VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

Transcriptie

1 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw = 1456 Oud = ,22 = 1300 VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud = 1456 = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = ,88 VB: Een hoeveelheid van 298 is 58% van het totaal. Wat is het totaal? Totaal = 298 0,58 = 514 Constante factor = herhaalde toename met hetzelfde percentage (= groeifactor) Interpoleren & extrapoleren Interpoleren = schatten van een tussenliggende waarde. Extrapoleren = schatten van een waarde die buiten de gegevens ligt. Interpoleren t N N = a. (t - x) + y a = verschil y verschil x t = 10 N =? a = Extrapoleren t N ? Dus N = ( 162 ) = = 5 a = verschil y verschil x t = 45 N =? a = 25 9 Dus N = ( 25 9 ) = = 15 Lineaire modellen y = ax + b a = richtingcoëfficiënt Hoe bereken je b? Lijn K gaat door punt A (20,12) met als rc k = 2 5

2 rc k = 2 y = 5 rck = 2 x + b b = door A (20,12) -8 + b = 12 b = = 20 dus b = 20 Lijn K: y = 2 5 x + 20 Evenredigheid Y is evenredig (gelijk aan) met x - de formule heeft een vorm van y = ax B is evenredig aan t (uur) B = 17 en t = 4 Stel de formule op. y = ax B = at a. 4 = 17 a = 17 4 = 4,25 Dus B = 4,25t x = kruisproduct overblijvende getal Bereken y voor x = 30 x = 8 als y = 12 x 8 30 y 12? Y = (12.50) 80 = 45 x 8 30 y Richtingcoëfficiënt berekenen rc = = 3 7 = 0,43 Formule opstellen bij twee gegeven punten VB: Formules en veranderingen Interval = een stukje getallenlijn - open interval <1,5>, behoren alle getallen die tussen 1 en 5 liggen (1&5 dus niet). - gesloten interval [1,6], hierbij doen de grenzen wel mee. Bij een interval <5, > behoren alle getalen groter dan 5.

3 Maximum en minimum Er kunnen in een lijn meerdere maxima en minima zijn. Een absoluut maxima of minima is het allerhoogste/laagste punt uit het grafiek. Toenamediagram Differentiequotiënt Allerlei formules

4 Groei Formule lineaire groei: N = at =b Formule exponentiële groei: N = b. g t b = beginsgetal g = groeifactor Ligt de groeifactor tussen 0 en 1, dan neemt hij af. Is de groeifactor groter dan 1, dan neemt hij toe. Herkennen van exponentiële groei x y = 1, = 1,07 groeifactoren zijn hetzelfde dus exponentiele groei. Bij een groeppercentage van 5,8% 1,058 = groeifactor Bij een afname van 3,2% 0,968 of bij afname van 58% 0,42 Bij toename van 142% 2,42 Groeifactor per half uur? 1,8 1/2 per kwartier 1,8 1/4 Groeifactor per dag naar per week? 1,8 7 Verdubbelingstijd de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. T is in jaren. Gegeven formule: N = 9. 1,05 t De beginhoeveelheid verdubbelt, dus 9. 1,05 t = 18 1,05 t = 2 Y 1 = 1,05 x Y 2 = 2 Intersect geeft x = 14,2 De verdubbelingstijd is dus 14,2 jaar. Bij exponentiële groei met groeifactor g vind je de verdubbelingstijd door de vergelijking g t = 2 op te lossen. Halveringstijd de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt. T is in maanden. Gegeven formule: N = ,78 t g = 0,78 dus 0,78 t = 0,5 Y 1 = 0,78 x Y 2 = 0,5 Intersect geeft x = 2,79 De halveringstijd is dus 2 jaar en (0,79 x 12 =) 9 maanden. Bij exponentiële groei met groeifactor g vind je de halveringstijd door de vergelijking g t = 0,5 op te lossen.

