Les 5: Analysis of variance

Transcriptie

1 Les 5: Analysis of variance 2de bachelor in de chemie en biologie 14/11/2018 Jeroen Gilis Gebaseerd op slides Caroline De Tender

2 Testen die we tot nu toe gezien hebben: Toetsen van één gemiddelde ten opzichte van een constante µ0 H0: µ = µ0 Toetsen van twee gemiddelden door middel van een two-sample t-test H0: µ1 = µ2 Het schatten van de associatie tussen twee variabelen met behulp van een enkelvoudig lineair regressiemodel H0: β = 0

3 Maar wat met volgende voorbeelden? Verschillen in gewicht tussen drie verschillende soorten appels? Effect van het toedienen van herbiciden in vier verschillende concentraties om de groei van onkruid te voorkomen? Verschil in de groei van mossels op vijf verschillende locaties in de Noordzee?

4 Testen van meerdere gemiddelden Deze vraagstellingen kunnen vertaald worden naar de volgende hypotheses: H0: µ1 = µ2 = µ3 = = µn, met n = aantal groepen H1: minstens twee gemiddelden zijn verschillend Naïeve benadering is om de nulhypothese op te splitsen in partiële hypothesen H0jk: µj = µk versus H1jk: µj µk

5 Testen van meerdere gemiddelden Naïeve methode: 1. Verlies van power van de test 2. Hogere type I fout dan vooropgestelde α = Simulatiestudie met drie groepen geeft een α = 0.12 H0 is in realiteit Probleem met multipliciteit Waar Fout P( 1 vals positief resultaat ) = 1 - P(geen vals positief resultaat ) = 1 - (0.95 k(k-1)/2 ) = 1 - ( ) = = 0.14 H0 niet verwerpen Correct Type II fout H0 verwerpen Type I I fout Correct

6 Testen van meerdere gemiddelden Naïeve methode: 1. Verlies van power van de test 2. Hogere type I fout dan vooropgestelde α = Simulatiestudie met drie groepen geeft een α = 0.12 Probleem met multipliciteit P( 1 vals positief resultaat ) = 1 - P(geen vals positief resultaat ) = 1 - (0.95 k(k-1)/2 ) = 1 - ( ) = = 0.14

7 Testen van meerdere gemiddelden Correcte oplossing voor het testprobleem: variantie-analyse of ANOVA Stel, we hebben drie groepen (g = 3), waar Yi de uitkomst is van observatie i (i = 1,, n), dan is het lineair regressiemodel: Yi= β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + ε i Dan kan de nulhypothese ook geschreven worden als: β 1 = β 2 = 0

8 Testen van meerdere gemiddelden Testen van H0: β 1 = β 2 = 0 kan door middel van de F-test F = MST/ MSE MST = mean sum of squares of treatment = variabiliteit tussen de groepen MSE = mean sum of squares of error = varaibiliteit binnen de groepen MST = SST/(g 1), met g = aantal groepen

9 SS(gemiddelde) Gewicht in gram groep 1 groep 2 groep 3

10 SSE Gewicht in gram groep 1 groep 2 groep 3

11 Gewicht in gram Gewicht in gram groep 1 SS(gemiddelde) groep 2 SSE groep 3 SSE = sum of squares tussen observaties en groepsgemiddelde SST (met T = treatment) = sum of squares tussen groepsgemiddelden en algemeen gemiddelde SSTotal = sum of squares tussen observatie en algemeen gemiddelde = SST + SSE Vrijheidsgraden (VG) op SST = VG(SSE) VG(gemiddelde) = 3 1 Merk op dat VG(SEE) afhangt van voorbeeld tot voorbeeld (verschillend aantal groepen), maar dat VG(gemiddelde) altijd 1 is. Vrijheidsgraden op SSE = n VG(SSE), met n = het totale aantal observaties in het experiment, hier is dit 12 groep 1 groep 2 groep 3 MST = SST / VG(SST) MSE = SSE/ VG(SSE) F = MST/MSE

12 Testen van meerdere gemiddelden In R: model1 = lm(afhankelijke ~ onafhankelijke, data = dataset) anova(model1) Aan de hand van deze test kennen we enkel het algemeen behandeling (Treatment) effect en weten we niet het verschil tussen groepen. Hiervoor zullen we een post-hoc analyse toepassen.

13 Post-hoc analyse Zoals gezien is het noodzakelijk om te corrigeren voor het risico op valse vondsten wanneer het aantal toetsen m > 1 Meeste procedures gaan er vanuit dat de nulhypotheses m allen waar zijn Het risico op minstens 1 valse vondst wordt dan gecorrigeerd op het niveau: α E = 0.05 Ook de family-wise error rate genoemd Twee types correcties: (1)Bonferroni (2)Tukey

14 Bonferronicorrectie Als we 5 toetsen uitvoeren met α= 5%, dan is de FWER 25% Bonferroni correctie houdt de FWER begrensd door te testen op α = α E /m Deze method is echter heel conservatief

15 Tukey methode Minder conservatief dan de Bonferroni correctie In R: model1.mcp <-glht(model1, linfct= mcp(dose= "Tukey")) summary(model1.mcp)

16 Assumpties ANOVA Data moet normaal verdeeld zijn Gelijke varianties voor iedere groep Onafhankelijkheid tussen de groepen Data moet onafhankelijk zijn binnende groep