken heeft met de maner van werken: bj een vaste waarde van de verklarende veranderljke zoek je een bjhorende gemddelde waarde van de respons. Als je zou zeggen dat bj vaders van 177 cm zonen van 180 cm horen dan zou je daarut waarschjnljk ook besluten dat bj zonen van 180 cm vaders van 177 cm horen. Maar het gaat her net over een verband tussen een lengte en een lengte, maar tussen een lengte en een gemddelde lengte. lkr nasch regresse_04 gemddelde respons.doc

9 Nascholng Regresse Werktekst 6 Als je een vaste lengte van vaders neemt (177 cm) dan zoek je een bjhorende gemddelde lengte van zonen (180 cm). De vnd je n de vertcale strp. Als je nu omgekeerd 180 cm als vaste lengte van zonen neemt, dan moet je n de horzontale strp zoeken naar de gemddelde lengte van vaders. De s daar 171 cm. Je kan een gevonden relate tussen lengte en gemddelde lengte net zomaar omdraaen. Dat ze je goed op de fguur. Elk gezn ut de steekproef s nu aangedud met zjn volgnummer. Bj vaders van 177 cm horen zonen waarvan de gemddelde lengte 180 cm s. Dat wordt bepaald door de geznnen met volgnummer 3, 11, 20 en 29. Bj zonen van 180 cm horen vaders waarvan de gemddelde lengte 171 cm s. Dat vnd je ut de geznnen met volgnummer 12, 16, 22 en 26. Er s her geen symmetre. Je haalt je nformate ut verschllende groepen geznnen. Opdracht Voor elke vertcale strp (elke vaste waarde van de verklarende veranderljke) kan je het gemddelde berekenen van de y-coördnaten van de punten n de strp (het gemddelde van de bjhorende responsen). Doe dat nu en teken de gemddelden op de fguur herboven (gebruk een andere kleur of een ander symbool, bjvoorbeeld Δ ). Tp: Kopeer eerst VADER naar d en ZOON naar e als volgt: druk y9, loop naar VADER, druk Í en en yd en Í. Dan y9, loop naar ZOON, druk Í en en ye en Í. Sorteer nu op de lengte van de vader en neem hun bjhorende zoon mee. Druk y9, loop naar OPS en druk dan 1:SortA(. Vervolledg dt commando met yd en komma en ye en Í. Druk nu en 1:Edt Je zet nu n d alle vaders gesorteerd volgens lengte samen met de lengte van hun zonen n e. lkr nasch regresse_04 gemddelde respons.doc

10 Nascholng Regresse Werktekst 7 De ljn der gemddelden Op de lnkerfguur zjn de gemddelden, de je zopas n elke vertcale strp hebt berekend, verbonden tot een ljn der gemddelden. Op de rechterfguur ze je ook zo n ljn der gemddelden voor een grote dataset van 1078 geznnen. Als je meer en meer opmetngen zou maken (en utendeljk zou werken met een model voor een onendge populate) dan zou je her vnden dat de ljn der gemddelden een rechte s. De rechte geeft voor elke lengte van vaders (voor elke x-waarde) de gemddelde lengte van de bjhorende zonen (het gemddelde van alle bjhorende y-waarden). Dat s de populate-regresserechte van lengte van zonen over lengte van vaders. Wat de populate-rechte s zal je noot weten want je kan net de hele populate opmeten. Daarom probeer je de rechte te benaderen door een rechte de je wel kan vnden. Je gebrukt daarbj dngen de je kent, nameljk de opmetngen ut je steekproef. De regresserechte Wat zegt het model? Bj de stude van de lengte van vaders en zonen heb jj tot nu toe vastgelegd: 1. dat je de lengte van zonen als respons neemt (en dus als opmetngen de aan het toeval onderhevg zjn) en de lengte van vaders als verklarende veranderljke (waarvan je de waarden behandelt alsof ze exact gekend zjn) 2. dat je een verband zoekt tussen de lengte van vaders en de gemddelde lengte van zonen 3. dat dt verband er moet utzen als een rechte. Op bass van de dre voorgaande esen ga je nu op zoek naar de rechte de het best het verband tussen de lengte van vaders en de gemddelde lengte van zonen weergeeft. Je gebrukt herbj de puntenwolk van je opmetngen samen met je kenns dat de vergeljkng van een rechte er utzet als y = ax + b. lkr nasch regresse_05 regresserechte.doc

