De Critical Bias van het Hamilton-spel

Transcriptie

1 De Crtcal Bas van het Hamlton-spel Lotte de Jonker 22 jul 20 Bachelorscrpte Begeledng: Dr. T. Müller KdV Insttuut voor wskunde Facultet der Natuurwetenschappen, Wskunde en Informatca Unverstet van Amsterdam

2 Samenvattng Deze bachelorscrpte gaat over Maker-Kraker spellen. Zoals de naam al doet vermoeden heb je twee spelers, Maker de ets wl maken en Kraker de ets wl kraken. Er zullen verschllende Maker-Kraker spellen behandeld worden, zo ook het Hamltonspel. Deze wordt gespeeld op de ljnen van een volledge graaf K n. Bj het Hamlton-spel zal Maker één acte per beurt mogen utvoeren, Kraker een varabel aantal actes. Utendeljk zal bewezen worden voor welk aantal actes de Kraker mag utvoeren per beurt, Maker het Hamlton-spel altjd kan wnnen als n naar onendg gaat. Gegevens Ttel: De Crtcal Bas van het Hamlton-spel Auteur: Lotte de Jonker, lttdjnkr@hotmal.com, Begeleder: Dr. T. Müller Tweede beoordelaar: Dr. D.C. Gjswjt Enddatum: 22 jul 20 Korteweg de Vres Insttuut voor Wskunde Unverstet van Amsterdam Scence Park 904, 098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inledng 2 Maker-Kraker spellen 4 2 Crtcal Bas van het Hamlton-spel 7 3 Lemma s 4 4 Appendx 9 5 Populare samenvattng 25

4 Inledng Maker-Kraker spellen zjn een vrj recent onderwerp n de Wskunde. Er zjn veel verschllende soorten Maker-Kraker spellen, bjvoorbeeld het Connectespel dat gespeeld wordt op de ljnen van een volledge graaf K n. De spelers Maker en Kraker kleuren per beurt een ongekleurde ljn en als Maker een opspannende boom weet te creëren heeft Maker gewonnen. In het andere geval, dat Maker geen opspannende boom heeft gecreëerd, heeft Kraker gewonnen. Fguur : Het ende van een Connecte-spel op K 5 waarbj Maker de kleur blauw heeft en Kraker de kleur rood, Maker heeft gewonnen. Om het spel nteressanter te maken kunnen we Kraker meer ljnen per beurt laten kleuren en n naar onendg laten gaan. Het maxmaal aantal ljnen de Kraker per beurt mag kleuren, zodat Maker een wnnende stratege heeft, noteren we met b(n) en wordt de crtcal bas genoemd. Gebauer en Szabó [2] bewezen n 2009 dat b(n) = ( + o()) n log n. In 978 verscheen het eerste artkel over Maker-Kraker spellen met een varabel aantal zetten voor Kraker. Dt artkel s afkomstg van Chvátal en Erdős [3] en hern werd bewezen dat voor b(n) ( + ɛ) n met ɛ > 0 wllekeurg log n klen en n groot genoeg, Kraker n staat s om een punt te soleren tjdens 2

5 het spelen van een Maker-Kraker spel. Dt s een moo resultaat dat op verschllende Maker-Kraker spellen met nut toegepast kan worden, zo ook op het Connecte- en Hamlton-spel. In deze scrpte zullen we utgebred ngaan op het Hamlton-spel, welke hetzelfde verloopt als het Connecte-spel maar met een ander doel voor Maker en dus ook voor Kraker. In 982 verscheen er een artkel van Bollobás en Papaoannou [4] waarn zj bewezen dat Maker het Hamlton-spel soweso c log n log log n kan wnnen als b(n) voor een bepaalde constante c > 0. Daarna kwam Beck [5] n 985 met een verbeterd resultaat, nameljk dat Maker altjd kan wnnen als b(n) ( log 2 o()) n. Krvelevch en Szabó [6] verbeterden dt resultaat weer door te bewjzen dat Maker altjd kan wnnen 27 log n als b(n) (log 2 o()) n. Het laatste en slutende resultaat verscheen n log n januar 20 en s afkomstg van Mchael Krvelevch []. Hern bewees hj dat de crtcal bas geljk s aan ( + o()) n. log n Deze scrpte s vooral gebaseerd op het laatstgenoemde artkel. We zullen het bewjs dat Mchael Krvelevch geeft voor het laatstgenoemde resultaat utwerken. Ook zullen we bewjzen van een aantal lemma s de hj gebrukt voor dt bewjs laten zen. U zult wel gemerkt hebben dat deze scrpte n het Nederlands s geschreven. Af en toe zullen er Engelse termen gebrukt worden. Sommge termen zjn net of leljk vertaalbaar naar het Nederlands, daarom s er voor gekozen om n deze gevallen de Engelse term te gebruken. Als laatste wl k van deze gelegenhed gebruk maken om mjn begeleder, Dr. Tobas Müller, te bedanken. Bj hem kon k altjd terecht met vragen en dankzj hem ben k aan dt leuke onderwerp gekomen. 3