5 Bij een verdubbelingstijd van 8 jaar hoort een groeipercentage van 9,1% per jaar want = G 8 jaar = 2 dus G jaar = = 1,091 dus groeipercentage is 9,1%. Tenzij anders vermeld groeifactor afronden op drie decimalen en de beginhoeveelheid op gehelen. Formule opstellen bij lineaire groei N = at + b t = 5 en N = 80 & t = 12 en N = 220 ΔN Δt = = 20 = a N = 20t + b b = 80 t = 5 en N = 80 b = -20 Dus N = 20t 20 Formule opstellen bij exponentiële groei N = b. g t t = 5 en N = 80 & t = 12 en N = 220 t is in uren. G 7 uur = G uur = ( )1/7 = 1,1554 N = b. 1,1554 t b. 1, = t = 5 en N = 80 b = = 39 1,1554 ^5 Dus N = ,55 t Exponentiële groei zal niet altijd onbeperkt kunnen doorgaan. Er treed dan een verzadiging op (= verzadigingsniveau), we spreken van logistische groei, hierbij nadert de grafiek tpt de asympoot van het verzadigingsniveau. Formules met breuken VB: k = 8 + k = of k = p (16 - p) 16 p

6 De relatieve frequentie is de frequentie in procenten = frequentie totale frequentie x 100% Gemiddelde = Som van de waarnemingsgetallen totale frequentie Handig tellen Boomdiagram Wegendiagram Systematisch mogelijkheden noteren: - totaal 5 ogen gooien in 6 keer 113, 131, 311 enz. De somregel Rooster OF = + EN = x De vermenigvuldigingsregel Een gecombineerde handeling die bestaat uit: handeling 1 kan op p manieren worden uitgevoerd én handeling 2 kan op q manieren worden uitgevoerd én handeling 3 kan op r manieren worden uitgevoerd Dus: p x q x r 2 x 6 x 4 x 5 Kees pakt 6 knikkers, in totaal zitten er 10 knikkers in de vaas. Tellen zonder herhaling/terugleggen: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 Tellen met herhaling/terugleggen: 10 6

7 Permutaties - geen herhaling - rangschikking / volgorde doet er wel toe! VB: het aantal permutaties van 3 uit 8, (je kiest 3 dingen van de 8) 8 x 7 x 6 = ( 8 3 ) npr voor 4 permutaties uit de 4 gebruik je een andere manier van notatie dan 4 x 3 x 2 x 1 namelijk 4! = faculteit Combinaties - de volgorde doet er niet toe! VB: bij het kiezen van 3 (= deel) dingen uit 5 (= totaal) dingen en de volgorde is NIET van belang, spreken we van het aantal combinaties van 3 uit 5, dit noteer je als: ( 5 3 ) ncr 2 keuzes, namelijk zwart óf wit 4 vakjes Aantal mogelijke codes = 2 4 = 16 verschillende codes Want je hebt telkens 2 keuzes en dat dan nog 4 keer. deel totaal Routes in een rooster Het aantal routes van A naar B is ( 9 3 ) of ( 9 6 ) Want: ( 9 3 ) totaal aantal stappen aantal stappen omhoog Het aantal routes van A via P naar B: van A naar P ( 5 2 ) ( 5 2 ) x ( 4 1 ) = 40 van P naar B ( 4 1 ) Onvolledige roosters

8 Kansrekening P (geen enkele peer) = 4 5 x 4 5 x 4 5 = ( 4 5 )3 = 0,513 P (vijf keer 3 en drie keer 1) = ( 8 5 ) x ( 3 6 )5 x ( 2 6 )3 Bij combinaties ( ) P (1 witte en 1 rode) = 2 x 2 x 3 = totale inhoud vaas: 10 knikkers Eerst witte en dan de rode én andersom! Inhoud vaas: 3 x rood 5 x zwart 2 x wit Rekenen met kansen De complementregel Het complement van een gebeurtenis bestaat alle uitkomsten die niet tot de gebeurtenis behoren, omdat P (gebeurtenis) + P (complementgebeurtenis) = 1 geldt P (gebeurtenis) = 1 P (complementgebeurtenis) deze regel heet de complementregel. VB: P(minstens 1 witte) = 1 P (geen enkele witte) = x 2 3 x 4 6 = 0,667 Minstens = geen enkele Hoogstens = alles Herhalen van kansexperimenten P (vijf keer 1) = ( 8 5 ) x ( 2 6 )5 x ( 2 6 )3 = 0,068 omdat t een combinatie is! Hij laat m 8 keer draaien! Vaas: 52 blauwe knikkers Je pakt drie knikkers, zonder terugleggen. 6 rode knikkers P (3 blauwe knikkers) = 52 x 51 x witte knikkers P (2 blauwe knikkers) = ( 3 ) x 52 x 51 x Vaas met 6 rode en 5 zwarte knikkers Trekken met terugleggen Pak 4 knikkers met terugleggen P (één zwarte) = ( 4 1 ) x 5 11 x ( 6 11 )3 = 0,295 Trekken zonder terugleggen Pak 4 knikkers P (één zwarte) = ( 4 1 ) x 5 11 x 6 10 x 5 9 x 4 8 = 0,303