11 Nascholng Regresse Werktekst 8 Wat s best? Je hebt nu nog een crterum nodg voor best. Welke rechte y = ax + b geeft het gezochte verband het beste weer n jouw puntenwolk? Het crterum dat je her gebrukt s nets anders dan een utbredng van het crterum voor het gemddelde waarmee je herboven hebt gewerkt. Toen ben je op zoek gegaan n een vertcale strp naar een punt c dat zo dcht mogeljk tegen de meetpunten n de strp lag. Als es heb je toen gesteld dat de som van de kwadraten van de vertcale afstanden tot het punt c zo klen mogeljk moest zjn. Het beste punt c dat herut te voorschjn kwam was het gemddelde y (bnnen de strp). Nu ga je net op zoek naar een beste punt n een vertcale strp, maar naar een beste rechte voor de hele puntenwolk. Je zoekt een rechte y = ax + b de zo dcht mogeljk tegen alle punten van de puntenwolk lgt. Als es stel je nu dat de som van de kwadraten van de vertcale afstanden tot de rechte y = ax + b zo klen mogeljk moet zjn. De beste rechte de herut te voorschjn komt s de regresserechte de je noteert als ŷ ax b. Dat doe je vanaf nu altjd zo (en dat s dus een andere notate dan wat je GRM gebrukt). De notate ŷ lees je als y-hoed. Hnt voor de deelnemer aan deze nascholng De notate van de GRM llustreert een klasseke fout wanneer je slaafs ICT gebrukt om een rechte te vnden. Zomaar op de knop LnReg drukken levert net zomaar een rechte de best aanslut bj een puntenwolk. De rechte kadert n de theore van de regresse en het s belangrjk daarop de aandacht te vestgen met de specale notate ŷ. In de stude bj de start van deze nascholng beschrjft (voor sommgen) de rechte het gemddelde volume bj een bepaalde temperatuur terwjl (bj anderen) de rechte de gemddelde temperatuur geeft bj een bepaald volume. In bede gevallen had men dus ŷ moeten gebruken en net y. De regresserechte Als je de vergeljkng ŷ a x b ontmoet dan weet je dat het her net om zomaar een rechte gaat, maar dat je te maken hebt met de regresserechte de hoort bj je puntenwolk. Het s de uneke rechte waarbj a en b zo bepaald zjn dat de som van de kwadraten van de vertcale afstanden tot de rechte zo klen mogeljk s. Om de reden wordt de regresserechte ook de klenste kwadraten rechte genoemd. De vergeljkng ŷ ax b van de regresserechte gebruk je om bj een x-waarde (lengte van vader) de bjhorende ŷ -waarde ( gemddelde lengte van zonen) te berekenen en net omgekeerd. lkr nasch regresse_05 regresserechte.doc

12 Nascholng Regresse Werktekst 9 De betekens van x, y, en ŷ staat n onderstaande tabel nog eens samengevat. Let goed op het verschl tussen de punten van de puntenwolk [genoteerd als ( x, y ) ] en de punten op de regresserechte [genoteerd als ( x, y ˆ )]. horzontale as de lengte van de vader neem je n woorden als verklarende veranderljke (x-veranderljke) een opmetng x = lengte van de vader ( x, y ) een punt ( x, ˆ y ) op x = lengte van de vader de regresserechte vertcale as de lengte van de zoon neem je als respons (y-veranderljke) y = lengte van de zoon y ˆ = gemddelde lengte van zonen Hoe je met je GRM de regresserechte berekent weet je al. Druk, loop je naar CALC en druk 4 (=4:LnReg(ax+b)). Terwjl je naast Xlst: staat doe je het volgende: druk y 9, loop naar beneden tot je naast VADER staat en druk Í. Ga nu naast Ylst: staan, druk y 9, loop naar beneden tot je naast ZOON staat en druk Í. Loop nu naar Calculate en druk Í. Op deze maner bereken je een regresserechte ŷ ax b (je GRM gebrukt de notate y=ax+b) op bass van een puntenwolk (x, y ) waarvan de x-coördnaten n de ljst VADER staan (de x-veranderljke s de lengte van de vader) en de y-coördnaten n de ljst ZOON (de y-veranderljke s de lengte van de zoon). Opdracht Bereken (met je GRM) de regresserechte zoals herboven aangegeven. Teken de rechte (met de hand) op je fguur (de fguur op werktekst blz.3). Vul n: voor x = 175 s ŷ = Zeg dt ook n woorden (gebruk de juste betekens van x en van ŷ ) en teken dt verband op je fguur. lkr nasch regresse_05 regresserechte.doc

