Hoofdstuk 6 Discrete distributies
|
|
- Theophiel Koster
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 6 Discrete distributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Discrete distributies p 1/33
2 Discrete distributies binomiale verdeling Poisson verdeling hypergeometrische verdeling uniforme discrete verdeling Discrete distributies p 2/33
3 De binomiale verdeling De binomiaal verdeelde toevalsveranderlijke I is het aantal keer dat een verschijnsel A optreedt in een reeks van n enkelvoudige waarnemingen Hierbij moet de kans op het optreden van een verschijnsel A bij een enkelvoudige waarneming de constante waarde θ bedragen : P(A) =θ Voorbeeld : zij I is het aantal keer dat 5 gegooid wordt bij 7 onafhankelijke worpen met een dobbelsteen n =7 I is binomiaal verdeeld met θ I = 1 6 Discrete distributies p 3/33
4 Distributie P( A A A }{{} i = } θ θ {{ θ} i A} A {{ A} ) n i (1 θ)(1 θ) (1 θ) }{{} n i = θ i (1 θ) n i P(A A A }{{} A A A }{{} ) n i i = (1 θ)(1 θ) (1 θ) }{{}} θ θ {{ θ} = θ i (1 θ) n i n i i ( ) aantal mogelijke sequenties : Cn i n! n = i!(n i)! = i elke sequentie ( ) heeft kans θ i (1 θ) n i n Besluit : ϕ I (i) = θ i (1 θ) n i i =0, 1,, n i Discrete distributies p 4/33
5 Distributie ϕ I (i) = ( n i ) θ i (1 θ) n i Φ I (w) =P(I w) = i w i =0, 1,, n ( ) n θ i (1 θ) n i i binomium van Newton : (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i Φ I (n) = n i=0 ( ) n θ i (1 θ) n i =[θ +(1 θ)] n =1 i Discrete distributies p 5/33
6 Karakteristieken µ I = n i=0 iϕ I (i) =nθ σ 2 I = n i=0 i 2 ϕ I (i) µ 2 = nθ(1 θ) σ I = nθ(1 θ) θ : parameter van de binomiale distributie Discrete distributies p 6/33
7 Kansverdeling ϕ I (i) n =10,θ=01 ϕ I (i) n =10,θ=05 ϕ I (i) n =10,θ=09 Discrete distributies p 7/33
8 Voorbeeld Een familie heeft 6 zes kinderen De kansen bij een geboorte bedroegen 049 voor een jongen en 051 voor een meisje (i) Wat is de kans dat er tenminste 1 meisje is? (ii) Wat is de kans dat er hoogstens 2 jongens zijn? Oplossing : Zij I het aantal meisjes onder de zes kinderen ( ) 6 ϕ I (i) = θ i (1 θ) 6 i θ =051 i (i) P(I 1)= 1 P(I <1)= 1 P(I =0)=1 ϕ I (0) =1 (1 θ) 6 =09826 (ii) P(I 4) = ϕ I (4) + ϕ I (5) + ϕ I (6) ( ) ( ) 6 6 = θ 4 (1 θ) θ 5 (1 θ)+θ 6 =03627 Discrete distributies p 8/33
9 Toepassing Zij x 1, x 2,,x onafhankelijke waarden van de toevalsveranderlijke X met cumulatieve distributiefunctie Φ X (x) Bepaal de kans dat alle meetwaarden vallen in [α, β] Oplossing : P(α X β) =Φ X (β) Φ X (α) Zij I het aantal x-en in [α, β] n =10 Dan is I binomiaal verdeeld met θ I =Φ X (β) Φ X (α) P(I = 10) = θ 10 I =(Φ X (β) Φ X (α)) 10 Discrete distributies p 9/33
10 Teruglegging Voorbeeld : Een urne bevat n U = 100 (op kleur na identieke) ballen, waaronder k =20zwarte We voeren n =25 achtereenvolgende trekkingen van een bal uit Zij I het aantal getrokken zwarte ballen met teruglegging : de kans op een zwarte bal is voor elke trekking constant, nl k n U I : binomiaal verdeeld met θ I = k n U zonder teruglegging : de kans op een zwarte bal verschilt van trekking tot trekking I : hypergeometrisch verdeeld Discrete distributies p 10/33
