f. Wat is de halveringstijd van deze uitstervende diersoort uitgaande van de formule: N ,88 t, t in jaren t=0 betekent ?

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T311-HCMEM-H5679 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 42 punten 1. Uitsterven (2,2,2,2,2,2,2p). Een diersoort dreigt uit te sterven. Men heeft gedurende een aantal jaren tellingen verricht en daaruit bleek dat de aantal sterk achteruit gaan. Onderstaande tabel geeft deze resultaten weer: Aantal a. Laat met berekeningen zien dat uit deze tabel blijkt dat sprake is van een exponentiele daling. b. Geef de formule die bij deze tabel hoort, ervan uitgaande dat t=0 betekent en de tijd in jaren is gegeven. c. In werkelijkheid waren de cijfers eigenlijk al eerder aan het dalen. Vanaf had men nog exemplaren geteld. Dat aantal nam steeds jaarlijks af met 12 procent. Vanzelfsprekend is dan de formule: N ,88 t, t in jaren t=0: Bereken met deze formule in welk jaar het aantal dieren minder dan 1000 zal zijn. d. Gebruikmakend van de formule die in vraag c staat: Een andere onderzoekster vond dat het verloop minder slecht verliep: Zij nam een afname van 9,4% per jaar waar en zij komt dus op een andere formule uit. Aangenomen dat het aantal dieren op nog steeds was, hoeveel verschilt deze formule van de formule uit vraag c op het moment 1 januari 2003? Rond af op helen. e. Een derde onderzoeker heeft zich ook met deze uitstervende diersoort bezig gehouden en heeft de aantal per drie jaar gemeten. Zijn formule luidt: N ,6815 t Zijn startpunt lag op Laat zien met een berekening dat deze formule overeenstemt met de eerder in vraag c gegeven formule. f. Wat is de halveringstijd van deze uitstervende diersoort uitgaande van de formule: N ,88 t, t in jaren t=0 betekent ? g. Welke formule zou gelden als de afname lineair was geweest en verder geldt: Tijd in jaren Aantal

2 2. Kosten van potjes jam. (3,3p) Gegeven is de kostenformule voor productie van potjes kersenjam. 3 2 K q 6q 13q 15 Hierin is K in duizenden euro's en q aantallen in ook duizenden. De maximale productie is 8000 spotjes kersenjam. a) Bereken het differentiequotiënt op het interval [4,6]. Welke betekenis heeft dit getal? b) Bereken de gemiddelde toename als de productie verandert van 5000 naar 5001 stuks. Vergelijk het antwoord met de CALC-optie dy/dx op punt x=5 en breng dit antwoord in verband met het antwoord op vraag a. 3. Paprika's. (2,2,2,2, 2,2,2,2,2p) Het gewicht van paprika's is normaal verdeeld met een gemiddelde van 86 gram en een standaardafwijking van 6 gram. Gebruik zoveel mogelijk de vuistregels. a) Bereken in twee decimalen de kans dat een paprika uit deze partij een gewicht heeft tussen de 74 en 86 gram. b) Bij welk gewicht ligt de grens waaronder de lichtste 16% van de paprika's zit? c) Bij welke grenzen zal de middelste 95% van deze partij zijn? d) Een andere soort paprika is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van ook 86 gram maar een standaardafwijking van slechts 2,5 gram. Tussen welke gewichtsgrenzen ligt nu de middelste 95%? Paprika's lijden soms aan plantenziekten. Het is bekend dat gemiddeld 12,0% van de paprika's tijdig uit de verkoop moet worden gehaald wegens zichtbare schade en aantasting. Een onderzoeker doet 200 steekproeven van 150 paprika's uit verschillende partijen. Hij werkt met de volgende populatieproportie: p = 0,12 e) Wat is het gemiddelde aantal aangetaste paprika's? Zoals je weet zijn de steekproefproporties van elke steekproef ook weer normaal verdeeld: er zullen steekproeven zijn die veel aangetaste paprika's bevatten, andere steekproeven veel minder dan gemiddeld. De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door p(1 p) n f) Bereken hiermee de standaardafwijking in vier decimalen. g) Hoeveel steekproeven van de 200 zullen hoogstens 14 aangetaste paprika's bevatten? h) Wat is het 95% betrouwbaarheidsinterval dat hoort bij deze situatie? i) Men besluit geen 150 paprika's maar paprika's te testen in elke steekproef. Welke effect zal dit hebben op het 95% betrouwbaarheidsinterval?

