In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.

Transcriptie

1 Toevalsvariabelen Verkennen MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg. Neem nu aan dat de basketballer vier doelpogingen doet. Zijn schotpercentage blijft 5%. a) Stel een kansverdeling op voor het aantal treffers. Benader de kansen in vier decimalen nauwkeurig. Bereken het verwachte aantal treffers bij vier doelpogingen. Theorie en Voorbeelden MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Theorie In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht. Opgave Bekijk de Theorie. Stel je voor dat je met drie dobbelstenen werpt. a) Stel een kansverdeling op voor het aantal zessen dat je gooit. Bereken het verwachte aantal zessen. c) Beschrijf welke betekenis de verwachtingswaarde hier heeft. Opgave 3 Bekijk Voorbeeld. a) Reken de kansen P(M = ) en P(M = ) zelf na. Bereken de kans dat er minstens twee taken door een man worden uitgevoerd. c) Bereken de kans dat er minder dan twee taken door een man worden uitgevoerd. In Voorbeeld wordt de verwachtingswaarde voor M uit gerekend. d) Bereken zelf met behulp van een kansverdeling de verwachtingswaarde van het aantal taken dat door een vrouw wordt uitgevoerd. e) Verrast het antwoord bij d) je? STICHTING MATHALL 3 DEC 008

2 Opgave In Voorbeeld 3 wordt een verwachtingswaarde uitgerekend bij statistische gegevens. De plant Indigofera australis plant zich voort d.m.v. zaden die in zaaddozen aan de plant groeien. Het aantal zaden per zaaddoos kan nogal variëren. Een Britse onderzoeker heeft van een flink aantal zaaddozen het aantal zaden geteld: aantal zaden frequentie a) Maak hiervan een tabel met relatieve frequenties in vier decimalen nauwkeurig. Neem aan dat de tabel met relatieve frequenties representatief is voor het aantal zaden per zaaddoos voor deze plant. De relatieve frequenties zijn dan op te vatten als kansen van een toevalsvariabele Z die het aantal zaden per zaaddoos van Indigofera australis voorstelt. Bereken P(Z > 8). Hoeveel procent van de zaaddozen van deze plant heeft meer dan 8 zaden? c) Hoe groot is de kans op hoogstens zaden in een willekeurig gekozen zaaddoos van deze plant? d) Hoeveel zaden (in twee decimalen) verwacht je per zaaddoos? Verwerken Opgave 5 Het aantal jongens in een gezin met kinderen is een toevalsvariabele J. Ga er van uit dat de kans op de geboorte van een meisje hetzelfde is als de kans op de geboorte van een jongen. a) Maak een tabel met de kansverdeling van J. Wat vermoed je over het verwachte aantal jongens in zo n gezin? Reken na of je vermoeden klopt. c) Als je 50 van die gezinnen bekijkt, hoeveel jongens komen daar dan in voor? Licht het antwoord toe. Opgave 6 Uit een vaas met 30 rode en 3 groene balletjes wordt keer een balletje getrokken. a) X stelt het aantal getrokken groene balletjes voor als telkens wordt teruggelegd. Stel de kansverdeling van X op. Y stelt het aantal getrokken groene balletjes voor als niet wordt teruggelegd. Stel de kansverdeling van Y op. Opgave 7 Uit een klas met 6 meisjes en jongens worden vier leerlingen gekozen. M is het aantal meisjes in die groep van vier. a) Welke waarden kan M aannemen? STICHTING MATHALL 3 DEC 008

3 Stel een kansverdeling op voor M. c) Bepaal het verwachte aantal meisjes in de groep van vier. Opgave 8 Je gooit met twee dobbelstenen en vermenigvuldigt het aantal ogen op de éne met het aantal ogen op de andere. Dat is de waarde van de toevalsvariabele Z. a) Stel de kansverdeling van Z op. Je krijgt de waarde die Z aanneemt uitbetaald in euro s. Zou je voor dat spel,- willen inzetten? Hoe groot is dan de kans dat je met één spel iets wint? Opgave 9 In de finale herenenkel van het tennistoernooi van Wimbledon wordt gespeeld om best of five : wie het eerst 3 sets heeft gewonnen is kampioen. Na hoogstens 5 sets is er dus een winnaar, het kan al na 3. Neem je aan dat beide finalisten even sterk zijn en kans 50% hebben om een set te winnen, dan is het aantal in de finale gespeelde sets een toevalsvariabele S. a) Maak daarvan een kansverdeling en bereken het verwachte aantal sets. Neem aan dat het toernooi van Wimbledon al 00 keer is gespeeld. Hoeveel sets zijn er dan in totaal in de finales gespeeld naar verwachting? De werkelijke gegevens leren toch anders, zie de tabel over 90 finales. partijlengte 3 sets sets 5 sets aantal keer c) Bepaal de experimentele kansverdeling en verwachtingswaarde van S. De oorspronkelijke aanname was dus niet zo goed. Stel je nu voor dat de kans om de eerste set te winnen 50% blijft, maar de kans om de set na een gewonnen set te winnen 70% is (de winning mood ). d) Maak nu opnieuw een kansverdeling (bekijk zorgvuldig alle gevallen). e) Bereken het verwachte aantal sets bij de nieuwe kansverdeling. Opgave 0 In een casino wordt het volgende spel gespeeld. Er wordt maximaal 6 keer met een zuivere munt geworpen totdat kruis boven komt. De speler krijgt,,, 8, 6, of 3 euro uitbetaald als bij worp nummer,, 3,, 5, respectievelijk 6 kruis wordt gegooid. Bij 6 keer munt krijgt hij niets. Y is de uitbetaling in euro s. a) Stel de kansverdeling van Y op. Welke inzet moet het casino voor dit spel tenminste vragen om er op de lange duur geen geld bij in te schieten? c) Hoe groot is de kans dat je bij het spelen van dit spel minstens 6 euro krijgt uitbetaald? Opgave Uit een groep van 0 mannen en 6 vrouwen worden door loten vertegenwoordigers aangewezen. M stelt het aantal aangewezen mannen voor, V het aantal aangewezen vrouwen. a) Bereken P(M = 0) en P(M = ) (in procenten, afronden op twee decimalen). Maak een kansverdeling voor M (in procenten, afronden op twee decimalen). c) Maak een kansverdeling voor V (in procenten, afronden op twee decimalen). d) Bereken de verwachtingswaarde van M en V. STICHTING MATHALL 3 DEC 008 3