6 Hoofdstuk Maker-Kraker spellen In dt hoofdstuk zullen we de defnte van een Maker-Kraker spel en een voorbeeld van zo een spel geven. Daarna zullen we het Hamlton-spel utleggen. Verder zullen we een aantal defntes ut de grafentheore bespreken. De desbetreffende defntes zjn nodg om de bewjzen ut komende hoofdstukken te begrjpen. Een hypergraaf s een tweetal H = (V, W) met V een verzamelng en W P(V ) een verzamelng deelverzamelngen van V. We noemen de elementen van W ook wel hyperljnen. Een Maker-Kraker spel (H, a, b) s een spel dat wordt gespeeld op een hypergraaf H = (V, W) door twee spelers, Maker en Kraker. De elementen van W zjn de wnnende verzamelngen voor Maker. Maker mag a elementen van V per beurt clamen en Kraker b elementen van V. Elementen mogen maar één keer geclamd worden. Als Maker het voor elkaar krjgt om alle elementen van een w W te clamen dan heeft Maker gewonnen. Als Maker her net n slaagt dan heeft Kraker gewonnen. Een voorbeeld van een Maker-Kraker spel s het spel Hex. Dt spel wordt op een bord bestaande ut zeshoeken gespeeld zoals n het volgende plaatje: 4

7 Fguur.: Speelbord van Hex. Er zjn twee spelers, Blauw en Rood, de elke beurt een zeshoek mogen kleuren, Rood begnt. De bedoelng voor bede spelers s om een pad van egen kleur van de ene egen zjde naar de andere egen zjde te maken. V s de verzamelng van zeshoeken en a = b =. Een w W s een verzamelng punten, welke geljk zjn aan de zeshoeken van het speelbord, zodat er een pad van de ene blauwe zjde naar de andere blauwe zjde s. Dat wl zeggen dat w een deelverzamelng van aaneengesloten zeshoeken heeft de een zeshoek aan bede blauwe kanten bevat. Het ende van zo een spel waarbj Blauw/Maker wnt zet er bjvoorbeeld als volgt ut: Fguur.2: Blauw heeft het spel Hex gewonnen. Stel dat Blauw/Maker net wnt en dus geen pad heeft kunnen maken, dan moet er een rood pad van de ene naar de andere rode zjde zjn. Intuïtef s dt al snel dudeljk, maar het geven van een slutend bewjs laten we over aan de lezer. Als Blauw/Maker geen wnnende verzamelng van punten w W 5

8 heeft weten te bemachtgen, dan heeft Rood/Kraker gewonnen en dus s Hex een Maker-Kraker spel. In deze scrpte zullen we het utgebred hebben over het Hamlton-spel. Dt s een Maker-Kraker spel waarbj het speelbord de verzamelng E(K n ) van ljnen van een volledge graaf K n op n punten s. Maker mag een ljn per beurt kleuren, dus a =, en Kraker mag b ljnen per beurt kleuren. Als alle ljnen gekleurd zjn wordt er gekeken of de deelgraaf M van K n, de door Maker s geconstrueerd, een Hamltoncykel bevat. Een graaf G = (V, E) bevat een Hamltoncykel als er een cykel bestaat zodat elk punt v V preces één keer doorlopen wordt. Als dt het geval s voor M dan heeft Maker gewonnen en n het andere geval heeft Kraker gewonnen. Het gaat her dus om een Maker-Kraker spel (H,, b), gespeeld op H = (V, W), waarbj V = E(K n ) en b s varabel. w W als w ljnen ut E(K n ) bevat de samen een Hamltoncykel vormen n K n. Als Maker kan wnnen voor b = 5, zal Maker ook zeker kunnen wnnen voor b =, 2, 3, 4. Deze waarnemng ledt tot de volgende defnte: Defnte.. De crtcal bas van een Maker-Kraker spel (H,, b) s de grootste waarde van b waarvoor Maker een stratege heeft om het spel te wnnen. In het volgende hoofdstuk gaan we voor het Hamlton-spel bewjzen wat de crtcal bas s, hervoor hebben we de volgende defntes nodg: Defnte.2. De externe buurt N G (U) van een deelgraaf U van graaf G = (V, E) s N G (U) = {v V \ V (U) uv E met u V (U)} Defnte.3. Een graaf G = (V, E) s een k-expander als voor elke deelverzamelng U V met U k geldt N G (U) 2 U. Defnte.4. Zj G = (V, E) een graaf, u, v V en uv E. De ljn e = uv s een booster als het langste pad van de graaf G = (V, E e) langer s dan het langste pad van G of als G een Hamltoncykel bevat. 6

9 Hoofdstuk 2 Crtcal Bas van het Hamlton-spel In dt hoofdstuk formuleren we de hoofdstellng van deze scrpte en geven we een bewjs hervan. Hoofdstellng. De crtcal bas voor het Hamlton-spel s ( + o())n/log n. We stellen het bewjs even ut en zullen eerst twee grote stellngen bewjzen waarut dan drect de hoofdstellng volgt. Ter hernnerng, we schrjven f(n) f(n) = o(g(n)) als lm n = 0 en f(n) = O(g(n)) als M > 0 en N R g(n) zodat n > N geldt f(n) M g(n). Stellng 2.. Voor b ( 30 log /4 n ) n log n heeft Maker een stratege om het (:b)-hamlton-spel op K n bnnen 4n beurten te wnnen voor n N groot genoeg. Bewjs. Het bewjs bestaat ut dre stappen. Eerst laten we zen dat voor b ( 30 ) n Maker een k log /4 n log n 0-expander kan maken n hoogstens 2n beurten. Daarna maken we n hoogstens O(n/k 0 ) beurten Makers graaf samenhangend. Tot slot bewjzen we dat Maker n staat s een Hamltoncykel van deze graaf te maken n hoogstens n beurten. Gedurende dt bewjs zullen we vaak M en B gebruken, hermee bedoelen we de op dat moment hudge graaf van Maker en Kraker. Ook gebruken we de volgende parameters met bjbehorende waarden: 7

