+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter."

Transcriptie

1 STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters. E[M 1 ] = E[ 1 4 X X X 3] = 1 4 µ µ µ = µ analoog voor E[M 2 ] en E[M 3 ] (b) Zij X = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) het rekenkundig gemiddelde van de drie waarnemingen. Dan rekent men na dat E[X] = µ. Om aan te tonen dat deze schatter efficiënter is dan de voorgaande, berekenen we de variantie op de schattingen. Uit de algemene variantiewet volgt V ar[m 1 ] = ( 1 4 )2 σ 2 X 1 + ( 1 2 )2 σ 2 X 2 + ( 1 4 )2 σ 2 X 3 +2( 1 4 ) (1 2 ) ρ 12σ X1 σ X2 +2( 1 4 ) (1 4 ) ρ 13σ X1 σ X3 +2( 1 2 ) (1 4 ) ρ 23σ X2 σ X3 waarin σ 2 X 1 = σ 2 X 2 = σ 2 X 3 = σ 2 en de korrelatiekoëfficiënten gegeven zijn. Men bekomt V ar[m 1 ] = σ2 Op analoge wijze vindt men V ar[m 2 ] = σ2 en V ar[m 3 ] = σ2 terwijl V ar[x] = σ2 Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. 5 2 De konstante C volgt uit de normeringsvoorwaarde : C + 0 x e x ϑ dx = 1 wat na berekening van de integraal (partiële integratie) oplevert : C = 1 ϑ 2 De waarschijnlijkheidsfunktie L is gegeven door L(x 1, x 2,..., x n ; ϑ) = 1 ϑ x 2 1 e x 1 1 ϑ ϑ x 2 2 e x 2 1 ϑ... ϑ x 2 n e xn ϑ = 1 ϑ x 2n 1 x 2... x n e 1 ϑ (x 1+x x n ) Overgang op logaritmen geeft : ln L = 2n ln ϑ + n ln x i 1 ϑ i=1 n i=1 x i 1

2 De gevraagde schatting is de oplossing van de vergelijking d ln L d ϑ = 0 of dus 2n 1 ϑ + 1 n x ϑ 2 i = 0 waaruit we bekomen : ϑ = n i=1 x i 2n = x 2 i=1 5 3 (a) We hebben hier te maken met een intervalschatting voor de verwachtingswaarde van een veranderlijke met ongekende variantie. Omdat we te maken hebben met een grote steekproef mogen we onderstellen dat de veranderlijke bij benadering normaal verdeeld is. In de theorie hebben we gezien dat het schattingsinterval dan (zie opmerking p.4 10)gegeven wordt door [X λ p S n, X + λ p S n ] Hier is p = 2 (want 98 % betrouwbaarheidsinterval) zodat λ 2 = 2, 326 (uit tabel), n = 400, X = 507, 3 en S = 8, 2 Dit geeft het interval [506, 508] (b) Als de breedte van het interval 1 cc moet bedragen, dan moet S n = 0, 5. Met S = 8, 2 en λ p = λ 2 = 2, 33 bekomen we dan λ p n = (2 2, 33 8, 2) 2 = 1460 Opmerking : men kan ook met de t verdeling werken en als schattingsinterval [X t p S S n 1, X + t p n 1 ] nemen. Dit geeft lichtelijk andere waarden voor de oplossing. 5 4 (a) We hebben hier te maken met een intervalschatting voor de verwachtingswaarde van een normaal verdeelde veranderlijke met gekende variantie. In de theorie hebben we gezien dat het schattingsinterval dan gegeven wordt door [X λ p σ n, X + λ p σ n ] Hier is p = 5 (want 95 % betrouwbaarheidsinterval) zodat λ 5 = 1, 96 (uit tabel), n = 25, X = 20, 142 en σ = 100 gram = 0, 1 kg! Dit geeft het interval [20, 1028, 20, 1812] (b) Als de breedte van het interval 20 gram moet bedragen, dan moet σ λ p n = 10. Met σ = 100 gram en λ p = λ 5 = 1, 96 bekomen we dan n = (10 1, 96) 2 = 384, 16. Dus n moet minstens 385 bedragen. 2

