Kern 1 Rekenen met binomiale kansen

Transcriptie

1 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern Rekenen met binomiale kansen a Omdat er steeds twee mogelijkheden zijn: zwart óf wit. b Omdat de ballen na trekken weer worden teruggelegd, zijn de kansen steeds weer gelijk. c 8 en 8 2 a Binomiaal, kans op succes = b Binomiaal, kans op succes = c Niet binomiaal, de kans op een onvoldoende is niet voor iedereen even groot. a P( witte ballen) = = P( witte bal) = + + = P(2 witte ballen) = + + = P( witte ballen) = = 2 2 aantal witte ballen 2 kans a geen geen geen b P(alle vier gooien ze ) = = 29 c P(niemand mag een pion opzetten) = = 2 29 P( mag een pion opzetten) = = 29 P(2 mogen een pion opzetten) = = 29 2 P( mogen een pion opzetten) = = 29 a P(geen enkel gen beschadigd) =, 99997, 997 b P(minstens één gen beschadigd) = P(geen enkel gen beschadigd) =,997 =,297 Noordhoff Uitgevers bv

2 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen 27 8 a E(aantal witte ballen) = = b Iedere trekking verwacht je 2 witte ballen. Met drie trekkingen wordt dat dus 2 = 7 a Binomiaal. n =, p =, E(X) = 2 = b Niet binomiaal. c Binomiaal. n =, p =, E(X) = = 2 2 d Niet binomiaal. De kans op een onvoldoende is niet voor iedereen even groot. 8 a 9. b In een volgende steekproef van stemgerechtigden zou de uitkomst weer anders kunnen zijn. c Voor een betrouwbare schatting moet je een grotere steekproef nemen. 9 a De kans op een gezin met vier meisjes is hetzelfde als de kans op een gezin met jongens. Die is,7%, in plaats van de,8% voor een gezin met jongens. b E(aantal jongens) =, ,7 2 +,22 +,8 = 2, c Dan is het binomiaal, dus geldt E(X) = n p = 2 = 2 Noordhoff Uitgevers bv 2

3 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern 2 Binomiale kansen Omdat bij trekken met terugleggen de kansen niet veranderen. Bij trekken zonder terugleggen is voor iedere trekking de kans op succes anders. a zwart 2 andere bloedgroep 2 b (, ) 2 wit c P( witte ballen) = ( ) ( ) 2 d P( witte ballen) = ( ) 2, 27 =, bloedgroep O 2 a Zie afbeelding rechtsboven. b (, ) betekent kinderen met bloedgroep O (, ) betekent kind met bloedgroep O (en met een andere bloedgroep) (2, ) betekent 2 kinderen met bloedgroep O (, ) betekent kinderen met bloedgroep O (, 2) betekent kinderen met bloedgroep O (, ) betekent kinderen met bloedgroep O (, ) betekent kinderen met bloedgroep O c P( kinderen met bloedgroep O) = ( ) ( ) 729 =,78 9 d P(2 kinderen met bloedgroep O) = ( ) 2 ( ), 29 2 a Binomiaal, met n = 2 en p =, b Niet binomiaal c Binomiaal, met n = 2 en p =,2 d Binomiaal, met n = 2 en p onbekend. 2 2 a P(Z = 2) = ( ) ( ),99 2 P(Z = ) = ( ) ( ),799 P(Z = ) = ( ) ( ),7 Noordhoff Uitgevers bv

4 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen b, +,99 +,99 +,799 +,7 = 8 8 a P( successen) =,,, 7, P( succes) =,, 7,977,2 P( successen) =,2 P( successen) =, P( successen) =,7, P( successen) =, P(7 successen) =, P(8 successen) =, b c Zie afbeelding rechts. X de P( X ) betekent de kans op maximaal drie successen (lichtgrijs in figuur). P(X ) betekent de kans op tenminste vier successen (donkergrijs in figuur). Samen zijn de kansen. P( X ),89 en P(X ),9. kans a Het aantal opnieuw bruikbare potjes X is binomiaal verdeeld met n = en p =,. 2 8 P(X = 2) =,, 9, b P( X 2) =,, 9,, 9,, 9, a P(X = 2) =, 2,7, b P(X 2) =, 2, 7 +, 2, 7 +, 2, 7, c P(X = ) =, 2,7, 2 2 d P(X = ) =, 2,7,7 8 a P(X = ) =, 2, 7,78 b P(X = ) =, 2,7, 2 P(X = 2) =, 2,7, 29 2 Noordhoff Uitgevers bv

