Combinatoriek en rekenregels

Transcriptie

1 Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode,

2 Verzamelingen U is de verzameling van uitkomsten. # U is het aantal elementen van U. Een verzameling V is een deelverzameling van U als elk element van V ook element is van U. Notatie: V U. In de kansrekening wordt de deelverzameling V gebeurtenis genoemd. Met geef je de lege verzameling (onmogelijke gebeurtenis aan). Heeft geen elementen dus # = 0.

3 Verzamelingen Voorbeeld Je gooit met twee dobbelstenen. U is de verzameling getallenparen van 1 tot en met 6. V is de gebeurtenis: het verschil van het aantal ogen is minstens 2 (zie figuur). #U = 36 #V= 20

4 Definitie P V = #V #U Verzamelingen en kans is de kans op gebeurtenis V. In het voorbeeld: P V =

5 Gevolgen P U = #U #U = 1 P = 0 #U = 0 0 P(V) 1 Verzamelingen en kans

6 Verzamelingen en kans Je gooit met twee dobbelstenen. A is de gebeurtenis: de som van de ogen is 10 B is de gebeurtenis: de som van de ogen is 11 Bereken P(A) en P(B).

7 Verzamelingen en kans Gebeurtenissen combineren V is een gebeurtenis bij de uitkomstenverzameling U en W is een gebeurtenis bij de uitkomstenverzameling U. V W is de nieuwe gebeurtenis die alle uitkomsten van V en van W bevat. V W is de nieuwe gebeurtenis die alle uitkomsten van V en/of van W bevat. V en W sluiten elkaar uit als (V W) =

8 Voorbeeld Verzamelingen U is de verzameling uitkomsten bij het werpen met twee dobbelstenen. A is de gebeurtenis: de ogen zijn gelijk, B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 10.

9 Voorbeeld Verzamelingen U is de verzameling uitkomsten bij het werpen met twee dobbelstenen. A is de gebeurtenis: de ogen zijn gelijk, B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 10. A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} B = {(4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5) (6,6)} A B = { (5,5), (6,6)} A B = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),(4,6), (6,4), (5,5), (6,5), (6,6)} A en B sluiten elkaar niet uit.

10 Verzamelingen Maak nu opgave 2 van bladzijde 36.

11 Verzamelingen en kans Waarom geldt: #(S T) = #S + #T #(S T)? Bewijs nu dat P(S T) = P(S) + P(T) P(S T)

12 Voorwaardelijke kans U is de verzameling uitkomsten bij twee keer werpen met een dobbelsteen. A is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is even, B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 8

13 Voorwaardelijke kans U is de verzameling uitkomsten bij twee keer werpen met een dobbelsteen. A is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is even, B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 8 P(B A) is de kans dat de som van het aantal ogen minstens 8 is terwijl je weet dat die som even is. Dit is de voorwaardelijke kans op B onder de voorwaarde A.

14 Voorwaardelijke kans U is de verzameling uitkomsten bij twee keer werpen met een dobbelsteen. A is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is even, B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 8 P(B A) is de voorwaardelijke kans op B onder de voorwaarde A. Dat is de kans dat de som van het aantal ogen minstens 8 is terwijl je al weet dat die som even is. In dit geval neem je A als de uitkomstenruimte. Dus P(B A) = #(B A) #A = #(B A) #U #A #U = P(B A) P(A)

15 Voorwaardelijke kans U is de verzameling uitkomsten. A en B zijn deelverzamelingen van U. P(B A) is de voorwaardelijke kans op B onder de voorwaarde A. In dit geval neem je A als de uitkomstenruimte. Je kunt P(B A) ook als volgt als een breuk van kansen schrijven: P(B A) = #(B A) #A = #(B A) #U #A #U = P(B A) P(A)

16 Voorwaardelijke kans Voorbeeld U is de verzameling uitkomsten bij twee keer werpen met een dobbelsteen. B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 8 C is de gebeurtenis: de eerste keer wordt meer dan 4 gegooid

17 Voorwaardelijke kans Voorbeeld U is de verzameling uitkomsten bij twee keer werpen met een dobbelsteen. B is de gebeurtenis: de som van het aantal ogen is minstens 8 C is de gebeurtenis: de eerste keer wordt meer dan 4 gegooid C = { (5,1),,(5,6), (6,1),.(6,6)}, #C = 12. B C = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),(6,6)} #(B C) = 9. P(B C) = 9 12 = 3 4

18 Voorbeeld Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal zonder terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood.

19 Voorbeeld Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal zonder terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood.

20 Voorbeeld Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal zonder terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is. P(T S) = 2 8 = 1 4

21 Afhankelijke en Onafhankelijke kansen Voorbeeld In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal zonder terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is. P(T S) = 2 8 = 1 4

22 Voorbeeld (vervolg) Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal met terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is.

23 Voorbeeld (vervolg) Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal met terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. Teken een wegendiagram. wegen

24 Afhankelijke en Onafhankelijke kansen Voorbeeld (vervolg) In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal met terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. #S = 2 x 5 = 10 T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is #(T S) = 4 P(T S) = 4 10 = 2 5 wegen wegen

25 Afhankelijke en Onafhankelijke kansen Voorbeeld (vervolg) In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal met terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. #S = 2 x 5 = 10 T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is #(T S) = 4 P(T S) = 4 = P(T) = = = 2 5 In dit geval P(T S) = P(T)!! wegen wegen

26 Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk als P(A B) = P(A). Gevolg: P A = P A B = P(A B) P(B). Dus: P A B = P A P B. Afhankelijke en Onafhankelijke kansen In woorden: Bij onafhankelijke kansen kun je de afzonderlijke kansen vermenigvuldigen om de gemeenschappelijke gebeurtenis te berekenen.

27 Afhankelijke en Onafhankelijke kansen Voorbeeld (vervolg) In een vaas zitten twee rode en drie witte ballen. Je trekt twee keer een bal met terugleggen. S is de gebeurtenis: de eerste bal is rood. T is de gebeurtenis: de tweede bal is rood. T S: de tweede bal is rood terwijl de eerste ook rood is S en T zijn onafhankelijk. Het maakt niet uit voor de kans op de tweede rode bal als ook de eerste rood is.

28 Oefenen Maak de opgaven van paragraaf 8 en in ieder geval de opgaven 2, 4, 6, 7 en 8.

29 Huiswerk Inleveren: opgaven 5, 10 en 11 van paragraaf 8.