1 Appels (2,2,2p) Betrouwbaarheidsintervallen II (2,2,2,2)

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM PROEFTOETS VWO CM Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. 1 Appels (2,2,2p) 2. Betrouwbaarheidsintervallen II (2,2,2,2) Bekend is dat 28% van de Nederlandse bevolking is afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool. Men neemt maar liefst 870 steekproeven met elk een lengte van 100 uit onze bevolking. Het % ondervraagden in een steekproef dat is afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool is normaal verdeeld met een standaardafwijking van ongeveer 4,5%. a) Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig. Je weet dat p p 0,28. b) Bij hoeveel van deze steekproeven verwacht je dat tussen de 24 en 46 van de ondervraagden zijn afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool? c) Bij hoeveel van deze steekproeven verwacht je een minimum en een maximum aantal ondervraagden, afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool, binnen het 95% betrouwbaarheidsinterval? Welke aantallen zijn dit?

2 d) Nu de omgekeerde situatie: Iemand organiseert een steekproeven van lengte L. Het 95% betrouwbaarheidsinterval ligt op: [0,26 tot 0,30]. Hoeveel mensen zaten in deze steekproeven? Je gaat hierbij nog steeds uit van p p 0,28 3. Odds-ratio, MaxVcp. (2,2,2p) Bij een patiëntengroep werd een medicijn uitgetest. 30 personen kregen het medicijn, 30 anderen een placebo (nepmedicijn).. Na de behandeling van 5 weken werd gemeten in hoeverre de mensen dacht dat het medicijn had. Heeft niet Heeft wel Groep echt medicijn Groep Placabo a) Onderzoek wat het percentageverschil is tussen de mensen die van mening zijn dat het medicijn niet heeft. b) Onderzoek ook de oddsratio van deze groepen. c) De mensen hebben met een score van 1-5 aangegeven of het medicijn hielp. Waar is het Maximale cumulatieve Percentageverschil MaxVcp? echt: % placebo: % % Verschil % 4. Noordelijke ijszee. (2,2,2,2p) Klimaatonderzoekers kijken al jaren naar de oppervlakte van de hoeveelheid ijs bij de Noordpool. Deze neemt de laatste jaren nogal af als gevolg van klimaatverandering. Men stelde een model op om de hoeveelheid ijsoppervlak A te benaderen met de formule: A t t t ,85 2,6 12. Men neemt hierbij A in miljoenen km 2 en de tijd t in maanden met t=0 op 1 januari a) Bereken de gemiddelde verandering van A in de periode 1 april - 1 juni b) Met welke snelheid verandert A rond 1 juli? c) Volgens Jurgen is er een maand waarin de hoeveelheid ijs per dag gemiddeld meer dan km 2 afneemt. Onderzoek of hij gelijk heeft. d) Onderzoek op welk(e) moment(en) de hoeveelheid ijs niet verandert. 5. Rijen (2,2,2,2p) a) Een rij is gegeven door F(n+1) = F(n) + 15, F(0) = 80. Schrijf de directe formule op. b) Een rij is gegeven door k(n)=1,125*k(n-1) met k(2)=75. Schrijf de directe formule op. Bij het wereldrecord champagneglazen stapelen werd een piramidevormige toren gebouwd. Elke laag had de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Het aantal glazen van de n e laag is D n=0,5n 2 +0,5n. (geldt voor vraag c en d). c) Bereken hiermee het aantal glazen in de 20 e laag. d) Als 1 Pn n n n 6 ( 1)( 2) en n = aantal lagen. Bij een wereldrecord was het aantal glazen Uit hoeveel lagen bestond deze toren?

3 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T211-VCM-H5811 UITW Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. 1 Appels (2,2,2p) a) 5/24 b) 25% is 44,25 appel; 44,25 x 2,5 + 44,25 * 6,5 + 44,25* + 44,25* 17= /177=8.76 Dus iets te hoog ingeschat denk ik c) Diagram 2 natuurlijk: kijk bij 50%= mediaan.

4 2. Betrouwbaarheidsintervallen II (2,4,5p) Bekend is dat 28% van de Nederlandse bevolking is afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool. Men neemt maar liefst 870 steekproeven met elk een lengte van 100 uit onze bevolking. Het % ondervraagden in een steekproef dat is afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool is normaal verdeeld met een standaardafwijking van ongeveer 4,5%. a) Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig. Je weet dat p p 0,28 0,28 0,72 0, 0449 Basisvraag b) Bij hoeveel van deze steekproeven verwacht je dat tussen de 24 en 46 van de ondervraagden zijn afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool? o 24/100 = 0,24 en 46/100 = 0,46 o Fractie aan steekproeven dat voldoet: ncdf(0.24, 0.46, 0,28, 0,045) = 0,813 o Dus aantal steekproeven 0,813*870=707 o Dus 707 steekproeven voldoen aan deze vraag. c) Bij hoeveel hoeveel van de ondervraagden, afgestudeerd aan een universiteit of hogeschool zit het 95% betrouwbaarheidsinterval? Welke aantallen zijn dat? o p=0,28, = 0,045 o 95% betrouwbaarheidsgrens ligt dus op p+2 en p-2 o dus 0,28-2*0,045 = 0,19 en dus 0,28+2*0,045 = 0,37 o 0,19*100=19 resp 37. o Dus steekproeven tussen de 19 en 37 ondervraagden met hogere opleiding. Analoog aan opgaven in H6.4 d) Nu de omgekeerde situatie: Iemand organiseert een steekproeven van lengte L. Het 95% betrouwbaarheidsinterval ligt op: [0,26 tot 0,30]. Hoeveel mensen zaten in deze steekproeven? Je gaat hierbij nog steeds uit van p p 0,28 o dan is dus dus =0, dus =0,01 o 0, 28(1 0, 28) 0,01= dus: n 2 0,28(0,72) 0,01 = dus: n 0,28(0,72) n= ,01 3. Odds-ratio. Theorie: Kiest B-beroep Kiest A-beroep Jongens Meisjes A. Percentageverschil PV Bovenstaande tabel geeft de fictieve aantallen meisjes en jongens die in hun latere leven kozen voor een 'alfa'-beroep of een typisch bèta-beroep. De getallen zijn bedacht maar zouden kunnen kloppen. Gelet op de keuze bètaberoep kiezen de jongens zo'n betaberoep: 124/160=77.5% Voor de meisjes ligt dat % op: 39.3%

