Keuze onderwerp: Kansrekening 5VWO-wiskunde B

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Keuze onderwerp: Kansrekening 5VWO-wiskunde B"

Transcriptie

1 Keuze onderwerp: Kansrekening 5VWO-wiskunde B Blaise Pascal ( ) Pierre-Simon Laplace ( )

2 INHOUDSOPGAVE 1. Permutaties & Combinaties... 3 Rangschikking zonder herhaling (permutaties)... 3 Rangschikking met herhaling... 3 Combinaties... 4 Verband permutaties en combinaties... 4 Vertrouwd raken met npr, ncr,!... 5 Kennismakingsopgaven Kansdefinitie van Laplace... 7 Kennismakingsopdrachten Vaasmodel... 8 Met en zonder terugleggen trekken... 9 Herhaald uitvoeren van een kansexperiment... 9 Herhaald uitvoeren van een kansexperiment totdat succes optreedt... 9 Kennismakingsopdrachten Vaasmodel Met en zonder terugleggen Binomiale verdeling Kennismakingsopgaven Normale verdeling Algemeen Normaal kromme Vuistregels Grenzen berekenen Hoe vind ik μ óf σ als de rest wel is gegeven: L, R, oppervlakte? Kennismakingsopdrachten Toepassingsopdrachten

3 1. Permutaties & Combinaties Rangschikking zonder herhaling (permutaties) Het is vaak zo dat de lettervolgorde ABC niet hetzelfde is als ACB. De lettervolgorde is dus van belang. Als je k elementen kunt kiezen uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één maal gekozen wordt en waarbij wel gelet wordt op de volgorde van de elementen dan heb je te maken met een permutatie of rangschikking. Het aantal permutaties kun je berekenen met de volgende formule:. Met n verschillende elementen uit een verzameling van n elementen kunnen n! verschillende rangschikkingen gemaakt worden. De formule klopt want 0!= Hoeveel woorden van drie letters kun je In een vaas zitten vier knikkers in de kleuren maken als je 26 verschillende letters maximaal rood, wit, blauw en groen. Je trekt een knikker één maal mag gebruiken en onzinwoorden zijn en legt die niet terug. Hoeveel volgordes zijn er toegestaan? waarin je de knikker uit de vaas kunt halen? Antwoord Antwoord Toelichting Toelichting Rangschikking met herhaling Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element meerdere keren gekozen mag worden en waarbij wel gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een rangschikking met herhaling. Het aantal rangschikkingen met herhaling kan worden berekend met de volgende formule:. Hoeveel telefoonnummers van 7 cijfers kun je maken, als je er van uitgaat dat alle 'denkbare' nummers zijn toegestaan. Antwoord Hoeveel geboortevolgordes zijn er in een gezin met 3 kinderen? Antwoord Toelichting 3

4 Combinaties Het kan voorkomen dat de lettervolgorde niet van belang is: ABC is dan hetzelfde als ACB. Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één maal wordt gekozen en waarbij niet gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een combinatie. Het aantal combinaties kan worden berekend met de volgende formule: De notatie van de n en k tussen de haakjes wordt uitgesproken als n boven k. Bij de lotto worden iedere week zes lottogetallen getrokken, door achter elkaar zes balletjes uit een machine te laten rollen. Op iedere balletje staat een getal. De balletjes die er uit zijn gerold worden niet terug gestopt. Bovendien is de volgorde van de balletjes is niet belangrijk. Er zijn 41 balletjes en er worden zes balletjes getrokken. Antwoord Het aantal verschillende combinaties van 6 getallen uit 41 is: N.B. voer je in de GR in met 41 ncr 6 Verband permutaties en combinaties Op tafel liggen 26 letters: A t/m Z. Hiermee leg ik, zonder terugleggen, "woorden" van drie letters. Onder "woorden" verstaan we alle mogelijke series van drie letters, dus ook onzinwoorden zijn toegestaan. Hoeveel verschillende "woorden" kan ik maken? Het antwoord op deze vraag is: Omdat het zonder terugleggen is en de volgorde van belang is, hebben we hier te maken met permutaties. Je kunt ook uitrekenen hoeveel verschillende combinaties van 3 letters er zijn. Je let dan niet op de volgorde, maar kijkt alleen welke 3 letters in het woord voorkomen. Het antwoord is dan: Aan de berekening kun je zien dat het 'verschil' tussen het aantal permutaties en het aantal combinaties 3! is. Welnu, die 3! is precies het aantal rangschikkingen dat je kunt maken met 3 letters. Dus aantal permutaties = 3! maal het aantal combinaties. Neem het woord KAT. Er zijn nog 5 andere woorden te bedenken met dezelfde letters. KTA, AKT, ATK, TKA en TAK. Er zijn dus 6 verschillende woorden met de letters K, A en T. 4

5 Vertrouwd raken met npr, ncr,! (1) Pietje, Marietje en Sofietje doen mee met een hardloopwedstrijd. De winnaar krijgt goud, de tweede krijgt zilver en de derde krijgt brons. Hoeveel verschillende uitslagen zijn er mogelijk? (1a) Goud Zilver Brons P M S P S M M P S M S P S P M S M P Door het uit te schrijven zie je dat er 6 situaties mogelijk zijn. (1b) Echter zonder tabel kun je dit sneller uitrekenen: Er zijn 3 personen die als eerste kunnen eindigen. Als de eerste bekend is, dan kunnen er twee op de tweede plaats eindigen. Als de eerste twee bekend zijn, dan ligt de derde plaats vast. Dus 3 x 2 x 1 = 6. Dit kun je ook schrijven als 3! (3 faculteit) of als 3 npr 3. Ga op je GR naar MATH, vervolgens naar PRB en kies optie 4 (1c) Er zijn 3 personen die als eerste kunnen eindigen. Als de eerste bekend is, dan kunnen er twee op de tweede plaats eindigen. Als de eerste twee bekend zijn, dan ligt de derde plaats vast. Dit kunnen we ook als volgt noteren:. Echter je GR doet dit iets anders, namelijk: 3 ncr 3 * 2 ncr 1 * 1 ncr 1 = 6. Ga hiervoor naar MATH, PRB en optie 3 voor de ncr optie. De C van ncr staat voor combinaties. 2 We doen nu hetzelfde met de letters AAAABB. Op hoeveel manieren kun je deze letters naast elkaar zetten, zodanig dat je een ander woord krijgt? AAABAB, AAABBA, etc. kun je natuurlijk proberen uit te schrijven, maar je ziet al snel dat dit vrij lang duurt en bovendien zie je gauw een mogelijkheid over het hoofd. 2 In plaats van uitschrijven, hanteren we het principe van uitwerking 1c. Van de 6 letters zijn er 4 een A en die gebruiken we eerst. Dan houden we 2 plaatsen over. Daar kunnen we de 2 B s plaatsen. Dus 6 ncr 4 * 2 ncr 2 = 15, oftwel: 5