11 Hypergeometrische distributie De hypergeometrisch verdeelde toevalsveranderlijke I is het aantal keer dat een eigenschap A wordt waargenomen in een reeks van n enkelvoudige waarnemingen van telkens verschillende elementen uit een verzameling van n U elementen waarvan k elementen deze eigenschap A bezitten Discrete distributies p 11/33
12 Distributie - n U : populatiegrootte - n : steekproefgrootte - k : aantal elementen in populatiemet gezochte eigenschap max(0, n+ k n U ) I min(n, k) want I k en als n n U k, dan is I n (n U k) ( )( ) k nu k ϕ I (i) = Ci k C n i n U k i n i Cn n = ( ) nu U n Discrete distributies p 12/33
13 Karakteristieken - n U : populatiegrootte - n : steekproefgrootte - k : aantal elementen in populatiemet gezochte eigenschap σ 2 I = n k n U n U k n U µ I = n k n U = nθ θ = k n U n = nθ(1 θ) n U 1 n U ( 1 n 1 n U 1 Als n 1 n U 1 n zeer klein is (dzw ongeveer 0), kan de n U hypergeometrische verdeling benaderd worden door een binomiale verdeling met parameter θ = k n U ) Discrete distributies p 13/33
14 Kansverdeling ϕ I (i) n U = 100, k=10,n=10 ϕ I (i) n U =20,k=10,n=10 Discrete distributies p 14/33
15 Vergelijking Hypergeometrisch Binomiaal ϕ I (i) n U = 200, k=10,n= ϕ I (i) n =10,θ= Discrete distributies p 15/33
16 Voorbeeld In een loterij worden, benevens heel wat troostprijzen, 10 hoofdprijzen uitgedeeld Als er 5000 deelnemende nummers zijn, wat is dan de kans dat een deelnemer met 10 loten minstens 1 hoofdprijs heeft gewonnen Oplossing : I : aantal gewonnen hoofdprijzen met de 10 loten I : hypergeom verdeeld met k =10, n =10en n U = 5000 P(I 1) = 1 P(I =0) ( 10 )( 4990 ) 0 10 = 1 ) = (4990!)2 4980! 5000! = ( n =0002 = binomiale benadering met θ = k =0002 n U n U P(I 1) = 1 P(I =0) 1 (1 θ) 10 = Discrete distributies p 16/33
17 De verdeling van Poisson De Poisson verdeelde veranderlijke I is het aantal keer dat een verschijnsel A optreedt in een totale tijdsduur t Hierbij moet de kans dat het verschijnsel optreedt in een klein tijdsinterval t evenredig zijn met de duur van dit interval : λ t Daarenboven moet het ene optreden van A onafhankelijk zijn van vorige optredens van A, hetgeen betekent dat λ een constante is die niet afhangt van wat voordien voorgevallen is klein betekent : het verschijnsel kan hoogstens 1 keer optreden Discrete distributies p 17/33
18 Distributie i =0 P i (t) =P(A treedt i keer op in tijdsduur t) P 0 ( t) =1 P 1 ( t) =1 λ t P 0 (t + t) =P 0 (t) P 0 ( t) =P 0 (t)(1 λ t) P 0 (t + t) P 0 (t)+λp 0 (t) t =0 P 0 (t + t) P 0 (t) lim + λp 0 (t) =0 t 0 t = dp 0(t) + λp 0 (t) =0 dt P 0 (0) = 1 P 0 (t) =e λt Discrete distributies p 18/33
19 Distributie i>0 P i (t) =P(A treedt i keer op in tijdsduur t) P 0 ( t) =1 P 1 ( t) =1 λ t P i (t + t) = P i (t) P 0 ( t)+p i 1 (t) P 1 ( t) i =1, 2, = P i (t)(1 λ t)+p i 1 (t) λ t P i (t + t) P i (t)+λp i (t) t = λp i 1 (t) t P i (t + t) P i (t) lim + λp i (t) =λp i 1 (t) t 0 t = dp i(t) + λp i (t) =λp i 1 (t) dt P i (0) = 0 P i (t) =e λt (λt)i i! Discrete distributies p 19/33
20 Distributie λt (λt)i ϕ I (i) =P i (t) =e i! i =0, 1, 2, Φ I (w) =P(I w) =e λt j w (λt) j j! e x = + j=0 x j j! Φ I (+ ) =e λt + j=0 (λt) j j! =1 Discrete distributies p 20/33