3 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM UITWERKING WISKUNDE HAVO CM/EM T311-HCMEM-H246 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 38 punten 1. Uitsterven (2,2,2,2,2,2,2p). Een diersoort dreigt uit te sterven. Men heeft gedurende een aantal jaren tellingen verricht en daaruit bleek dat de aantal sterk achteruit gaan. Onderstaande tabel geeft deze resultaten weer: Aantal a. Laat zien dat uit deze tabel blijkt dat sprake is van een exponentiele daling. Voer alle delingen uit en vindt: g=0,89 ofwel 11% afname per jaar b. Geef de formule die bij deze tabel hoort, ervan uitgaande dat t=0 betekent en de tijd in jaren is gegeven. N=13350*0,89 t c. In werkelijkheid waren de cijfers eigenlijk al eerder aan het dalen. Vanaf had men nog exemplaren geteld. Dat aantal nam steeds jaarlijks af met 12 procent. Vanzelfsprekend is dan de formule: N ,88 t, t in jaren t=0: 1-1-'96 Bereken met deze formule in welk jaar het aantal dieren minder dan 1000 zal zijn. Minder dan 1000: Voer in GRM deze formule en kijk in de tabel bij welke t N<1000: Blijkt t=23. Dus in het 23 e jaar na t=0. Dus d. Gebruikmakend van de formule die in vraag c staat: Een andere onderzoeker vond dat het verloop minder slecht verliep: Zij nam een afname van 9,4% per jaar waar en zij komt dus op een andere formule uit. Aangenomen dat het aantal dieren op nog steeds was, hoeveel verschilden deze twee formules op het moment 1 januari 2003? Rond af op helen. t t Vergelijk dus: N ,88 en N=18700*0,906 OP t=7 verschillen ze e. Een derde onderzoeker heeft zich ook met deze uitstervende diersoort bezig gehouden en heeft de aantal per drie jaar gemeten. Zijn formule luidt: N ,6815 t Zijn startpunt lag op Laat zien met een berekening dat deze formule overeenstemt met de eerder in vraag c gegeven formule. (1) Per jaar is dus de groeifactor: 0,6815 (1/3) = 0,88. Klopt dus. (2) Ga vanaf drie stappen terug 12700/(0,88 3 )=18636 ongeveer klopt f. Wat is de halveringstijd van deze uitstervende diersoort uitgaande van de formule: N ,88 t, t in jaren t=0: 1-1-'96? Wanneer geldt: 0,5 = 0,88 t dat is bij t=5,42. Dus na 5,42 jaar. Klopt. Vul maar in. g. Welke formule zou gelden als de afname lineair was geweest en verder geldt: Aantal Flauw: lineair: dus dn/dt = ( )/5=afname 1179 pj. Dus: N= t.

4 2. Kosten van potjes jam. (3,3p) Gegeven is de kostenformule voor productie van potjes kersenjam. 3 2 K q 6q 13q 15 Hierin is K in duizenden euro's en q aantallen in ook duizenden. De maximale productie is 8000 spotjes kersenjam. a) Bereken het differentiequotiënt op het interval [4,6]. Welke betekenis heeft dit getal? K(6)=93 en K(4)=35. dus dk/dq=29 Betekenis: bij het aantal van 4000 stuks is de toename in kosten gemiddeld 29. b) Bereken de gemiddelde toename als de productie verandert van 5000 naar 5001 stuks. Vergelijk het antwoord met de CALC-optie dy/dx op punt x=5 en breng dit antwoord in verband met het antwoord op vraag a. Zelfde vraag: (55,028-55,000)/1 is 0,028 ofwel 28 per 1000 stuks Soort gemiddelde verandering. 3. Paprika's. (2,2,2,2, 2,2,2,2,2p) Het gewicht van paprika's is normaal verdeeld met een gemiddelde van 86 gram en een standaardafwijking van 6 gram. a) Bereken in twee decimalen de kans dat een paprika uit deze partij een gewicht heeft tussen de 74 en 86 gram. Gebruik de vuistregels. 74 wijkt 12 gram van het gemiddelde af: dus 34+13,5%=47,5% b) Bij welk gewicht ligt de grens waaronder de lichtste 16% van de paprika's zit? De lichtste 16% zit beneden de 80. (13,5 en 2,5%) c) Bij welke grenzen zal de middelste 95% van deze partij zijn? Dus gemiddelde +/- 12. Grenzen: 74 en 98 d) Een andere soort paprika is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van ook 86 gram maar een standaardafwijking van slechts 2,5 gram. Tussen welke gewichtsgrenzen ligt nu de middelste 95%? dus dat is: 86 +/- 5 gram: tussen 81 en 91 gram. Paprika's lijden soms aan plantenziekten. Het is bekend dat gemiddeld 12,0% van de paprika's tijdig uit de verkoop moet worden gehaald wegens zichtbare schade en aantasting. Een onderzoeker doet 200 steekproeven van 150 paprika's uit verschillende partijen. Hij werkt met de volgende populatieproportie: p = 0,120 e) Wat is het gemiddelde aantal aangetaste paprika's? dus 0,12 x 150 = 18 paprika's. Zoals je weet zijn de steekproefproporties van elke steekproef ook weer normaal verdeeld: er zullen steekproeven zijn die veel aangetaste paprika's bevatten, andere steekproeven veel minder dan gemiddeld. De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door f) Bereken hiermee de standaardafwijking in vier decimalen. invullen geeft: 0,0265 p(1 p) n g) Hoeveel steekproeven van de 200 zullen hoogstens 14 aangetaste paprika's bevatten? (1) Een standaardafwijking van 0,0265 betekent: 0,0265*150=3,97= 4 paprika's. (2) Dus de 16%-grens ligt bij 14. (3) Dit zijn dus de laagste 16% van de steekproeven: dus 32 steekproeven. h) Wat is het 95% betrouwbaarheidsinterval die hoort bij deze situatie? leerstof boek: [ p 2 ; p 2 ] dus: [0,12-2x0,0265; 0,12 + 2x 0,0265] = [0.067 ; 0.173]

5 of je zegt: sigma = 4, dus [12-8; 12+8] = 95% interval in termen van paprika's [4;20] i) Men besluit geen 150 paprika's maar paprika's te testen in elke steekproef. Welke effect zal dit hebben op het 95% betrouwbaarheidsinterval? Effect: de berekening van sigma wordt anders: invullen: 0,00265 dus wordt het betrouwbaarheidsinterval: [0,12-2x0,00265; 0,12 + 2x 0,00265] = [ ; ] of [12-0,8 ; 12+0,8] = [11; 13] veel krapper dus.