6 Kennismakingsopgaven Opgave 1 Gaat het bij de volgende situatie om combinaties of permutaties? a) Uit een klas worden zes leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen. b) Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een fiets, een grafische rekenmachine en een taart. c) In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een toneelvoorstelling. d) Op een schoolfeest komen vijf leraren. e) Uit de top-tien van BNN van vorige week stel je je eigen top drie samen. Opgave 2 a) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: ABBA b) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: ANNAMARIA c) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: MISSISSIPPI Opgave 3 Een groep van tien vrienden gaat een weekend kamperen. Eén van het reserveert de camping, één regelt het vervoer en een derde doet inkopen. a) Op hoeveel manieren kunnen deze taken verdeeld worden? b) Op hoeveel manieren kunnen tien taken over deze tien vrienden verdeeld worden? Opgave 4 Een bedrijf codeert zijn artikelen door gebruik te maken van de symbolen. Elke code bestaat uit een rijtje van vijf symbolen. a) Toon aan dat er 1024 codes mogelijk zijn. b) Hoeveel van deze codes beginnen met? c) Bij hoeveel van deze codes staan er geen gelijke symbolen naast elkaar? d) Hoeveel van deze codes zijn er met precies vier keer het symbool? Opgave 5 Carlijn heeft twaalf R&B cd s. Ze stelt een top-vijf samen. Op hoeveel manieren kan dat? Opgave 6 Martin is de pincode van zijn bankpas vergeten, maar hij weet nog wel dat daarin de cijfers 2, 5, 8 en 9 voorkomen. a) Hoeveel pincodes zijn er met deze cijfers? b) Hoeveel van die pincodes beginnen met een 5? Opgave 7 Op een school bestaat de feestcommissie uit zes jongens en negen meisjes. Na elk feest maken zes leden van de feestcommissie de zaal schoon. a) Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met twee jongens? b) In hoeveel schoonmaakploegen zitten minstens vijf meisjes? Opgave 8 In een doos zitten drie rode, vier witte en vijf blauwe knikkers. Peter pakt vijf knikkers uit de doos. Hoeveel vijftallen zijn er mogelijk met a) één rode, twee witte en twee blauwe knikkers? b) minstens vier blauwe knikkers? c) hoogstens één witte knikker? d) geen enkele blauwe knikker? 6

7 2. Kansdefinitie van Laplace Bij een kansexperiment met uitkomsten die allemaal even waarschijnlijk zijn, is de kans op een gebeurtenis G gelijk aan Wat is de kans dat je met een gewone dobbelsteen een 5 of een 6 gooit? Er zijn twee gunstige uitkomsten: 5 of 6. Er zijn zes mogelijke uitkomsten: 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Dus Kennismakingsopdrachten Opgave 1 Merel gooit met twee dobbelstenen. Bereken a) P(verschil van de aantallen ogen is 2) b) P(product van de ogen is 12) c) P(product van de ogen is minder dan 30) Opgave 2 Pim gooit met drie dobbelstenen. Bereken exact a) P(som van de ogen is 5) b) P(som van de ogen is minder dan 7) c) P(met elke dobbelsteen wordt hetzelfde aantal gegooid) Tip: maak een rooster Tip: schrijf de gunstige mogelijkheden uit. Opgave 3 Bereken de kans dat je met zes geldstukken a) Vijf keer kop gooit b) Drie keer munt gooit c) Minder dan drie keer kop gooit. 7

8 3. Vaasmodel : Een vaas bevat 10 knikkers: 5 zwarte, 3 rode en 2 blauwe. Iemand trekt aselect 3 knikkers. Hoe groot is de kans op: 2 zwarte, 0 rode en 1 blauwe knikker als je drie knikkers uit de vaas pakt? 1 e opmerking: Als je drie knikkers tegelijk pakt, dan is dit natuurlijk vanzelf een experiment zónder terugleggen. Als je de drie knikkers één voor één pakt, dan kan het nog mét en zónder terugleggen zijn. Met terugleggen betekent dan: een knikker pakken, noteren wat er getrokken is, de knikker terugleggen, de volgende knikker pakken, enz. Hier wordt bedoeld: in één hand drie knikkers pakken of één voor één zonder terugleggen. 2 e opmerking: Dit experiment is nog uit te schrijven met behulp van een kansboom. Kansbomen geven veel meer inzicht dan formules. Oplossen met behulp van een kansboom kan eigenlijk altijd (al is het soms erg veel werk) P(zzb) = P(zbz) = P(bzz) = Dus = 3/18 = 1/6. Nu met combinaties 5 Er zijn combinaties van zwarte balletjes mogelijk, 2 combinaties van blauwe knikkers. 3 0 combinaties van rode en 2 1 totaal te trekken zwart 5 2 rood 3 0 blauw Eerst een tabelletje maken zoals hierboven voorkomt veel fouten!! Veel kansproblemen kun je vertalen in een vaasmodel met kleuren knikkers. Vaak is het handig om daar gebruik van te maken! 8

