Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie
|
|
- Petrus Boender
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillende steekproeven uit eenzelfde populatie leveren verschillende (steekproef) resultaten op. Dit onvermijdelijke verschijnsel noemen we steekproefvariabiliteit. Je kan je dan de vraag stellen wat de bruikbaarheid is van een steekproefresultaat, als dit blijkbaar onderhevig is aan de grillen van het toeval Het feit dat uit één steekproef blijkt dat 70% van de leerlingen opnieuw voor JVR zouden kiezen indien ze in het 6 de leerjaar zouden zitten, belet immers niet dat een andere steekproef slechts 9% leerlingen aantreft die opnieuw voor JVR zouden kiezen als hun middelbare school. Volgend gedachteexperiment laat ons toe na te gaan wat de gevolgen van de steekproefvariabiliteit zijn. Voorbeeld: Om de bruikbaarheid van een EAS (enkelvoudig aselecte steekproef) te achterhalen, beschouwen we even een fictieve situatie waarbij we het kenmerk van de hele populatie eigenlijk al kennen: zo kunnen we meteen steekproefresultaten vergelijken met de gekende waarde van de populatie. Stel even dat de werkelijke proportie Vlaamse jongeren van de derde graad die minstens 1 sigaret per dag rookt precies 30% is. We noemen deze populatieproportie p. We onderzoeken welke steekproefproporties p (lees: p-dakje ) zoal kunnen optreden bij een enkelvoudig aselecte steekproef van 1200 leerlingen. De variabiliteit van de steekproefproportie kunnen we onderzoeken door ons de vraag te stellen: Wat zou er gebeuren mochten er heel veel EAS van 1200 eenheden genomen worden? Er worden daartoe 1000 interviewers ingehuurd, die op pad gaan in heel Vlaanderen en daar elk hun EAS van 1200 leerlingen samenstellen. Hieronder zie je het resultaat van de eerste 4 van die 1000 fictieve interviewers: EAS 1 EAS 2 EAS 3 EAS 4 n = 1200 n = 1200 n = 1200 n = 1200 ja: 342 ja: 355 ja: 394 ja: p1 0, p2 0, p3 0, p4 0,
2 Elke interviewer berekent zijn steekproefproportie p i aantal dagelijkse roker s in de steekproef aantal successen 1200 steekproefgrootte. i 1,2,3,...,1000 m.b.v. de formule Onderstaande resultaten zijn ontstaan door simulatie met een computer: deze heeft 1000 keer een EAS van 1200 eenheden perfect nagebootst, waarbij de kans op een dagelijkse roker telkens 30% was. Onderstaande grafiek geeft de steekproefproporties van de 200 eerste interviewers weer, afgerond tot op een duizendste: elk bolletje stemt overeen met 1 resultaat, gelijke resultaten worden op elkaar gestapeld. We stellen vast dat de steekproefproporties tussen 0,28 en 0,32 vaker voorkomen dan de andere. Het feit dat de waarde 0,298 zich 12 keer heeft voorgedaan, wat opvallend meer is dan de andere steekproefproporties, is louter aan het toeval te wijten. Bovenstaande weergave geeft een te grillig patroon voor 1000 interviewers, vandaar dat we de steekproefproporties van alle (1000) interviewers weergeven door een histogram. De breedte van elke balk komt overeen met een interval van mogelijke waarden voor de steekproefproportie p. De hoogte geeft aan hoeveel steekproeven een proportie hadden in dat interval (dit komt dus ook overeen met het aantal bolletjes uit de bovenstaande grafische voorstelling).
3 Het hele histogram geeft de zogenaamde steekproefverdeling weer van de onderzochte grootheid. Het is de grafische voorstelling van alle individuele steekproefproporties van de 1000 interviewers. Uit de steekproefverdeling leiden we 2 kenmerken af. 1. Afwezigheid van vertekening De gemiddelde waarde van alle steekproefproporties p i is 0,29983 en komt dus zeer goed overeen met de werkelijke populatieproportie, nl. p = 0,30. Dit betekent dat er wel interviewers zijn met een steekproef met een te hoge of een te lage proportie in vergelijking met de populatie, maar de afwijkingen zijn niet systematisch te hoog of te laag. Er zijn er ongeveer evenveel met een iets te hoge als een iets te lage steekproefproportie. De afwijkingen zijn louter door het toeval bepaald en niet het gevolg van een slechte samenstelling van de steekproef. 2. Beperkte variabiliteit Hoewel je in principe proporties tussen 0 en 1 kan vinden, blijken alle opgemeten waarden van 0,257 t.e.m. 0,34 te gaan. Met andere woorden de steekproeven vergissen zich in dit voorbeeld nooit met meer dan 0,05 of 5% ten opzichte van de werkelijkheid. Het merendeel van de steekproefproporties wijkt zelfs met hoogstens 0,025 of 2,5% af.
