Toegepaste Statistiek, Week 6 1

Transcriptie

1 Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Eén ordinale en één nominale variabele Nominale variabele met TWEE categorieën, 1 en 2 Ordinale variabele normaal verdeeld binnen iedere categorie? Variantie in beide categorieën gelijk? Normaal verdeeld: Toetsen als nulhypothese. In diktaat wordt voorgesteld de Kolmogorov-Smirnov toets H 0 : de cumulatieve verdelingsfunktie van de ordinale grootheid is F 0 (x). Voorwaarde: F 0 (x) hangt continu van x af. (Dus niet toepasbaar voor ordinale nominale variabelen: gebruik χ 2 -toets.) Toetsing op basis van een steekproef: Neem de verdelingsfunktie F (x) van de STEEKPROEF, F (x) = #{waarnemingen x} totaal aantal waarnemingen Bepaal de absolute verschillen F (x) F (x), waar x alle waarden aanneemt; neem de grootste waarde, geeft getal D. Zoek bij de gegeven steekproefomvang en significantienivo, de kritieke waarde D krit op in Bijlage IX. Verwerp H 0 als D > D krit. Suggestie: Deze methode toepassen door voor F 0 (x) de verdelingsfunktie van de normale verdeling met hetzelfde gemiddelde en dezelfde variantie als de steekproef te nemen. Probleem: H 0 hangt dan van de steekproef af! Methode moet bijgesteld.

2 Toegepaste Statistiek, Week 6 2 Gelijke varianties: Toetsen als nulhypothese. Bekijk de grootheid F = VAR 1 VAR 2 Als deze teveel van 1 afwijkt, nulhypothese verwerpen. Onder de nulhypothese van gelijke variantie heeft F een statistische verdeling, die niet van de variantie afhangt, de Fisher verdeling met ν 1 = n 1 1 en ν 2 = n 2 1 vrijheidsgraden. Voor het gebruik van de tabel in Bijlage VIII: De tabel geeft de verdelingsfunktie van F. Wij vinden F afwijkend van 1, als F veel groter dan 1, of veel kleiner dan 1. Neem de kritieke grenzen F ν1,ν 2,1 α/2 voor F, en F ν2,ν 1,1 α/2 voor 1/F. Komt overeen met F = grootste variantie kleinste variantie Kritieke waarde opzoeken, d 1 is steekproefomvang minus 1, van steekproef bij de teller. d 2 is steekproefomvang minus 1, van steekproef bij noemer. Zoek F krit op bij p = 1 α/2 (meestal 0.975). Voorbeeld: n 1 = 6, VAR 1 = 0.9, n 2 = 9, VAR 2 = 3.6; F = 4 bij d 1 = 8 en d 2 = 5, dus F krit = 6.76.

3 Toegepaste Statistiek, Week 6 3 Ordinale variabele normaal verdeeld in beide categorieën EN Gelijke varianties: Gebruik methode Tweede deel, 10 of Eerste deel pag. 38, C-toets Ordinale variabele normaal verdeeld in beide categorieën MAAR Niet gelijke varianties: Gebruik methode Eerste deel, p.37, W-toets

4 Toegepaste Statistiek, Week 6 4 Ordinale variabele NIET normaal verdeeld: We veronderstellen dat in het experiment de twee categorieën (bijv. behandelingen) zo gedefinieerd zijn, dat de ordinale variabele de twee categorieën statistisch ordent. Dwz. De verdelingsfunkties in beide categorieën zijn gelijk, òf de cumulatieve verdelingsfunktie in de ene categorie ligt geheel boven of geheel onder de verdelingsfunktie in de andere categorie. Er is dus een statistisch gefundeerd idee, dat de twee behandelingen gelijkwaardig zijn, of dat de ene behandeling beter of slechter is dan de andere. Onder deze veronderstelling kun je het beter of slechter zijn zien aan het populatiegemiddelde, of aan de mediaan. Voorbeeld-model: Ordinale (kwantitatieve) variabele G. Experimentele omstandigheden c 1, te vergelijken met c 0. G c 1 = µ + α c1 + ɛ G c 0 = µ + α c0 + ɛ µ is het algemene populatiegemiddelde α c is de systematische bijstelling voor exp. omst. c ɛ is de toevallige afwijking, E(ɛ) = 0 ɛ is ONAFHANKELIJK van de exp. omst. In eerste aanzet dienen de verdelingsfunkties continu te zijn (dwz kans 0 op gelijke waarden). Er zijn soms voorzieningen voor gelijke waarden.