9 Met en zonder terugleggen trekken Herhaald uitvoeren van een kansexperiment Het vier keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. a) Bereken de kans dat vier keer 6 ogen wordt gegooid. b) Bereken de kans op precies één keer 6 ogen. a) P(6666) = = æ 1 ö ç 6ø æ b) P(een 6 en 3 keer geen 6) = ç 4 = ö 4 1 ø = æ 5ö ç 6ø 3 = = Herhaald uitvoeren van een kansexperiment totdat succes optreedt Tom pakt één voor één knikkers uit een vaas met vijf rode, drie witte en twee zwarte knikkers. Hij gaat net zo lang door totdat hij een rode knikker pakt. Bereken de kans dat hij drie keer een knikker pakt. Trekken met terugleggen Jelle gooit drie keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij één keer minstens 5 ogen gooit. Aanpak Pak drie knikkers met terugleggen uit een vaas met twee rode(5 of 6 ogen) en vier witte(1, 2, 3 of 4 ogen) knikkers. P(één keer minstens 5 ogen) = æ ç æ ç ö P(³ 5, <5, <5) = ø ö ø æ 2ö ç 6ø æ 4ö ç 6ø 2» 0,444 Bij trekken met terugleggen gebruik je de productregel. Trekken zonder terugleggen In een grabbelton zitten zes enveloppen, waarvan er twee een prijs bevatten. Thijs pakt drie enveloppen. Bereken de kans dat Thijs één prijs wint. Aanpak Pak drie knikkers zonder terugleggen uit een vaas met twee rode(de prijzen) en vier witte(geen prijs) knikkers. P(één prijs) = æ ç æ P(één prijs) = ç 2 ö 1 ø æ 4 ö ç 2 ø = 0,6 æ 6 ö ç 3 ø 3 1 ö ø æ ö ç 4ø = 0,6 Bij trekken zonder terugleggen gebruik je combinaties of breuken. 9

10 Kennismakingsopdrachten Vaasmodel Opgave 1 In een vaas zitten acht rode, vier witte en drie blauwe knikkers. Okke pakt vijf knikkers uit de vaas. Bereken de kans dat Okke a) één rode, twee witte en twee blauwe knikkers pakt. b) geen rode knikkers pakt. c) precies drie rode knikkers pakt. Opgave 2 In een vaas zitten 18 rode, 12 blauwe en 32 witte knikkers. Vincent pakt zes knikkers uit de vaas. Bereken de kans op a) drie witte en drie blauwe knikkers b) geen witte knikkers c) precies vier witte knikkers d) precies één rode knikker Opgave 3 Bij een loterij zijn 60 loten verkocht. Er is één hoofdprijs en er zijn vijf tweede prijzen. Dennis heeft vijf loten gekocht. a) Bij deze situatie hoort een vaasmodel. Hoe is deze vaas samengesteld? Hoeveel knikkers pakt Dennis uit de vaas? Bereken de kans dat Dennis b) Twee tweede prijzen wint en verder niets? c) De hoofdprijs en één tweede prijs wint? Opgave 4 Bij een loterij zijn 40 loten verkocht. Er zijn drie eerste prijzen en zeven tweede prijzen. Monique koopt drie loten en Barbara koopt er vier. Bereken de kans dat a) Monique precies één prijs wint. b) Barbara twee tweede prijzen wint. c) Geen van beiden een prijs wint. d) Elk lot van Barbara een prijs oplevert. Met en zonder terugleggen Opgave 5 In een vaas zitten 24 blauwe en 16 groene knikkers. Matthijs pakt drie knikkers uit de vaas. Bereken de kans op a) Twee groene knikkers b) Minstens één blauwe knikker Elsbeth pakt met terugleggen drie knikkers uit de vaas. Bereken de kans op c) Twee groene knikkers d) Minstens één blauwe knikker 10

11 Opgave 6 Anna pakt twee knikkers uit een vaas met 4 rode en 3 witte knikkers. Welke bewering is waar? I) II) III) Opgave 7 In een klas zitten 22 leerlingen: tien jongens en twaalf meisjes. a) Elk van de secties Frans, Duits, Engels en Nederlands verloot een boek in de klas. Bereken de kans dat de vier boeken door meisjes gewonnen worden. b) De sectie verzorging verloot in de klas vier appeltaarten. Elke leerling kan hoogstens één taart winnen. Bereken de kans dat de vier taarten door meisjes gewonnen worden. Opgave 8 De kans dat iemand linkshandig is, is 0,18. a) Bereken de kans dat van twee willekeurige personen er één linkshandig is. b) Bereken de kans dat van vijf willekeurige personen er hoogstens één linkshandig is. In een gezelschap van 50 personen zijn negen linkshandigen aanwezig. c) Bereken de kans dat twee willekeurig aangewezen personen uit dit gezelschap beiden linkshandig zijn. Opgave 9 Trudy pakt één voor één knikkers uit een vaas met zes gele, vier witte en drie paarse knikkers. Zij gaat net zo lang door totdat zij een gele knikker pakt. Bereken de kans dat zij vijf keer een knikker pakt. 11

12 5. Binomiale verdeling Een binomiale kansverdeling is een discrete verdeling. Iemand gooit 8 keer met een dobbelsteen. Hoe groot is de kans dat hij 3 keer een 6 gooit. Bereken de kans op eerst 3x een 6, dan 5x iets anders P(6 6 6 x x x x x) = 6 6 P(6 x x 6 6 x x x) is natuurlijk precies even groot. 8 Er zijn van deze mogelijkheden P(3 zessen) = = 0,1042 Met behulp van je GR kun je dit uitrekenen door P(3 zessen) = Discreet Heeft betrekking op dingen die enkel geheel voorkomen: auto s, knikkers, katten, etc. 1 binompdf 8,,3 0, Bereken de kans op hoogstens drie keer een 6. P(0 keer een 6) = binompdf(8,1/6,0) = 0,2326 P(1 keer een 6) = binompdf(8,1/6,1) = 0,3721 P(2 keer een 6) = binompdf(8,1/6,2) = 0,2605 P(3 keer een 6) = binompdf(8,1/6,3) = 0, P(X 3 x een 6) = binomcdf(8,1/6,3) = 0,9693 Verwachtingswaarde Bij een kansexperiment met bijvoorbeeld 4 mogelijke uitkomsten, waarbij de kansen op elk van de uitkomsten bekend zijn: uitkomst kans 0,3 0,3 0,3 0,1 is de verwachtingswaarde van de uitkomst: 16 x 0, x 0, x 0, x 0,1 = 24,8 Formules Binomiale kansen: De verwachtingswaarde: Standaardafwijking: 12