21 Karakteristieken µ I = i=0 iϕ I (i) =λt σ 2 I = i=0 i 2 ϕ I (i) µ 2 I = λt µ µi ϕ I (i) =e i! i =0, 1, 2, µ : parameter van de Poisson-distributie Discrete distributies p 21/33
22 Kansverdeling ϕ I (i) µ = µ =1 ϕ I (i) µ =5 Discrete distributies p 22/33
23 Momentenfunctie M I (t) = = e it ϕ I (i) i=0 i=0 = e µ e it µ µi e i! i=0 = e µ e µet = e µ (et 1) (e t µ) i i! Discrete distributies p 23/33
24 Momentenfunctie Som van onafhankelijke Poisson verdeelde toevalsveranderlijken De som K van n onafhankelijke Poisson verdeelde toevalsveranderlijken I j met parameter µ j is Poisson verdeeld n met parameter µ j j=1 M K (t) = n M j (t) = n e µ j (e t 1) = e (e t 1) n j=1 µ j j=1 j=1 Discrete distributies p 24/33
25 Vergelijking Binomiaal Poisson ϕ I (i) n = 100, θ= ϕ I (i) µ = De Poisson-verdeling levert goede benaderingen voor de binomiale verdeling als n groot is en µ = nθklein Discrete distributies p 25/33
26 Voorbeeld Een radioactieve bron wordt geobserveerd gedurende vier verschillende tijdsintervallen van 6 seconden elk Per seconde wordt er gemiddeld 05 deeltjes uitgezonden Men neemt aan dat het aantal deeltjes dat uitgezonden wordt in het tijdsinterval [0, t] verdeeld is volgens de Poisson-distributie (i) P(in de vier intervallen 3 deeltjes uitgezonden) (ii) P(in minstens 1 interval 3 deeltjes uitgezonden) Oplossing : I : het aantal uitgezonden deeltjes in [0, t] λt (λt)i ϕ I (i) =e i! i =0, 1, t=6seconden = λt=3 P(I 3) = 1 P(I <3) = 1 e µ ( 1+µ + µ2 2! ) =0577 Discrete distributies p 26/33
27 Voorbeeld Een radioactieve bron wordt geobserveerd gedurende vier verschillende tijdsintervallen van 6 seconden elk Per seconde wordt er gemiddeld 05 deeltjes uitgezonden Men neemt aan dat het aantal deeltjes dat uitgezonden wordt in het tijdsinterval [0, t] verdeeld is volgens de Poisson-distributie (i) P(in de vier intervallen 3 deeltjes uitgezonden) (ii) P(in minstens 1 interval 3 deeltjes uitgezonden) Oplossing : I : het aantal uitgezonden deeltjes in 6 seconden P(I 3) = 0577 J : aantal intervallen met 3 uitgezonden deeltjes J : binomiaal met θ J =0577 (i) P(J =4)=θ 4 =0111 (ii) P(J 1)= 1 P(J =0)= 1 (1 θ) 4 =0968 Discrete distributies p 27/33
28 Veralgemeningen De distributie van Poisson kan veralgemeend worden door het constant zijn van λ te laten varen Als voorbeeld kunnen we het aantal slachtoffers van een besmettelijke ziekte gedurende een tijd t beschouwen De besmettingsparameter neemt toe als het aantal nieuwe zieken in eenzelfde tijdsduur toeneemt Daarentegen neemt af als de tijdsduur voor evenveel nieuwe zieken toeneemt Een van de veralgemeningen is de distributie van Polya Discrete distributies p 28/33
29 Poisson en binomiaal Bepaal ϕ J (j) als J telt hoeveel verschijnselen uit een Poisson proces (met parameter µ) ook voldoen aan een zekere eigenschap (met constante kans θ) µ µi een Poisson proces I : ϕ I (i) =e i =0, 1, i! binomiaal proces met parameter θ ϕ J (j) = P(J = j) =P((J = j) ( (I = i))) j =0, 1, i=0 = P((J = j) (I = i)) = P(I = i)p(j = j I = i) i=0 i=0 = P(I = i)p(j = j I = i) want P (J >I)=0 = i=j i=j µ µi e i! ( ) i θ j (1 θ) i j j Discrete distributies p 29/33