13 Nascholng Regresse Werktekst 10 Utkomsten voorspellen In de vorge voorbeelden heb je met puntenwolken gewerkt waarbj er per vaste x-waarde meerdere y-waarden corresponderen (je hebt meerdere punten n een vertcale strp). Zo n voorbeelden helpen je om goed te begrjpen hoe regresse echt werkt. Je zet dan dat het gaat om een verband tussen vaste x-waarden en gemddelde y-waarden. Nu je dat weet kan je ook werken met puntenwolken waarbj er bj een bepaalde x-waarde slechts 1 y-waarde s opgemeten. Dat kom je vaak tegen. Alle begrppen de je over regresse geleerd hebt bljven onveranderd geldg. Opbrengst en meststof In een landbouwschool heeft men op verschllende percelen een verschllende hoeveelhed meststof gestrood bj het zaaen van maïs. Bj de oogst s, per perceel, zowel de hoeveelhed meststof als de opbrengst genoteerd. Het s de bedoelng om na te gaan hoe de opbrengst wjzgt naarmate men meer of mnder meststof gebrukt. In deze stude s dus de hoeveelhed gestroode meststof de verklarende veranderljke en de maïsopbrengst s de respons. De resultaten waren als volgt: x = meststof (kg/are) y = opbrengst (kg/are) Deze data kan je vnden op waar je de bestanden MAIS.8xl en MEST.8xl kan downloaden. Breng deze bestanden over naar je GRM als ljsten MAIS en MEST. [Is al gedaan voor de nascholng]. lkr nasch regresse_06 voorspellen.doc

14 Nascholng Regresse Werktekst 11 Opdracht Verzamel eerst enkele grootheden de je bj deze stude nodg hebt. Het zwaartepunt van je puntenwolk s het punt ( x, y ) wat je bjvoorbeeld als volgt kan vnden. Druk, loop naar CALC en druk 2 (=2-Var Stats). Naast Xlst: druk je y 9, je loopt naar beneden tot je naast MEST staat en drukt Í. Naast Ylst: druk je y 9, je loopt naar beneden tot je naast MAIS staat en drukt Í. Loop dan naar Calculate en druk Í. Noteer de waarde van x en van y. Bereken daarna ook de regresserechte. Druk, loop naar CALC en druk 4 (=4:LnReg(ax+b)). Werk verder zoals hernaast aangegeven. 1. Teken op de fguur je puntenwolk [s al gebeurd] en dud (met een specaal symbool zoals een sterretje) ook het zwaartepunt aan. Schrjf ook op waaraan dt zwaartepunt geljk s. 2. Als je naar de puntenwolk kjkt en naar de correlatecoëffcënt, s het dan znvol om naar een lnear verband tussen meststof en opbrengst te zoeken? Is dt verband postef of negatef en s het zwak, matg of sterk? 3. In deze stude wordt een regresse opgesteld van over (vul n). 4. Teken nu de regresserechte op je fguur. Schrjf ook haar vergeljkng n de juste notate. Bemerk dat de regresserechte door het zwaartepunt loopt (dat s altjd zo, men kan dat wskundg bewjzen). Verwachte respons De regresserechte yˆ 1.7 x 77 geeft het verband tussen x = de hoeveelhed meststof en ŷ = de gemddelde maïsopbrengst (of de verwachte opbrengst). De regresserechte laat toe om te voorspellen welke gemddelde respons y ˆ je verwacht bj een gekozen waarde x van de verklarende veranderljke. Daarbj ben je net verplcht om een x te kezen ut de waarden de je gebrukt hebt bj je experment. Maar je moet wel naar de context bljven kjken. De gevonden regresserechte yˆ 1.7 x 77 s her slechts znvol bnnen een bepaald gebed. In je experment heb je hoeveelheden meststof gebrukt de gaan van 3 tot 6 kg/are. Bnnen dat gebed en waarschjnljk ook nog tot een beetje erbuten (zoals van 2 tot 7 kg/are) geeft de gevonden rechte znvolle verbanden. Maar je mag net te ver gaan. Als extreem voorbeeld zou je hebben dat bj 100 kg/are meststof je een gemddelde opbrengst van yˆ 1.7 x 77 (1.7) (100) kg/are zou hebben. Maar bj zo n overbemestng gaan maïsplanten dood en heb je helemaal nets. lkr nasch regresse_06 voorspellen.doc

