Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling

Transcriptie

1 Toetsende Statistiek, Week 2. Van Steekproef naar Populatie: De Steekproevenverdeling Moore, McCabe & Craig: 3.3 Toward Statistical Inference From Probability to Inference 5.1 Sampling Distributions for Counts and Proportions 5.2 The Sampling Distribution of a Sample Mean Pierre Simon Laplace ( ) 1

2 Sampling Distributions (Steekproevenverdelingen) Iedere beschrijvende waarde (statistiek of statistic) van een aselekte steekproef of een gerandomiseerd experiment is een schatting van daarmee samenhangende beschrijvende waarde (parameter) in een populatie en kan variëren in waarde. iedere statistiek kan worden opgevat als een toevalsvariabele en heeft een kansverdeling: de steekproevenverdeling van die statistiek. 2

3 Opmerkingen 1. We onderscheiden nu a) populatieverdeling (parameter, bijv: µ, ρ, p), b) steekproefverdeling (statistiek, bijv: x, r, pˆ ), c) steekproevenverdeling van een statistiek (parameter) d) verdeling van één waarneming. 2. In een SRS is de verdeling van één willekeurige waarneming gelijk aan de populatieverdeling. 3. De populatie kan denkbeeldig zijn, of een proces (zonder eind), bijv. de verzameling van alle mogelijke testitems. 3

4 Herhaalde Trekkingen uit een binaire Populatie Wereldwijd is het kenmerk Veilig gehecht als volgt verdeeld: Populatie verdeling 1 e verdeling in willekeurige random steekproef Herhaalde steekproefverdelingen Veilig p 0.65 Niet-veilig 1-p 0.35 Na 12 Bernoulli* trials (1 steekproef): Veilig 6 Niet-veilig 6 Na 7 steekproeven met n12: Veilig Niet-veilig *Bernoulli trial: experiment met 2 random uitkomsten met kansen p en 1-p. 4

5 Steekproef-fluctuaties van de Primaire Statistieken We kunnen totaalscore (count) bepalen en ook steekproefproporties: count Veilig gehecht steekproef proportie ˆ p q ˆ 1 ˆ p Maak een stem-and-leaf plot van de steekproevenverdeling van ˆ p : Gemiddelde 0.64, mediaan 0.67 Conclusie? 6

6 Binomial Setting & Binomiale Verdeling B(n, p) De steekproevenverdeling van een telling (count) volgt de binomiale verdeling als aan de volgende aannamen is voldaan: 1. Vaste steekproefgrootte n (tevoren vastgesteld) 2. Onafhankelijke observaties 3. Observaties zijn Bernoulli trials: succes of failure 4. Kans op succes is constant: p (kans op failure : q 1 p) Kans Voorbeeld: een B(10, 0.1). d.w.z. n10 en p0.1 Wat valt op? Aantal successen 7

7 Kansboom bij drie Bernoulli Trials Er is sprake van onafhankelijke trekkingen met teruglegging v(.65) P(vvv)(.65)(.65)(.65).275 v(.65) n(.35) P(vvn)(.65)(.65)(.35).148 v(.65) v(.65) P(vnv)(.65)(.35)(.65).148 n(.35) n(.35) P(vnn)(.65)(.35)(.35).080 v(.65) P(nvv)(.35)(.65)(.65).148 v(.65) n(.35) n(.35) P(nvn)(.35)(.65)(.35).080 v(.65) P(nnv)(.35)(.35)(.65).080 n(.35) n(.35) P(nnn)(.35)(.35)(.35).043 9

8 Formule van de Binomiale kansverdeling Aan de kansboom zien we twee dingen: 1. Omdat de trekkingen onafhankelijk zijn, kunnen we de kansen langs ieder pad met elkaar vermenigvuldigen; 2. Er zijn meerdere manieren om aan dezelfde somscore te komen, door verwisseling van de volgorde in de patronen (NB. teruglegging) Dit leidt tot de volgende formule van de binomiale verdeling: P( X k) n k { aantal manieren om k successen te behalen in n Bernoulli trials k n k p (1 p) kans op k successen en n-k niet-successen Voorbeeld: P(X2) P(vvn) + P(vnv) + P(nvv) 10

9 P(X2) P(vvn) + P(vnv) + P(nvv) P( X P( X P( X P( X P( X 2) 2) 2) 2) 2) ! ! (3 2)! Of opzoeken van Binomiale Kansen m.b.v. Tabel C in M,M&C Of exact bepalen met software / rekenmachine

10 Tabel C in M,M&C: een kijkje n k p

11 Verwachte Waarde en Standaard Deviatie van de Binomiaal De verwachte waarde van een Bernoulli trial (1 binaire observatie) X P X * P p 0 * (1 - p) 0 1 p 1 * p p + µ p Omdat µ van een som gelijk is aan som van µ's, krijgen we voor de binomiale count X een verwachte waarde µ X p + p + p + + p np De variantie σ 2 van één Bernoulli trial is p (1 p), dus σ 2 van X σ 2 X np (1 p) en σ X np(1 p) 13