13 Kennismakingsopgaven Opgave 1 Bereken en ga deze uitkomst na m.b.v binompdf. Opgave 2 In een vaas zitten drie rode, drie witte en vier groene knikkers. Alexander pakt drie knikkers uit de vaas en legt deze daarna weer terug. Het pakken van drie knikkers met dezelfde kleur beschouwt hij als succes. a) Bereken p [p is de kans op succes] Alexander voert het experiment vijf keer uit. Bereken de kans dat hij b) Geen enkele keer succes heeft c) De eerste keer succes heeft en daarna niet meer d) Precies één keer succes heeft Opgave 3 Bereken de kans dat Wassim bij tien worpen met een dobbelsteen vier keer minstens vijf ogen goot. Opgave 4 De schijf hiernaast is verdeeld in vier even grote sectoren. Sandra laat de schijf zeven keer draaien. Bereken de kans dat zij a) Drie keer een 1 krijgt b) Hoogstens vier keer een 2 krijgt c) Vier keer een 1 en drie keer een 3 krijgt Opgave 5 Van een zeer grote partij accu s is 20% ondeugdelijk. Een koper, die dit percentage niet kent, besluit de partij op te kopen als hij in de steekproef van 54 accu s niet meer dan 3 ondeugdelijke accu s aantreft. Bereken de kans dat de opkoper de partij opkoopt. Opgave 6 Bij een binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,42 is X het aantal keer succes. Bereken a) b) c) d) e) Opgave 7 Bereken de kans dat je a) Bij 30 worpen met twee geldstukken hoogstens vijf keer met beide geldstukken munt gooit. b) Bij 18 worpen met twee dobbelstenen precies vijf keer minstens zeven ogen gooit. Opgave 8 Bij een spel met drie dobbelstenen is de inleg 10,-. Gooit een deelnemer drie gelijke aantallen ogen, dan krijgt hij 100,-. Gooit hij twee gelijke aantallen ogen, dan krijgt hij 15,-. In alle andere gevallen krijgt hij niets. Bereken de winstverwachting per spel voor de organisator. 13

14 6. Normale verdeling Algemeen De normale verdeling is een continue kansverdeling. De grafiek is een vloeiende kromme. Kansverdelingen waarbij een continue variabele een rol speelt komen veel voor. Als je bijvoorbeeld kijkt naar het gewicht van een pak koffie van een bepaald merk, of naar de gemiddelde opbrengst van een hectare grond of naar de lengte van een groot aantal personen dan heb je steeds te maken met een continue kansverdeling. Bij veel discrete kansverdelingen, zoals bijvoorbeeld de binomiale verdeling, wordt vaak gedaan alsof ze continu zijn, vooral als sprake is van grote aantallen. Eigenschappen van een normale verdeling die je uit je hoofd moet kennen zijn: De grafiek is klokvormig De oppervlakte onder de kromme komt overeen met 100% van de gegevens De grafiek is symmetrisch t.o.v. het gemiddelde Gemiddelde, mediaan en modus vallen samen De verdeling wordt bepaald door de verwachtingswaarde = het gemiddelde ( x of μ) en de standaarddeviatie (σ of sd) σ = de afstand van de symmetrie-as tot de buigpunten van de grafiek. Voor een normale verdelingskromme is het mogelijk de standaarddeviatie σ op het oog te schatten. σ is namelijk de afstand van het buigpunt tot het centrum (gemiddelde en mediaan). Maak altijd even een schetsje van de normaalkromme, geef het gemiddelde en de grenzen aan en arceer het gebied waarvan je de kans (= de oppervlakte van het begrensde gebied) moet berekenen. Gemiddelde = verwachtingswaarde = x = E(x) = μ (spreek uit mu) Bijna alle kansen bereken je met de functie Normalcdf. Als kleinste ondergrens bij de berekening van een kans als gebruik je over het algemeen niet 0 maar een heel klein getal als (waarom?) Als kleinste bovengrens bij de berekening van een kans als gebruik je over het algemeen een heel groot getal als (waarom?) is bij de normaalverdeling gelijk aan i.v.m. de continuïteit. Terugrekenen: Met de GR kun je met behulp van invnormal (de inverse van normalcdf) de grenzen berekenen bij een gegeven kans (=oppervlakte). invnormal kan alleen kansen berekenen van de vorm. Kansen van de vorm =c moet je berekenen met. Voor het berekenen van kansen als moet je nog wat extra tussenstappen zetten. Zie hiervoor: uitleg docent! invnormal: Je weet de kans, de grootte van het gebied en je wilt de grens (grenzen) van dat gebied weten. normalcdf: je weet de grens (grenzen) van het gebied en je wilt de kans oftewel de oppervlakte van dat gebied weten. 14