15 Nascholng Regresse Werktekst 12 Bj regressestudes ontmoet je verschllende utspraken de, als je ze goed nterpreteert, allemaal hetzelfde betekenen. Als yˆ 1.7 x 77 dan zegt men: 1. bj 5 kg/are meststof s de gemddelde opbrengst 85.5 kg/are maïs 2. bj 5 kg/are meststof verwacht je een opbrengst van 85.5 kg/are maïs 3. bj 5 kg/are meststof hoort een opbrengst van 85.5 kg/are maïs De eerste utspraak geeft explcet weer dat je met regresse te maken hebt waar een gemddelde respons ŷ hoort bj een vaste x-waarde. De tweede utspraak gaat over wat er verwacht wordt. Dt moet je net opvatten als een perfect verband waarbj je elke keer opneuw, bj het toedenen van 5 kg/are meststof, exact 85.5 kg/are maïs zal oogsten. Het gaat over een verwachtng van wat je gemddeld zal te zen krjgen als je op vele percelen telkens 5 kg/are meststof zou strooen. De derde utspraak s de kortste maar ook de meest gevaarljke. Als je de utspraak gebrukt, geef dan heel goed aan dat het her over regresse gaat waarbj opbrengst de respons s. Dan weet men dat het her net over een wskundge vergeljkng gaat waarbj ut de kenns van x de waarde van ŷ volgt en ut de kenns van ŷ de waarde van x. Want wat s de kenns van ŷ? Hoe moet je ŷ nterpreteren? Je mag her net zeggen dat je ut de opmetngen kan besluten dat je 5 kg/are meststof nodg hebt voor een maïsopbrengst van 85.5 kg/are. Je hebt geleerd dat je n regresse net mag omdraaen! De specale notate y-hoed (ŷ) helpt je om daar telkens weer aan te denken. Nota. Om goed aan te geven dat je met regresse werkt s het aanbevolen om de utdrukkngen gemddelde opbrengst of verwachte opbrengst te gebruken wanneer opbrengst de respons s n je regressestude. Opdracht Bepaal ( x, y) en ( x, ˆ y ) voor x = 5. Wat s her de betekens van x, van y en van y ˆ? Zeg dt n woorden. Dud op je fguur de punten ( x, y ) en ( x, y ˆ ) aan voor x = 5. Is x = 3.8 een hoeveelhed meststof de n de landbouwschool bj dt experment werd gebrukt? Welke maïsopbrengst verwacht je als je 3.8 kg/are meststof stroot? Verklaar je antwoord. lkr nasch regresse_06 voorspellen.doc

16 Nascholng Regresse Werktekst 13 Tsjrpende krekels Hoe warm s het? Herhalngsopdracht Msschen s je eerste ervarng met krekels, toen je n een tentje n het zuden van Frankrjk net n slaap kon geraken door hun doordrngend getsjrp, net zo postef. Krekels hebben nochtans een wonderbaarljke egenschap. De frequente van hun getsjrp (het aantal tsjrpen per mnuut) hangt samen met de temperatuur. Een perfect verband s het net, maar de Amerkaanse sneeuwboomkrekel (Snowy Tree Crcket = Oecanthus fulton) s toch behoorljk goed gejkt. Een regel de je bj de krekel kan gebruken s als volgt: tel het aantal tsjrpen per mnuut, deel dat door 8, tel daar 4.2 bj en dan weet je hoe warm het s (de temperatuur n graden Celsus). Straf hé! Om na te gaan of de regel znvol s en om er een correcte nterpretate aan te geven moet je je onderzoek baseren op reëel fetenmateraal. Heronder staan de data de door een onderzoeker n de Verengde Staten werden opgemeten n Geteld aantal tsjrpen per mnuut Opgemeten temperatuur n graden Celsus Geteld aantal tsjrpen per mnuut Opgemeten temperatuur n graden Celsus lkr nasch regresse_07 krekels.doc

17 Nascholng Regresse Werktekst 14 Voor deze opdracht werk je met het programma REGR. Dat programma onderstelt dat de x n d staan en de y n e. Dat doe je als volgt: druk y9, loop naar TSJRP, druk Í en en yd en Í. Dan y9, loop naar TEMP, druk Í en en ye en Í. Tjdens de utvoerng van het programma REGR ze je soms bovenaan Stop=ENTER. Je moet dan op ENTER drukken om dat onderdeel van het programma te verlaten. 1. Wat s her de onderzoeksvraag? Welke keuze maak je voor de respons en voor de verklarende veranderljke? Welke regresse ga je utvoeren? 2. Druk, loop naar REGR en druk 3 keer Í. Druk dan 0 (=Puntenwolk) en Í. Geeft de fguur de ndruk dat er een lnear verband s? Is dat postef of negatef, zwak, matg of sterk? Om te endgen druk Í. 3. Voor de correlatecoëffcënt druk je 4 en Í. Bevestgt de correlatecoëffcënt de analyse de je herboven op zcht gemaakt hebt? Waarom? 4. Voor de regresserechte druk je 1 en Í. Schrjf de regresserechte n de juste notate. Druk daarna Í voor de grafek. Lggen de meetpunten wllekeurg gespred rond de regresserechte of ontdek je een bepaald patroon? Wat betekent dt? 5. Druk Í om de grafek te verlaten en dan 5 en Í om het programma te verlaten. Zoek nu grafsch hoe warm het s als de krekels 120 keer per mnuut tsjrpen. Dat doe je als volgt. Druk o, loop naar \Y 1, ga op het geljkhedsteken = staan en druk Í. Druk daarna r. Je zet nu de regresserechte. Tk nu het getal 120 en druk Í. Is het dan exact zo warm? Verklaar de betekens van de temperatuur de je gevonden hebt n het kader van regressestudes. 6. Is de regel om de temperatuur te bepalen znvol? Is het een exacte regel? Hoe moet je de begrjpen? Is de regel altjd geldg? lkr nasch regresse_07 krekels.doc