4 Het feit dat de steekproefproporties van verschillende steekproeven variabel zijn, betekent dus blijkbaar helemaal niet dat ze lukraak zijn, dat is een groot verschil! Niet alle waarden van p zullen zich zomaar voordoen. Bij een EAS met steekproefgrootte 1200, zoals hierboven, blijken ze alle in de onmiddellijke omgeving van de gezochte populatieproportie te liggen (symmetrisch gegroepeerd rond de gezochte populatieproportie p). Dat is goed nieuws: de onzekerheid, die met elke steekproefneming gepaard gaat, is dus een beperkte onzekerheid. De steekproefverdeling geeft ons een zicht op het toevallige karakter van steekproefresultaten. Ze toont ons de regelmaat die achter de variabiliteit verscholen zit. Zonder het bestaan van dergelijke steekproefverdeling zou de statistiek niet mogelijk zijn: jouw steekproefresultaat zou geen enkel verband tonen met het steekproefresultaat van iemand anders over dezelfde populatie. Probleem is echter dat je als statisticus dergelijke steekproefverdeling nooit te zien krijgt, aangezien je altijd maar één enkele steekproef uit de populatie neemt. De steekproefverdeling is het antwoord op de vraag: Wat zou er gebeuren mochten we deze steekproefneming heel vaak herhalen? Gelukkig stelden we vast dat bij een EAS de meeste steekproefproporties heel dicht bij de populatieproportie liggen. We kunnen er dus vrij zeker van zijn dat één enkel steekproefresultaat, wat je in de praktijk altijd maar hebt, ons een resultaat zal geven dat dicht bij de waarheid ligt. We proberen nu vrij zeker en dicht bij de waarheid wat preciezer te omschrijven.
5 Wanneer we kijken naar de 1000 interviewers zien we dat 944 een steekproefproportie p vonden tussen 0,275 en 0,325 ( [0,275;0.325] ). Uit deze vaststelling kunnen we in 3 stappen komen tot een statistische uitspraak, die de betrouwbaarheid van een individuele steekproef uitdrukt. STAP 1: een globale uitspraak over alle steekproeven 94,4% van alle steekproeven geven een proportie binnen een afstand van 0,025 (2,5%) t.o.v. de werkelijke populatieproportie. Deze uitspraak zegt al iets over de grootte van de variabiliteit bij het gros van de steekproefresultaten. Door slechts 94,4% van de centrale resultaten te nemen, worden de 5,6% meest extreme waarden buiten beschouwing gelaten. Vrij dicht bij de waarheid betekent dus op een afstand van niet meer dan 0,025 (2,5%). Dat de steekproefproporties symmetrisch rond het gemiddelde liggen, is het gevolg van het gebruik van een EAS.
6 STAP 2: een uitspraak over een individuele steekproef Voor de statisticus is de uitspraak uit stap 1 echter weinig relevant: in de praktijk neem je immers slechts 1 steekproef. De redenering met 1000 steekproeven is slechts een gedachteexperiment. Elke interviewer kan dankzij de steekproefverdeling echter zeggen: Mijn steekproefproportie heeft een kans van 94,4% om binnen een afstand van 0,025 (2,5%) te liggen t.o.v. de werkelijke populatieproportie. Deze tweede uitspraak maakt duidelijk wat we met vrij zeker (94,4% kans) en dicht bij de waarheid (0,025) bedoelen. Die kans van 94,4% noemt me het betrouwbaarheidsniveau van de uitspraak, die 0,025 de foutenmarge (maximale afwijkingen) bij dat betrouwbaarheidsniveau. Alle 1000 interviewers kunnen die uitspraak doen, 944 onder hen horen ook daadwerkelijk bij die groep die hooguit 0,025 afwijkt t.o.v. de werkelijkheid, al weet niemand of dat voor hem / haar het geval is. STAP 3: een geijkte statistische uitspraak over de populatie Inferentie houdt in dat a.d.h.v. één steekproefresultaat een uitspraak wordt gedaan over de onderzochte populatie, niet over het eigen resultaat. De uitspraak de populatieproportie ligt binnen een afstand van 0,025 van mijn steekproefresultaat is duidelijk niet algemeen geldig. Hoewel 944 van de 1000 interviewers op die manier een correcte uitspraak zouden doen, zullen 56 een verkeerde bewering verspreiden i.v.m. de populatieproportie p. Statistici willen echter betrouwbare uitspraken doen en geven daarom eerlijk aan dat ze slechts een kans van 944 op 1000 (94,4%) hebben om de werkelijke populatieproportie te hebben gevangen in hun interval. Een correcte uitspraak voor alle interviewers is dus: Met een betrouwbaarheid van 94,4% ligt de populatieproportie p op een niet meer dan 0,025 van mijn eigen steekproefresultaat. Daarbij betekent de geijkte uitspraak met betrouwbaarheid van 94,4% : We gebruiken een methode (EAS) die in 94,4% van de gevallen een interval oplevert dat de werkelijke populatiewaarde bevat.
