3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1]

Transcriptie

1 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. a) Bereken de kans dat Sandra zes keer een banaan krijgt: P(zes keer banaan) = P(bbbbbb) = 0, b) Bereken de kans dat Sandra één keer een banaan krijgt: 6 P(een keer banaan) P(een keer banaan) = 0, = P(bbbbbb) + P(bbbbbb) + P(bbbbbb) + P(bbbbbb) + P(bbbbbb) + P(bbbbbb) Elke uitkomst heeft een kans van: Er zijn 6 mogelijkheden voor de ene banaan

2 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. c) Bereken de kans dat Sandra twee keer een banaan krijgt: P(twee keer banaan) = P(bbbbbb) + P(bbbbbb) P(bbbbbb) + P(bbbbbb) Elke uitkomst heeft een kans van: Er zijn mogelijkheden voor de twee bananen P(twee keer banaan) = 0,

3 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. d) Bereken de kans dat Sandra minstens twee keer een banaan krijgt: P(minstens twee keer banaan) = 1 P(1 banaan) P(0 banaan) = ,

4 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [2] Voorbeeld: In een vaas zitten 15 knikkers. 10 van deze knikkers zijn rood en 5 blauw. Uit deze vaas worden net zo lang knikkers gehaald totdat er een blauwe knikker gepakt wordt. Bereken de kans dat iemand vier knikkers pakt. Stap 1: P(4 knikkers) = P(rrrb) Stap 2: De eerste knikker moet rood zijn. In de vaas zitten 15 knikkers (10 rood en 5 blauw) P(eerste knikker rood) = Stap 3: De tweede knikker moet rood zijn. In de vaas zitten 14 knikkers (9 rood en 5 blauw) P(tweede knikker rood) =

5 3.1 Het herhalen van kansexperimenten [2] Stap 4: De derde knikker moet rood zijn. In de vaas zitten 13 knikkers (8 rood en 5 blauw) P(eerste knikker rood) = 8 13 Stap 5: De vierde knikker moet blauw zijn. In de vaas zitten 12 knikkers (7 rood en 5 blauw) P(tweede knikker rood) = 5 12 Stap 6: P(rrrb) = ,

6 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [1] Voorbeeld 1 (Trekken met teruglegging): Jan gooit vijf keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij twee keer minstens vijf ogen gooit. Er is sprake van trekken met teruglegging. Een getal dat gegooid is met de dobbelsteen kan later opnieuw gegooid worden. P(twee keer minstens vijf gooien) = , Let op: Bij trekken met teruglegging wordt gebruik gemaakt van de productregel. 6

7 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [1] Voorbeeld 2 (Trekken zonder teruglegging): In een bak zitten 6 knikkers. 2 knikkers zijn rood en 4 knikkers zijn groen. Jan pakt 5 knikkers uit de bak. Bereken de kans dat Jan twee keer een rode knikker pakt. Er is sprake van trekken zonder teruglegging. Een knikker die uit de vaas gehaald is, kan niet nogmaals gepakt worden. 2 4 P(twee rode knikkers) = Let op: Bij trekken zonder teruglegging wordt gebruik gemaakt van combinaties. 7

8 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [2] Voorbeeld 1: Een vaas heeft 25 knikkers, waarvan a rood en de rest zwart. Iemand haalt 2 knikkers uit deze vaas. Bereken de kans op 2 rode knikkers. P(2 rood) = P(RR) = a a 2 1 a ( a 1) a a Voorbeeld 2: Bereken de kans op één rode en één zwarte knikker P(rood en zwart) = P(RZ) + P(ZR) = 2 P(RZ) = a a(25 a) a(25 a) 25a a

9 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [2] Voorbeeld 3: Een vaas heeft 25 knikkers, waarvan a rood en de rest zwart. Iemand haalt 2 knikkers uit deze vaas. Bereken hoeveel rode knikkers er in de vaas moeten zitten wanneer geldt: P(rood en zwart) = 0,52 Invullen op de GR: 25x x y 1 = en y 2 = 0,52 Stel bij TBLSET in TblStart = 0 en Tbl = 1 Aflezen uit de tabel geeft: X = 12 geeft Y 1 = 0,52 X = 13 geeft Y 1 = 0,52 Dus er zitten 12 of 13 rode knikkers in de vaas. 9

10 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [3] Voorbeeld 1: Uit een vaas met knikkers worden 5 knikkers gehaald. Van de knikkers in de vaas zijn er groen en rood. Bereken de kans dat er 3 groene knikkers uit de vaas gehaald worden. Er is nu sprake van trekken zonder teruglegging. We gebruiken nu dus combinaties: P(3 groene knikkers) = 0, Het berekenen van de oplossing waarbij we doen of er sprake is van trekken met Teruglegging (De inhoud van de vaas verandert immers nauwelijks als we 5 knikkers van de eruit halen) P(3 groene knikkers) = ,