10 δ 0 = δ 0 (n) = 6 log /2 n δ = δ(n) = 5 log /4 n ɛ = ɛ(n) = 30 log /4 n k 0 = k 0 (n) = δ 0 n = 6n log /2 n Stap : We gaan een gerandomseerde stratege voor Maker geven en bewjzen dat als Maker met deze stratege speelt, er een posteve kans s dat Maker een k 0 -expander creëert. Aan het end van deze stap leggen we ut waarom dt mplceert dat Maker dan ook een net-gerandomseerde stratege heeft waarmee hj een k 0 -expander kan maken. De stratege: Zolang er een of meerdere punten n Makers graaf M zjn met een lagere graad dan 2, selecteert Maker een van deze punten v met dang(v) = deg B (v) 2b deg M (v) zo groot mogeljk. Maker kest een ljn de v bevat per toeval, unform ut alle nog net geclamde ljnen de v bevatten. Herbj s deg G (v) voor een punt v E(G) de graad van v n G, dat wl zeggen het aantal ljnen n E(G) waar v een punt van s. De stratege stopt zodra elk punt mnstens graad 2 heeft, dt kan dus hoogstens 2n beurten duren. Gebauer en Szabó [2] bewezen dat deze stratege gegarandeerd een graaf voor Maker oplevert waarn elk punt mnstens graad 2 heeft. Een ander resultaat dat we zullen gebruken s onderstaand lemma. ( ɛ)n Lemma 2.2. In een ( : )-spel op K ln n n waar Maker de bovenstaande stratege gebrukt, geldt dat voor elk punt v V (M) eerder deg M (v) 2 geldt dan deg B (v) ( δ)n. Dt lemma kan op dezelfde maner bewezen worden als het bewjs van Stellng.2 ut [2] en we laten dt aan de lezer over. We gaan verder met de graaf M, welke de graaf van Maker s nadat Maker door de toegepaste stratege een graaf heeft waarn elk punt mnstens graad 2 heeft. Voor M gaan we bewjzen dat er een posteve kans s dat M een k 0 - expander s. Stel nu dat M geen k 0 -expander s, dan zjn er deelverzamelngen A, B V zodat A = k 0, N M (A) B en B 2. Zj E A de verzamelng ljnen n M de een punt n A bevatten. We weten nu: 8

11 () 5. Stel nameljk < 5 dan B 2 7. Maar aangezen de graad van elk punt mnstens 2 s, geldt ook B 9. (2) E A 6. Elk punt heeft mnstens graad 2 en als we dan vanut elk punt n A de ljnen tellen, kunnen ljnen dubbel geteld worden doordat het een ljn uv s met u, v A, daarom delen we door 2 en krjgen we E A 2 2 = 6. Zj e E A gekozen door v A B. We kjken naar de stuate voordat e gekozen werd, toen: (a) deg M (v), anders zou v noot gekozen worden bnnen onze stratege. (b) deg B (v) < ( δ)n, wegens (a) en Lemma 2.2. (c) Er zjn n deg M (v) deg B (v) δn 2 ljnen de v bevatten en nog net zjn gekleurd. De kans dat voor de gekozen ljn e = uv geldt u A B, s klener of geljk aan A B 3 2. De kans dat N δn 2 δn 2 M(A) B, s dus klener of geljk aan ( 3 2 6, δn 2) want er zjn mnstens 6 ljnen wegens (2). Nu s de kans op geen k 0 -expander hoogstens k 0 =5 ( n )( n 2 ) ( ) [ k 0 en ( en ) ( ) ] δn 2 2 δn =5 [ k 0 ( ) ] 3 = 4 5 e 3. n δ 6 ( n ) staat voor het aantal mogeljkheden om de verzamelng A te kezen en ( n 2 ) staat voor het aantal mogeljkheden om daarna B te kezen. Voor een bewjs van de bovenstaande vergeljkng, ze Lemma 4. n de Appendx. Er geldt k 0 lm n =5 [ 4 5 e 3 ( n =5 ) ] 3 = 0, dt wordt ook n de Appendx bewezen, ze Lemma 4.2. We weten nu dat de kans op geen k 0 -expander naar 0 gaat voor n naar onendg. Er s dus een posteve kans dat M een k 0 -expander s voor n groot genoeg. We zullen nu laten zen dat dt mplceert dat Maker dan ook een net-gerandomseerde 9 δ 6