18 Nascholng Regresse Werktekst 15 Resdu s Herhalngsopdracht Het s net altjd eenvoudg om n een puntenwolk een patroon te ontdekken. Als je op de y-as de temperatuur zet en op de x-as de tsjrpfrequente dan ljkt de puntenwolk rond een rechte gespred. Je kan dat soms ets dudeljker zen wanneer je tegeljkertjd ook de regresserechte tekent de bj de puntenwolk hoort. Systematsche afwjkngen van meetpunten ten opzchte van een gekozen model (her s dat model de regresserechte) kan je goed bestuderen met resdu s. Een resdu e ˆ y y geeft aan hoeveel een opmetng y afwjkt van de verwachte modelwaarde y ˆ. Herbj kjk je vertcaal (n de rchtng van de y-as) en houd je rekenng met het teken (postef of negatef). Resdu e = opmetng model = geobserveerd verwacht = y yˆ Als je een goed model hebt, dan verwacht je opmetngen de wllekeurg rond het model schommelen en dus resdu s de zowel postef als negatef zjn en wllekeurg rond nul schommelen. Als de resdu s een bepaald patroon vertonen, dan wjst dat erop dat je geen goed model gekozen hebt. Je GRM berekent automatsch resdu s als je een regresserechte bepaalt. De worden opgeslagen n de ljst RESID. Zet eerst alle functes o af als volgt: druk, loop naar Y-VARS en druk dan achtereenvolgens 4 en dan 2 en dan Í. Druk nu y, en druk dan 1. Terwjl je op On staat druk je Í en dan vervolledg je het scherm zoals hernaast aangegeven. Druk dan q en loop naar 9:ZoomStat en druk Í en dan r. Welke punten worden her egenljk getekend (wat staat er op de horzontale as en wat op de vertcale)? Bevestgt de fguur het antwoord dat je n puntje 4 van vorge opdracht gegeven hebt? Waarom? lkr nasch regresse_08 resdus.doc

19 Nascholng Regresse Werktekst 16 De correlatecoëffcënt De correlatecoëffcënt s een maat voor de sterkte van een lnear verband. Hj komt voor n de vergeljkng van de regresserechte de je, op een statstsche maner (met kengetallen), kan x x schrjven als yˆ y r sy. De rol de de correlatecoëffcënt speelt n het kader van een sx regressestude kan je goed begrjpen als je enkele voorbeelden bekjkt. Je vertrekt herbj telkens van hetzelfde probleem. Vlaamse mesjes van 17 hebben een gemddelde lengte van 166 cm met een standaardafwjkng van 6 cm. Als je lukraak een Vlaams mesje van 17 zou kezen, hoe groot zal zj dan zjn (n cm)? Zonder verdere nformate s je beste gok 166 cm. Dat s wat je als lengte verwacht of wat je als utkomst voorspelt of wat het gemddelde van de groep s. Nu ga je extra nformate toevoegen en kjken of de nformate je helpt om de lengte van dat mesje beter te voorspellen. Als voorbeeld gebruk je een dataset van 10 mesjes waarbj 4 veranderljken werden opgemeten: de lengte n cm, de lengte n meter tot op twee decmalen, de punten op het vak Nederlands (op een maxmum van 20) en het gewcht n kg. volgnummer lengte n cm lengte n m score Nederlands gewcht n kg De bestanden LGTCM, LGTM, SCNED en GEWKG ztten al n je GRM. Een perfect lnear verband Welke respons ŷ (verwachte lengte n centmeter) voorspel je op bass van de waarde van de verklarende veranderljke (lengte n meter)? Daarvoor kjken we naar de puntenwolk en bepalen we de regresserechte van lengte n centmeter over lengte n meter. Ook de kengetallen de we nodg hebben om de regresserechte statstsch te nterpreteren zjn met de GRM berekend. 6 (1.66, 0.06 lkr nasch regresse_09 correlate.doc

