Les 2: Toetsen van één gemiddelde

Transcriptie

1 Les 2: Toetsen van één gemiddelde Koen Van den Berge Statistiek 2 e Bachelor in de Biochemie & Biotechnologie 22 oktober 2018

2 Het statistisch testen van één gemiddelde is een veel voorkomende toepassing van statistiek: 1. Men wil de bodemrijkheid bestuderen. Is de gemiddelde bodemrijkheid in Merelbeke verschillend van de Vlaamse norm (bvb. 2200, zie project)? 2. Men wil menselijke RNA stalen opsturen voor sequenering van het transcriptoom. Is de gemiddelde RNA concentratie verschillend van de vereiste concentratie op basis van het protocol? 3. Is de gemiddelde luchtkwaliteit in Gent verschillend van het Vlaamse gemiddelde? Om deze vragen te beantwoorden zal men steeds een steekproef uit de populatie nemen, waarna men de steekproef zal gebruiken om inferenties te maken over die populatie.

3 Nul- en alternatieve hypothese Bij het toetsen van hypothesen wordt steeds een nul- en alternatieve hypothese opgesteld: De nulhypothese H 0 is de hypothese die men wil verwerpen. De alternatieve hypothese H 1 (of H A ) is de hypothese die men wil bewijzen. Deze hebben steeds betrekking tot de populatie en niet de steekproef.

4 Nul- en alternatieve hypothese Bij het toetsen van hypothesen wordt steeds een nul- en alternatieve hypothese opgesteld: De nulhypothese H 0 is de hypothese die men wil verwerpen. De alternatieve hypothese H 1 (of H A ) is de hypothese die men wil bewijzen. Deze hebben steeds betrekking tot de populatie en niet de steekproef. Nulhypothesen van vorige slide: 1. H 0 : De gemiddelde bodemrijkheid is gelijk aan de Vlaamse norm. 2. H 0 : De gemiddelde concentratie RNA is gelijk aan de verwachte concentratie. 3. H 0 : De gemiddelde luchtkwaliteit in Gent is gelijk aan de het Vlaamse gemiddelde.

5 Toetsen van één gemiddelde Deze voorbeelden 1. toetsen allen één steekproefgemiddelde; 2. ten opzichte van een constante; 3. om te onderzoeken of het populatiegemiddelde significant verschilt van de constante.

6 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Een teststatistiek vat het bewijs tegen de nulhypothese samen. Intuïtieve teststatistiek zou zijn: X µ 0 met X het steekproefgemiddelde en µ 0 de constante waartegen we willen testen.

7 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Een teststatistiek vat het bewijs tegen de nulhypothese samen. Intuïtieve teststatistiek zou zijn: X µ 0 met X het steekproefgemiddelde en µ 0 de constante waartegen we willen testen. diff=5, sd=2 diff=5, sd=9 Density Density

8 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Het verschil X µ0 is dus niet voldoende aangezien de variabiliteit ook een rol speelt. Indien X N( X, SX 2 ), dan weten we dat X X S X N(0, 1) voor een normaal verdeelde variabele X. Hiermee kunnen we elke normaal verdeelde variabele transformeren naar een standaard normale verdeling. In de teststatistiek zullen we op een identieke wijze normaliseren, maar deze keer niet met de variabiliteit van de data, maar de variabiliteit van het steekproefgemiddelde (want dit is wat we willen testen). Dit doen we omdat we onder bepaalde assumpties (dit is, onder H 0 ) de verwachtte distributie zullen kennen van de genormaliseerde waarde (= test statistiek).

9 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Indien de populatievariantie gekend is: X µ 0 σ X H 0 N(0, 1)

10 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Indien de populatievariantie gekend is: X µ 0 σ X H 0 N(0, 1) Indien variantie geschat moet worden o.b.v. steekproef: X µ 0 S X H 0 tn 1 met S X de standaard error (of standaardfout) van het steekproefgemiddelde en n het aantal observaties van variabele X.

11 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Wat is de variantie van het steekproefgemiddelde? Var( X ) = Var ( 1 n n i=1 X ) i = 1 Var ( n n 2 i=1 X i) = SE( X ) = = 1 n 2 n i=1 Var (X i) iid 1 = 1 = n nvar (X ) n 2 Var (X ) S X n

12 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Het schatten van de standaard error (SE) introduceert extra variabiliteit. Hierdoor werken we met een t distributie onder de nulhypothese, die breder is dan de normale distributie, maar voor een hoog aantal vrijheidsgraden naar een normale distributie convergeert. Density t_5 t_10 t_30 N(0,1)

13 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Distributie onder de nulhypothese voor ongekende variantie: bewijs adhv simulatie ## simuleer onder de nulhypothese n <- 10 sd <- 3 xbar <- 0 nsim <- 1e4 testvec <- vector(length=nsim) for(i in 1:nSim){ #begin iteratieve loop x <- rnorm(n=n, mean=xbar, sd=sd) #trek n observaties teststatistic <- (mean(x) - 0)/(sd(x)/sqrt(n)) #teststat. testvec[i] <- teststatistic } #einde iteratieve loop hist(testvec,breaks=50,freq=false) lines(density(rt(1e6,df=n-1)),col=2,lwd=2) lines(density(rnorm(1e6)),col=3,lwd=2) legend("topleft",c("t_(n-1)", "N(0,1)"),col=1:4, lty=1)

14 testvec Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Histogram of testvec Density t_(n-1) N(0,1)