7 Op die manier is je statistische inferentie altijd correct, aangezien je op voorhand aangeeft wat de betrouwbaarheid van je uitspraak is. Niemand kan je verwijten een interval op te geven dat de werkelijke populatieproportie niet bevat. Dat mag echter niet te vaak gebeuren: werk je met een betrouwbaarheid van 94,4%, dan mag je je niet meer dan 56 keer op 1000 vergissen met je interval. Statistici werken niet met een betrouwbaarheidsniveau van 100%, want indien ze zich in geen enkel geval mogen vergissen, kunnen ze maar één ding zeggen, nl. dat de populatieproportie tussen 0% en 100% ligt. Dergelijke uitspraak heeft uiteraard weinig zin. We kunnen de bovenstaande uitspraken ook grafisch voorstellen. De horizontale streepjes stellen de intervallen van elke interviewer voor, bij een betrouwbaarheid van 94,4%. Deze zijn van de vorm pi0,025, pi0,025. Men noemt ze betrouwbaarheidsintervallen bij de gebruikte betrouwbaarheid. Het bolletje in het midden van elk betrouwbaarheidsinterval is de steekproefproportie p i van de interviewer. Het zijn allen schattingen van de onbekende waarde p.
8 Algemeen is een betrouwbaarheidsinterval van de vorm: B.I. = steekproefproportie foutenmarge, steekproefproportie foutenmarge = p f, p f In de praktijk wordt heel vaak gewerkt met een betrouwbaarheidsniveau van 95%. Ook 99% wordt geregeld gebruikt. Wanneer bij een opiniepeiling het betrouwbaarheidsniveau niet wordt vermeld, dan is het (meestal) gelijk aan 95%. We spreken af dat wanneer in opgaven van oefeningen het betrouwbaarheidsniveau niet wordt vermeld we een betrouwbaarheidsniveau van 95% nemen. OPDRACHT 1: a. In plaats van een betrouwbaarheidsniveau van 94,4%, wil je meer zekerheid: je wil en uitspraak kunnen doen die meer dan 99% betrouwbaar is. Welke foutenmarge moet je dan gebruiken? b. Wat is het betrouwbaarheidsniveau van het interval [0,28;032[? OPDRACHT 2: In een krant schrijft een journalist: Uit de laatste opiniepeiling blijkt dat 53% van de stemgerechtigden voor kandidaat A zullen stemmen in de volgende presidentsverkiezingen; deze peiling heeft een foutenmarge van 2%. Dus zijn we zeker dat kandidaat A zal winnen. Waar zit de fout in deze klassieke verkeerde interpretatie van foutenmarges? Geef een juiste statistische uitspraak i.v.m. de betrouwbaarheud van dit opinieonderzoek. Opmerking: Men kan theoretisch aantonen dat de betrouwbaarheid van een EAS niet of nauwelijks afhangt van de populatiegrootte, op voorwaarde dat de populatie minstens 10 keer groter is dan de steekproef. Dit is een grote opluchting voor opiniepeilers: het is niet nodig om een bepaald percentage van de populatie te onderzoeken om betrouwbare resultaten te verkrijgen. Zowel in de Verenigde Staten, met zijn meer dan 300 miljoen inwoners als in België met 11 miljoen inwoners, hebben steekproeven van dezelfde grootte eenzelfde variabiliteit en dus dezelfde foutenmarge bij een bepaald betrouwbaarheidsniveau.