15 Normale verdeling De normale is een continue kansverdeling met vier parameters, de linkergrens L, de rechtergrens R, verwachtingswaarde μ (= mu) en de standaardafwijking σ (= sigma), waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door: kans = normalcdf(l, R, μ, σ) Standaardafwijking: De standaardafwijking of standaarddeviatie, is een maat voor de spreiding van een variabele of van een verdeling. Normaal kromme Ga op je GR naar DISTR (2nd VARS) en kies optie 2 De gemiddelde mens heeft een IQ van 100. Tussen een IQ van 85 en 115 heb je een normale intelligentie. De standaardafwijking σ is hier gelijk aan 15. Boven een IQ van 130 ben je hoogbegaafd. Maak eerst een schets van de gegeven situatie! a) Bereken de kans dat iemand een normale intelligentie heeft. b) Bereken de kans dat iemand hoogbegaafd is. Vuistregels Met bovenstaand voorbeeld in gedachten is het bij de normale verdeling handig om een aantal vuistregels te kennen: 68% van alle waarnemingen ligt tussen μ σ 95% van alle waarnemingen ligt tussen μ 2σ 15

16 Grenzen berekenen Na het maken van een proefwerk hoor je van je docent dat het gemiddelde van de klas een 5,7 is, maar dat je bij de beste 21% hoort. De standaardafwijking is 1,2. Je bent natuurlijk benieuwd naar je cijfer, maar hoe kom je daar achter? Grens = invnorm (opp L, μ, σ) Dus, Ga op je GR naar DISTR (2nd VARS) en kies optie 3 Hoe vind ik μ óf σ als de rest wel is gegeven: L, R, oppervlakte? Van de normaalkromme in het plaatje hiernaast is μ = 400 en is σ onbekend. Verder is gegeven dat de oppervlakte links van 450 gelijk is aan 0,78. σ) en de oppervlakte = 0,78. Dus we hebben een vergelijking! Deze kunnen we alleen grafisch-numeriek oplossen, dus m.b.v. de GR. Aan de hand van de vuistregels kun je schatten dat σ in de buurt van 80 zal liggen. Dit betekent dat je je window eerst op en moet zetten (ruime schatting). en, want een kans ligt altijd tussen de 0 en de 1. Optie intersect geeft dan: Je ziet dat je schatting alleen een houvast is, maar dat je vervolgens gaat uitzoeken of die schatting wel klopt. Dezelfde werkwijze zul je moeten volgen als μ onbekend is. Schat altijd eerst hoe groot μ zal zijn, voordat je je window instelt! 16

17 Kennismakingsopdrachten Opgave1 Van een groep volwassen vrouwen is de lengte normaal verdeeld met en. Hoeveel procent van de vrouwen heeft volgens de vuistregels van de normale verdeling een lengte a) Tussen de 165 en 180 cm? b) Minder dan 160 cm? c) Meer dan 175 cm? d) Tussen de 160 en 170 cm? Opgave 2 Bereken telkens de oppervlakte van het ingekleurde gebied m.b.v. normalcdf(l, R, μ, σ). Opgave 3 Bij een normale verdeling is en. a) Bereken de oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme links van 480. Maak eerst een schets en arceer het gebied. b) Bereken de oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme rechts van 510. Opgave 4 Bij de normaalkrommen in onderstaande figuur is bij de gegeven μ en σ de oppervlakte van het ingekleurde gebied vermeld. Bereken steeds de grens a m.b.v. invnorm(opp L, μ, σ). Opgave 5 Bij een normale verdeling is μ = Het gebied onder de normaalkromme tussen 2080 en 2320 heeft een oppervlakte van 0,62. Maak een schets van de gegeven situatie en bereken σ in tientallen nauwkeurig. Opgave 6 Bij een normale verdeling is σ = 3,8. De oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme rechts van 17 is 0,28. Maak een schets van de situatie en bereken μ in één decimaal nauwkeurig. 17

18 Toepassingsopdrachten Opgave 7 Van de 1600 mannelijke werknemers van een bedrijf is het gewicht normaal verdeeld met μ = 78 kg en σ = 12 kg. a) Hoeveel van deze mannen zijn zwaarder dan 60 kg? b) Bereken de kans dat een aselect gekozen persoon uit deze groep tussen de 70 kg en 82 kg weegt. c) De 10% zwaarste mannen worden door de bedrijfsarts opgeroepen voor controle. Vanaf welk gewicht in kg nauwkeurig kun je een oproep verwachten? Opgave 8 Een machine vult pakken groente met een gemiddeld gewicht van 250 gram. De fabrikant wil dat 90% van de pakken een gewicht heeft dat maximaal 5 gram afwijkt van deze 250 gram. a) Welke standaardafwijking zal hij accepteren? Neem aan dat het vulgewicht normaal verdeeld is en rond af op twee decimalen. Een andere vulmachine van pakken groente heeft een standaardafwijking van 4 gram. De fabrikant wil het gemiddelde zo instellen dat niet meer dan 10% van de pakken minder dan 250 gram bevat. b) Op welk gemiddelde moet hij de machine instellen? Ga weer uit van een normale verdeling en rond af op gehelen. Opgave 9 Uit onderzoek is bekend dat het kopergehalte van messing sierkannetjes van de fabrikant Zomerhuis normaal verdeeld is met een gemiddelde van 68%. In een partij van 325 van deze kannetjes blijken er 29 te zitten met een kopergehalte van meer dan 70%. a) Toon aan dat de standaardafwijking gelijk is aan 1,49%. b) De kannetje met een kopergehalte van minder dan 65,5% worden uit de handel genomen. Hoeveel zijn dat er bij een productie van 500 stuks? Opgave 10 De productietijd van een zeker artikel bij de firma Driessen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 1 uur en 3 minuten. a) Bereken de kans dat de productietijd van zo n artikel minder dan 4 minuten afwijkt van het gemiddelde in het geval de standaardafwijking 125 seconden is. b) Bereken de standaardafwijking in seconden nauwkeurig in het geval de productietijd van 30% van de artikelen meer dan 2,5 minuut afwijkt van het gemiddelde. c) Op een dag produceert Driessen 7000 van deze artikelen. Van 1500 van deze artikelen is de productietijd meer dan 66 minuten. Bereken de standaardafwijking in seconden nauwkeurig. 18

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.