11 3.2 Trekken met en zonder terugleggen [3] Algemeen: Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. Voorbeeld 2: Uit een onderzoek in september 2010 bleek dat 65% van alle huishoudens digitale televisie had. Voor een onderzoek worden 20 personen ondervraagt. a) Bereken de kans dat al deze 20 personen digitale televisie hebben. P(20 digitaal) = b) Bereken de kans dat precies 13 personen digitale televisie hebben. P(13 digitaal) = ,65 0,35 0, ,65 0,35 0,

12 3.3 De verwachtingswaarde [1] Voorbeeld: Bij een loterij worden 50 loten verkocht. Er zijn 10 loten, die recht op een prijs geven. Eén van deze prijzen is de hoofdprijs. De rest zijn gewone prijzen. Sander koopt 4 loten. X = het aantal hoofdprijzen Y = het aantal gewone prijzen X en Y zijn toevalsvariabelen. P(Sander wint de hoofdprijs) = P(X = 1) = P(Sander wint drie gewone prijzen en geen hoofdprijs) = P(X = 0 en Y = 3) = , ,

13 3.3 De verwachtingswaarde [2] Voorbeeld: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. Er zijn nu een vijftal mogelijk uitkomsten: 0 rode knikkers pakken (X = 0); 1 rode knikker pakken (X = 1); 2 rode knikkers pakken (X = 2); 3 rode knikkers pakken (X = 3); 4 rode knikkers pakken (X = 4). Het overzicht van alle mogelijke waarden van de toevalsvariabele met bijbehorende kansen is een kansverdeling. 13

14 3.3 De verwachtingswaarde [2] Voorbeeld: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. x P(X = x) 0,068 0,307 0,409 0,191 0,026 Let op: Alle kansen van elke kansverdeling tellen steeds op tot één. 14

15 3.3 De verwachtingswaarde [3] Voorbeeld: In de tabel hieronder staan de gegevens van een groep van 33 jongeren: Zwemmen Hockey Voetbal Jongen Meisje P(leerling doet aan hockey) = 12 0, P(een jongen die aan hockey doet) = P(een meisje die aan hockey doet) = 20 0, ,538 15

16 3.3 De verwachtingswaarde [3] Uit het voorbeeld is de volgende conclusie te trekken: Er bestaat een verband tussen het geslacht van de jongere en het feit of de jongere hockey speelt. De kans dat een jongen hockey speelt is 0,25. De kans dat een meisje hockey speelt is 0,538. In dit geval zijn de gebeurtenissen geslacht en hockey spelen dus afhankelijk van elkaar. Wanneer de berekende kansen allemaal gelijk aan elkaar zouden zijn, zouden de gebeurtenissen geslacht en hockey spelen onafhankelijk van elkaar zijn. Algemeen: De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt: P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x); De toevalsvariabelen X en Y zijn afhankelijk als voor minimaal één paar x en y geldt: P(X = x onder de voorwaarde Y = y) P(X = x). 16

17 3.3 De verwachtingswaarde [4] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Wat is de verwachte winst van iemand die meedoet aan deze loterij? Stap 1: Maak een tabel met alle mogelijke winsten en hun kans. w P(W = w) 0,001 0,1 0,899 Als je de hoofdprijs wint (Kans is 1/1000 = 0,001), krijg je 100 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is = 99 euro; Als je de troostprijs wint (Kans is 100/1000 = 0,1) krijg je 5 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is 5 1 = 4 euro. Als je niets wint (Kans is 899/1000 = 0,899) krijg je 0 euro. Het lot wat je gekocht hebt, kostte 1 euro. Dus de winst is 0 1 = -1 euro. 17

18 3.3 De verwachtingswaarde [4] Voorbeeld: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Wat is de verwachte winst van iemand die meedoet aan deze loterij? Stap 2: Vermenigvuldig elke mogelijke waarde van W met zijn kans en tel de uitkomsten op. Je berekent nu de verwachtingswaarde: E(W) = 99 0, ,1 1 0,899 = -0,4 Conclusie: De verwachtingswaarde van -0,4 betekent dat een deelnemer per lot gemiddeld 0,4 euro verliest. (De organisator van de loterij maakt per lot dus gemiddeld 0,4 euro winst) 18

19 3.4 De binomiale verdeling [1] Bernoulli-experiment = een kansexperiment met slechts twee mogelijke uitkomsten. De kans op succes is p. Voorbeelden: Gooien met een muntstuk (Kop of munt) Beantwoorden meerkeuze vragen (Goed of fout) Examen doen (Slagen of zakken) Voorbeeld : In een loterij met 40 loten zijn 5 prijzen te winnen. Iemand koopt vier loten. Het winnen van twee prijzen is voor deze persoon een succes. Bereken p 5 35 P = P(2 prijzen) = 2 2 0,