30 Poisson en binomiaal Bepaal ϕ J (j) als J telt hoeveel verschijnselen uit een Poisson proces (met parameter µ) ook voldoen aan een zekere eigenschap (met constante kans θ) ( ) µ µi i ϕ J (j) = e θ j (1 θ) i j i! j i=j = e µ i=j = e µ (θµ) j j! = e µ (θµ) j j! = e µ (θµ) j j! µ j+(i j) i! i j=0 k=0 1 k! i! (i j)! j! θj (1 θ) i j 1 (i j)! (µ (1 θ))k e µ (1 θ) = e µθ(θµ)j j! (µ (1 θ))i j J : Poisson µ J = µθ Discrete distributies p 30/33
31 De discrete uniforme verdeling Een uniform verdeelde discrete veranderlijke X is een veranderlijke waarbij de kans op het voorkomen van een enkelvoudige gebeurtenis uit de populatie voor elke enkelvoudige gebeurtenis dezelfde is Discrete distributies p 31/33
32 Distributie karakteristieken waarden X : x 1 <x 2 <<x m ϕ X (x i )=P(X = x i )= 1 m i =1, 2,, m Φ X (w) =P(X w) = x i w 1 m Φ X (x i )=P(X x i )= i m i =1, 2,, m m µ X = 1 m m i=1 x i σ 2 X = 1 m i=1 x 2 i µ 2 X Discrete distributies p 32/33
33 Bijzonder geval waarden I : 1 < 2 <<m µ I = m +1 2 σ 2 I = m Discrete distributies p 33/33
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische
Nadere informatieHoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: In een vaas zitten 10 rode, 5 witte en 6 blauwe knikkers. Er worden 9 knikkers uit de vaas gepakt.
5.0 Voorkennis Voorbeeld 1: In een vaas zitten 10 rode, 5 witte en 6 blauwe knikkers. Er worden 9 knikkers uit de vaas gepakt. a) Bereken de kans op minstens 7 rode knikkers: P(minstens 7 rood) = P(7 rood)
Nadere informatieOpgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties
Opgaves Hoofdstuk 3: Toevalsveranderlijken en Distributiefuncties Discrete Distributiefuncties 3. Er zijn 3 studenten aan het begin van de dag aanwezig bij een symposium. De kans dat een student volhoudt
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Nadere informatie36, P (5) = 4 36, P (12) = 1
Les 2 Kansverdelingen We hebben in het begin gesteld dat we de kans voor een zekere gunstige uitkomst berekenen als het aantal gunstige uitkomsten gedeelt door het totale aantal mogelijke uitkomsten. Maar
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Nadere informatieExamen Statistiek I Feedback
Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).
Nadere informatieDeze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.
Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica
Nadere informatieKern 1 Rekenen met binomiale kansen
Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern Rekenen met binomiale kansen a Omdat er steeds twee mogelijkheden zijn: zwart óf
Nadere informatie3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1]
3.1 Het herhalen van kansexperimenten [1] Voorbeeld: Op een schijf staan een zestal afbeeldingen in even grote vakjes: 3 keer appel, 2 keer banaan, 1 keer peer. Sandra draait zes keer aan de schijf. a)
Nadere informatieKansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
Nadere informatie9.0 Voorkennis. Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel.