5 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen c P(X = ) =, 2, 7,8 P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = 2) + P(X = ) =,78 +, +,29 +,8 =,92 d P(X > ) = P(X ) =,92 =,7 9 a r P(X = r),9,2,82,9,78,8,,,9,9,7 b E(X) =, = c P(X < ) = P(X ) = binomcdf(,., ) =, d P(X ) = P(X 9) = binomcdf(,., 9) =,282 Noordhoff Uitgevers bv

6 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern Cumulatieve kansen 2 a b r P(X = r) P(X r) 2,9,9,7,22,2,,9,88,9,997,9999, c P(hoogstens vier zessen) = P(X ) =, a P(X ) = P(X ) =,9 =,989 P(X 2) = P(X ) =,22 =,78 P(X ) = P(X 2) =,8 =, b P(X = ) = P(X ) P(X ) =,22,9 =, P(X = 2) = P(X 2) P(X ) =,8,22 =,8 P(X = ) = P(X ) P(X 2) =,,8 =, 22 a r 2 P(X r),,,,,9, b P(X ) = P(X ) =, =,999 2 a binomcdf(2,., ) =,927 b binomcdf(22,.,8) =,27 c binomcdf(,., 2) =,9999 d binomcdf(9,.8, 8) =, 2 a P(X 2 n = 2 en p =,) = binomcdf(2,., 2) =,79 b P(X n = 2 en p =,) = P(X 2) = binomcdf(2,., 2) =,7 2 a r = b r = 7 c Bedenk dat P(X r) = P(X r )=,88 P(X r ) =,2. Hieruit volgt dat r = 8, dus r = 9. P(X r ) =,. Hieruit volgt dat r =, dus r = 2. 2 a P(X n = 7 en p =,) = binomcdf(7,., ) =,7 b P(X k n = 7 en p =,) <, P(X k n = 7 en p =,) >,9 k 2 k Bij minstens regendagen gaat de winst verloren. Noordhoff Uitgevers bv

7 Netwerk e editie havo A Hoofdstuk De binomiale verdeling uitwerkingen Kern Trekken zonder terugleggen 27 a aantal hartenkaarten 2 kans met terugleggen,29,29,, kans zonder terugleggen,8,2,, b Omdat het om een betrekkelijk klein aantal kaarten gaat. Bij trekken zonder terugleggen, worden de kansen voor elke trekking anders. 28 a P(tweemaal dezelfde kleur) = + = b Als ze drie toverballen trekt, zijn er zeker twee van dezelfde kleur. Ze is dus hoogstens eurocent kwijt. 29 a Die kans is P(2 rode) + P(2 witte) + P(2 blauwe) = + +, 292 b Ze heeft dan na twee trekkingen niet dezelfde kleur. De gevraagde kans is,292 =,78. c Nu heeft ze na vier trekkingen er zeker twee van dezelfde kleur. Ze is dan maximaal eurocent kwijt. a aantal slechte schakelaars 2 kans met terugleggen,,29,8,, kans zonder terugleggen,,298,88,9, b Pas bij de vierde decimaal. c Dat komt omdat het hier om een groot aantal elementen gaat. Het verwijderen van een enkel element beïnvloedt de kans op succes nauwelijks. a P(2 appels rot) P(X = 2 n = en p = b P(X 2) =,999 c P(X 2) = P(X ) =, =,) = binompdf(,., 2) =, 2 a P(X n = en p =,7) = P(X ) = binomcdf(,.7, ) =,29 b P(X = 2 n = en p =,7) =,9 Noordhoff Uitgevers bv 7