20 3.4 De binomiale verdeling [2] Binomiaal kansexperiment = Het een aantal keer (n) achter elkaar uitvoeren van hetzelfde Bernoulli experiment. Voorbeelden: 10 keer gooien met een muntstuk (X = aantal keer munt, n = 10, p = 0,5) 20 vierkeuze vragen gokken (X = aantal vragen goed, n = 20, p = 0,25) 12 keer elke maand met loterij het vorige voorbeeld meedoen (X = aantal keer 2 prijs, n = 12, p = 0,0651) 20

21 3.4 De binomiale verdeling [2] Voorbeeld: Iemand beantwoord 20 vierkeuzevragen. Bereken de kans op 15 goede antwoorden: X = aantal juiste antwoorden, n = 20, p = ¼ Stap 1: De kans op 15 keer succes en 5 keer een mislukking is: (¼) 15 (¾) 5 Stap 2: Je kunt op een aantal manieren 15 keer succes en 5 keer een mislukking hebben: SSSSSSSSSSSSSSSMMMMM, SSSSSMMMMMSSSSSSSSSS, enz. In totaal zijn er mogelijkheden Stap 3: 20 P(X = 15) = (¼) 15 (¾)

22 3.4 De binomiale verdeling [2] Voorbeeld: Iemand beantwoord n vierkeuzevragen. Bereken de kans op k goede antwoorden: X = aantal juiste antwoorden, n = n, p = ¼ Stap 1: De kans op k keer succes en n-k keer een mislukking is: (¼) k (¾) n-k Stap 2: Je kunt op een aantal manieren n keer succes en n-k keer een mislukking hebben. In totaal zijn er n n k n k n k k mogelijkheden Stap 3: Dus: P(X = k) = n k (¼) k (¾) n-k 22

23 3.4 De binomiale verdeling [3] Voorbeeld 1: X = binomiaal verdeeld n = 3 p = 0,2 x P(X = x) 0,512 0,384 0,096 0,008 P(X x) 0,512 0,896 0,992 1 De tweede rij van de tabel is de binomiale verdeling van X De derde rij van de tabel is de cumulatieve binomiale verdeling van X Er geldt bij de GR: Binomiale verdeling: P(X = k) = binompdf(n,p,k) Cumulatieve binomiale verdeling: P(X k) = binomcdf(n,p,k) 23

24 3.4 De binomiale verdeling [3] Voorbeeld 2: Een schijf heeft vijf sectoren (2 appel, 2 kers en 1 banaan) Bereken de kans op twee keer banaan in acht beurten: X = aantal keer banaan, n = 8, p = 0,2 P(X = 2) = binompdf(8, 0.2, 2) 0,294 Op de GR: 2ND VARS A: binompdf( ENTER 8, 0.2, 2) ENTER Voorbeeld 3: Bereken de kans op hoogstens drie kers in twaalf beurten: X = aantal keer kers, n = 12, p = 0,4 P(X 3) = binomcdf(12,0.4,3) = 0,225 Op de GR: 2ND VARS B: binomcdf( ENTER 12,0.4,3) ENTER 24

25 3.4 De binomiale verdeling [4] Let op: Cumulatieve binomiale verdeling: P(X k) = binomcdf(n,p,k) Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k) Voorbeeld 1: Binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,20 en X = aantal keer succes P(X 7) = binomcdf(25, 0.20, 7) = Voorbeeld 2: P(X 8) = 1 P(X 7) = 1 binomcdf(25, 0.20, 7) = = Voorbeeld 3: P(X < 8) = P(X 7) = binomcdf(25, 0.20, 7) =

26 3.4 De binomiale verdeling [4] Voorbeeld 4: Binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,20 en X = aantal keer succes P(tussen 5 en 10 keer succes) = P(5 < X < 10) = P(6, 7, 8 of 9 keer succes) = = P(X 9) P(X 5) = binomcdf(25, 0.20, 9) binomcdf(25, 0.20, 5) = = Voorbeeld 5: P(7 of 8 keer succes) = binompdf(20, 0.20, 7) + binompdf(20, 0.20, 8) = =

27 3.4 De binomiale verdeling [5] Let op: Tot nu toe was n (aantal keren dat je experiment doet) bekend. Voorbeeld: Gooien met muntstuk. Bereken hoeveel keer je moet gooien zodat de kans op minstens drie keer munt groter dan 98% is. X = aantal keer munt, p = 0.5, n = onbekend Dus bij welke n geldt: P(X 3) = 1 P(X 2) is groter dan 0,98 Invullen in de GR: Y1 = 1 binomcdf(x, 0.5, 2) Y2 = 0.98 Aflezen uit TABLE geeft n = 11 => 1 P(X 2) n = 12 => 1 P(X 2) Dus je moet minstens 12 keer gooien. 27