12 stratege heeft waarmee hj gegarandeerd een k 0 -expander kan maken. We merken allereerst op dat n een Maker-Kraker spel altjd één van bede spelers een (net-gerandomseerde) wnnende stratege heeft. Dt kan je als volgt nzen: We kunnen van alle mogeljke toestanden van het spelbord een boom maken. Herbj s de wortel de toestand aan het begn van het spel wanneer nog geen enkel element van het bord geclamd s door de spelers. Een ouder heeft als knderen alle mogeljke toestanden de ut de ouder verkregen kunnen worden door één zet van degene de aan de beurt s ut te voeren. De bladeren zjn dus de toestanden waarn alle elementen van het bord geclamd zjn, door één van bede spelers, en er dus geen zetten meer mogeljk zjn. Vervolgens gaan we de hele boom labellen begnnend bj de bladeren. We geven elk blad dat een toestand s waarbj Maker het spel gewonnen heeft het label M. Als een blad net het label M heeft, labelen we dt blad met B. Als alle knderen van een ouder gelabeld zjn kjken we we er aan de beurt s op dt moment en gaan we deze ouder labellen. Als Maker aan de beurt s en tenmnste één knd s gelabeld met M, labellen we de ouder met M. In het andere geval dat Maker aan de beurt s en alle knderen zjn met B gelabeld, labellen we de ouder met B. Als Kraker aan de beurt s doen we preces hetzelfde, maar dan met de rollen van M en B omgedraad. Op deze maner zullen we utendeljk de wortel van de boom labellen. Ofwel met M, n welk geval Maker een (net-gerandomseerde) wnnende stratege heeft. Ofwel met B n welk geval Kraker een (net-gerandomseerde) wnnende stratege heeft. We noemen het Maker-Kraker spel, dat gespeeld wordt op de ljnen van een volledge graaf en waarbj het doel van Maker een k 0 -expander creëren s, het k 0 -expander spel. Stel nu dat Kraker een wnnende (net-gerandomseerde) stratege heeft. Maker zal dan altjd het k 0 -expander spel verlezen als hj tegen een optmaal spelende Kraker speelt. In het bjzonder zal Maker dus wnnen met kans 0 als hj met een gerandomseerde stratege speelt. Maar we hebben net bewezen dat de kans dat Maker een k 0 -expander creëert groter dan 0 s als Maker met de door ons beschreven gerandomseerde stratege speelt. Dt geeft een tegenspraak en dus kan Kraker geen (netgerandomseerde) wnnende stratege hebben. Herut volgt dat Maker een (net-gerandomseerde) wnnende stratege heeft voor het k 0 -expander spel. We laten Maker een k 0 -expander creëren. De zo verkregen graaf M van maker s n hoogstens 2n rondes gecreëerd. Met de deelgraaf M van K n werken we n de volgende stap verder. 0

13 In stap 2 gebruken we het volgende lemma waarvan we het bewjs utstellen tot hoofdstuk 3. Lemma 2.3. Zj de graaf G = (V, E) een k-expander. Voor elke maxmale samenhangende deelgraaf G = (V, E ) van G geldt V 3k. Stap 2: M s nu een k 0 -expander, maar net noodzakeljk samenhangend. Wegens Lemma 2.3 geldt nu dat elke maxmale samenhangende deelgraaf mnstens 3k 0 punten heeft. Er zjn dus hoogstens n 3k 0 ljnen nodg om M samenhangend te maken. Tussen elk tweetal maxmaal samenhangende deelgrafen zjn mnstens 9k0 2 = 324n2 verschllende ljnen. Er s altjd zo een log n ljn over voor Maker om te kezen aangezen Kraker na deze ronde hoogstens (2n + n 3k 0 ) b < 3n2 ljnen op het bord heeft gekleurd. We laten Maker log n een samenhangende k 0 -expander M maken en gaan her n de volgende stap mee verder. Dt heeft hoogstens n 3k 0 < n rondes geduurd. In stap 3 gebruken we het volgende lemma waarvan we het bewjs ook utstellen tot hoofdstuk 3. Lemma 2.4. Zj de samenhangende graaf G = (V, E) een k-expander de geen Hamltoncykel bevat. Mnstens (k+)2 ljnen e met e E zjn boosters. 2 Stap 3: M s nu een samenhangende k 0 -expander, als M toevallg een Hamltoncykel bevat zjn we klaar. Stel M bevat geen Hamltoncykel, dan weten we wegens Lemma 2.4 dat er soweso k2 0 2 boosters zjn. Laat Maker nu elke beurt zo n booster toevoegen, totdat M een Hamltoncykel bevat. Dt duurt hoogstens n beurten aangezen een Hamltoncykel lengte n heeft. Nu moeten we nog verfëren dat Kraker net alle boosters heeft gekleurd voordat Maker zjn Hamltoncykel heeft kunnen creëren. Kraker heeft aan het end van stap dre hoogstens 4n b 4n2 < 8n2 = k2 0 log n log n 2 ljnen gekleurd. Dus n elke beurt tot beurt 4n s er nog een booster de Maker kan kezen. Nu s bewezen dat voor b ( 30 ) n Maker een stratege heeft om log /4 n log n het Hamlton-spel (H,, b) dat gespeeld wordt op K n bnnen 4n beurten te wnnen voor n N groot genoeg. Alvorens aan de volgende stellng te begnnen ntroduceren we nog een ander Maker-Kraker spel, nameljk het Box-spel B(k, t, m). Dt wordt gespeeld op een kanoneke hypergraaf H(V, E) van type (k, t). Een kanoneke hypergraaf s een hypergraaf waarbj voor alle e, e E geldt e e. H(V, E) s van type (k, t) als E = k, e E e = t en elk punt v V s n

14 maxmaal één hyperljn e E bevat. We noteren de verzamelng hyperljnen van een kanoneke hypergraaf H van type (k, t) n het vervolg als A,..., A k. Als we dt tekenen zet het er als volgt ut: A A 2 A 3 A 4 A 5 Fguur 2.: Kanoneke hypergraaf van type (5, 22). Tjdens het Box-spel mag Maker m punten per beurt kleuren en Kraker één. Doel van Maker s om alle punten ut een verzamelng A, ( =, 2,..., k), te kleuren. Het volgende lemma s een stellng ut een artkel van Chvátal en Erdős [3], deze zullen we nodg hebben voor het bewjs van de volgende stellng. Herbj s f(k, m) als volgt gedefneerd: f(, m) = 0 en f(k, m) = k(f(k, m) + m)/(k ). Een bewjs van dt lemma wordt gegeven n het volgende hoofdstuk. Lemma 2.5. Maker heeft een wnnende stratege voor het Box-spel B(k, t, m) dan en slechts dan als t f(k, m). Verder vermelden we nog de volgende ongeljkhed voor k N 2 en m N welke n de Appendx bewezen zal worden (Lemma 4.3). k (m )k = k f(k, m) mk = (2.) Stellng 2.6. Voor b > ( + ζ) n met ζ > 0 constant s Kraker n staat om log n een punt van K n te soleren tjdens het spelen van het Hamlton-spel op K n voor n groot genoeg. Bewjs. Eerst gaan we laten zen dat Kraker n staat s om een klek C van k = n punten te maken n k beurten zodat V (C) V (M) =. Herbj 2 log n s V (M) de verzamelng punten van Maker zjn graaf. Een deelgraaf C van een graaf G s een klek als voor alle punten u, v V (C) geldt dat uv E(C). 2