9 Bepalen betrouwbaarheidsintervallen voor de populatieproportie met behulp van grafisch rekentoestel Bij een controle van een steekproef van 400 lampen vond men er 45 slechte. We zoeken op grond hiervan een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het percentage (= de proportie) slechte lampen in de hele populatie. Antwoord: [8,2%;14,3%] Oefeningen Oefening 1: In het onderzoek Tienertijd werden 1960 jongeren tussen 10 en 18 jaar gepeild i.v.m. hun leefwereld. Dit onderzoek werd uitgevoerd door het Centrum voor Bevolkings- en Gezinsstudies. Van die steekproef vonden 45% van de kinderen en jongeren dat hun ouders te weinig tijd hebben om te praten. Aangezien het onderzoek werd uitgevoerd door een onderzoekscentrum, is het verantwoord te veronderstellen dat met een betrouwbare steekproef werd gewerkt, een EAS. Geef een betrouwbaarheidsinterval met een betrouwbaarheid van 95% en geef in gewone taal de betekenis hiervan. Oefening 2: In de spaarpot van Kasper zitten enkel Belgische euromunten van 2 euro. Jonas wil nu weten hoeveel geld er in de spaarpot van Kasper zit zonder het geld effectief te tellen. Hij haalt 40 munten uit de spaarpot en vervangt ze door Franse euromunten van 2 euro. Nadien schudt hij de spaarpot zodat de Franse munten voldoende gemengd zijn met de Belgische en haalt hij opnieuw 40 munten uit de spaarpot. Van de 40 munten blijken er 6 Franse bij te zijn. Geef een 90% betrouwbaarheidsinterval voor het bedrag dat in Kasper zijn spaarpot zit.
10 Oefening 3: In een krantenartikel staat: De anti-laster Liga, één van de belangrijkste Amerikaanse organisaties die zich bezighoudt met de strijd tegen Jodenhaat en racisme, zegt dat 30% van de Europeanen vooroordelen hebben tegenover Joden. Het artikel besloot met: De opiniepeiling, gerealiseerd door het Taylor Nelson Sofres instituut, heeft een foutenmarge van 4,4%. a. Leg aan iemand, die weinig van statistiek afweet, uit wat dergelijke foutenmarge van 4,4% betekent. b. Geef enkele kritische vragen die je bij deze peiling zou kunnen stellen; anders geformuleerd: zou je bijkomende informatie willen vooraleer het cijfer aan te nemen? Oefening 4: Je hebt alle begrippen met betrekking tot betrouwbaarheid van een steekproefresultaat goed verwerkt, indien je de volgende vragen vlot en m.b.v. concrete illustraties kan beantwoorden. a. Wat is het onderscheid tussen steekproefvariabiliteit en steekproefverdeling? b. Wat is het nut van die steekproefverdeling? c. Waarom hadden we die 1000 interviewers nodig, die elk 1200 personen ondervroegen? Hadden we niet beter 1 grote steekproef van personen genomen? d. Hoe verandert de foutenmarge wanneer je het betrouwbaarheidsniveau laat afnemen? Leg uit.
Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2
Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Brecht Dekeyser Pedic 20 november 2013 Gent 1 Inhoud Nieuw in Geogebra 4.2 Kansverdelingen: Berekeningen en grafische voorstellingen Manueel in rekenblad
Nadere informatieHoofdstuk 13. De omvang van een steekproef bepalen
Hoofdstuk 13 De omvang van een steekproef bepalen Steekproefnauwkeurigheid Steekproefnauwkeurigheid: verwijst naar hoe dicht een steekproefgrootheid (bijvoorbeeld het gemiddelde van de antwoorden op een
Nadere informatieWe illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten
Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van
Nadere informatiewerkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample
cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties
Nadere informatieSOCIALE STATISTIEK (deel 2)
SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel
Nadere informatieDe onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat
De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat Met boeken statistiek alleen kan men een hele bibliotheek vullen. Het domein is zo uitgebreid en de maatschappelijke relevantie zo groot dat er inmiddels
Nadere informatiePopulaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Nadere informatie4 HAVO wiskunde A HOOFDSTUK voorkennis 1. soorten verdelingen 2. de normale verdeling 3. betrouwbaarheidsintervallen 4. groepen en kenmerken
4 HAVO wiskunde A HOOFDSTUK 6 0. voorkennis 1. soorten verdelingen 2. de normale verdeling 3. betrouwbaarheidsintervallen 4. groepen en kenmerken 0. voorkennis Centrum- en spreidingsmaten Centrummaten:
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»
Nadere informatieHet belang van context: voorbeelden uit de peilingen wiskunde
Het belang van context: voorbeelden uit de peilingen wiskunde Prof. dr. Herman Callaert Statistiek = de wetenschap van het leren uit cijfermateriaal in aanwezigheid van variabiliteit en toeval en waarbij
Nadere informatieHOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN
HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Populatie en Steekproef
Hoofdstuk 10 Statistische Variabelen (H5 Wis A) Pagina 1 van 8 Paragraaf 10.1 : Populatie en Steekproef Les 1 : Herhaling Definitie Betrouwbaarheidsinterval (BI) Betrouwbaarheidsinterval (BI) = { de waarden
