introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte

Transcriptie

1 toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The Sampling Distribution of a Sample Mean 5.2: Sampling Distributions for Counts and Proportions: The continuity correction week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties: de F-toets week 6: het toetsen van tellingen: de χ 2 -toets week 7: verdelingsvrije toetsen Frank Busing, Universiteit Leiden 1/26 deze week: wat hebben we al geleerd? kennis en begrip van de normaalverdeling kennis en begrip van z-scores (gestandaardiseerde scores) kennis en begrip van de 5 kansregels kennis en begrip van verwachte waarde en variantie van random variabelen van getransformeerde random variabelen en van de som van random variabelen 2/26

2 onderzoek onderzoeksvraag zijn er dit jaar minder fouten gemaakt dan vorig jaar bij het tentamen MTI? er zijn drie verdelingen van belang M=10 M=9 M=9 M=11 M=8 M=10 M=12 M = 8 M = 12 M = 8 M = 12 M=10 M=11 populatieverdeling steekproefverdeling steekproevenverdeling 3/26 populatie de populatieverdeling de verdeling van alle mogelijke waarden voor alle observaties uit de populatie 4/26

3 populatieverdeling populatieverdeling van fouten bij het tentamen MTI (2011) kans = fouten de populatieverdeling wordt beschreven in termen van parameters bijvoorbeeld gemiddelde µ en standaarddeviatie σ de populatieverdeling als kansverdeling de populatieverdeling is ook de kansverdeling voor één individu uit de populatie 5/26 steekproef (n = 1) onderzoeksvraag zijn er dit jaar minder fouten gemaakt dan vorig jaar bij het tentamen MTI? de steekproef van n = 1 heeft als verwachte waarde µ maar een daadwerkelijk gemiddelde van x, in dit geval x 1 er is een gerede kans dat x = x 1 afwijkt van µ law of large numbers (W.L. Hays (1994). Statistics, p. 215) In general, the larger the sample size, the more probable it is that the sample mean comes arbitrary close to the population mean. 6/26

4 steekproefverdeling steekproefverdeling van fouten bij het tentamen MTI (n = 5) x n = 5 de steekproefverdeling wordt beschreven in termen van statistieken bijvoorbeeld gemiddelde x en standaarddeviatie s het is (voor grotere n) waarschijnlijk dat x nu minder afwijkt van µ maar: hoe verhoudt dit steekproefgemiddelde zich tot de populatieverdeling? waarmee vergelijken we ons gemiddelde, gebaseerd op n = 5? 7/26 introductie gemiddelden van 10 miljoen n = 5 steekproeven uit de 2011 populatie /26

5 centrale limietstelling centrale limietstelling voor een random steekproef van grootte n uit een willekeurige populatie met gemiddelde µ en standaarddeviatie σ geldt, dat de steekproevenverdeling van het gemiddelde x bij benadering normaal verdeeld is met gemiddelde µ x = µ en standaarddeviatie σ x = σ/ n 9/26 geschiedenis centrale limietstelling 1733 De Moivre De Moivre gebruikt de normaal verdeling om de verdeling van het aantal keer kop bij veel worpen van een zuivere munt te benaderen (binomiaal verdeling) (de binomiaal: de moeder aller verdelingen) 1812 Laplace (ontdekking) Laplace breidt De Moivre s ontdekking uit door het gemiddelde van elke verdeling te benaderen met de normaal verdeling 1901 Lyapunov (bewijs) Lyapunov, student van Chebyshev, geeft een definite in algemene termen en een wiskundig bewijs 1920 Pólya (naamgeving) On the central limit theorem of calculus of probability and the problem of moments volgens Pólya central vanwege het belang in de kans theorie maar volgens Le Cam beschijft het het gedrag in het centrum van de verdeling 10/26

6 centrale limietstelling in beeld steekproevenverdeling van x POPULATIE gemiddelde standaard deviatie steekproef van grootte n steekproef van grootte n steekproef van grootte n... x x x n steekproef van grootte n x een statistiek van een steekproef (hier x) is een random variabele de kansverdeling van deze statistiek is zijn steekproevenverdeling, de steekproevenverdeling van x, de kansverdeling van x en voor x is deze (bij benadering) normaal verdeeld N(µ,σ/ n) 11/26 steekproevenverdeling van het gemiddelde in beeld gemiddelden van 1000 steekproeven uit de 2011 populatie n=25 gemiddelde standaard deviatie populatie n = n = n = n = n = n = standaarddeviatie steekproevenverdeling σ/ n wordt kleiner voor grotere n 12/26

7 samenvatting M=10 M=9 M=9 M=11 M=8 M=10 M=12 M = 8 M = 12 M = 8 M = 12 M=10 M=11 populatieverdeling parameters µ en σ steekproefverdeling statistieken x en s steekproefgrootte n steekproevenverdeling x normaal verdeeld (centrale limietstelling) parameters µ en σ/ n 13/26 parameters van de steekproevenverdeling van x centrale limietstelling voor een random steekproef van grootte n uit een willekeurige populatie met gemiddelde µ en standaarddeviatie σ geldt, dat de steekproevenverdeling van het gemiddelde x bij benadering normaal verdeeld is met gemiddelde µ x = µ en standaarddeviatie σ x = σ/ n 14/26

