4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]

Transcriptie

1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in

2 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend. De klassenbreedtes zijn nu kleiner dan in het vorige plaatje. 2

3 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Wat valt op? De twee figuren lijken symmetrisch; De meeste waarnemingen bevinden zich rond het midden; Hoe verder van het midden, hoe minder waarnemingen er zijn. Als de klassenbreedtes kleiner worden krijgt de frequentieverdeling steeds meer de vorm van een klok Deze frequentieverdeling komt vaak voor: Lengte van mannen/vrouwen; Gewicht van mannen/vrouwen; Branduren van een lamp; IQ van mensen. Zo n verdeling noemen we een normale verdeling. 3

4 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Als we een heel erg kleine klassenbreedte nemen ontstaat de normaalkromme. 4

5 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Kenmerken van de normale verdeling: 1. De normale verdeling is symmetrisch; 2. De normale verdeling heeft een gemiddelde μ; 3. De normale verdeling heeft een standaardafwijking σ; 4. De oppervlakte onder de normaalkromme is altijd 100% 5

6 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Kenmerken van de normale verdeling: 5. 68% van alle waarnemingen ligt minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 68% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ σ en μ + σ; 6. 95% van alle waarnemingen ligt minder dan twee keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 95% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ - 2σ en μ + 2σ. 6

7 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Voorbeeld 1: Gegeven is een normale verdeling met μ = 300 en σ = 10. Hoeveel procent van de waarnemingen ligt tussen 280 en 320? 280 = keer de standaardafwijking 320 = keer de standaardafwijking Dus 13,5% + 24% + 24% + 13,5% = 95% van alle waarnemingen ligt tussen 280 en

8 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Voorbeeld 2: Gegeven is een normale verdeling met μ = 300 en σ = 10. Hoeveel procent van de waarnemingen ligt links van 310? 310 = keer de standaardafwijking Dus 2,5% + 13,5% + 34% + 34% = 84% van alle waarnemingen ligt links van 280 en

9 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Klasse Frequentie Cumulatieve frequentie Relatieve cumulatieve frequentie 1,50 -< 1, ,44% 1,55 -< 1, (10 + 4) 15,56% 1,60 -< 1, ( ) 28,89% 1,65 -< 1, ,67% 1,70 -< 1, ,44% 1,75 -< 1, ,67% 1,80 -< 1, % 1,85 -< 1, ,89% 1,90 -< 1, % De cumulatieve frequentie van een klasse krijg je door de frequentie van deze klasse en alle voorgaande klassen op te tellen; De relatieve cumulatieve frequentie van een klasse krijg je door de cumulatieve frequentie van deze klasse te delen door het aantal waarnemingen 100%. 9

10 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Als je de cumulatieve frequenties in een polygoon tekent, krijg je een cumulatief frequentiepolygoon. Op de horizontale as staan de klassen; Boven de rechtergrens van elke klasse wordt de cumulatieve frequentie gezet; Boven de linkergrens van de eerste klasse wordt de cumulatieve frequentie 0 gezet; Verbindt de punten door lijnstukjes. Als je de relatieve cumulatieve frequenties in een polygoon tekent, krijg je een relatief cumulatief frequentiepolygoon. 10

11 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [3] Voorbeeld: In de tabel staat de verdeling van de gewichten in grammen van een hoeveelheid bonen. klasse 0,45 -< 0,65 1 0,65 -< 0,85 6 0,85 -< 1, ,05 -< 1, ,25 -< 1, ,45 -< 1, ,65 -< 1, ,85 -< 2,05 7 2,05 -< 2,25 6 Frequentie Toon aan dat deze verdeling bij benadering normaal is: 11

12 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [3] Stap 1: Bereken de cumulatieve en relatieve cumulatieve frequenties: klasse Frequentie Cum. Freq. Rel. Cum. Freq. 0,45 -< 0, ,6 (1/156) 0,65 -< 0, (1 + 6) 4,5 (7/156) 0,85 -< 1, (7 + 18) 16,0 (25/156) 1,05 -< 1, ,8 1,25 -< 1, ,2 1,45 -< 1, ,0 1,65 -< 1, ,7 1,85 -< 2, ,2 2,05 -< 2, ,0 12

13 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [3] Stap 2: Teken de rel. cum. frequenties op normaal waarschijnlijkheidspapier: 13

14 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [3] Stap 3: Trek een lijn door de punten: 14

15 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [3] Let op: Als de getekende punten op een rechte lijn liggen, is er sprake van een normale verdeling Het gemiddelde (μ) is te vinden door de waarde af te lezen die hoort bij een relatieve cumulatieve frequentie van 50 ( 1,43) De standaardafwijking (σ) is te vinden door: 1. de waarde af te lezen die hoort bij een relatieve cumulatieve frequentie van 84 ( 1,75); 2. het verschil tussen deze waarde en het gemiddelde is de standaardafwijking (1,75 1,43 = 0,32) 15

16 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Wanneer van een normale verdeling, het gemiddelde (μ), de standaardafwijking (σ) en een interval gegeven is, kun je de oppervlakte onder de normaalkromme voor dat interval berekenen. Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme tussen 15 en

17 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme tussen 15 en 25. Op de GR: 2ND VARS DISTR 2:normalcdf( ENTER Vul bij lower de linkergrens in Vul bij upper de rechtergrens in; Vul bij μ het gemiddelde in; Vul bij σ de standaardafwijking in. Normalcdf(15, 25, 20, 3.2) 0,882 17

18 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Voorbeeld 2: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme rechts van 22. Opp = normalcdf(22, 10 99, 20, 3.2)