Nadere informatieZin en onzin van normale benaderingen van binomiale verdelingen
Zin en onzin van normale benaderingen van binomiale verdelingen Johan Walrave, docent EHSAL 0. Inleiding Voordat het grafisch rekentoestel in onze school ingevoerd werd, was er onder de statistiekdocenten
Nadere informatieBeschrijvend statistiek
1 Beschrijvend statistiek 1. In een school werd het intelligentiequotiënt gemeten van de leerlingen van het zesde jaar (zie tabel). De getallen werden afgerond tot op de eenheid. De berekeningen mogen
Nadere informatieINDIVIDUELE LEERLINGRESULTATEN
INDIVIDUELE LEERLINGRESULTATEN PARALLELTOETSEN PROJECT ALGEMENE VAKKEN TWEEDE LEERJAAR VAN DE DERDE GRAAD BSO 2019 997799 Secundaire school Z Hoofdstraat 1 9999 GLOOIGEM Inhoud 1. Over deze bundel... 1
Nadere informatieeen typische component van statistiek
Variabiliteit: een typische component van statistiek Prof. dr. Herman Callaert Statistiek = de wetenschap van het leren uit cijfermateriaal in aanwezigheid van variabiliteit en toeval en waarbij de context
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie
Voorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie 1) Vul de volgende uitspraak aan, zodat er een juiste bewering ontstaat: De verdeling van een variabele geeft een opsomming van de categorieën en geeft daarbij
Nadere informatie3 Data verwerven. Domein Statistiek en kansrekening havo A
Domein Statistiek en kansrekening havo A 3 Data verwerven Inhoud 3.0 Statistisch onderzoek 3.1 Experimenteren en simuleren 3.2 Toeval 3.3 Kansen berekenen 3.4 Steekproeven 3.5 Enquêtes 3.6 Overzicht In
Nadere informatieHoofdstuk 5: Steekproevendistributies
Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel
Nadere informatieORS. LEK EN LINGE POSTBUS AL CULEMBORG
ORS. LEK EN LINGE POSTBUS 461 4 AL CULEMBORG Onderstaand rapport is gebaseerd op de afnamegegevens van de groep kandidaten "M6mo6" die uw school na afname van het centraal schriftelijk examen aan Cito
Nadere informatieKlantonderzoek: statistiek!
Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling
Nadere informatieStatistische variabelen. formuleblad
Statistische variabelen formuleblad 0. voorkennis Soorten variabelen Discreet of continu Bij kwantitatieve gegevens gaat het om meetbare gegeven, zoals temperatuur, snelheid of gewicht. Bij een discrete
Nadere informatieS0A17D: Examen Sociale Statistiek (deel 2)
S0A17D: Examen Sociale Statistiek (deel 2) 21 juni 2011 Naam : Jaar en studierichting : Lees volgende aanwijzingen eerst voor het examen te beginnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1
Nadere informatieToetsen van hypothesen
Les 4 Toetsen van hypothesen We hebben tot nu toe enigszins algemeen naar grootheden van populaties gekeken en bediscussieerd hoe we deze grootheden uit steekproeven kunnen schatten. Vaak hebben we echter
Nadere informatieBeschrijvende statistiek
Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je op welke manier centrum- en spreidingsmaten je helpen bij de interpretatie van statistische gegevens. Je leert ook dat grafische voorstellingen
Nadere informatieHoofdstuk 7: Selectie van steekproeven
Hoofdstuk 7: Selectie van steekproeven Inhoudsopgave 7.1. Inleiding... 2 7.1.1. Onderzoekseenheden, populatie en steekproef... 2 Onderzoekseenheden op verschillende niveaus... 2 7.1.2. Steekproeven: twee
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat
Nadere informatieHiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16
modulus strepen: uitkomst > 0 Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n 10 ttest ( x ) 105 101 3,16 n-1 4 t test > t kritisch want 3,16 >,6, dus 105 valt buiten het BI. De cola bevat niet significant
Nadere informatieHoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen
Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1
wiskunde B Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 3 juni 3.30 6.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieHoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen
Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen 3.1 Schatten: Er moet een verbinding worden gelegd tussen de steekproefgrootheden en populatieparameters, willen we op basis van de een iets kunnen zeggen over de ander.
Nadere informatieNormale verdeling. Domein Statistiek en kansrekening havo A
Domein Statistiek en kansrekening havo A 4 Normale verdeling Inhoud 4.0 Een bijzondere verdeling 4.1 Gemiddelde en standaardafwijking 4.2 Normale verdeling 4.3 Rekenen met normale verdelingen 4.4 Steekproef
Nadere informatieMigrerende euromunten
Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in
Nadere informatietudievragen voor het vak TCO-2B
S tudievragen voor het vak TCO-2B 1 Wat is fundamenteel/theoretisch onderzoek? 2 Geef een voorbeeld uit de krant van fundamenteel/theoretisch onderzoek. 3 Wat is het doel van fundamenteel/theoretisch onderzoek?
