een typische component van statistiek

Transcriptie

1 Variabiliteit: een typische component van statistiek Prof. dr. Herman Callaert Statistiek = de wetenschap van het leren uit cijfermateriaal in aanwezigheid van variabiliteit en toeval en waarbij de context van reële onderzoeksvragen cruciaal is. Inhoudstafel 1 Voorbeelden van variabiliteit Melktanden Opbrengst en meststof Aandachtspunten bij onderwijs in de statistiek Opdracht, arm aan statistische ideeën Opdracht, rijk aan statistische ideeën Soorten variabiliteit Natuurlijke variabiliteit Variabiliteit bij het opmeten Variabiliteit van steekproeven Variabiliteit teweeggebracht door factoren in het onderzoek... 4 Centrum voor statistiek

2 1 Voorbeelden van variabiliteit 1.1 Melktanden Rond 6 à 7 jaar beginnen kinderen hun melkgebit te wisselen voor een blijvend gebit. De vraag hoeveel melktanden een kind al kwijt is, kan een wiskundige vraag zijn of een statistische. Lucas zit in het eerste leerjaar en wiskundig : je vraagt aan Lucas hoeveel melktanden hij al kwijt is. statistisch : je vraagt aan Lucas hoeveel melktanden de kinderen in zijn klas al kwijt zijn. Bij de eerste vraag verwacht je een precies en eenduidig antwoord (een deterministisch antwoord), bijvoorbeeld 4 (bij Lucas zijn er al 4 melktanden uitgevallen). De tweede vraag is totaal anders van aard. Uit de context van de vraag weet je dat hier variabiliteit in het spel is: niet alle kinderen verliezen melktanden op hetzelfde ogenblik. De tweede vraag is een vraag waarbij je voorziet dat het antwoord gebaseerd zal zijn op cijfermateriaal waar variabiliteit in zit. Om een dergelijke vraag te beantwoorden, gebruik je geëigende methoden = methoden uit de statistiek. Voor de melktanden zou je bijvoorbeeld kunnen werken met een grafische voorstelling zoals een foto van elk kind met ernaast het aantal uitgevallen melktanden. Of je zou een frequentietabel kunnen opstellen met bijhorend staafdiagram. 1.2 Opbrengst en meststof In een landbouwschool wil men bepalen hoeveel kilogram mais een perceel van 1 are opbrengt als men 4 kg meststof gebruikt. Is dit een statistische vraag? Waarom? Dit is een statistische vraag. Zelfs in labo-omstandigheden waarbij je licht, vochtigheid, temperatuur, nagenoeg constant kan houden, verwacht je dat eenzelfde perceel bij eenzelfde hoeveelheid meststof toch verschillende opbrengsten oplevert wanneer je de proef meerdere keren herhaalt. Je voorziet dat het antwoord gebaseerd zal zijn op cijfermateriaal waar variabiliteit in zit. Je zal methoden uit de statistiek nodig hebben (bijvoorbeeld een betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde maisopbrengst bij 4 kg meststof). Centrum voor statistiek 1

3 2 Aandachtspunten bij onderwijs in de statistiek Leerlingen kunnen het onderscheid maken tussen een opgave waar gevraagd wordt naar een vast deterministisch antwoord een opgave waar gevraagd wordt naar een antwoord dat gebruik maakt van cijfermateriaal waar variabiliteit in zit. Leerlingen kunnen zelf statistische vragen formuleren en daarbij aangeven waarom het een statistische vraag is (anticiperen van variabiliteit). Statistiek is een wetenschap die een coherente set van methoden en technieken aanreikt om met variabiliteit om te gaan. Aandacht voor opdrachten die leren omgaan met variabiliteit stimuleren. 2.1 Opdracht, arm aan statistische ideeën. Topscorers in de Eerste Klasse (Jupiler Pro League) maakten in voorbije seizoenen het volgende aantal doelpunten: 18, 38, 22, 22, 30, 23, 30, en 30. Het gemiddelde is gelijk aan 26.6, de mediaan is 26.5 en de standaardafwijking is Nadat deze berekeningen waren uitgevoerd, zag men dat er bij het overschrijven een fout stond: het getal 38 moet 28 zijn. Welk kengetal zal door deze fout het meest beïnvloed worden? a. het gemiddelde b. de mediaan c. de standaardafwijking Deze opdracht gaat over: ken je de formule en kan je ze uitrekenen? Het is een wiskundige vraag die weinig met statistische ideeën te maken heeft. Nota. Als een leerling denkt dat de standaardafwijking een goede maat is voor het centrum en dat de mediaan iets vertelt over de spreiding, dan is dat hier geen probleem (zolang hij de formules kent). 2.2 Opdracht, rijk aan statistische ideeën. Bij een wedstrijd tussen scholen wordt de 100 meter voor vrouwen gelopen. In jouw school zijn er 3 leerlingen die in deze afstand uitblinken. Hieronder staan de tijden die zij recent in 7 oefenwedstrijden haalden. Emma Jij mag maar één leerling van je school naar Fiebe die wedstrijd sturen. Welke zal je selecteren Amber en waarom? Nu moeten leerlingen zelf de resultaten van Emma, Fiebe en Amber met elkaar vergelijken en aangeven welke statistische grootheden hun selectie ondersteunen (en waarom). Centrum voor statistiek 2