8 intermezzo 1: lineaire transformatie transformatie: Y = a+bx bijvoorbeeld: omzetten van graden celcius in graden fahrenheit: F = C verwachte waarde en variantie bij lineair getransformeerde variabelen nieuwe verwachte waarde: µ Y = a+bµ X nieuwe variantie: σ 2 Y = b2 σ 2 X 15/26 intermezzo 2: som van random variabelen verwachte waarde en variantie bij som van variabelen nieuwe verwachte waarde: µ X+Y = µ X +µ Y nieuwe variantie: σ 2 X+Y = σ2 X +σ2 Y +2ρ XYσ X σ Y X A X+A B X+B C X+C ρ X(ABC) µ σ dus de variantie van de som van ongecorreleerde (lees: onafhankelijke) variabelen is de som van beide varianties: σ 2 X+Y = σ2 X +σ2 Y 16/26

9 het gemiddelde van de steekproevenverdeling van x populatieverdeling steekproevenverdeling van x centrale limietstelling n 1 de populatieverdeling is de kansverdeling voor één individu uit de populatie dus: de verwachte waarde van 1 observatie (populatie) is µ 2 vorige week: µ X+Y = µ X +µ Y dus: de verwachte waarde van de som van n observaties is nµ 3 vorige week: µ a+bx = a+bµ X en dan voor a = 0 en b = 1/n dus: de verwachte waarde van de steekproefgemiddelden is (1/n) nµ = µ 17/26 de variantie van de steekproevenverdeling van x populatieverdeling steekproevenverdeling van x centrale limietstelling n 1 de populatieverdeling is de kansverdeling voor één individu uit de populatie dus: de variantie van 1 observatie (populatie) is σ 2 2 vorige week: σ 2 X+Y = σ2 X +σ2 Y (bij onafhankelijke X en Y) dus: de variantie van de som van n observaties is nσ 24 3 vorige week: σ 2 a+bx = b2 σ 2 X en dan voor a = 0 en b = 1/n dus: de variantie van de steekproefgemiddelden is (1/n) 2 nσ 2 = σ 2 /n de standaarddeviatie van de steekproefgemiddelden is dan σ 2 /n = σ/ n aanname: observaties zijn onafhankelijk en uit dezelfde populatie 18/26

10 schending van aanname steekproefgemiddelden uit een populatie zijn bij benadering normaal verdeeld onder de aanname van onafhankelijke observaties uit dezelfde populatie 1 als de populatie normaal verdeeld is, dan is x van n onafhankelijke observaties ook normaal verdeeld 2 als de populatie niet normaal verdeeld is, dan is x bij benadering normaal verdeeld 3 als de observaties niet uit dezelfde populatie komen, dan is x bij benadering normaal verdeeld voor grote n 4 als de observaties zelfs afhankelijk zijn, dan is x bij benadering normaal verdeeld voor nog grotere n 19/26 continuiteitscorrectie de normaalverdeling is een verdeling van een continue random variabele de normaal verdeling wordt ook gebruikt als benadering van een discrete verdeling bijvoorbeeld bij een verdeling van tellingen (hele getallen) 20/26

11 voorbeeld het histogram geeft de kansverdeling van het aantal verzamelde eikels de discrete binomiaal verdeling B(4, 0.5) wordt benaderd door een continue normaal verdeling N(2,1) 5 (vorige week: µ = i x ip i = 2.0 en σ 2 = i (x i µ) 2 p i = 1.0) vraag: hoe groot is de kans op het verzamelen van 3 eikels of minder? vraag: P(X 3)? de normaalbenadering van de binomiaal vereist (eigenlijk) een grote n, geen n = 4 21/26 continuiteitscorrectie in beeld P(X 3) P(X 3.5) de discrete kans op 3 eikels of minder: P(X 3) = = de continue benadering van deze kans: P(X 3) = P(Z 1) = de gecorrigeerde continue benadering: P(X 3+0.5) = P(Z 1.5) = P(X 3+0.5) }{{} = P(X 3) }{{} = P(X < 4) }{{} = P(X < 4 0.5) }{{} continue discreet discreet continue 22/26

12 normaal verdeling de standaard normaal verdeling: N(0,1) kans waarde 2.5% % van de waarden % van de waarden % % van de waarden proporties van de curve standaard deviaties van gemiddelde cumulatieve proporties van de curve z-scores oppervlakte onder de kromme = 1.0 = som van alle kansen oppervlakte interval [µ 1σ,µ+1σ] = = % 95% van de waarden liggen tussen ±1.960σ van µ Table entry for z is the area under the standard normal curve to the left of z. 6 kijk nog eens naar MM&C, hoofdstuk 1, sectie 3 23/26 z-tabel Probability TABLE A Table entry for z is the area under the standardnormalcurve to the left of z. Standard normal probabilities z z P(z < -2.92) = /26

13 deze week: wat hebben we geleerd? onderscheid kunnen maken tussen populatieverdelingen, steekproefverdelingen en steekproevenverdelingen kennis en begrip van de wet van de grote getallen kennis en begrip van de centrale limietstelling kennis en begrip van het gemiddelde en de variantie van de steekproevenverdeling van x kennis en begrip van de continuiteitscorrectie 25/26 deze week: wat moeten we nog leren? toepassen van kennis over populatieverdelingen, steekproefverdelingen en steekproevenverdelingen toepassen van kennis over de wet van de grote getallen toepassen van kennis over de centrale limietstelling toepassen van de standaard normaal verdeling 26/26