Nadere informatie7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling
Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel
Nadere informatieBetrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie
Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we
Nadere informatieAntwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden
Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden
Nadere informatieExamen G0N34 Statistiek
Naam: Richting: Examen G0N34 Statistiek 8 september 2010 Enkele richtlijnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1 uur blijven zitten. Je mag gebruik maken van een rekenmachine, het formularium
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:
5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen
Nadere informatieWijzigingen worden door de docent in Edmodo of in de les doorgegeven. Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële functies. Week Onderwerp Opgaven
Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële functies 34 1-1 Lineaire verbanden 35 1-2 1-3 1-4 Gebieden ax + by < c Exponentiële verbanden Logaritmische schaalverdeling 36 1-5 1-6 SV TJZ Verdubbelings- en halveringstijd
Nadere informatieHOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE
HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg
Nadere informatieToetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling
Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for
Nadere informatieCITO AMSTERDAMSEWEG CM ARNHEM
CITO AMSTERDAMSEWEG 13 6814 CM ARNHEM Onderstaand rapport is gebaseerd op de afnamegegevens van de groep kandidaten "Voorbeeld" die uw school na afname van het centraal schriftelijk examen aan Cito heeft
Nadere informatie6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.
Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen
Nadere informatieEXAMEN : Basisbegrippen statistiek. Examen 16 januari 2015
EXAMEN : Basisbegrippen statistiek Examen 16 januari 2015 Oplossingen 1 Vraag 1 a) Leg in max. 3 lijnen uit wat een dichtheidsfunctie is en illustreer met 3 duidelijk verschillende voorbeelden. Een (kans)
Nadere informatieStatistiek basisbegrippen
MARKETING / 07B HBO Marketing / Marketing management Raymond Reinhardt 3R Business Development raymond.reinhardt@3r-bdc.com 3R 1 M Statistiek: wetenschap die gericht is op waarnemen, bestuderen en analyseren
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:
5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van
Nadere informatie<<NAAM SCHOOL>> <<ADRES SCHOOL>>
Onderstaand rapport is gebaseerd op de afnamegegevens van de groep kandidaten "V6netl$$$$" die uw school na afname van het centraal schriftelijk examen aan Cito heeft verstrekt.
Nadere informatieDEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE
DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel
Nadere informatieReconstructie Bedrijfsstatistiek 2016
Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016 Open vragen Vraag 1 1. Bewijs dat σ^² een onvertekende schatter is voor σ²=σi 1/n * Xi² 2. Bereken de variantie van o^² 3. Is de schatter consistent? 4. Teken chi-kwadraat
Nadere informatieKansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven
Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2010-2011 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen
Nadere informatiea. α = 0,10 b. α = 0,01 c. α = 0,05 d. α = 0,20
Opgaven hoofdstuk 7 I Learning the Mechanics 7.1 Bepaal z α /2 voor elk van de volgende waarden van α a. α = 0,10 b. α = 0,01 c. α = 0,05 d. α = 0,20 7.2 Een aselecte steekproef van 70 waarnemingen uit
Nadere informatie3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.
3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal
Nadere informatieALGEMENE DIRECTIE STATISTIEK EN ECONOMISCHE INFORMATIE PERSBERICHT 26 november 2010
ALGEMENE DIRECTIE STATISTIEK EN ECONOMISCHE INFORMATIE PERSBERICHT 26 november 2010 Meer personen op de arbeidsmarkt in de eerste helft van 2010. - Nieuwe cijfers Enquête naar de Arbeidskrachten, 2 de
Nadere informatieIntervalschatting rondom proportie www.hbostatistiek.nl
Intervalschatting rondom proportie www.hbostatistiek.nl Proportie Wat is een proportie? Een gedeelte van het totaal, uitgedrukt in een percentage. Formule De proportie in de populatie zit tussen twee waarden.