12 Steekproefproporties (Sample Proportions) Als we tellen hoe vaak een verschijnsel voorkomt in een steekproef, kunnen we dat altijd uitdrukken als een steekproefproportie # dat iets voorkomt X pˆ totaal # observaties n telling steekproeflengte Voor een binaire variabele hebben we de volgende relaties tussen verwachte waarden, varianties en standaardafwijkingen: verdeling van verwachte waarde variantie standaard afwijking populatie (1 observatie) p p(1 p) p ( 1 p) binomial count X np np(1 p) n p ( 1 p) steekproef proportie pˆ p p ( 1 p) n p ( 1 p) n 14

13 Benadering van de Steekproevenverdeling van een Proportie Als np 10 en n(1 p) 10 de steekproeven-verdeling van pˆ en van de telling X (count) bij benadering N(µ, σ). Andere vuistregel: binomiaal normaal (bij n > 30). 15

14 Hoe goed is de Benadering? Voor B(100,0.1) (nog) niet erg goed Aantal successen Pas daarom continuïteitscorrectie toe. Je corrigeert voor verschil discreet - continu, door in de normaal benadering "een 1/2 stap" naar µ te doen. Dus niet P N (X 9) opzoeken maar P N (X 9.5). 16

15 17 Een Vergelijking tussen verschillende Aanpakken I. Gegeven: B(100,0.1) Wat is P(X 9)? Binomiaal via software: P(X 9) a) Normaal benadering: ) ( (10,3) ) ( Z P Z P Z P X P N p p n p n σ µ σ µ

16 Een Vergelijking tussen verschillende Aanpakken II. b) Normaal benadering + continuïteitscorrectie: n p µ σ N(10,3) Gebruik nu 9.5 in plaats van 9 P( X P Z n p (1 p) µ 9.5) P Z σ P Z

17 Steekproefgemiddelde als een Kansvariabele Verdeling reactietijden 200 Individuele reactietijd per pp RT Gemiddelde reactietijd (n10) Steekproefgemiddelden zijn: (1) minder variabel (2) meer normaal dan individuele observaties Mean RT, N10 19

18 Hoeveel minder variabel is het Steekproefgemiddelde? We gebruiken dezelfde regels voor toevalsvariabelen (random variables) als voor een telling of proportie bij een binaire populatie. Basis-aanname: observaties zijn onafhankelijk en gelijk verdeeld. Voor continue variabelen krijgen we: verdeling van populatie (1 observatie) som van n observaties steekproefgemiddelde x verwachte waarde variantie standaard afwijking µ σ 2 σ nµ nσ 2 n σ µ 2 σ n σ n 20

19 Doet de Vorm van de Populatieverdeling ertoe? Normaal, µ16, σ 5 Uniform µ 16, σ 9.5 Scheef, µ8.08, σ 6.22 n5, m16, sd 2.23 n5, m 16, sd 4.25 n5, m8.05, sd 2.77 n20, m16, sd 1.12 n20, m16, sd 2.12 n20, m8.08, sd

20 Wanneer is het Gemiddelde normaal verdeeld? 1. Als populatie is N(µ, σ), dan is het steekproef-gemiddelde x van n onafhankelijke observaties ook normaal verdeeld met N(µ,σ/ n) (unbiased, zuiver). 2. Als populatie niet normaal verdeeld is, dan is x bij benadering normaal verdeeld! (Centrale Limiet Stelling, Laplace, 1810). 3. Als bij grote steekproeven de waarnemingen niet uit dezelfde populatie komen (bijv., lengte mannen, lengte vrouwen), is de verdeling van het gemiddelde toch bij benadering normaal. 4. Bij nog grotere steekproeven zijn zelfs gemiddelden van afhankelijke observaties bij benadering normaal verdeeld. 22

21 Samenvattend: Een belangrijk Proces. Accuraatheid neemt toe met de steekproefgrootte, maar met afnemende meeropbrengst. 23

22 Besluit BINOMIAAL: Belangrijke steekproevenverdeling. Er zijn vier manieren om de binomiale verdeling te gebruiken: met formule, door opzoeken in tabel, door uitrekenen en door benaderen met de normaal verdeling HOOFDRESULTAAT STATISTIEK: Gemiddelde is altijd normaal verdeeld bij grote steekproeven dankzij Centrale Limiet Stelling. Stof Volgende Week: Moore McCabe & Craig, chapter 6 Introduction to Inference 6.1 Estimating with Confidence 6.2 Tests of Significance 6.3 Use and Abuse of Tests 24