9.0 Voorkennis Bij samengestelde kansexperimenten maak je gebruik van de productregel. Productregel: Voor de gebeurtenis G 1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G 2 bij het andere kansexperiment
Nadere informatiewerkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions
cursus 4 mei 2012 werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions Huiswerk P&D, opgaven Chapter 6: 9, 19, 25, 33 P&D, opgaven Appendix A: 1, 9 doen
Nadere informatieBinomiale verdelingen
Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende
Nadere informatieDe verstrooide professor
Inleiding De verstrooide professor Edward Omey HU - Stormstraat 2 000 russel edward.omey@hubrussel.be In hun nota bestuderen Guido Herweyers en Ronald Rouseau (G. Herweyers en R. Rousseau, Een onverwacht
Nadere informatieMedische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Nadere informatieVoorbeeld 1: kansverdeling discrete stochast discrete kansverdeling
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Yvette pakt vier knikkers uit een vaas waar er 20 inzitten. 9 van de knikkers zijn rood en 11 van de knikkers zijn blauw. X = het aantal rode knikkers dat Yvette pakt. Er zijn
Nadere informatieSamenvatting Statistiek
Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd
Nadere informatie14.1 Kansberekeningen [1]
14.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien
Nadere informatieOpgeloste Oefeningen Hoofdstuk 4: Numerieke Karakteristieken
Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 4: Numerieke Karakteristieken Verwachtingswaarde en Variantie 4.1 Een muntstuk wordt 3 maal opgegooid. Zij X de toevalsveranderlijke die met elke uitkomst het grootste aantal
Nadere informatie13.1 Kansberekeningen [1]
13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien
Nadere informatieuitwerkingen OefenTentamen kansrekening 2007
Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedaestlaan Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht uitweringen OefenTentamen ansreening 2007 Uitwering van Ogave Ogave Veronderstel dat α de ans is dat van een
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieStatistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette
Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 9. Donderdag 11 Oktober
Statistiek voor A.I. College 9 Donderdag 11 Oktober 1 / 48 2 Deductieve statistiek Bayesiaanse statistiek 2 / 48 Reistijd naar college (minuten). Jullie - onderzoek Tim Histogram of CI Frequency 0 1 2
Nadere informatieZo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door
APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1
Nadere informatieb. de aantallen aankomsten in disjuncte tijdsintervallen zijn onafhankelijk van elkaar
APPENDIX: HET POISSON PROCES Een stochastisch proces dat onlosmakelijk verbonden is met de Poisson verdeling is het Poisson proces. Dit is een telproces dat het aantal optredens van een bepaalde gebeurtenis
Nadere informatieIn de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.
Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k)
11.0 Voorkennis Let op: Cumulatieve binomiale verdeling: P(X k) = binomcdf(n,p,k) Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k) Voorbeeld 1: Binomiaal kanseperiment
Nadere informatieWenS eerste kans Permutatiecode 0
WenS eerste kans 2012 2013 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart
Nadere informatieUitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een
Nadere informatieintroductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte
toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The
Nadere informatieHOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN
HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x
Nadere informatieToetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling
Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for
Nadere informatieUitwerkingen Hst. 10 Kansverdelingen
Uitwerkingen Hst. 0 Kansverdelingen. Uittellen: 663 ; 636 ; 366 ; 654 (6 keer) ; 555 0 mogelijkheden met som 5.. Som geen 5 = 36 som 5 Som 5: 4, 3, 3, 4 4 mogelijkheden dus 3 mogelijkheden voor som geen
Nadere informatie11.1 Kansberekeningen [1]
11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen
Nadere informatieCursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieOpgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen
Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen 8.1. Stel dat medisch onderzoek heeft uitgewezen dat als het gemiddelde nicotinegehalte van een sigaret 25 mg of meer bedraagt, de kans op longkanker
Nadere informatieData analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur
Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Nadere informatieInleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 M/M/1/N Afsluiti.