4 Testen Opgave Het bestuur van de korfbalclub telt 7 leden, vrouwen en 3 mannen. Door loten wordt daaruit een dagelijks bestuur van 3 leden gekozen. Het aantal vrouwen in het dagelijkse bestuur is een toevalsvariabele Z. a) Stel de kansverdeling van Z op. Hoe groot is de kans dat er minstens twee vrouwen in de bestuur zitten? c) Bereken het verwachte aantal vrouwen in het bestuur. Opgave 3 Er wordt met munten geworpen. Het aantal keren dat kruis boven komt is een toevalsvariabele K. a) Bepaal de kansverdeling van K. Bepaal de verwachtingswaarde van K. Je herhaalt het werpen met deze vier munten 00 keer. c) Hoeveel keer zul je daarbij K = 3 aantreffen? Opgave Vogels kijken Vogeldeskundigen willen weten welke vogelsoorten in een bepaald gebied leven. Een eenvoudige manier om daar achter te komen is het maken van een ronde door dat gebied en alle waargenomen vogels te registreren. Men spreekt van een registratie-effectiviteit van 00% wanneer alle aanwezige vogels opgemerkt worden. In de praktijk blijkt de registratie-effectiviteit per ronde slechts 60% te zijn, de overige 0% van de totale vogelpopulatie wordt niet opgemerkt. De Zweedse vogeldeskundige Anders Enemar stelt dat de registratie-effectiviteit door het maken van drie ronden zodanig wordt verhoogd, dat men vrijwel zeker mag aannemen dat alle vogelsoorten zijn opgemerkt. Hij neemt daarbij aan dat iedere aanwezige vogel bij elke ronde 60% kans heeft om opgemerkt te worden. a) Bereken hoeveel % van de totale populatie naar verwachting na drie ronden nog niet zal zijn opgemerkt. Na drie ronden is de vogelpopulatie verdeeld in vier categorieën: I, II, III, IV. I niet opgemerkt II één keer opgemerkt III twee keer opgemerkt IV drie keer opgemerkt Welke van deze vier categorieën bevat de meeste exemplaren? Licht je antwoord toe met een berekening. Stel dat er bij iedere ronde ongeveer 50 vogels worden opgemerkt. c) Bereken hoeveel vogels er ongeveer bij de derde ronde voor het eerst worden opgemerkt. (bron: havo examen wiskunde A uit 990) STICHTING MATHALL 3 DEC 008

5 Antwoorden a) x 0 3 P(X = x) 0,36 0,9 0,09 0,069 0,0039 a) x 0 3 P(X = x) ,5 c) Als je heel vaak met drie dobbelstenen gooit, mag je per keer gooien een zes verwachten. 3a) - c) d) 3 e) De verwachting van de mannen was 3 a) 6 en er zijn 3 taken uit te voeren. aantal zaden frequentie 0,0056 0,0 0,09 0,0730 0, 0,58 0,3539 0,9 0,0056 0,887 dus ongeveer 9% c) 0,068 d) 8,5 5a) j 0 3 P(J = j) Verwachtingswaarde is c) 300 6a) x 0 3 P(X = x) 0,6830 0,73 0,00 0,007 0,000 y 0 3 P(Y = y) 0,6697 0,977 0,039 0,0007 7a) 0,,, 3, m 0 3 P(M = m) 0,0 0,79 0,3868 0,38 0,0889 c) ongeveer,3 8a) z P 3 De verwachtingswaarde is,5, dus,00 per spel inzetten levert gemiddeld winst op. De winstkans bij één spel is 3. 9a) P(S = 3) = 0,5; P(S = ) = 0,375 en P(S = 5) = 0,375 De verwachtingswaarde is,5 sets. of 3 sets. c) P(S = 3) 0,9; P(S = ) 0, en P(S = 5) 0,7 De verwachtingswaarde is ongeveer 3,8 sets. d) P(S = 3) = 0,9; P(S = ) = 0,73 en P(S = 5) = 0,37 e) ongeveer 3,75 STICHTING MATHALL 3 DEC 008 5

6 0a) y P(Y = y) 0,0565 0,5 0,5 0,5 0,065 0,035 0, euro c) 0,06875 a) P(M = 0),7% en P(M = ) 37,6% P(M = ),%; P(M = 3),8% en P(M = ),0% c) P(V = 0) = P(M = ) enzovoorts. d),5 en,6 a) P(Z = 0) = ; P(Z = ) = 35 ; P(Z = ) = 35 en P(Z = 3) = 35 c) 5 7 3a) k 0 3 P(K = k) 0,065 0,5 0,375 0,75 0,065 c) 50 keer a) 6,% P(cat.I) = 0,06; P(cat.II) = 0,88; P(cat.III) = 0,3 en P(cat.IV) = 0,6 Dus de meeste in categorie III. c) 7 STICHTING MATHALL 3 DEC 008 6