Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 17

Transcriptie

1 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 17

2 Statistische toetsen 2 / 17

3 Toetsen - algemeen - 1 Setting: observatie X in X, model {P θ : θ Θ}. Gegeven partitie Θ = Θ 0 Θ 1, met Θ 0 Θ 1 =. Willen aantonen dat θ Θ 1. Hypothesen worden dan: H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 nulhypothese, alternatieve hypothese. Doel: op basis van de data concluderen: H 0 verwerpen (en dus H 1 accepteren), of H 0 niet verwerpen (maar niet noodzakelijkerwijs H 0 accepteren, te weinig info). 3 / 17

4 Toetsen - algemeen - 2 Constructie van een toets: Bepaal een toetsingsgrootheid T (X ) die informatie geeft over θ. Voor een gegeven niveau α (0, 1), bepaal een kritiek gebied K z.d.d. sup θ Θ 0 P θ (T (X ) K) α en dat verder zo groot mogelijk is. Toets wordt dan: verwerp H 0 als T (X ) K. N.B. Willen graag verdeling van T (X ) onder H 0 kennen. 4 / 17

5 Toetsen - algemeen - 3 Het onderscheidend vermogen π( ; K) : Θ [0, 1], π(θ; K) = P θ (T (X ) K), θ Θ, theta Hier Θ 0 = (, 0], Θ 1 = (0, ) en α = vb. 4.13, 4.15, / 17

6 Overschrijdingskansen, p-waarden 6 / 17

7 Definitie We construëren steeds voor gegeven α (0, 1) een kritiek gebied K α dat een toets van niveau α geeft. We fixeren het niveau α. Als we observatie X = x krijgen, verwerpen we H 0 als T (x) K α. Definitie. Voor gegeven observatie X = x is de overschrijdingskans of p-waarde van de toets inf{α (0, 1) : T (x) K α }, i.e. de kleinste waarde van α z.d.d. de toets bij de observatie X = x de nulhypothese H 0 verwerpt. 7 / 17

8 Voorbeeld Stel, toets van niveau α is van de vorm verwerp H 0 als T (X ) d α, met d α = min { t : sup P θ (T (X ) t) α θ Θ 0 }. Dan voor gegeven observatie x, inf{α (0, 1) :T (x) K α } = inf{α (0, 1) : T (x) d α } { } = inf α (0, 1) : sup P θ (T (X ) T (x)) α θ Θ 0 = sup θ Θ 0 P θ (T (X ) T (x)). Dit is een rechter overschrijdingskans. Analoog: linker overschrijdingskans en tweezijdige overschrijdingskans. ZELF GOED BESTUDEREN! 8 / 17

9 Interpretatie Heel slordig gezegd: de p-waarde is de kans onder de nulhypothese dat je de geobserveerde waarde van de toetsingsgrootheid ziet, of een nog extremere. Als die kans heel klein is (bijv 0.05), dan is dat aanleiding om de nulhypothese verwerpen. vb. 4.23, / 17

10 Intermezzo: verdeling van steekproefgemiddelde en -variantie van normaal verdeelde steekproef 10 / 17

11 Chikwadraat- en t-verdeling Laat Z en W 1,..., W n onafhankelijk en N(0, 1)-verdeeld zijn. Definitie. De verdeling van W W 2 n heet de chikwadraat-verdeling met n vrijheidsgraden. Notatie: χ 2 n. Definitie. De verdeling van Z (W W n 2 )/n heet de t-verdeling met n vrijheidsgraden. Notatie: t n. 11 / 17

12 De stelling Stelling. Laat X 1,..., X n o.o. zijn en N(µ, σ 2 )-verdeeld. Dan: (i) X N(µ, σ 2 /n), (ii) (n 1)S 2 X /σ2 χ 2 n 1, (iii) X en SX 2 zijn onafhankelijk (!), (iv) n( X µ)/s X t n / 17

13 Bewijs van (ii) en (iii) - 1 Stel z.b.d.a. µ = 0, σ 2 = 1. Definieer f 1 = (1/ n,..., 1/ n). Vul aan tot orthonormale basis en zet deze vectoren als rijen in een orthogonale matrix O. Definieer Y = OX. Algebra: Y 1 = n X en n i=2 Y i 2 = n i=1 (X i X ) 2. Voldoende om te laten zien dat Y een vector o.o. N(0, 1) variabelen is. 13 / 17

14 Bewijs van (ii) en (iii) - 2 Neem y R n. Dan, omdat O een orthogonale matrix is, P(Y y) = P(OX y) = (u=ox) = x:ox y u:u y We zien dat de vector Y simultane dichtheid heeft. 1 (2π) n/2 e 1 2 x 2 dx 1 dx n 1 (2π) n/2 e 1 2 u 2 du 1 u n. u 1 (2π) n/2 e 1 2 u 2 14 / 17

15 t-toetsen 15 / 17

16 Eensteekproef-t-toets Eensteekproef geval: we hebben één steekproef X 1,..., X n, o.o., N(µ, σ 2 )-verdeeld, met zowel µ als σ onbekend. Probleem: hypothese over de verwachting µ. Voor gegeven µ 0 R één van H 0 : µ µ 0, H 0 : µ µ 0, of H 0 : µ = µ 0. vb / 17

17 Tweesteekproevenprobleem Tweesteekproeven geval: we hebben twee steekproeven, X 1,..., X m o.o. uit verdeling I en Y 1,..., Y n o.o. uit verdeling II. Probleem: Algemeen: vergelijken verdelingen I en II. Meestal: is de verwachting van verdeling I gelijk aan die van verdeling II of niet? Twee deelgevallen: - gepaarde waarnemingen: m = n en data vormen natuurlijke paren (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ). Coördinaten binnen een paar mogen afhankelijk zijn, paren onderling onafhankelijk. Typisch voorbeeld: X i voor, Y i na. - ongepaarde waarnemingen: mogelijk n m, meestal X -vector en Y -vector onafhankelijk. vb. 4.33, 4.34, / 17