28 3.5 De standaardafwijking [1] Voorbeeld 1: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Bij de keuze uit verschillende loterijen is niet alleen de verwachtingswaarde van belang, maar ook de spreiding van de uitkomsten. Bij twee loterijen met een gelijke verwachte winst zul je kiezen voor de loterij waar de spreiding van de uitkomsten het kleinste is. De spreiding kun je uitdrukken met de standaardafwijking. 28

29 3.5 De standaardafwijking [1] Branduren 800 -< < < < < Frequentie Voorbeeld 1: Bereken het gemiddelde aantal branduren en de standaardafwijking. Stap 1: Voer de klassenmiddens in je GR in. STAT EDIT 1:EDIT ENTER 29

30 3.5 De standaardafwijking [1] Controleer of L1 leeg is. L1 niet leeg. Ga op L1 staan CLEAR ENTER Ga onder L1 staan en voer de klassenmiddens {850, 950, 1050, 1150, 1250} in 30

31 3.5 De standaardafwijking [1] Voorbeeld 1: Bereken het gemiddelde aantal branduren en de standaardafwijking. Stap 2: Voer de frequenties in je GR in: Controleer of L2 leeg is. L2 niet leeg. Ga op L2 staan CLEAR ENTER Ga onder L2 staan en voer klassenmiddens {6, 15, 26, 21, 7} Stap 3: Bereken het gemiddelde op je GR: STAT CALC 1:1-Var Stats ENTER Vul bij List, lijst L1 met waarnemingsgetallen in; Vul bij FreqList, Lijst L2 met frequenties in. 31

32 3.5 De standaardafwijking [1] Voorbeeld 1: Bereken het gemiddelde aantal branduren en de standaardafwijking. Stap 4: = gemiddelde (1061), σx = standaardafwijking (107,79) x 32

33 3.5 De standaardafwijking [2] Voorbeeld 1: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Bereken de standaardafwijking van deze kansverdeling. Stap 1: Maak een tabel met alle mogelijke winsten en hun kans w P(W = w) 0,001 0,1 0,899 33

34 3.5 De standaardafwijking [2] Voorbeeld 1: Een loterij heeft 1000 loten. Er is één hoofdprijs van 100 euro. Er zijn 100 troostprijzen van 5 euro. Elk lot kost één euro. Bereken de standaardafwijking van deze kansverdeling. Stap 2: Bereken de standaardafwijking met de grafische rekenmachine. STAT EDIT 1:EDIT ENTER L1 = {99, 4, -1} L2 = {0,001; 0,1; 0,899} STAT CALC 1-Var Stats 2 ND 1, 2 ND 2 geeft σ x 3,48. Let op: Bij twee onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: Standaardafwijking van X + Y is 2 2 x y x y EN E(X + Y) = E(X) +E(Y) 34

35 3.5 De standaardafwijking [3] Binomiale verdeling: X = aantal keer succes als je een kansexperiment n keer uitvoert; p = kans op succes per keer. n p k (1 p ) n k P(X = k) = k ; De verwachtingswaarde E(X) = np; De standaardafwijking x np(1 p) 35

36 3.5 De standaardafwijking [3] Voorbeeld: Jessica gooit 100 keer met een dobbelsteen en telt het aantal zessen. Bereken de kans dat het aantal zessen dat ze gooit meer dan de standaardafwijking van de verwachtingswaarde verschilt. Stap 1: Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking: X = het aantal zessen. E(X) = σ(x) = , ,

37 3.5 De standaardafwijking [3] Voorbeeld: Jessica gooit 100 keer met een dobbelsteen en telt het aantal zessen. Bereken de kans dat het aantal zessen dat ze gooit meer dan de standaardafwijking van de verwachtingswaarde verschilt. Stap 2: Bereken het aantal zessen dat gegooid mag worden. Verwachtingswaarde Standaardafwijking = E(X) - σ(x) 16,67 3,73 12,9 Verwachtingswaarde + Standaardafwijking = E(X) + σ(x) 16,67 + 3,73 20,4 37

38 3.5 De standaardafwijking [3] Voorbeeld: Jessica gooit 100 keer met een dobbelsteen en telt het aantal zessen. Bereken de kans dat het aantal zessen dat ze gooit meer dan de standaardafwijking van de verwachtingswaarde verschilt. Stap 3: Bereken de kans dat dit aantal zessen gegooid wordt. P(X < 12,9) + P(X > 20,4) = P(X 12) + P(X 21) = P(X 12) + 1 P(X 20) = binomcdf(100, 1/6, 12) + 1 binomcdf(100, 1/6, 20) 0,282 38