11 juni 2013 Maartje van de Vrugt, CHOIR Wat is het belang van wachtrijtheorie? Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 Evenwichtskansen Wachtrij
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3
Nadere informatieb) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)
Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,
Nadere informatieZeldzame en extreme gebeurtenissen
24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$
Nadere informatiewerkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample
cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatieTentamen Kansrekening (NB004B)
NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/39 Een stochastisch proces (stochastic proces) X (t) bestaat
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Nadere informatieHoofdstuk 20 Wachtrijentheorie
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie Beschrijving Iedereen van ons heeft al tijd gespendeerd in een wachtrij: b.v. aanschuiven in de Alma restaurants. In dit hoofdstuk onwikkelen we mathematische modellen voor
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo I
Eindexamen wiskunde A vwo 000 - I Opgave Bierbrouwen bij vat verdwijnt 00% (0% + 0% + 65%) = 5% bij het overpompen bij vat verdwijnt 00% (0% + 5% + 50%) = 5% bij het overpompen bij vat 3 verdwijnt 00%
Nadere informatieVoorbeelden van gebruik van 5 VUSTAT-apps
Voorbeelden van gebruik van 5 VUSTAT-apps Piet van Blokland Begrijpen van statistiek door simulaties en visualisaties Hoe kun je deze apps gebruiken bij het statistiek onderwijs? De apps van VUSTAT zijn
Nadere informatieBiofysische Scheikunde: Statistische Mechanica
Biofysische Scheikunde: Statistische Mechanica Vrije Universiteit Brussel 27 november Outline 1 Statistische Definitie van 2 Statistische Definitie van Outline 1 Statistische Definitie van 2 Statistische
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling
Nadere informatiemodule SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur
module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 13.30-16.30 uur Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:
Nadere informatieDeze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie
Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieSchatten en simuleren
Les 5 Schatten en simuleren 5.1 Maximum likelihood schatting Tot nu toe hebben we meestal naar voorbeelden gekeken waar we van een kansverdeling zijn uitgegaan en dan voorspellingen hebben gemaakt. In
Nadere informatie5,1. Samenvatting door een scholier 1647 woorden 18 oktober keer beoordeeld. Wiskunde A
Samenvatting door een scholier 1647 woorden 18 oktober 2010 5,1 4 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Samenvatting A2 Recht evenredig Bij een stapgrootte van y hoort een constante eerste augmentatie van x Omgekeerd
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012
Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren
Nadere informatie4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]
4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in 1968 1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend.
Nadere informatieAntwoordmodel VWO wa I. Vogels die voedsel zoeken
Antwoordmodel VWO wa 00-I Vogels die voedsel zoeken Stilstaan duurt telkens 5 seconden Tussen twee stops wordt 5 cm afgelegd De tijd tussen twee stops is 5 seconde De snelheid is 6 cm per seconde Maximumscore
Nadere informatieHoofdstuk 5: Steekproevendistributies
Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel
Nadere informatie+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.
STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen vwo wiskunde A 04-II Wikipedia maximumscore 4 De absolute toenames zijn 46,, 30 en 56 Een passende conclusie De groeifactoren zijn,00;,00;,00; en,00 (of nauwkeuriger) Een passende conclusie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieHoofdstuk 11: Kansverdelingen 11.1 Kansberekeningen Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3: Opgave 4: Opgave 5:
Hoofdstuk : Kansverdelingen. Kansberekeningen Opgave : kan op manieren 5 kan op! manieren 555 kan op manier 0 0 som 5) Opgave : som 5) som 5) som ) som ) c. som 0) d. som 0) som ) Opgave : som ) som )
Nadere informatieHoofdstuk 4 Kansrekening
Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen
Nadere informatieTentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u
Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,
Nadere informatieWenS tweede kans Permutatiecode 0
Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Geen GSM s toegelaten: voor wie tijdens
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
Nadere informatieKansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2
Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Brecht Dekeyser Pedic 20 november 2013 Gent 1 Inhoud Nieuw in Geogebra 4.2 Kansverdelingen: Berekeningen en grafische voorstellingen Manueel in rekenblad
Nadere informatieKansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening
Kansrekening en Statistiek Overzicht Kansrekening 1 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). 2 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten
Nadere informatieHoe bereken je een kans? Voorbeeld. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) =
Hoe bereken je een kans? P(G) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat de som van de ogen 7 is? Regels Een kans is een
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan
Nadere informatieGezamenlijke kansverdeling van twee stochasten
Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V
Nadere informatieE(A 1 ) = 1/λ. De functie G(s) wordt gedefiniëerd als. G(s) = E(e sa 1
Het G/M/1 model We gaan nu kijken naar het model waarbij niet de bedieningstijden maar de tussenaankomsttijden willekeurig verdeeld zijn, het G/M/1 model. Model: Het aankomstproces is een proces waarbij
Nadere informatieStatistiek voor A.I.
Statistiek voor A.I. College 13 Donderdag 25 Oktober 1 / 28 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 28 3 / 28 Jullie - onderzoek Tobias, Lody, Swen en Sander Links: Aantal broers/zussen van het
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke
Nadere informatieToetsen van Hypothesen. Het vaststellen van de hypothese
Toetsen van Hypothesen Wisnet-hbo update maart 2008 1. en Het vaststellen van de hypothese De nulhypothese en de Alternatieve hypothese. Het gaat in deze paragraaf puur alleen om de formulering. Er wordt
Nadere informatieHoofdstuk 12 : Regressie en correlatie. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.
Hoofdstuk 12 : Regressie en correlatie Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Regressie en correlatie p 1/26 Regressielijn Vraag : vind het
Nadere informatieParagraaf 9.1 : De Verwachtingswaarde
Hoofdstuk 9 Kansverdelingen (V5 Wis A) Pagina 1 van 8 Paragraaf 9.1 : De Verwachtingswaarde Les 1 Verwachtingswaarde Definities : Verwachtingswaarde Verwachtingswaarde = { wat je verwacht } { gemiddelde
Nadere informatie6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.
Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =
Nadere informatieDeze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten
Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk
Nadere informatieStatistiek. Beschrijvende Statistiek Hoofdstuk 1 1.1, 1.2, 1.5, 1.6 lezen 1.3, 1.4 Les 1 Hoofdstuk 2 2.1, 2.3, 2.5 Les 2
INHOUDSOPGAVE Leswijzer...3 Beschrijvende Statistiek...3 Kansberekening...3 Inductieve statistiek, inferentiele statistiek...3 Hoofdstuk...3. Drie deelgebieden...3. Frequentieverdeling....3. Frequentieverdeling....4.5
Nadere informatieTentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i).
MARKOV PROCESSEN Continue-tijd Markov ketens (CTMCs) In de voorafgaande colleges hebben we uitgebreid gekeken naar discrete-tijd Markov ketens (DTMCs). Definitie van discrete-tijd Markov keten: Een stochastisch
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieStochastiek voor Informatici Sara van de Geer 1993
Stochastiek voor Informatici Sara van de Geer 1993 1 Inhoud 0. Introductie 1. Waarschijnlijkheidsrekening 1.1. Empirische wet van de grote aantallen 1.2. Gebeurtenissen 1.3. Axiomatische opzet 1.4. Combinatoriek
Nadere informatie7.0 Voorkennis , ,
7.0 Voorkennis Een gokkast bestaat uit een drietal schijven die ronddraaien. Op schijf 1 staan: 5 bananen, 4 appels, 3 citroenen en 3 kersen; Op schijf 2 staan: 7 bananen, 3 appels, 2 citroenen en 3 kersen;
Nadere informatieHoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen)
Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) 8.16. Men wenst H 0 : p 0.2 te testen tegenover H 1 : p 0.4 voor een binomiale distributie met n 10. Bepaal α en β als de testfunctie gegeven
Nadere informatie