15 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Distributie onder de nulhypothese voor gekende variantie: bewijs adhv simulatie (sd(x) werd vervangen door 3 in teststatistiek) ## simuleer onder de nulhypothese n <- 10 sd <- 3 xbar <- 0 nsim <- 1e4 testvec <- vector(length=nsim) for(i in 1:nSim){ #begin iteratieve loop x <- rnorm(n=n, mean=xbar, sd=sd) #trek n observaties teststatistic <- (mean(x) - 0)/(3/sqrt(n)) #teststat. testvec[i] <- teststatistic } #einde iteratieve loop hist(testvec,breaks=50,freq=false) lines(density(rt(1e6,df=n-1)),col=2,lwd=2) lines(density(rnorm(1e6)),col=3,lwd=2) legend("topleft",c("t_(n-1)", "N(0,1)"),col=1:4, lty=1)

16 Toetsen van één gemiddelde: teststatistiek Histogram of testvec Density t_(n-1) N(0,1)

17 Toetsen van één gemiddelde: significantie Deze simulatie maakt meteen ook de interpretatie van de nuldistributie duidelijk: De nuldistributie geeft de distributie van de teststatistiek weer onder de nulhypothese (in dit geval, dat het populatiegemiddelde niet verschilt van de constante). Maar vanaf welk punt is onze teststatistiek dan groot genoeg? Hiervoor berekent men de p-waarde: p-waarde = P(T t ) + P(T t ) = 2 P(T t ) voor een tweezijdige toets, met T de nuldistributie van de teststatistiek onder de nulhypothese en t onze geobserveerde teststatistiek.

18 Toetsen van één gemiddelde: significantie Deze simulatie maakt meteen ook de interpretatie van de nuldistributie duidelijk: De nuldistributie geeft de distributie van de teststatistiek weer onder de nulhypothese (in dit geval, dat het populatiegemiddelde niet verschilt van de constante). Maar vanaf welk punt is onze teststatistiek dan groot genoeg? Hiervoor berekent men de p-waarde: p-waarde = P(T t ) + P(T t ) = 2 P(T t ) voor een tweezijdige toets, met T de nuldistributie van de teststatistiek onder de nulhypothese en t onze geobserveerde teststatistiek. Voor eenzijdig rechtse toets (H 0 : µ µ 0 > 0): p-waarde = P(T t )

19 Toetsen van één gemiddelde: significantie t = 1 p waarde = P(T 1) + P(T 1) = t = 2 p waarde = P(T 2) + P(T 2) = Histogram of testvec Density

20 Toetsen van één gemiddelde: significantie De p-waarde drukt de kans uit om de geobserveerde teststatistiek of een extremere teststatistiek te observeren puur onder toeval (dus onder H 0 ). Men verwerpt H 0 indien de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau α. Hierdoor drukt de p-waarde het bewijs tegen de nulhypothese uit: hoe kleiner, hoe minder waarschijnlijk de nulhypothese is. H 0 verwerpen kan men dus steeds enkel onder een bepaalde foutenmarge.

21 Significantieniveau Het al dan niet stellen van een significant verschil kan men enkel doen met een bepaalde zekerheid. Men is zelden 100% zeker van het resultaat van een statistische toets. Om dit te kaderen werken we steeds op een vooraf bepaald significantieniveau α. De kritische waarde om een tweezijdige t-test te verwerpen op significantieniveau α noteren we als t n 1,α/2

22 Significantieniveau Het al dan niet stellen van een significant verschil kan men enkel doen met een bepaalde zekerheid. Men is zelden 100% zeker van het resultaat van een statistische toets. Om dit te kaderen werken we steeds op een vooraf bepaald significantieniveau α. De kritische waarde om een tweezijdige t-test te verwerpen op significantieniveau α noteren we als t n 1,α/2 Het conventioneel gebruikte significantieniveau is 5%, d.w.z. men kent een kans van 5% toe om een vals positief resultaat te behalen: men verklaart de test als significant (het gemiddelde verschilt van de constante), terwijl dit op populatieniveau niet waar is. Hoe lager het significantieniveau, hoe lager de kans op een vals positief resultaat, maar hoe hoger de kans op een vals negatief resultaat: trade-off. Een vals positief resultaat wordt ook een type I fout genoemd en een vals negatief resultaat wordt ook een type II fout genoemd.

23 Significantieniveau H 0 : De persoon is niet zwanger. H 1 : De persoon is zwanger.

24 Voorwaarden van de one-sample t-test De gegevens zijn onafhankelijk van elkaar De variabele is normaal verdeeld, of de steekproef is voldoende groot:

25 Dit practicum 1. Kort one-sample t-test analyse overlopen (glucose dataset) 2. Jullie voeren zelf een analyse uit (colocalisatie experiment) Vertrouwd geraken met R Notebooks Werk eventueel samen met gebuur 3. Case study!

26 Case study opgave Per groepje van vier wordt 1 RMarkdown file ingediend n de overeenkomstige HTML file Deze files bevatten je analyse en zijn de basis voor het antwoorden van de multiple choice op Minerva Jullie krijgen telkens 1 week voor het indienen. Deze week is de de deadline dus voor het start van het volgende practicum, er dient dus ingediend te worden voor 29 oktober 13u.

27 Multiple choice vragen Merk op dat jullie slechts eenmalig de multiple choice vragen kunnen invullen. Hierdoor zullen jullie alle vragen in dezelfde browser sessie moeten beantwoorden. Om jullie hierop voor te bereiden, vinden jullie hier waar de vragen over zullen gaan, zodat jullie jullie goed kunnen voorbereiden op de multiple choice vragen. Een nummer hieronder kan corresponderen met 1 of 2 vragen (totaal: 9 vragen). 1. de minimale bacteriële rijkheid in de data 2. de verdeling van de data 3. interpretatie van boxplot 4. keuze van statistische test 5. assumpties van de test 6. nul- en alternatieve hypothese 7. conclusie