9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. 9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment

Nadere informatie

13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] 13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

14.1 Kansberekeningen [1]

14.1 Kansberekeningen [1] 14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-2 H10: Kansverdelingen..3-4 H11: Allerlei functies.5- Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve formule

Nadere informatie

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in 1968 1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend.

Nadere informatie

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1]

3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. a)

Nadere informatie

H10: Allerlei functies H11: Kansverdelingen..6-7

H10: Allerlei functies H11: Kansverdelingen..6-7 Oefenmateriaal V5 wiskunde A Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-3 H10: Allerlei functies....4-5 H11: Kansverdelingen..6-7 Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve

Nadere informatie

EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO MLN/SNO

EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO MLN/SNO EXAMENTOETS TWEEDE PERIODE 5HAVO wiskunde A MLN/SNO Onderwerp: Statistiek - Blok Datum: donderdag 1 januari 010 Tijd: 8.30-10.45 NB 1: Bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN aangeven.

Nadere informatie

Lesbrief de normale verdeling

Lesbrief de normale verdeling Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...

Nadere informatie

7.0 Voorkennis , ,

7.0 Voorkennis , , 7.0 Voorkennis Een gokkast bestaat uit een drietal schijven die ronddraaien. Op schijf 1 staan: 5 bananen, 4 appels, 3 citroenen en 3 kersen; Op schijf 2 staan: 7 bananen, 3 appels, 2 citroenen en 3 kersen;

Nadere informatie

De normale verdeling. Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode)

De normale verdeling. Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De normale verdeling Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf In deze les ga je veel met

Nadere informatie

De normale verdeling

De normale verdeling De normale verdeling Les 2 De klokvorm en de normale verdeling (Deze les sluit aan bij paragraaf 8 en 9 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf

Nadere informatie

Hoe verwerk je gegevens met de Grafische Rekenmachine?

Hoe verwerk je gegevens met de Grafische Rekenmachine? Hoe verwerk je gegevens met de Grafische Rekenmachine? Heb je een tabel met alleen gegevens? Kies STAT EDIT Vul L 1 met je gegevens (als de lijst niet leeg is, ga je met de pijltjes helemaal naar boven,

Nadere informatie

wiskundeleraar.nl

wiskundeleraar.nl 2015-2016 wiskundeleraar.nl 1. voorkennis Volgorde bij bewerkingen 1. haakjes 2. machtsverheffen. vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4. optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeeld

Nadere informatie

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A

Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Notatieafspraken Grafische Rekenmachine, wiskunde A Bij deze verstrek ik jullie de afspraken voor de correcte notatie bij het gebruik van de grafische rekenmachine. Verder krijg je een woordenlijst met

Nadere informatie

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen?

6. Op tafel liggen 10 verschillende boeken. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 3 jongens daar ieder 1 boek uit kiezen? 1. Iemand heeft thuis 12 CD s in een rekje waar er precies 12 inpassen. a. Op hoeveel manieren kan hij ze in het rekje leggen. b. Hij wil er 2 weggeven aan zijn vriendin, hoeveel mogelijkheden? c. Hij

Nadere informatie

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1]

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Gegeven zijn de volgende 10 waarnemingsgetallen: 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 Het gemiddelde is: De mediaan is het middelste waarnemingsgetal als de getallen naar grootte

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel

Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Hoofdstuk 7 Kansrekening (V4 Wis A) Pagina 1 van 8 Paragraaf 7.1 : Het Vaasmodel Les 1 : Kansen Herhalen kansen berekenen Hoe bereken je de kans als je een aantal keren achter elkaar een experiment uitvoert?

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: De normale verdeling. 8.1 Centrum- en spreidingsmaten. Opgave 1:

Hoofdstuk 8: De normale verdeling. 8.1 Centrum- en spreidingsmaten. Opgave 1: Hoofdstuk 8: De normale verdeling 8. Centrum- en spreidingsmaten Opgave : 00000 4 4000 5 3000 a. 300 dollar 0 b. 9 van de atleten verdienen minder dan de helft van het gemiddelde. Het gemiddelde is zo

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

H8: Regelmaat & verandering H9: Kansverdelingen...4-7

H8: Regelmaat & verandering H9: Kansverdelingen...4-7 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op SE-toets 1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H8: Regelmaat & verandering...1-3 H9: Kansverdelingen....4-7 Hoofdstuk 8: Regelmaat & veranderingen Rekenkundige rij Meetkundige

Nadere informatie

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW])

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW]) bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW]) vorige week: kansrekening de uitkomstvariabele was bijna altijd discreet aantal keer een vijf gooien

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen:

4.0 Voorkennis. Bereken het aantal manieren om de functies te verdelen: 4.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Een bestuur bestaat uit 6 personen. Uit deze 6 personen wordt eerst een voorzitter, dan een secretaris en tot slot een penningmeester gekozen. Bereken het aantal manieren om

Nadere informatie

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Opmerkingen vooraf Wiskunde Pagina 2 uit 20 Opmerkingen vooraf Pak je rekenmachine, de TI-83, erbij en

Nadere informatie

Lesbrief Hypergeometrische verdeling

Lesbrief Hypergeometrische verdeling Lesbrief Hypergeometrische verdeling 010 Willem van Ravenstein If I am given a formula, and I am ignorant of its meaning, it cannot teach me anything, but if I already know it what does the formula teach

Nadere informatie

Gokautomaten (voor iedereen)

Gokautomaten (voor iedereen) Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,

Nadere informatie

Boek 2 hoofdstuk 8 De normale verdeling.