19 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. De oppervlakte links van de grens a is 0,56. Bereken deze grens. Op de GR: 2ND VARS DISTR 3:invNorm( ENTER Vul bij area de oppervlakte links van de grens in; Vul bij μ het gemiddelde in; Vul bij σ de standaardafwijking in. InvNorm(0.56, 20, 3.2) 20,48 19

20 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 2: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte rechts van de grens a is 0,15. Bereken deze grens. Let op: InvNorm is de oppervlakte links van een bepaalde grens. In dit geval Is de oppervlakte links van grens a = 1 0,15 = 0,85 Grens = invnorm(0.85, 1800, 40)

21 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 3: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte van Het symmetrische gele gebied is 0,38. Bereken de rechtergrens van dit gebied. Oppervlakte gele gebied = 0,38 Oppervlakte blauwe gebied = 1 0,38 = 0,62 Oppervlakte blauwe gebied links = 0,62/2 = 0,31 (vanwege symmetrie) Oppervlakte geel + blauw voor rechtergrens = 0,31 + 0,38 = 0,69 21

22 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 3: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte van Het symmetrische gele gebied is 0,38. Bereken de rechtergrens van dit gebied. Rechtergrens = InvNorm(0.69, 1800, 40) =

23 4.2 Oppervlakten onder normaalkrommen [3] Voorbeeld: Normale verdeling met μ = 28 en σ = onbekend. De oppervlakte Rechts van 23 is 0,83. Bereken de standaardafwijking. Er moet gelden normalcdf(23, 10 99, 28, σ) = 0,83 Met de GR: Y1 = normalcdf(23, 10 99, 28, σ) Y2 = 0,83 en INTERSECT [Let op grenzen van assen!!!] 23

24 4.4. De binomiale en de normale verdeling [1] Voorbeeld: Een machine vult pakken koffie met een gemiddelde van 510 gram en een standaardafwijking van 5 gram. Bereken de kans dat in een steekproef van 20 pakken minstens drie pakken minder dan 505 gram bevatten. X = aantal pakken koffie dat minder dan 505 gram bevat n = 20 p = kans dat één pak koffie minder dan 505 gram bevat p = normalcdf(-10^99, 505, 510, 5) = 0,159 P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 binomcdf(20, 0.159, 2) 0,637 24

25 4.4. De binomiale en de normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in twee fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ x = 23 en σ y = 1 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? In dit voorbeeld zijn er twee onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen waarvan je de som neemt. Deze som Z is ook een normaal verdeelde toevalsvariabele met: μ z = μ x + μ y en 2 2 Z x y Wanneer je van twee onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen het verschil neemt geldt: μ z = μ x - μ y en 2 2 Z x y 25

26 4.4. De binomiale en de normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in twee fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ y = 23 en σ y = 1 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? Z is normaal verdeeld met gemiddelde μ z en standaardafwijking σ z : μ z = μ x + μ y = = 203 en Z x y 26

27 4.4. De binomiale en de normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? Opp = normalcdf(-10 99, 200, 203, 5) 0,090 Dus 0,09 100% = 9,0% heeft een productietijd van minder dan 200 seconden. 27

28 4.4. De binomiale en de normale verdeling [3] Continue toevalsvariabele Y: Alle waarden zijn mogelijk Kansverdeling is een vloeiende kromme; Bv.: Lengte van mannen, Gewicht van vrouwen, alles wat normaal verdeeld is; P(Y < 5) = P(Y 5). Discrete toevalsvariabele X: Alleen een aantal losse waarden zijn mogelijk; Kansverdeling is een histogram; Bv.: Aantal auto s op een weg per minuut, De schoenmaat van volwassenen; P(X < 5) = P(X 4). 28

29 4.4. De binomiale en de normale verdeling [3] Als we een discrete toevalsvariabele X benaderen door een continue toevalsvariabele Y geldt: P(X < 5) = P(X 4) = P(Y 4,5) Algemeen: P(X k) = P(Y k + 0,5) 29

30 4.4. De binomiale en de normale verdeling [4] Voorbeeld: Het aantal auto s X per uur op een weg is te benaderen door een normaal verdeelde toevalsvariabele Y met μ Y = 53,8 en σ Y = 8,7. Gedurende een uur wordt het aantal auto s op de weg geteld. Bereken in hoeveel procent van de gevallen er minder dan 45 auto s per uur worden geteld. P(X < 45) = P(X 44) = P(Y 44,5) = normalcdf(-10 99, 44.5, 53.8, 8.7) 0,143 30

31 4.5 De n-wet [1] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het gewicht van deze 10 blikken minder is dan 4985 gram. Het totale gewicht van deze 10 blikken (X som = X + X + + X) is nu normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = 10 μ x = = Xsom x x x x Wanneer je een steekproef met een grootte van n neemt geldt: De som (X som = X + X + + X) van deze steekproef is normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = n μ x en... n n Xsom x x x x x 31

32 4.5 De n-wet [1] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het gewicht van deze 10 blikken minder is dan 4985 gram. μ Xsom = 5000 en σ Xsom = 10 2 Opp = normalcdf(-10 99, 4985, 5000, 10 2) = 0,

33 4.5 De n-wet [2] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Het totale gewicht van deze 10 blikken (X som = X + X + + X) is nu normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = 10 μ x = = Xsom x x x x Het gemiddelde gewicht van deze 10 blikken ( is ook normaal verdeeld met: x som 10 x x x x som 10 x x x Algemeen: Bij een steekproef van grootte n geldt: X X = steekproefgemiddelde) normaal verdeeld met en x x x x n 33

34 4.5 De n-wet [2] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het steekproefgemiddelde ( X ) minder dan 1.5 van μ x afwijkt X is normaal verdeeld met 500en x x x x n 2 10 P(498.5 < < 501.5) = normalcdf(498.5, 501.5, 500, 2/ 10) 0,982 X 34