5 Toegepaste Statistiek, Week Ordinale variabele G, niet normaal verdeeld. 1 Nominale variabele, 2 categorieën, c 1, c 0. Aanname: statistisch ordenbaar, of minder algemeen G c 1 = µ + α c1 + ɛ G c 2 = µ + α c0 + ɛ H 0 : de verdelingsfunctie van G in categorie c 1 is gelijk aan de verdelingsfunctie van G in categorie c 0, ofwel E(G c 1 ) = E(G c 0 ), of α c1 = α c0. Alternatieve hypothese: Bijv. E(G c 1 ) E(G c 0 ) Toetsing: Mann Whitney U toets Voorbeeld: Lengte soort Hatert en Zuid Limburg Hat.: Z.L.: Leidt tot grootheid C; U=C of U=N 1 N 2 C (de grootste) daaruit afgeleid grootheid t. Onder H 0 is t (bij benadering) verdeeld als de absolute waarde van een standaard normaal verdeelde grootheid. Dus H 0 verwerpen als t > d P =α/2.

6 Toegepaste Statistiek, Week Ordinale variabele G 1 Nominale variabele, meer dan 2 categorieën, c 1,..., c k. Ordinale variabele niet normaal verdeeld binnen iedere categorie. Aanname: c 1,..., c k worden statistisch geordend door G. Of meer specifiek: G c i = µ + α ci + ɛ, i = 1,..., k waar de verdelingsfunctie van ɛ niet afhangt van c i. H 0 : de categorieën zijn statistisch gelijkwaardig, ihb. gelijke medianen. [α c1 = = α ck.] Alternatieve hypothese: Bijv. medianen niet allen gelijk. [Er is een paar c i, c j met α ci α cj ] Kruskal-Wallis toets.

7 Toegepaste Statistiek, Week 6 7 Kruskal-Wallis toets. Een onderzoeker veronderstelt dat het gewicht van biggetjes afhangt van de grootte van de worp. Hij verzamelt gegevens uit acht worpen. Hij onderzoekt of in de acht worpen de gewichten willekeurig verdeeld zijn: Worpnr.: Gewichten: Volg ontwikkeling op p.82.

8 Toegepaste Statistiek, Week Ordinale variabele. 1 Nominale variabele, meer dan 2 categorieën. Ordinale variabele normaal verdeeld binnen iedere categorie EN variantie hangt niet af van de categorie. Dan zijn de categorieën statistisch geordend. Komt precies overeen met: G c i = µ + α ci + ɛ waar de verdelingsfunctie van ɛ niet afhangt van c i, EN normaal verdeeld is. H 0 : de categorieën zijn statistisch gelijkwaardig, ihb. gelijke categoriegemiddeldes. Alternatieve hypothese: Bijv. categoriegemiddeldes niet allen gelijk. Eén-weg variantie-analyse (ANOVA). Voorbeeld: gelijk aantal replicaties binnen iedere categorie. Leidt tot een Fisher-toets. Volg pag

9 Toegepaste Statistiek, Week 6 9 Gepaarde steekproef. Aanname (of model): G 1 = µ + α c1 + β blok + ɛ 1 G 0 = µ + α c0 + β blok + ɛ 0 Binnen ieder blok zijn ɛ 1 en ɛ 0 onafhankelijk en hebben dezelfde verdelingsfunctie. H 0 : De verdeling van G 1 en van G 0 zijn gelijk, α c1 = α c0 Alternatieve hypothese: niet gelijk, α c1 α c0 Wilcoxon toets voor gepaarde waarnemingen. Analyseer D = G 1 G 0 In het model: D = α c1 α c0 + ɛ 1 ɛ 0 In het model is de verdeling hiervan symmetrisch rondom α c1 α c0. Wilcoxon toets nu zinvol: pag. 93