HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN

Transcriptie

1 HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN 4. VERGELIJKINGSTOETSEN

2 A. Vergelijken van varianties Men beschouwt twee steekproeven uit normaal verdeelde populaties: X, X,, X n ~ N(µ, σ ) Y, Y,, Y n ~ N(µ, σ ) onafhankelijk onafhankelijk De X i zijn onafhankelijk van de Y j i, j Men wenst na te gaan of σ = σ

3 Vergelijken van varianties Om aan te tonen dat σ = σ maakt men gebruik van de stelling: ~ S ~ S σ σ ~ F n,n Onder de nulhypothese H 0 : σ = σ heeft men bijgevolg: ~ S ~ S ~ F n,n 3

4 Vergelijken van varianties Tweezijdige toets H 0 : σ H : σ = σ σ Aanvaardingsgebied: F [F α/, F -α/ ] Eénzijdige toetsen H 0 : σ H : σ = σ H 0 : σ = σ > σ H : σ < σ Aanvaardingsgebieden F [0, F -α ] F [F α, + [ 4

5 Vergelijken van varianties Voorbeeld Dezelfde kursus wordt gedoceerd aan afdelingen A en B. Mag men zeggen dat de variantie van afdeling A groter is dan deze van afdeling B indien voor de examenresultaten (die ~ N(µ,σ)) de volgende resultaten werden bekomen: ~ S A = 3 n A = 6 ~ S B = 0 n B = De toets moet op niveaus 5% en % uitgevoerd worden 5

6 Eénzijdige toets H 0 : σ H : σ A = σb A > σb en aanvaardingsgebied F 5,0 [0, F -α ] F = ~ S ~ S = 3 0 =,69 5%: Aanvaardingsgebied = [0, F 0,95 ] = [0 ;,0] en F =,69 [0 ;,0] H 0 aanvaarden %: Aanvaardingsgebied = [0, F 0,99 ] = [0 ; 3,09] en F =,69 [0 ; 3,09] ook hier H 0 aanvaarden 6

7 B. Vergelijken van gemiddelden Men beschouwt steekproeven genomen uit normaal verdeelde populaties met dezelfde (onbekende) standaarddeviatie σ X, X,, X n ~ N(µ, σ) Y, Y,, Y n ~ N(µ, σ) onafhankelijk onafhankelijk X i onafhankelijk van Y j i, j Nulhypothese H 0 : µ = µ 7

8 Vergelijken van gemiddelden Eerst maakt men een schatting van σ d.m.v. de gemengde variantie ~ S ~ ( ) ~ n S ( n ) S ~ + S = n + n Onder de nulhypothese H 0 : µ = µ heeft men: T = X Y ~ S + n n ~ t n + n 8

9 Vergelijken van gemiddelden Tweezijdige toets H 0 : µ = µ H : µ µ Aanvaardingsgebied: t [-t -α/, t -α/ ] Eenzijdige toetsen H 0 : µ = µ H 0 : µ = µ H : µ > µ H : µ < µ Aanvaardingsgebieden t ]-, t -α ] t [-t -α, + [ 9

10 Vergelijking van gemiddelden Opmerkingen. Om na te gaan of de varianties gelijk zijn kan men de vorige toets toepassen.. Voor grote steekproeven (n en n 30) kan men gebruik maken van de Z-toets: Z = X Y ~ ~ S S + n n ~ N(0, ) Dit resultaat is geldig voor willekeurige verdelingen voor populaties met een gelijke of met verschillende varianties. 0

11 Vergelijken van gemiddelden t-tests for independent samples of TREATMENT Number Variable of Cases Mean SD SE of Mean AGE TREATMENT TREATMENT Mean Difference =.688 Levene's Test for Equality of Variances: F=.000 P=.997 t-test for Equality of Means 95% Variances t-value df -Tail Sig SE of Diff CI for Diff Equal (-7.57,9.90) Unequal (-7.546,9.884)

12 C. Vergelijken van gemiddelden bij gepaarde steekproeven Gepaarde Waarnemingen: Tot hiertoe waren de steekproeven niet verbonden en mocht er zelfs geen verband bestaan. Nu beschouwen we gepaarde steekproeven: met elke X i is een Y i geassocieerd, daaruit volgt n = n = n waarbij (X, Y ), (X, Y ),, (X n, Y n ) X, X,, X n ~ N(µ, σ ) en onafhankelijk Y, Y,, Y n ~ N(µ, σ ) en onafhankelijk

13 Vergelijken van gemiddelden bij gepaarde steekproeven Om na te gaan of µ = µ herleiden we dit tot een probleem met steekproef, door te stellen D i = X i - Y i zodat D i ~ N(µ, σ) met µ = µ - µ We voeren een parametertoets uit voor de nulhypothese H 0 : µ = 0 met T = D 0 ~ ~ t n- SD n n waar D = i= D i en ~ SD = i n = ( Di D) n n 3

14 Vergelijken van gemiddelden bij gepaarde steekproeven Voorbeeld Bij 0 patienten wordt de bloeddruk gemeten vóór en 6 uur na toediening van een geneesmiddel. We veronderstellen dat deze veranderlijke normaal verdeeld is. De volgende resultaten werden gemeten Patiënt voor (X) na (Y) Ga na of het geneesmiddel de gemiddelde bloeddruk verandert (α=5% of %) 4

15 Vergelijken van gemiddelden bij gepaarde steekproeven Patiënt D = X -Y D = -,8 ~ S D = 4,844 ~ S D = 3,853 T = ~ D 0 = -,98 S D 5%: Aanvaardingsgebied = [ -t 0,975, + t 0,975 ] = [-,6 ; +,6] en T = -,98 [-, 6 ; +,6] H 0 verwerpen %: Aanvaardingsgebied = [ -t 0,995, + t 0,995 ] = [-3,49 ; +3,49] en T = -,98 [-3,49 ; +3,49] hier H 0 aanvaarden 5

16 Uitvoeren van een statistische toets Stap : Opstellen van een hypothese H 0 en H Stap : Constructie van een toetsveranderlijke (Hangt af van de nulhypothese) Stap 3: Bepaling van een aanvaardingsgebied (Hangt af van α) Stap 4: Nemen van de beslissing H 0 of H (of p-waarde) 6