9 Formule opstellen In de vaas zitten 8 knikker: p wit, de rest is rood. In de vaas zitten dus 8 p rode knikkers. P (rood) = 8 p Zonder terugleggen: P (2 witte) = p 8 x p en P (wit) = p 8 = p^2 p 56 De normale verdeling μ = gemiddelde σ = standaardafwijking / standaardeviatie Normalcdf (linkergrens, rechtergrens, μ, σ) - Afronden op 3 decimalen - Gebruik je om de oppervlakte te berekenen Is de oppervlakte onder de normaalkromme links van a bekend, dan is a = invnorm (opp. links, μ, σ) - Als alleen oppervlakte rechts word gegeven dan 1 gegeven oppervlakte = oppervlakte links. Grenzen berekenen bij symmetrische gebieden Oppervlakte rood = 0,72 dus opp. wit = 1-0,72 = 0,28 Opp. links van a = 0,28 / 2 = 0,14 invnorm(0,14, 18, 3) = 14,8 = a Gebied van links van b is 0,14 + 0,72 = 0,86 dus invnorm (0,86, 18, 3) = 21,2 = b Het berekenen van μ en σ Y 1 = normalcdf(23, 10 99, 28, x) Y 2 = 0,83 Dan intersect geeft x = 5,2 dus σ = 5,2 Het gemiddelde bereken je op dezelfde manier. μ = 28 σ =? opp = 0,83 Gemiddelde en standaardafwijking berekenen: Dus normalcdf invullen bij Y 1, oppervlakte invullen bij Y 2, en dan intersect. 30% = 0,30 als oppervlakte, want 100% = 1 Kansen met normale verdeling μ = 155 gram σ= 8 gram Theo pakt 3 appels Bereken de kans dat alle 3 de appels zwaarder zijn dan 158 gram. A = appel is zwaarder dan 158 gram.

10 P (A)= normalcdf(158, 10 99, 155, 8) = 0,353 P (alle 3 zwaarder dan 158 gr.) = 0,358 3 = 0,044 Bereken de kans dat minstens 1 appel zwaarder is dan 148 gram. μ = 155 gram σ= 8 gram Hij pakt 3 appels B = appels is zwaarder dan 148 gram. P (B) = normalcdf(148, 10 99, 155, 8) = 0,809 dus 1 P(B) = 1-0,809 = 0,190 niet zwaarder dann 148 gr. P (minstens 1 appel zwaarder dan 148 gram) = 1 P(geen enkele appel zwaarder dan 148 gram) = 1 0,190 3 = 0,993 Kansverdelingen X = het aantal keer succes De kans op vier keer succes noteren we als P(X = 4) binompdf De kans op maximaal vier keer succes noteren we als P(X < 4) binomcdf Andere kansen herleiden tot P(X =..) of P(X <..): P(minder dan 4 keer succes) = P(X < 4) = P(X < 3) P (minstens 2 keer succes) = P(X > 2) complementregel! 1 P(X < 1) P (meer dan 8 successen) = P(X > 8) complementregel! 1 P(X < 8) P (tussen 6 en 10 successen) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) Kansverdeling

11 winst in euro s kans 0,01 0,01 0,02 0,96 Verwachtingswaarde E (winst) = , , , ,96 = -0,50 De verwachtingswaarde per lot is -0,50. Je kunt dus gemiddeld per lot een verlies van 0,50 verwachten.