15 We gaan nducte gebruken. Bass stap: Kraker kest een wllekeurge ljn e = uv met de egenschap dat u, v V (M). Kraker heeft nu een klek van 2 punten. Maker kan n zjn beurt slechts één van deze punten bereken en dus bljft er soweso een klek van één punt over voor Kraker. Inducte stap: Stel nu dat Kraker een klek C van t < k punten heeft. Kraker kest een ljn e = uv met de egenschap dat u, v V (M) en u, v V (C ). Nu kest Kraker alle ljnen uv en u v waarvoor geldt u, v C. Dt zjn hoogstens 2 ( n ) < n ljnen dus dt kan 2 log n log n aangezen b > ( + ζ) n. Kraker heeft nu een klek log n C van t + punten. Maker mag nu een ljn kezen en berekt daarmee hoogstens een punt v van C, want C s een klek. C \ {v} = C s nu een klek van t punten. Op deze maner zjn er hoogstens k beurten nodg om Kraker een klek C van k punten te laten maken. Naar aanledng van de verkregen klek C van k = n punten gaan we een 2 log n kanoneke hypergraaf H(V, E) maken. Als punten nemen we de ljnen van K n, dus V = E(K n ). We defnëren voor alle v V (C), E v = {e E(K n ) e E(C) en v e}. Nu laten we Kraker het Box-spel B(k, k(n k), b) op deze dudeljk kanoneke hypergraaf van type (k, k(n k)) spelen, n het Box-spel neemt Kraker de rol van Maker n. Er geldt k k(n k) (b )k = f(k, b), de lnker ongeljkhed wordt n Lemma 4.4 n de Appendx bewezen en de andere volgt ut (2.). Wegens Lemma 2.5 heeft Kraker een stratege om het Box-spel te wnnen. We laten Kraker met deze stratege spelen en zo verovert Kraker een E v E. Het punt v s nu geïsoleerd en daarmee s deze stellng bewezen. Nu geven we een bewjs van de hoofdstellng. Bewjs. Ut Stellng 2. volgt dat voor b ( 30 ) n en n naar onendg log /4 n log n Maker het Hamlton-spel zal wnnen. Ut Stellng 2.6 volgt dat Kraker wnt voor b > ( + ζ)n/log n met n naar onendg en ζ > 0 constant. Als Kraker nameljk n staat s om een punt v te soleren, zal Maker noot meer een Hamltoncykel kunnen maken aangezen v noot meer berekt kan worden 30 door Maker. = o() en ζ kunnen we wllekeurg klen kezen. Herut log /4 n volgt dat de crtcal bas voor het Hamlton-spel op K n met n naar onendg geljk s aan ( + o())n/log n. 3

16 Hoofdstuk 3 Lemma s Het eerste lemma dat we gaan bewjzen gebrukt Posa s Rotaton-Extenson Technque. Deze technek zal eerst utgelegd worden. Zj P = x 0 x...x h een langste pad n een graaf G = (V, E). x x 3 x 5 x 0 x 2 x 4 x 6 Fguur 3.: Een langste pad P n een graaf G. Stel x x h E voor 0 < h, dan kunnen we een ander langste pad Q maken door de ljn x x h toe te voegen en de ljn x x + te verwjderen. x x 6 x 4 x 0 x 2 x 5 x 3 Fguur 3.2: Een ander langste pad verkregen ut P n een graaf G. 4

17 Op dt neuwe pad Q kunnen we dt trucje herhalen. We defnëren R P als de verzamelng van alle mogeljke (rechter-) endpunten van paden de verkregen kunnen worden ut P door het één of meerdere keren toepassen van deze operate. R + P en R P zjn de verzamelngen van drect opvolgende en voorafgaande punten op het pad P van punten n R P. Lemma 3.. Zj de samenhangende graaf G = (V, E) een k-expander de geen Hamlton-cykel bevat. Mnstens (k+)2 2 ljnen e met e E zjn boosters. Bewjs. Zj P = x 0 x...x h een langste pad n G en R P, R + P en R P zoals herboven beschreven. Eerst bewjzen we N G (R P ) R P R+ P. Zj x R P en y V (G) \ (R P R P R+ P ). We kjken naar twee mogeljkheden: Mogeljkhed : y V (G) \ V (P ), dan xy E(G), want anders zou er een langer pad bestaan door de ljn xy toe te voegen aan een pad verkregen ut P met endpunt x. Mogeljkhed 2: y V (G) \ V (P ) en dus y V (P ) \ (R P R P R+ P ). Zj y en y + de voorganger en opvolger van y op het pad P. y x 0 y y + x h Fguur 3.3: Pad P met y, y en y+. Elk pad dat door Posa s Rotaton-Extenson Technque ut P kan worden verkregen bevat de ljnen (y, y) en (y, y + ), anders zou y R P R P R+ P gelden. Zj Q het pad verkregen ut P met endpunt x. Stel nu dat (x, y) E(G) geldt, dan kunnen we het pad Q maken met y + als endpunt door te begnnen met het pad Q en her Posa s Rotaton-Extenson Technque op los te laten. Dt wordt geïllustreerd n de volgende afbeeldng: 5