20 Nascholng Regresse Werktekst 17 Alle meetpunten lggen her op een rechte. Er s een perfect lnear en postef verband ( r 1). Bj de groep van mesjes waar de verklarende veranderljke (lengte n m) geljk s aan x=1.72 s de respons (lengte n cm) voor edereen y=172 zodat het gemddelde van de groep ook 172 s. Dat gemddelde (de waarde ŷ op de regresserechte) laat je toe om de lengte (n cm) foutloos te voorspellen zodra je de waarde van de verklarende veranderljke (lengte n m) kent. Voor de regresserechte geldt: Bj een x-waarde de k x-standaardafwjkngen boven (of onder) het x-gemddelde lgt hoort een ŷ -waarde de r k y-standaardafwjkngen boven (of onder) het y-gemddelde lgt. Her s r 1. Als je bjvoorbeeld n de x-rchtng één standaardafwjkng sx 0.06 bj het gemddelde x 1.66 optelt dan krjg je x De bjhorende ŷ -waarde op de regresserechte vnd je dan door n de y-rchtng één standaardafwjkng sy 6 bj het gemddelde y 166 op te tellen, wat ŷ 172 oplevert. Dat ze je geïllustreerd op bjgaande fguur. Geen lnear verband Om de lengte (n cm) van dat mesje te voorspellen zou je als verklarende veranderljke ook eens de punten op het vak Nederlands kunnen nemen. Zou dat helpen? We zoeken (met de GRM) weer de klasseke kengetallen en tekenen ook een fguur. Bemerk dat je her een regresse utvoert van lengte n cm over score op Nederlands. De punten lggen totaal wllekeurg verspred en de correlatecoëffcënt r s geljk aan nul. Er s geen lnear verband tussen de lengte van 17-jarge mesjes en de punten de zj op het vak Nederlands halen. De vergeljkng van de regresserechte, de zoals altjd door het zwaartepunt ( x, y) (10.4,166) gaat, s her geljk aan yˆ 166. Als r 0 dan s de vergeljkng van de regresserechte ŷ y. In deze vergeljkng komt de verklarende veranderljke x net voor. Informate over het aantal standaardafwjkngen s x dat de score op Nederlands van dat mesje boven de gemddelde score x lgt, helpt je net om voor zo n mesje je voorspellng dat haar lengte 166 cm s te verbeteren. lkr nasch regresse_09 correlate.doc

21 Nascholng Regresse Werktekst 18 Eng lnear verband Om de lengte (n cm) te voorspellen kan je ook het gewcht (n kg) als verklarende veranderljke nemen. Je verwacht dat er globaal een samenhang s tussen groter zjn en meer wegen. Opdracht 1. Bereken de nodge kengetallen. Druk, loop naar CALC en druk 2 (=2-Var Stats). Naast Xlst: druk je y 9, je loopt naar beneden tot je naast GEWKG staat en drukt Í. Naast Ylst: druk je y 9, je loopt naar beneden tot je naast LGTCM staat en drukt Í. Loop dan naar Calculate en druk Í. Voer ook de regresse ut. Druk, loop naar CALC en druk 4 (=4:LnReg(ax+b)). Teken de regresserechte op de fguur. Wat zeggen fguur en correlatecoëffcënt over het verband tussen gewcht en lengte? 2. Herschrjf de regresserechte met behulp van kengetallen en formuleer deze vergeljkng n woorden. 3. Als men je nu zegt dat het gekozen mesje 66.5 kg weegt, wat s dan je beste gok voor haar lengte? Zal zj exact zo groot zjn? Leg ut. lkr nasch regresse_09 correlate.doc

22 Nascholng Regresse Werktekst 19 Wetten ut de fysca Als je n een labo een wet ut de fysca wl llustreren (bjvoorbeeld een lnear verband) dan s het meestal zo dat de opmetngen net perfect aansluten bj de vooropgestelde wet (de punten lggen bjvoorbeeld net op een rechte). Je gaat dan op zoek naar een model dat voldoet aan de vooropgestelde wet en dat tevens goed aanslut bj de opmetngen. Hervoor gebruk je dkwjls methoden de voorhanden zjn en de je gebrukt als een vustregel. Defnte Een vustregel s een regel de n de praktjk soms goed werkt maar waarbj je problemen ontmoet als je hem theoretsch wl onderbouwen. Een andere context Een verband tussen twee veranderljken kan statstsch of determnstsch zjn. We llustreren de verschllende context bnnen het kader van de regresserechte waarbj wordt aangenomen dat de x-veranderljke exact gekend s en dat de y-veranderljke wordt opgemeten. Om het contrast goed te laten utkomen, starten we met de onderstellng dat er bj het opmeten geen meetfouten gemaakt worden. Een statstsch verband heb je wanneer de waarden van de y-veranderljke afkomstg zjn van een onderlggende populate met een ntrnseke varabltet. Zo n verband noemt men soms ook een stochastsch verband omdat de op te meten y-waarden aan het toeval onderhevg zjn. Bj een vader van 176 cm meet je een zoon van 179 cm. Bj een andere vader van 176 cm meet je een zoon van 181 cm. Het helpt net dat je de lengte van zonen zonder meetfouten kan opmeten. Zonen de bj vaders van 176 cm horen zjn net allemaal even groot. Dat s nu eenmaal zo. Om de lengte van de zonen te bestuderen gebruk je typsche methoden van de statstek. Je werkt bjvoorbeeld met kengetallen (de gemddelde lengte van zonen). Statstsche verbanden ontmoet je vaak. Denk maar aan het verband tussen cholesterolgehalte en leeftjd, of tussen geboortegewcht en zwangerschapsduur, of tussen lengte en gewcht, of tussen het aantal uren dat leerlngen studeren en de punten op hun toets, enz. Een determnstsch verband s een vast verband tussen x en y dat je beschrjft met een wskundge functe. Zo n verband noemt men soms ook een functoneel verband. Typsche voorbeelden zjn wetten ut de fysca. Zo zegt de volumewet van Gay-Lussac dat het volume van een (deaal) gas recht evenredg s met de temperatuur wanneer je de druk en de massa constant houdt. Bj een vaste massa gas en een vaste druk zet jj nu de temperatuur (x-veranderljke) op 250 K. Je meet daarbj een volume van 300 ml. Als een andere leerlng morgen bj dezelfde proefopstellng de temperatuur op 250 K zet dan meet de ook een volume van 300 ml. En als je dt nog 10 keer herhaalt meet je telkens een volume van 300 ml. Op de y-waarden zt her geen varabltet want de volumewet van Gay-Lussac s bj deze proefopstellng gegeven door y 1.2 x met y = volume en x = temperatuur. En aangezen je zonder meetfouten meet, krjg je altjd y 1.2 x 1.2 (250) 300. lkr nasch regresse_10 wetten fysca.doc