Boek 2 hoofdstuk 8 De normale verdeling. 52a. de groepen verschillen sterk in grootte b. 100 van de 5000 = 1 van de 50 dus 1 directielid, 90 winkelmedewerkers en 9 magazijnmedewerkers. Boek 2 hoofdstuk 8 De normale verdeling. 8.1 Vuistregels

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening

Opgaven voor Kansrekening Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:

Nadere informatie

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) =

2.1 Kansen [1] Er geldt nu dat de kans op som is 6 gelijk is aan: P(som is 6) = 2.1 Kansen [1] Voorbeeld 1: Als je gooit met twee dobbelstenen zijn er in totaal 6 6 = 36 mogelijke uitkomsten. Deze staan in het rooster hiernaast. De gebeurtenis som is 6 komt vijf keer voor. Het aantal

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2 Paragraaf 8 De klokvorm Opgave 1 a De top van de grafiek van de PvdA ligt bij 30 %. Dus voor de PvdA wordt 30% voorspeld. b De grafiek loopt van ongeveer 27 tot 33, dus het percentage ligt met grote waarschijnlijkheid

Nadere informatie

Gifgebruik in de aardappelteelt

Gifgebruik in de aardappelteelt Gifgebruik in de aardappelteelt Opgave 1. jaar gifgebruik 1998 32 kg/ha 2007 24,5 kg/ha Van 2007 naar 2015 is een periode van 8 jaar. Maak eventueel een verhoudingstabel. In 9 jaar neemt het gifgebruik

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Kansverdelingen 11.1 Kansberekeningen Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3: Opgave 4: Opgave 5:

Hoofdstuk 11: Kansverdelingen 11.1 Kansberekeningen Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3: Opgave 4: Opgave 5: Hoofdstuk : Kansverdelingen. Kansberekeningen Opgave : kan op manieren 5 kan op! manieren 555 kan op manier 0 0 som 5) Opgave : som 5) som 5) som ) som ) c. som 0) d. som 0) som ) Opgave : som ) som )

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen

Uitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen

Nadere informatie

Hoe bereken je een kans? Voorbeeld. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) =

Hoe bereken je een kans? Voorbeeld. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = Hoe bereken je een kans? P(G) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat de som van de ogen 7 is? Regels Een kans is een

Nadere informatie

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder. Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters

Nadere informatie

Havo 4, Handig tellen en Kansrekenen.

Havo 4, Handig tellen en Kansrekenen. Havo, Handig tellen en Kansrekenen. Getal en ruimte boek, hoofdstuk. Handig tellen. Paragraaf, de vermenigvuldig regel: Als je EN hoort, doe je en de plusregel: Als je OF hoort, doe je + a. Er zijn mogelijkheden,

Nadere informatie

V6 Programma tijdens de laatste weken

V6 Programma tijdens de laatste weken V6 Programma tijdens de laatste weken Datum ma. 18-4-11 di. 19-4-11 ma. 5-4-11 di. 6-4-11 ma. -5-11 di. 3-5-11 ma. 9-5-11 di. 10-5-11 Activiteit 1. Differentiëren. Vergelijkingen oplossen e Paasdag 3.

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I Zuinig rijden Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij foto 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per

Nadere informatie

34% 34% 2,5% 2,5% ,5% 13,5%

34% 34% 2,5% 2,5% ,5% 13,5% C. von Schwartzenberg 1/16 1a Er is uitgegaan van de klassen: 1 < 160; 160 < 16; 16 < 170;... 18 < 190. 1b De onderzochte groep bestaat uit 1000 personen. 1c x = 17,3 (cm) en σ, 7 (cm). 1de 680 is 68%

Nadere informatie

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links.

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links. G&R havo A deel C. von Schwartzenberg /8 a Er is uitgegaan van de klassen: < 60; 60 < 6; 6 < 70;... 8 < 90. b c De onderzochte groep bestaat uit 000 personen. (neem nog eens GRpracticum uit hoofdstuk 4

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Probeer zeker de opdrachten 1, 4 en 6 te maken. 1. In de tabel hieronder vind je gegevens over de borstomtrek van 5732

Nadere informatie

de Wageningse Methode Beknopte gebruiksaanwijzing TI84 1

de Wageningse Methode Beknopte gebruiksaanwijzing TI84 1 Algemene vaardigheden Veel knopjes hebben drie functies. De functie die op een knop... staat krijg je door er op de drukken. De blauwe functie die er boven een knop... staat krijg je met 2nd.... Zo zet

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen

Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012)

Antwoorden bij 4 - De normale verdeling vwo A/C (aug 2012) Antwoorden bij - De normale verdeling vwo A/C (aug 0) Opg. a Aflezen bij de 5,3 o C grafiek:,3% en bij de,9 o C grafiek: 33,3% b Het tweede percentage is 33,3 /,3 = 5, maal zo groot. c Bij de 5,3 o C grafiek

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Werkbladen 3 Terugzoeken

Werkbladen 3 Terugzoeken Werkbladen Terugzoeken We keren nu de vraag om. Bij een gegeven percentage (oppervlakte zoeken we de bijbehorende grenswaarde(n. Als voorbeeld zoeken we hoe groot een Nederlandse vrouw anno 97 moest zijn

Nadere informatie

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.

In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht. Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en

Nadere informatie

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Oefentoets Tentamen 1 Wiskunde A HAVO

Oefentoets Tentamen 1 Wiskunde A HAVO Oefentoets Tentamen 1 Wiskunde A HAVO Opgave 1 In een kist perssinaasappelen zitten standaard 50 sinaasappelen. Voor het persen van één glas sap zijn vijf sinaasappelen nodig. Verder wordt aangenomen dat

Nadere informatie

Kansberekeningen Hst

Kansberekeningen Hst 1 Kansberekeningen Hst. 1 1. P(,) + P(,) + P(,) = 1 1 1 1 1 1 5 + + = 16 b. P(10) = P(,,) + P(,,) = 1 1 1 1 1 1 1 6 + = 6 c. P(min stens keer een ) =1 P(max imaal keer een ) = 1 binomcdf (1, 1,) 0,981

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2007 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.