18 y x 0 y y + x Fguur 3.4: Pad Q met y, y en y+. Nu yy + E(Q) en dt geeft een tegenspraak. We kunnen nu concluderen dat x R P en y V (G)\(R P R P R+ P ) geldt xy E(G) en dus s de bewerng N G (R P ) R P R+ P bewezen. Omdat G een k-expander s en N G (R P ) R P R+ P = 2 R P, geldt nu R P k+. We merken nu op, dat voor elk pad P = x 0...x h van maxmale lengte de ljn x 0 x h een booster s. Dt s als volgt n te zen. Stel x 0 x h E en h < V (G), dan s er een punt y P met yx E voor een {0,,..., h} (G s samenhangend). P = yx...x h x 0...x s nu een langer pad dan P. Stel x 0 x h E en h = V (G) dan zou G een Hamltoncykel bevatten. Bede gevallen geven een tegenspraak en dus x 0 x h E. Als we x 0 x h toevoegen zen we n het geval dat h = V (G) dat C = x 0 x...x h x 0 een Hamltoncykel s. In het andere geval, dat h < V (G), s C = x 0 x...x h x 0 een (h + )- cykel. Omdat G samenhangend s, moet er een punt y C zjn met yx E. P = yx...x h x 0...x s nu een langer pad dan P. Het volstaat nu dus te laten zen dat tenmnste (k+)2 paren {u, v} de endpunten van een langste pad zjn. Laat P = x 0...x h een langste pad zjn. 2 Er geldt R P k +, dus voor tenmnste k + ndces s {x 0, x } een paar endpunten van een langste pad. Er zjn dus k + langste paden met x 0 als begnpunt en verschllende endpunten. Voor elk endpunt y van zo een langste pad met begnpunt x 0 kunnen we het pad ook omgekeerd zen en y en x 0 als begn- en endpunt nemen. Herop kunnen we weer Posa s Rotaton-Extenson Technque loslaten en concluderen dat er mnstens k + langste paden met y als begnpunt en verschllende endpunten zjn. In totaal kunnen we zo (k + ) 2 paren {u, v}, welke de endpunten van een langste pad zjn, aanwjzen. Paren kunnen alleen wel dubbel geteld worden. Omdat de ljnen xy en yx hetzelfde zjn, zjn er mnstens (k+)2 boosters. 2 Lemma 3.2. Zj de graaf G = (V, E) een k-expander. Voor elke maxmale samenhangende deelgraaf G = (V, E ) van G geldt V 3k. 6

19 Bewjs. Stel dat G = (V, E ) een maxmale samenhangende deelgraaf van G s met V < 3k. Zj U V een wllekeurge deelverzamelng met U = mn{ V, k}. Dan geldt U > V. 3 G s een k-expander, U V en U k dus N G (U) 2 U. Ook geldt N G (U) V, want als dt net zou gelden zou G net een maxmale samenhangende deelgraaf zjn. Nu volgt V N G (U) + U 3 U > V, tegenspraak. In Hoofdstuk 2 hebben we al utgelegd wat het Box-spel s en we gaven ook de recurseve functe f(k, m) met de ongeljkhed k (m )k = k f(k, m) mk voor k N 2 en m N. Ter herhalng, f(, m) = 0 en f(k, m) = k(f(k, m) + m)/(k ). = (3.) Lemma 3.3. Maker heeft een wnnende stratege voor het Box-spel B(k, t, m) dan en slechts dan als t f(k, m). Bewjs. Voor het geval k = geldt f(, m) = 0, t 0 en zal Kraker altjd wnnen. We bewjzen de stellng nu voor k 2. Eerst bewjzen we dat t f(k, m) mplceert dat er een wnnende stratege voor Maker s, dt doen we met nducte op k. Zj k = 2, dan t f(2, m) = 2(f(, m) + m) = 2m en ook t 2 m. Nadat Kraker een punt v heeft gekleurd, mogen we aannemen dat v A anders kunnen we de rollen van A en A 2 omdraaen. Omdat H kanonek s, weten we dat A 2 t 2 m en Maker kan alle punten n A 2 kleuren en wnt daarmee het spel. Nu nemen we aan dat voor t f(k, m) Maker een wnnende stratege heeft voor het Box-spel B(k, t, m). We laten Maker en Kraker het Boxspel B(k, t, m) spelen. Na de eerste beurt van Kraker kunnen we de hyperljn waar Kraker een punt n heeft gekleurd weggooen en zo verder gaan met H met de hyperljnen A,..., A k. We laten Maker nu zjn m punten kleuren zodat de hypergraaf H, welke H zonder de door Maker gekleurde punten s, kanonek en van type (k, t ) s. Dt kan door Maker elke keer een punt te laten kezen ut een hyperljn de maxmale grootte heeft. We weten k t f(k, m) = (f(k, m) + m) k k (f(k, m) + m) k t t m f(k, m) k 7