Nadere informatieInleiding statistiek
Inleiding Statistiek Pagina 1 uit 8 Inleiding statistiek 1. Inleiding In deze oefeningensessie is het de bedoeling jullie vertrouwd te maken met een aantal basisbegrippen van de statistiek, meer bepaald
Nadere informatieFeedback proefexamen Statistiek I 2009 2010
Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is
Nadere informatieToetsen van hypothesen
Toetsen van hypothesen 1 Het probleem 25 maart 2003 De busmaatschappij De Lijn heeft gemiddeld per dag 20000 reizigers in de stad Antwerpen. Tegenwoordig zijn er heel wat reizigers die proberen met de
Nadere informatieAnnelies Droessaert en Etienne Goemaere
De meerwaarde van TI-Nspire in de 2 de graad Annelies Droessaert en Etienne Goemaere 1. INLEIDING De meeste scholen kiezen er momenteel voor om een grafisch rekentoestel in te voeren vanaf de 2 de graad.
Nadere informatieStatistiek: Herhaling en aanvulling
Statistiek: Herhaling en aanvulling 11 mei 2009 1 Algemeen Statistiek is de wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren om een beter inzicht te krijgen in de aard,
Nadere informatieHOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK
HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.
Nadere informatieChecklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML
Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni uur
Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.
Nadere informatieVoorbeelden van gebruik van 5 VUSTAT-apps
Voorbeelden van gebruik van 5 VUSTAT-apps Piet van Blokland Begrijpen van statistiek door simulaties en visualisaties Hoe kun je deze apps gebruiken bij het statistiek onderwijs? De apps van VUSTAT zijn
Nadere informatieZelfstudiefiches M&T: Deel 2 (H6-7)
Zelfstudiefiches M&T: Deel 2 (H6-7) Hoofdstuk 6 1. Bekijk figuur 6.2. Het meetproces (p. 133 cursus). Dit schema en bijhorende tekst moet je heel goed begrijpen, heel vaak komen tijdens de colleges termen
Nadere informatie= 4515 t 10 = 451,5 of het gemiddeld aantal faillissementen over die tien kwartalen. En. b = y!
Vraag 1 Evolutie van het aantal faillissementen in het Vlaams Gewest; per kwartaal 2010-2012 (tweede kwartaal). De cijfers betreffen alleen de faillissementen van ondernemingen met personeel. Jaar Kwartaal
Nadere informatieExamen G0N34 Statistiek
Naam: Richting: Examen G0N34 Statistiek 7 juni 2010 Enkele richtlijnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1 uur blijven zitten. Je mag gebruik maken van een rekenmachine, het formularium
Nadere informatieIJburgcollege Wiskunde A en C september 2017 Statistiek Opgavenboek 1 (noteer je uitwerkingen van de opdrachten in het Uitwerkingenboek 1)
IJburgcollege Wiskunde A en C september 2017 Statistiek Opgavenboek 1 (noteer je uitwerkingen van de opdrachten in het Uitwerkingenboek 1) 2. Herhaling Beschrijvende Statistiek. Old Faithful In Yellowstone
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden
Nadere informatie67,3% van de 20-64-jarigen aan het werk
ALGEMENE DIRECTIE STATISTIEK EN ECONOMISCHE INFORMATIE PERSBERICHT 28 oktober 67,3% van de 20-64-jarigen aan het werk Tegen 2020 moet 75% van de Europeanen van 20 tot en met 64 jaar aan het werk zijn.
Nadere informatieToetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing
Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing M, M & C, Chapter 6, Introduction to Inference 6.1 Estimating with Confidence 6.2 Tests of Significance 6.3 Use and Abuse
Nadere informatieOmnibusenquête 2015. deelrapport. Ter Zake Het Ondernemershuis
Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis Omnibusenquête 2015 deelrapport Ter Zake Het Ondernemershuis OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport TER ZAKE HET ONDERNEMERSHUIS Zoetermeer, 15 februari
Nadere informatieToegepaste data-analyse: oefensessie 2
Toegepaste data-analyse: oefensessie 2 Depressie 1. Beschrijf de clustering van de dataset en geef aan op welk niveau de verschillende variabelen behoren Je moet weten hoe de data geclusterd zijn om uit
Nadere informatieHAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf
HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken
Nadere informatieZelfstudiefiches M&T: Deel 2 (H6-7)
Zelfstudiefiches M&T: Deel 2 (H6-7) Hoofdstuk 6 1. Bekijk figuur 6.2. Het meetproces (p. 133 cursus). Dit schema en bijhorende tekst moet je heel goed begrijpen, heel vaak komen tijdens de colleges termen
Nadere informatieCursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015
Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%
Nadere informatieGrafische voorstellingen
Grafische voorstellingen Onderzoek omtrent de lonen. Wat is uw huidige loon. Streep het gepaste hokje aan. q 40 000-45 000 q 45 000-50 000 q 50 000-55 000 q 55 000-60 000 q 60 000-80 000 q 80 000-100 000
Nadere informatieMeten en experimenteren
Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie
Nadere informatieOmnibusenquête deelrapport millenniumdoelen. februari Opdrachtgever: Bedrijfsvoering,
Omnibusenquête 2011 deelrapport Millenniumdoelen Omnibusenquête 2011 deelrapport millenniumdoelen februari 2012 Opdrachtgever: Bedrijfsvoering, Juridische Aangelegenheden Angelique Quentin Uitvoering:
Nadere informatieStatistiek voor A.I.
Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het
Nadere informatieOmnibusenquête deelrapport. Werk, zorg en inkomen
Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen Omnibusenquête 2015 deelrapport Werk, zorg en inkomen OMNIBUSENQUÊTE 2015 deelrapport WERK, ZORG EN INKOMEN Zoetermeer, 25 januari 2016 Gemeente Zoetermeer
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 11 Dinsdag 25 Oktober 1 / 27 2 Statistiek Vandaag: Hypothese toetsen Schatten 2 / 27 Schatten 3 / 27 Vragen: liegen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd
Nadere informatieauteursrechtelijk beschermd materiaal OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 7
OPLOSSINGEN OEFENINGEN HOOFDSTUK 7 Open vragen OEFENING 1 Consumptietheorie Nutsfunctie Budgetrechte Indifferentiecurve Marginale substitutievoet Marginaal nut Inkomenseffect Productietheorie Productiefunctie
Nadere informatieNiveauproef wiskunde voor AAV
Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1
wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen. Voor
Nadere informatieJongeren vinden moeilijker een job - Nieuwe cijfers Enquête naar de Arbeidskrachten, derde kwartaal
ALGEMENE DIRECTIE STATISTIEK EN ECONOMISCHE INFORMATIE PERSBERICHT 5 februari 2009 Jongeren vinden moeilijker een job - Nieuwe cijfers Enquête naar de Arbeidskrachten, derde kwartaal 2008 - Het hoeft geen
Nadere informatieKun je met statistiek werkelijk alles bewijzen?
Kun je met statistiek werkelijk alles bewijzen? Geert Verbeke Biostatistisch Centrum, K.U.Leuven International Institute for Biostatistics and statistical Bioinformatics geert.verbeke@med.kuleuven.be http://perswww.kuleuven.be/geert
Nadere informatieWerkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram
Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Probeer zeker de opdrachten 1, 4 en 6 te maken. 1. In de tabel hieronder vind je gegevens over de borstomtrek van 5732
Nadere informatieOEFENPROEFWERK HAVO A DEEL 2
OEFENPROEFWERK HAVO A DEEL 2 HOOFDSTUK 6 STATISTIEK EN BESLISSINGEN OPGAVE 1 Hieronder zijn vier boxplots getekend. a Welke boxplot hoort bij een links-scheve verdeling? Licht toe. b Hoe ligt bij boxplot
Nadere informatieToegepaste Statistiek, Week 3 1
Toegepaste Statistiek, Week 3 1 In Week 2 hebben we toetsingstheorie besproken mbt een kwantitatieve (ordinale) variabele G, en met name over zijn populatiegemiddelde E(G). Er waren twee gevallen: Er is
Nadere informatieStoeien met Statistiek
Stoeien met Statistiek Havo 4: Statistiek op grote datasets 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Docentenhandleiding... 5 Inleiding voor leerlingen... 6 Opdracht 1... 7 Opdracht 2... 8 Opdracht 3...
Nadere informatieHOOFDSTUK 7: STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN VOOR DISTRIBUTIES
HOOFDSTUK 7: STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN VOOR DISTRIBUTIES 7.1 Het gemiddelde van een populatie Standaarddeviatie van de populatie en de steekproef In het vorige deel is bij de significantietoets uitgegaan
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatieResultaten voor Brussels Gewest Ongevallen Gezondheidsenquête, België, 1997
6.10.1. Inleiding De term ongeval kan gedefinieerd worden als 'elk onverwacht en plots voorval dat schade berokkent of gevaar oplevert (dood, blessures,...) of als ' een voorval dat onafhankelijk van de
Nadere informatievoorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo
voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 2 kruistabel a c b d, met phi = ad bc ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) als phi
Nadere informatieHoe zou je dit vertellen aan iemand die er vandaag niet bij is? Leerlingen helpen om wiskunde te begrijpen: Vragen die: Ben je het er mee eens?
Leerlingen helpen om wiskunde te begrijpen: 1 2 Welke strategie heb je gebruikt? 3 Ben je het er mee eens? Ben je het er mee oneens? 4 Zou je die vraag aan de klas kunnen stellen? 5 Kun je je 6 Wil 7 oplosmethode
Nadere informatie