Nadere informatie

Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars

Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars Paper 2 Bijlage 1: Lesplan (volgens MDA); Wil Baars-10630996. Docent: Wil Baars Les: 1 Klas:4VWO Aantal leerlingen:21 Lesonderwerp Het vaasmodel: introductie Beginsituatie De leerling weet dat het aantal

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel)

Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel) Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel) In 1947 werd in opdracht van N.V. Magazijn De Bijenkorf een statistisch onderzoek verricht naar de lichaamsafmetingen van de Nederlandse

Nadere informatie

G&R vwo A/C deel 2 8 De normale verdeling C. von Schwartzenberg 1/14. 3a 1 2

G&R vwo A/C deel 2 8 De normale verdeling C. von Schwartzenberg 1/14. 3a 1 2 G&R vwo A/C deel 8 De normale verdeling C. von Schwartzenberg 1/14 1a Gemiddelde startgeld x = 1 100000 + 4 4000 + 3000 = 13100 dollar. 10 1b Het gemiddelde wordt sterk bepaald door de uitschieter van

Nadere informatie

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof

bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 8 [PW] appendix D.1: kansrekening extra stof [PW] appendix D.1 kansrekening kansen: 1. Je gooit met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je

Nadere informatie

3 Kansen vermenigvuldigen

3 Kansen vermenigvuldigen 3 Kansen vermenigvuldigen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Vermenigvuldigen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit

HOOFDSTUK 6: Kansrekening. 6.1 De productregel. Opgave 1: a. 3 van de 4 knikkers zijn rood. P(rood uit II. Opgave 2: a. P(twee wit HOOFDSTUK : Kansrekening. De productregel Opgave : van de knikkers zijn rood rood uit II ) d. 0, e. 0, Opgave : 0 twee wit 0, ) 0 0 ) 0 0 ) 0 0 blauw en rood 0, wit en groen 0, d. geen blauw 7 0, ) 0 0

Nadere informatie

1 Kansbomen. Verkennen. Uitleg. Theorie en Voorbeelden. Beantwoord de vragen bij Verkennen.

1 Kansbomen. Verkennen. Uitleg. Theorie en Voorbeelden. Beantwoord de vragen bij Verkennen. 1 Kansbomen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Kansbomen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Bovenstaand schema kan je helpen bij het bepalen van het soort telprobleem en de berekening van het aantal mogelijkheden 2.

Bovenstaand schema kan je helpen bij het bepalen van het soort telprobleem en de berekening van het aantal mogelijkheden 2. Telproblemen voor 4 HAVO wiskunde A In het schoolexamen 2 van 4 HAVO wiskunde A zijn de opgaven over de telproblemen (hoofdstuk 4) erg slecht gemaakt. Dat moet beter kunnen, zou ik denken Ik bespreek hier

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I Vetpercentage Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI). De

Nadere informatie

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang: wiskunde A, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel Regels

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2 Woensdag 21 juni uur

Examen HAVO. wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2 Woensdag 21 juni uur wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.3 16.3 uur 2 6 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen. Voor elk

Nadere informatie

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

5 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 5 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp Kansrekening doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat

Nadere informatie

Normale Verdeling Inleiding

Normale Verdeling Inleiding Normale Verdeling Inleiding Wisnet-hbo update maart 2010 1 De Normale verdeling De Normale Verdeling beschrijft het gedrag van een continue kansvariabele x. Om kansen te berekenen, moet de dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 havo 2007-II

Eindexamen wiskunde A1-2 havo 2007-II Sprintsnelheid Een hardloopster is gespecialiseerd op de 1 meter. Bij dit atletiekonderdeel moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te houden tot de finish. Haar trainer

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 5 les 3

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 5 les 3 Paragraaf 10 De standaard normale tabel Opgave 1 a Er geldt 20,1 16,6 = 3,5 C. Dit best wel een fors verschil, maar hoeft niet direct heel erg uitzonderlijk te zijn. b Er geldt 167 150 = 17. Dat valt buiten

Nadere informatie

Kern 1 Rekenen met binomiale kansen

Kern 1 Rekenen met binomiale kansen Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern Rekenen met binomiale kansen a Omdat er steeds twee mogelijkheden zijn: zwart óf

Nadere informatie

Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15

Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15 1 Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15 1. a. Het gaat veel geld kosten voor de fabrikant als er te veel schuurmiddel gebruikt wordt. b. Bij een te laag gemiddelde zullen de klanten niet tevreden

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Het significantieniveau (meestal aangegeven met de letter α) stelt de kans voor, dat H 0 gelijk heeft, maar H 1 gelijk krijgt. Je trekt dus een foute

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Examenaanpak. Kern 1 Modelleren

Hoofdstuk 6 Examenaanpak. Kern 1 Modelleren Uitwerkingen Wiskunde A Netwerk VWO 6 Hoofdstuk 6 Examenaanpak www.uitwerkingenste.nl Hoofdstuk 6 Examenaanpak Kern Modelleren a De vrouwen van 8 jaar vallen in de categorie 5 9. Hoe de verdeling binnen

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Telproblemen Oefening 1 Een beveiligingscode bestaat uit 3 karakters, die elk een cijfer of een letter kunnen zijn. Bijvoorbeeld C13 of 2D9. Hoeveel zulke codes zijn er (A) 17 576

Nadere informatie

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Nederlands Mathematisch Instituut December 28, 2012 Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als we dit invullen dan krijgen we

Nadere informatie

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen Beschrijf in eigen woorden: Waar gaat de opdracht over? Welke signaalwoorden staan in de tekst? Wijst een signaalwoord naar een strategie? Welke

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 3 les 1 Paragraaf De kansdefinitie Opgave a) Als de kikker verspringt, gaat hij van zwart naar wit, of andersom Hij zit dus afwisselend op een zwart en een wit veld Op een willekeurig moment is de kans even groot

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De normale verdeling

Hoofdstuk 8 - De normale verdeling ladzijde 216 1a Staafdiagram 3 want te verwachten is dat er elke maand ongeveer evenveel mensen jarig zijn. Dat is meteen ook de reden waarom de andere drie niet voldoen. Feruari estaat uit vier weken

Nadere informatie