20 en aangezen f(k, m), t en m gehele getallen zjn geldt ook t t t m f(k, m). k Wegens onze nducte-aanname heeft Maker een wnnende stratege voor B(k, t, m) en dus ook voor B(k, t, m). Nu bewjzen we het lemma de andere kant op, dt doen we wederom met nducte op k. We bewjzen dat voor t > f(k, m) geldt dat Kraker een wnnende stratege heeft voor het Box-spel op een wllekeurge hypergraaf (dus net per se kanonek) van type (k, t). Herut volgt dat Maker dan ook geen stratege voor het Box-spel op een wllekeurge en dus ook net op een kanoneke hypergraaf van type (k, t) kan hebben. Zj k = 2, dan t > f(2, m) = 2m en dus t > m, laat Kraker een punt kezen 2 de tot een hyperljn van mnmale grootte behoort. Dan kan Maker noot wnnen omdat de andere hyperljn mnmaal t punten bevat. Maker kan 2 net n één beurt deze hyperljn kleuren en Kraker kan nu het spel endgen door een punt ut deze hyperljn te kleuren. We nemen aan dat voor t > f(k, m) Kraker een wnnende stratege heeft. Laat Kraker een punt kezen van een hyperljn met een mnmaal aantal punten, deze ljn gooen we weg. Daarna doet Maker wat hj wl en deze punten verwjderen we ook. De zo verkregen hypergraaf H s van type (k, t ) en net perse kanonek. Herbj geldt en omdat t geheel s geldt ook dus k t > f(k, m) = (f(k, m) + m) k t > k (f(k, m) + m) k f(k, m) < t t k m t t k m, t t t m > f(k, m). k Wegens onze nducte-aanname zjn we nu klaar. 8

21 Hoofdstuk 4 Appendx Dverse malen verwezen we naar de Appendx, we zullen her dan ook een aantal ongeljkheden bewjzen. Herbj gebruken we de volgens parameters: δ 0 = δ 0 (n) = 6 log /2 n δ = δ(n) = 5 log /4 n k 0 = k 0 (n) = δ 0 n = 6n log /2 n Lemma 4.. Voor n N groot genoeg geldt k 0 =5 ( n )( n 2 ) ( ) k 0 δn 2 =5 [ en ( en ) ( ) ] δn Bewjs. Het s voldoende om de volgende dre ongeljkheden te bewjzen voor 5 k 0 en n groot genoeg: ( ) n ( en ( ) n δn 2 4 δn ) (4.) ( en ) 2 (4.2) 2 (4.3) We gaan nu de eerste ongeljkhed bewjzen met behulp van de volgende twee ongeljkheden: 9

22 e (4.4) ( e )! (4.5) Deze zullen we nu eerst bewjzen. We benaderen e x met behulp van een Taylorbenaderng rond 0, dan voor een ξ R En dus e x = + x + x2 2 + x3 6 eξ e = + ( )2 2 ( ) 2( ) ( )3 e ξ 6 Nu zen we dat e geldt en s (4.4) bewezen. Met nducte gaan we (4.5) bewjzen. Voor = geldt e, voor 2:! = ( )! ( ) (Inductestap) e ( ) ( ) = e ( ) ( = ) e ( ) (e ) (wegens(4.4)) e ( ) = e Nu ( ) n = n! n ( ne!(n )!! ) en daarmee s (4.) bewezen. 20

23 We gaan verder met een bewjs van (4.2). Voor n N groot genoeg geldt 2 en dus ook 2 2k log /2 n 0 = 2n n. log /2 n ( ) n (n )! = 2 (2 )!(n (3 ))! 2(n )! ( e ) 2 (wegens(4.5)) (n (3 ))! 2 ( e 2n 2 2 ( en ) 2 = 2 ( en ) 2 2 ) 2 Hermee hebben we (4.2) bewezen. Merk op dat voor n N groot genoeg geldt δn 2 en dus: 4 4 δn 2 0 δn δn δn 2 δn δn 2 4 δn 3 2 δn 2 4 δn Nu s (4.3) ook bewezen en kunnen we concluderen dat voor n N groot genoeg geldt. k 0 =5 ( n )( n 2 ) ( ) k 0 δn 2 =5 [ en ( en ) ( ) ] δn 2

24 [ Lemma 4.2. lm k0 n =5 Bewjs. Voor 5 n geldt: 4 5 e 3 ( n ) 3 δ 6 ] = 0. ( ) 3 n ( ) 3 n = n 3/2 n Nu n [ ( ) e 3 n δ 6 =5 δ 6 = log3/2 n 5 6 log 3/2 n. ] [ ] 5 n 4 5 e 3 n 3/2 log 3/2 n ( ) 7 log n = 4 25 e 5 n n = o(). We hebben k 0 n = δ 0, dus 4 5 e 3 ( n ) 3 δ 6 45 e 3 δ3 0 δ 6 = 45 e < en Dus ook [ k 0 =5 k 0 = n 4 5 e 3 ( n [ 4 5 e 3 ( n ) ] 3 ( 4 5 e 3 δ0 3 n δ 6 = o(). δ 6 ) n ) 3 δ 6 ] = o() en hermee s dt lemma bewezen. 22

25 Lemma 4.3. Gegeven f(, m) = 0, f(k, m) = k(f(k, m) + m)/(k ), k, m N en k 2 geldt k (m )k = k f(k, m) mk Bewjs. Eerst bewjzen we met nducte op k dat (m )k k = Voor k = 2 geldt (m )2 2m. Stel dat (m )k k = geldt, dan: f(k +, m) = k + k (k + )m f(k, m) + k k (m )(k + ) = k (m )(k + ) = k (m )(k + ) = k = (m )(k + ) = =. (k + )m + k + (k + )m k + (k + )m k Nu bewjzen we met nducte op k f(k, m) mk k = 2m 2m. Stel dat f(k, m) mk k = geldt, dan: f(k +, m) = k + (f(k, m) + m) k k + k k (mk = k = (k + )m = k = m(k + )( ) = + m) + m(k + ) k f(k, m). f(k, m) k + k. Voor k = 2 geldt 23