23 Nascholng Regresse Werktekst 20 Een andere bedoelng Bovenstaande voorbeelden tonen dudeljk dat er een fundamenteel verschl s. Bj statstsche verbanden s er een onderlggend kansmodel (de populate van alle mogeljke y-waarden) dat y-waarden naar jouw steekproef stuurt. In de verklarende statstek bestudeer je de onderlggende kansmodellen. In de explorateve statstek ben je er van bewust dat y-opmetngen aan het toeval onderhevg zjn zodat je geen wskundge functe kan opstellen de zegt welke y er bj een bepaalde x hoort. In zo n stuate zoek je een wskundge functe de zegt welke gemddelde y-waarde er bj een bepaalde x hoort. Dat je op deze maner te werk gaat heeft te maken met de ntrnseke varabltet van de veranderljke de je opmeet samen met de bedoelng van je stude, waarbj je bj een gegeven x-waarde een dee wl hebben over wat je als bjhorende y-waarde kan verwachten (gemddeld) en net omgekeerd. De volumewet van Gay-Lussac was n vorg voorbeeld gegeven door y 1.2 x met y = volume en x = temperatuur. De wet s algemeen geldg, ook voor een andere massa gas of bj een andere druk. Algemeen geldt dat y ax waarbj de constante a bepaald wordt door de typsche opstellng. Zodra je a kent, gebruk je de wet als een wskundge functe. Bj een temperatuur van x K krjg je een volume van ax ml en bj een volume van y ml hoort een temperatuur van y a K. Om n een labstuate de fyssche wet te verfëren moet je de constante a zo nauwkeurg mogeljk bepalen. Zodra dat gebeurd s gebruk je de a n y ax en werk je daarmee verder zoals met elke wskundge functe. Je hebt dan (benaderend) de wet ut de fysca geverfeerd voor jouw opstellng. Een analoge werkwjze In geen enkele realstsche stuate doe je opmetngen zonder meetfouten. De volumewet van Gay-Lussac zegt dat y ax. Als je bj verschllende x -waarden de bjhorende y opmeet dan zou je n theore punten moeten vnden de perfect op een rechte door de oorsprong lggen. Maar je meetpunten voldoen daar net aan. Je moet dus op zoek naar een methode om een rechte te vnden de zo goed mogeljk aanslut bj de opgemeten punten. Zonder je teveel aan te trekken van onderlggende statstsche modellen ga je gewoon de technek van de klenste kwadraten toepassen. De levert je een rechte y a x b (wegens de meetfouten zal je geen rechte door de oorsprong vnden en zal ook a net de exacte constante van de wet van Gay-Lussac zjn). De a de je met de technek der klenste kwadraten gevonden hebt gebruk je dan om verder te werken met y ax. Een voorbeeld Bj het verfëren van een wet ut de fysca s het belangrjk dat je n het labo de opmetngen zo nauwkeurg mogeljk utvoert. Op de maner sluten de meetpunten zeer goed aan bj het theoretsch model. Dergeljke nauwkeurge opmetngen werden voor de volumewet van Gay-Lussac utgevoerd door een klas van 14 leerlngen met resultaat zoals heronder. Je kan de bestanden TMP2.8xl en VOL2.8xl vnden op lkr nasch regresse_10 wetten fysca.doc

