Empirische kansen = op ervaring gegrond; bereken je door relatieve frequenties te gebruiken. Wet van de grote aantallen.

Transcriptie

1 Samenvatting Kansen Definitie van Laplace : P(G) = aantal _ gunstige _ uitkomsten aantal _ mogelijke _ uitkomsten Voorbeeld : Vb kans op 4 gooien met dobbelsteen: Aantal gunstige uitkomsten = 1 ( namelijk 4 ) Aantal mogelijke uitkomsten = 6 ( namelijk 1 t/m 6 ) Dus P(G) = Kans experiment uitkomst ligt niet tevoren vast Samengesteld kansexperiment meerdere kansexperimenten achter elkaar - twee kansexperimenten: rooster - drie of meer kansexperimenten systematisch noteren. Voorbeeld : Met 2 viervlaksdobbelstenen gooien en de som is 4 - Maak rooster - Aantal gunstige uitkomsten = 3 - Aantal mogelijke uitkomsten = 16 Dus P(G) = Empirische kansen = op ervaring gegrond; bereken je door relatieve frequenties te gebruiken. Wet van de grote aantallen. Simuleren = nabootsen beeld van klankexperiment krijgen. Kruistabellen - let op totale frequentie - let op de mogelijke uitkomsten bij een beperkte groep. Bij het berekenen van kansen waarbij je kiest uit een beperkte groep moet je delen door de frequentie van die groep. Vaak herken je aan het woordje die dat je met een beperkte groep te maken hebt. Kansbomen Alle mogelijkheden systematisch opgeschreven. Werkschema: het berekenen van kansen bij samengestelde kansexperimenten 1. maak (in gedachten) een kansboom 2. vermenigvuldig de kansen die je tegenkomt bij het doorlopen van de kansboom - Onafhankelijke kansexperimenten(dus komen na elkaar voor dus eerst G 1 en dan G 2 ): kansen beïnvloeden elkaar niet kansen vermenigvuldigen - Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt de somregel : P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) ( dus G 1 en G 2 onafhankelijk en G 1 en G 2 komen allebei tegelijk voor) Rijtjes: met een dobbelsteen 1 van de 3 keer een 5 gooien, de volgorde is niet van belang. Dan combinaties: De 5 kan op 1 van de 3 posities staan x kans op een 5 x kans op geen 5 op de andere posities.

2 Kansen - Vaasmodel Het aantal manieren om r dingen uit n dingen te kiezen zonder dat op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n is Kans definitie Voorbeeld : Vaas met acht rode, vier witte en drie blauwe knikkers: Kans op 1 rode, 2 witte en 2 blauwe knikkers pakken (zonder terugleggen en de volgorde is niet van belang) Aantal mogelijke uitkomsten = Aantal gunstige uitkomsten = Dus P(1 rode, 2 witte en 2 blauwe) = Check: bovenaan: = 15 onder: = 5 Probeer probleem om te zetten in vaasmodel: Somregel : P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) ( dus G 1 en G 2 onafh. en G 1 en G 2 komen allebei tegelijk voor) Geldt ook hier : Complimentregel: P(gebeurtenis) = 1 P(compliment-gebeurtenis) Productregel: Voor twee onafhankelijke kansexperimenten geldt: P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) x P(G 2 ) Experiment twee keer of vaker doen : P(G) = (¼ ) n bij n x doen en kans ¼ Experiment herhalen tot succes optreedt: NB na ieder experiment is er een nieuwe situatie! Maak een kansboom. Trekken met en zonder teruglegging:

3 De normale verdeling neem je bij een klassenindeling van een zeer grote populatie de klassenbreedte steeds kleiner, dan zal de frequentiepolygoon steeds meer gaan lijken op een vloeiende kromme krijg je een klokvormige kromme, dan is er sprake van een normale verdeling de kromme heet de normaalkromme de top ligt boven het gemiddelde μ de breedte van de kromme hangt af van de standaardafwijking σ Oppervlak berekenen: Normalcdf Geen l of r? Dan of Grenzen berekenen: invnorm Genzen berekenen bij symmetrisch gebied : Berekenen van μ en σ: Normalcdf met x als σ, plot grafiek, intersect; μ idem. Opp links/rechts = 1-opp Opp links = ½ x opp links/rechts Dan grens links Dan grens rechts.

4 Percentages en kansen bij de normale verdeling: Werkschema : 1. Schets een normaalkromme en verwerk μ, σ, l, r en Opp. 2. Kleur het gebied dat gevraagd wordt. 3. Bereken met de GR het ontbrekende getal 4. Beantwoord gestelde vraag. Gemiddelde en standaard afwijking berekenen : Invullen als x en intersect. Verwachtingswaarde Kansverdeling van een toevalsvariabele is een tabel met alle mogelijke waarden van de toevalsvariabele en de bijbehorende kansen. kanshistogram. Verwachtinswaarde: De som van alle realisaties, x, van de kansvariabele X, ieder vermenigvuldigd met de kans dat hij vóórkomt. Voor discrete kansverdelingen is de notatie: E(X) = Werkschema : het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) 1 Stel de kansverdeling van X op. 2 Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. 3 Tel de uitkomsten op.

5 Binomiale verdeling Bij kansexperimenten waar we slechts in één gebeurtenis zijn geïnteresseerd. Op de GR : Werkschema : het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten 1 Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X. 2 Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. 3 Bereken de gevraagde kans met de GR.

6 Schema samenvatting kansrekening Algemeen : P( gebeurtenis A ) = Voorbeeld : Vaas met 5 rode en 4 groene knikkers. Trek met en zonder teruglegging 3 knikkers Normale verdeling Zie samenvatting Discreet? (telbaar) Uitschrijven P(ggr)= Terugleggen? Volgorde? Antw /nee? Binomiaal Zie samenvatting P(2 groene knikkers) = Uitschrijven P(ggr)= Volgorde? Hypergeometrisch Combinaties P(2 groen)=