26 Lemma 4.4. Voor n groot genoeg, geldt: waarbj b > ( + ɛ) n log n Bewjs. Merk op dat k k(n k) (b )k = met ɛ > 0 constant, k = n, 2 log n. dus: k (b ) = N = N x dx = log N, n k (( + ɛ) log n )( = ( + ɛ log n n ) n log n (log k ) n 2 log n n 2 log n ) n log 2 log n = ( + ɛ + o()) (log n( + o()) log n log n = ( + ɛ + o())n( + o()) > n k. En daarmee hebben we bewezen dat geldt. k k(n k) (b )k = 24

27 Hoofdstuk 5 Populare samenvattng We kunnen de volledge graaf K 7 als speelbord van een spel met twee spelers gebruken. We noemen de twee spelers Rood en Blauw en laten Rood begnnen. Bede spelers mogen per beurt een ljn kleuren. We geven aan Blauw de opdracht om zoveel ljnen te kleuren, zodat je vanut elk punt p door alleen maar over blauw te lopen elk punt preces één keer kan tegenkomen en weer endgt n p. In de grafentheore noemen we dt een Hamltoncykel. Fguur 5.: Het spel na 2, 7 en 8 beurten. Blauw heeft gewonnen. Als Blauw een Hamltoncykel weet te creëren dan heeft Blauw gewonnen. Rood heeft als doel om te voorkomen dat Blauw een Hamltoncykel creëert en wnt als hem dt lukt. Bj dt spel hebben we dus altjd een wnnaar. We zouden het spel ook moeljker kunnen maken voor Blauw door bjvoorbeeld Rood twee ljnen per beurt te laten kleuren. We zen dan vrj snel n dat er een maner voor Rood s om altjd te wnnen. Nameljk, laat Rood twee ljnen ut hetzelfde punt p kezen. Als Blauw nog wl kunnen wnnen moet Blauw een ljn vanut dtzelfde punt kezen. Laat Rood nu twee andere ljnen vanut p kezen. Dan moet Blauw om nog te kunnen wnnen de overgebleven ljn vanut p kezen. Vervolgens herhalen we dt trucje n het punt 25

28 p, welke wel onderdeel van Rood s maar net van Blauw. Heronder n het plaatje s dudeljk te zen hoe dt spel dan verloopt. p p p p p p Fguur 5.2: Het spel na 3, 5 en 7 beurten. Rood heeft gewonnen. De ljnen vanut punt p zjn allemaal vergeven en er s slechts één blauwe ljn de p berekt. Herdoor kunnen we noot va een blauwe ljn p bereken en va een andere blauwe ljn weer weg gaan. Daarom zal Blauw noot meer een Hamltoncykel kunnen creëren en heeft Rood het spel gewonnen. Het spel dat herboven s utgelegd wordt het Hamlton-spel genoemd en s een voorbeeld van een Maker-Kraker spel. Een Maker-Kraker spel (H, a, b) wordt gespeeld op een hypergraaf H(V, W) door Maker en Kraker. Her s V een verzamelng van elementen de de spelers kunnen toe-egenen, n het spel herboven waren dt de ljnen van K 7. Maker s de blauwe speler en Kraker s de rode speler. De verzamelng W bevat deelverzamelngen van V de de wnnende verzamelngen worden genoemd. In het spel herboven s een element w W een verzamelng ljnen de een Hamltoncykel bevat. Heronder s dt dudeljk afgebeeld. Fguur 5.3: Dre verzamelngen van groene ljnen de elk een wnnende verzamelng zjn. 26

29 a staat voor het aantal elementen dat Maker zch mag toe-egenen per beurt, b voor het aantal dat Kraker zch mag toe-egenen. In het bovenstaande spel begonnen we met a = en b =, later gngen we de waarde van b varëren naar 2. We zagen meteen dat voor b = 2 Maker noot kan wnnen als Kraker op zjn slmst speelt. Voor elke waarde van b groter dan 2 zal Maker dus ook net wnnen als Kraker op zjn slmst s. Nu rjst de vraag, voor welke waarde van b zal Maker nog kunnen wnnen als Kraker op zjn slmst speelt? Mchael Krvelevch heeft bewezen dat de crtcal bas voor het Hamltonspel op K n asymptotsch s aan n. Dt wl zeggen dat als voor n N log n b(n) de maxmale waarde van b s waarvoor Maker gehed kan wnnen, b(n) = ( + o())n/ log n. Herbj staat o() voor een functe f(n) waarvan de lmet voor n naar onendg naar 0 gaat. Het bewjs wat Mchael Krvelevch hervoor gegeven heeft s n deze scrpte utvoerg behandeld. 27

30 Bblografe [] M. Krvelevch, The crtcal bas for the Hamltoncty game s b ( 30 ) n, Journal of the Amercan Mathematcal Socety Volume 24, log /4 n log n, (20), [2] H. Gebauer en T. Szabó, Asymptotc random graph ntuton for the based connectvty game, Random Structures and Algorthms, 35, , [3] V. Chvátal en P. Erdős, Based Postonal Games, Annals of Dscrete Mathematcs, 2, , 978. [4] B. Bollobás en A. Papaoannou, A based Hamltonan game, Congressus Numerantum, 35, 05 5, 982. [5] J. Beck, Random graphs and postonal games on the complete graph, Annals of Dscrete Mathematcs, 28, 7 3, 985. [6] M. Krvelevch en T. Szabó, Based postonal games and small hypergraphs wth large covers., Electroncal Journal of Combnatorcs Volume 5,, (2008), publ. R70. 28