5 Het Percentageverschil PV is dan: =38.2 en dat wordt als GROOT bestempeld. B. De oddsratio letten we op de interne verhouding alfa-bèta per groep: Jongens: 124/36=3.444 Meisjes: 55/85= Je deelt voor de oddsratio altijd groot/klein. Oddsratio: 3.444/0,6470=5.323 en dat wordt ook GROOT genoemd. C. Max.Vcp: Deelnemers aan een onderzoek hebben op een schaal van 1-5 aangegeven in hoeverre hun beoogde vervolgopleiding aanleiding gaf tot een profielkeuze: CM/EM % NG/NT Verschil Dus 12,8 was MaxVcp Maximale cumulatieve percentageverschil. Criteria: PV 0-15% gering 15-30% middelmatig > 30% veel oddsr <2 gering 2-3 middelmatig >3 Veel maxvcp <15% gering 15-30% middelmatig. > 30% veel SITUATIE Bij een patiëntengroep werd een medicijn uitgetest. 30 personen kregen het medicijn, 30 anderen een placebo (nepmedicijn).. Na de behandeling van 5 weken werd gemeten in hoeverre de mensen dacht dat het medicijn had. Heeft niet Heeft wel Groep echt medicijn Groep Placabo a) Onderzoek wat het percentageverschil is tussen de mensen die van mening zijn dat het medicijn niet heeft. 12/30=40% 15/40=50% dus PV=10%: gering b) Onderzoek ook de oddsratio van deze groepen. 15X18/12X15 = 1,5 gering dus. c) De mensen hebben met een score van 1-5 aangegeven of het medicijn hielp. Waar is het Maximale cumulatieve Percentageverschil? echt: % placebo: % % Dus verschil is middelmatig Verschil % 4. Noordelijke ijszee. Klimaatonderzoekers kijken al jaren naar de oppervlakte van de hoeveelheid ijs bij de Noordpool.

6 Deze neemt de laatste jaren nogal af als gevolg van klimaatverandering. Men stelde een model op om de hoeveelheid ijsoppervlak A te benaderen met de formule: A t t t ,85 2,6 12. Men neemt hierbij A in miljoenen km 2 en de tijd t in maanden met t=0 op 1 januari a) Bereken de gemiddelde verandering van A in de periode 1 april - 1 juni (1) van 1/4 tot 1/6 is [4,5] dus A(5)-A(4) / 2 = milj km 2 ijs p mnd b) Met welke snelheid verandert A rond 1 juli? Plot, calc dy/dx op punt x=6: -1,876 km ijs/mnd c) Volgens Jurgen is er een maand waarin de hoeveelheid ijs per dag gemiddeld meer dan km 2 afneemt. Onderzoek of hij gelijk heeft. op [3,4]: -1,389 op [4,5]: -1,817 op [5,6]: -1,927 op [6,7]: -1,719 op [7,8]: -1,193 dus grootste = -1,927 E6 / 30 = km 2 /dag. Jurgen gelijk. d) Onderzoek op welk moment de hoeveelheid ijs niet verandert? Plot -> max én min!! t=1,849 en t=8,84 5. Rijen (2,2,2,2p) a) Een rij is gegeven door F(n+1) = F(n) + 15, F(0) = 80. Schrijf de directe formule op. F=15n+80 b) Een rij is gegeven door k(n)=1,125*k(n-1) met k(2)=75. Schrijf de directe formule op. K=k0 * 1,125 n K0=59,26: K=59,26 * 1,125 n Bij het wereldrecord champagneglazen stapelen werd een piramidevormige toren gebouwd. Elke laag had de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Het aantal glazen van de n e laag is D n=0,5n 2 +0,5n. (geldt voor vraag c en d). c) Bereken hiermee het aantal glazen in de 20 e laag. Invullen: 210 d) Als 1 Pn n n n 6 ( 1)( 2) en n = aantal lagen. Bij een wereldrecord was het aantal glazen P Uit hoeveel lagen bestond deze toren? Invullen Y1=formule.. kijk in tabel: 63 lagen.

7