4 3 Soorten variabiliteit Variabiliteit in cijfermateriaal kan veel verschillende oorzaken hebben. Hieronder staan enkele belangrijke bronnen van variabiliteit. 3.1 Natuurlijke variabiliteit In de natuur ontmoet je bijna overal variabiliteit. Op vergelijkbare percelen die eenzelfde hoeveelheid meststof kregen, vind je toch niet dezelfde maisopbrengst. In een klasje van het eerste leerjaar hebben kinderen niet allemaal eenzelfde aantal uitgevallen melktanden. Vlaamse meisjes van 13 jaar zijn gemiddeld 159 cm groot, maar als je de lengte van die meisjes opmeet, dan zie je heel wat verschillen [meer info over de lengte van Vlaamse kinderen vind je in de tekst Normaal verdeelde kansmodellen op Volgens de gegevens van Kind en Gezin was het geboortegewicht van Vlaamse jongens in 2003 gelijk aan 3357 g. Maar als je de geboortegewichten van die kinderen bekijkt, dan ontdek je een enorme variëteit zoals 3010 g, 1520 g, 5180 g, 3200 g, enz. Als je er goed bij nadenkt, dan zie je dat het moeilijk is om variabiliteit te vermijden! In statistiek leer je hoe je met variabiliteit moet omgaan. 3.2 Variabiliteit bij het opmeten Bij wetenschappen zoals fysica, chemie of biologie heb je het al ervaren: geen enkel meettoestel is perfect. Meerdere opmetingen van eenzelfde fysische grootheid geven verschillende resultaten. Door een internationaal verdrag werd in 1875 vastgelegd dat een bepaald stuk metaal, vervaardigd uit platina-iridium, de eenheid van massa is, uitgedrukt in kilogram. Die kilogram wordt bewaard in Sèvres (Frankrijk). Het National Bureau of Standards in de Verenigde Staten heeft een duplicaat van die kilogram van Sèvres en op basis daarvan heeft men getracht een stuk metaal te maken in roestvrij staal dat 10 gram weegt. In een speciale kamer waar druk en temperatuur zo constant mogelijk worden gehouden, weegt men dat stuk metaal al jaren, volgens dezelfde procedure en met hetzelfde ultrafijne weegtoestel. De resultaten lijken goed op elkaar en zien (in gram) eruit als of Vanaf de vijfde decimaal beginnen er verschillen op te treden. Zelfs streng gecontroleerde meetprocedures zijn onderhevig aan meetfouten [meer info over meetfouten vind je in de leerkrachtentekst bij de extra opgaven over verklarende statistiek op In statistiek leer je hoe kansmodellen het gedrag van meetfouten kunnen beschrijven om van daaruit zinvolle uitspraken te doen over de bestudeerde grootheid. Centrum voor statistiek 3

5 3.3 Variabiliteit van steekproeven Als je aan elke leerling in een klas een zakje M&M-snoepjes geeft, dan kan je elk zakje beschouwen als een steekproef uit de grote productieketen van alle M&M s (een steekproef uit de totale populatie van alle M&M-snoepjes). De vraag naar hoeveel percent blauwe M&M-snoepjes er gemaakt worden, kan elke leerling proberen te beantwoorden op basis van het gekregen zakje. Bij de ene zitten er 18 % blauwe in, bij een andere is dat 14 %, of 8 %, of [meer info over steekproefvariabiliteit bij M&M-snoepjes vind je in de tekst Exploratieve statistiek voor de tweede graad op Als je uit de databank van de geboorten in Vlaanderen een steekproef trekt van 70 kinderen die in 2003 geboren zijn en je noteert het geboortegewicht (in gram), dan heb je 70 getallen. Als je nadien uit diezelfde databank op dezelfde manier terug een steekproef van 70 kinderen trekt, dan vind je voor het geboortegewicht terug 70 getallen. Die getallen zullen niet dezelfde zijn als wat je de eerste keer vond. Eigenschappen van populaties bestudeer je vanuit steekproeven. In statistiek leer je omgaan met de variabiliteit van toevallige steekproefuitkomsten om betrouwbare uitspraken te doen over populaties. 3.4 Variabiliteit teweeggebracht door factoren in het onderzoek Specifieke factoren zoals het behoren tot een verschillende groep (man of vrouw) het hebben van een verschillend gedragspatroon (roker of niet roker) het krijgen van een verschillende behandeling (medicijn of placebo) leiden tot een extra studie van variabiliteit. Op vergelijkbare percelen strooi je een verschillende hoeveelheid meststof. Je vindt verschillende opbrengsten. Maar je weet dat, zelfs als je overal eenzelfde hoeveelheid meststof strooit, je ook verschillende opbrengsten kan verwachten (natuurlijke variabiliteit). Hoe moet je nu de geobserveerde variabiliteit bestuderen met die extra factor (verschillende hoeveelheid meststof) in het spel? Is het zo dat meer meststof een hogere opbrengst garandeert? Waarom? [meer info over een analoge studie kan je vinden in de tekst over Regressie op Een volledige zwangerschap duurt 40 weken. Hebben baby s bij wie de zwangerschap minder dan 38 weken duurde een kleiner geboortegewicht dan de andere? Ook hier zal je natuurlijke variabiliteit ontdekken bij al die geboortegewichten. Maar er is een extra factor: de zwangerschapsduur. Hoe verwerk je nu de geobserveerde variabiliteit en welke conclusies kan je trekken? [meer info over deze studie staat in de tekst over Studies naar samenhang op Natuurlijke variabiliteit onderscheiden van variabiliteit teweeggebracht door specifieke factoren is een cruciale component in de statistiek. Een zorgvuldig opgezette studie laat je toe om (een deel van) de variabiliteit onder controle te houden, op weg naar betrouwbare uitspraken. Centrum voor statistiek 4