24 Nascholng Regresse Werktekst 21 Temp (K) Vol (ml) Temp (K) Vol (ml) Temp (K) Vol (ml) Noortje en Isaak gebruken deze meetresultaten om de volumewet van Gay-Lussac bj deze opstellng te verfëren. Noortje beslut om de temperatuur ut te zetten op de x-as en het volume op de y-as. Isaak doet het just omgekeerd. Hj kest ervoor om, per utgevoerde proef, het volume ut te zetten op de x-as en de bjhorende temperatuur op de y-as. De resultaten ze je heronder. De gebrukte notate verwjst net naar een onderlggend statstsch regressemodel (want dan gebruk je ŷ ). Noortje en Isaak zjn gewoon op zoek naar een rechte de goed aanslut bj de puntenwolk. y x y x Noortje Isaak Noortje vndt y x x 0.5. Herbj verwjst y naar het volume en x naar de temperatuur. Het resultaat van Isaak s y x Dat kan ook naar het assenstelsel van Noortje vertaald worden. In woorden gaat dt als volgt: temp vol vol temp vol 1.2 temp 0.6 In het vaste assenstelsel met x = temperatuur en y = volume en waarbj je op zoek gaat naar de rco a van een rechte de erut moet zen als y ax (wegens de volumewet van Gay-Lussac) vnden zowel Noortje als Isaak dat a 1.2. Vanaf nu werken zj met het functoneel verband y 1.2 x tussen volume en temperatuur. Om a te bepalen maakte het her bovenden weng ut welke rol er aan x en aan y werd toebedeeld. De reden daarvoor s dat r zodat de rechte de de kwadratsche vertcale afstanden mnmalseert bjna samenvalt met de rechte de de kwadratsche horzontale afstanden mnmalseert. lkr nasch regresse_10 wetten fysca.doc

25 Nascholng Regresse Werktekst 22 Een vustregel Als je nauwkeurge opmetngen hebt waarbj de observates goed aansluten aan de vooropgestelde fyssche wet dan kan de technek van de klenste kwadraten soms een goede benaderng van de te bepalen constante(n) opleveren. De kan je dan nvullen n de wet. Daarna werk je verder zoals met een wskundge functe. Enkele bedenkngen Wanneer punten schommelen rond een rechte en je zoekt een rechte de daar goed bj aanslut dan zou je kunnen denken aan de volgende mogeljkheden: sy sy. y r x ( y r x) s s mnmalseert de kwadratsche vertcale afstanden x x. 1 sy 1 sy y x ( y x) mnmalseert de kwadratsche horzontale afstanden rs r s x x sy sy. y sgn(r) x ( y sgn(r) x) s x s mnmalseert de kwadratsche loodrechte afstanden x sgn(r) 1 als r 0 en sgn(r) 1 als r 0 Ut de formules bljkt dat de 3 rechten ongeveer samenvallen wanneer r 1. De rechten () en () zjn gebaseerd op de klasseke regressemethoden. Daar mag je net omdraaen. Als je de rol van x en y omwsselt dan s het net zo dat () de nverse s van (). Er s her geen symmetre en zodra de punten wat schommelen (zodat r 1 net meer waar s) krjg je een resultaat dat gevoelg s aan de keuze van x en y. Het s de vraag of dat wenseljk s wanneer je op zoek bent naar een functoneel verband waar je y ut x en x ut y wl halen. De rechte () s de typsche rechte of de sd-rechte (sd = standard devaton) de je ontmoet n correlatestudes. De correlatecoëffcënt r verandert net als je x en y omwsselt. Ook bj de typsche rechte s er geen specale rol voor x of y weggelegd. Als je x en y omwsselt dan krjg je een neuwe typsche rechte de de nverse s van de oude. Her heb je dus wel symmetre. Msschen s dt een nteressante rechte om het functoneel verband van een lneare fyssche wet te benaderen. lkr nasch regresse_10 wetten fysca.doc

26 Nascholng Regresse Werktekst 23 Opdracht Als je op zoek bent naar een fyssche wet van de vorm y ax, wat kes je dan voor a wanneer je te maken hebt met opmetngen de nogal wat schommelen rond een rechte en waarvoor r 0.67? Dt s het geval voor de dataset van temperaturen en bjhorende volumes de je n de ljsten TMP1 en VOL1 vndt. 1. Zet TMP1 n d en VOL1 n e als volgt. Druk y9, loop naar TMP1, druk Í en en yd en Í. Dan y9, loop naar VOL1, druk Í en en ye en Í. Druk nu, loop naar REGR en druk 3 keer Í. Noteer de volgende resultaten: de correlatecoëffcënt: r =.. de typsche rechte: formule:. n woorden n de vorm: vol =.. temp +. de regresserechte: formule:.. n woorden n de vorm: vol =.. temp Verlaat het programma REGR en zet VOL1 n d en n TMP1 e als volgt. Druk y9, loop naar VOL1, druk Í en en yd en Í. Dan y9, loop naar TMP1, druk Í en en ye en Í. Druk nu, loop naar REGR en druk 3 keer Í. Noteer de volgende resultaten: de correlatecoëffcënt: r =.. de typsche rechte: formule:. n woorden n de vorm: vol =.. temp +. de regresserechte: formule:.. n woorden n de vorm: vol =.. temp +. Als je op zoek bent naar een fyssche wet van de vorm vol a temp, wat kes je dan voor a vol 0.8 temp vol 1.2 temp vol 1.8 temp Waarom? lkr nasch regresse_10 wetten fysca.doc