3 5 5 (a) We hebben hier te maken met een puntschatting voor de variantie van een normaal verdeelde veranderlijke. Omdat we te maken hebben met een kleine steekproef gebruiken we als schatter de verbeterde steekproefvariantie. n Dus ŝ 2 i=1 = (x i µ) 2 n 1 Met µ geschat door het steekproefgemiddelde x = = 500 en n = 10 Men bekomt ŝ 2 = = 35, 11 (b) We hebben hier te maken met een intervalschatting voor de verwachtingswaarde van een normaal verdeelde veranderlijke met ongekende variantie. Omdat de steekproefomvang klein is, moeten we werken met de t verdeling. In de theorie hebben we gezien dat het schattingsinterval dan S gegeven wordt door [X t p S n 1, X + t p n 1 ] Hier is n = 10, p = 5 (want 95 % betrouwbaarheidsinterval) zodat t 5 [9] = 2, 26 (uit tabel), X = 500 en S = = 5, 62 (we gebruiken hier S en niet de verbeterde steekproefstandaardafwijking Ŝ) Dit geeft het interval [496, 504] 5 6 We hebben hier te maken met een intervalschatting voor de verwachtingswaarde van een normaal verdeelde veranderlijke met ongekende variantie. Omdat de steekproefomvang eerder klein is, moeten we werken met de t verdeling. In de theorie hebben we gezien dat het schattingsinterval dan gegeven S wordt door [X t p S n 1, X + t p n 1 ] Hier is n = 20, p = 1 (want 99 % betrouwbaarheidsinterval) zodat t 1 [19] = 2, 86 (uit tabel), X = 1832 en S = 497 Dit geeft het interval [1506, 2158] Een schattingsinterval voor σ is gegeven door (zie theorie) : [ ns2 χ 2, ns2 p χ 2 ] 2 1 p 2 Hier is p = 5 en n = 20 zodat χ 2 0,025[19] = 32, 85 en χ 2 0,975[19] = 8, 91 (zie tabel) en S 2 = (497) 2 3

4 Dit geeft het interval : [150386, ] voor σ 2 waaruit dan het interval [388, 745] volgt voor σ 5 7 We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ = 150 tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ > 150 We hebben hier te maken met een (eenzijdige) test voor het gemiddelde met gekende variantie. Eigenlijk is de steekproef iets te klein (n = 25 voldoet niet aan n > 30, maar het scheelt niet echt veel en sommige auteurs nemen trouwens n > 20 als voorwaarde) zodat we toch mogen werken met de z test. Als toetsingsgrootheid T nemen we dan T = X µ 0 σ. n Als de nulhypothese waar is, dan heeft deze veranderlijke een standaard normale verdeling ). Bij een drempelwaarde α = 0, 01 in een rechtseenzijdige test, moeten we gebruik maken van λ 2 De waarde daarvan halen we uit tabel 2 : λ 2 = 2, 33 Het verwerpingsgebied is dan ]λ 2, + [=]2.33, + [ De waargenomen waarde van de toestsingsgrootheid is = 5 en 25 deze ligt in het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen. 5 8 We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ = 10 tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ > 10 We hebben hier te maken met een (eenzijdige) test voor het gemiddelde met gekende variantie. De steekproef is echter klein, maar dat is geen probleem omdat gegeven is dat de veranderlijke normaal verdeeld is, zodat we toch kunnen werken met de z test. Als toetsingsgrootheid T nemen we dus T = X µ 0 σ. n Als de nulhypothese waar is, dan heeft deze veranderlijke een standaard normale verdeling. Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een rechtseenzijdige test, moeten we gebruik maken van λ 10. Deze halen we uit tabel 2 : λ 10 = 1, 64 Het verwerpingsgebied is dan ]λ 10, + [=]1.64, + [ 4

5 De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid is gelijk aan 10,7 10 0,9 9 = 2, 33 en deze ligt in het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen. 5 9 We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ = 300 tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ 300 We hebben hier te maken met een tweezijdige test voor het gemiddelde met gekende variantie. De veranderlijke is normaal verdeeld zodat de grootte van de steekproefomvang niet relevant is. We kunnen dus werken met de z test. Als toetsingsgrootheid T nemen we dan T = X µ 0 σ. n Als de nulhypothese waar is, dan heeft deze veranderlijke een standaard normale verdeling. Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een tweezijdige test, moeten we gebruik maken van λ 5 = 1, 96 (uit tabel). Het verwerpingsgebied bestaat uit twee intervallen en is dan : ], 1, 96[ ]1, 96, + [ De waargenomen waarde van T is gelijk aan = 2, 67 en deze 25 waarde ligt in het linkerdeel van dit verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ 200 tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ > 200 We hebben hier een (eenzijdige) test voor het gemiddelde waarbij de variantie niet gekend is (en de steekproefomvang is klein) zodat we best werken met de t test. Als toetsingsgrootheid T nemen we dan T = n 1 X µ 0 S µ 0 = 200 en n = 10 waarin Als de nulhypothese waar is, dan is T t verdeeld met 10 1 = 9 vrijheidsgraden. Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een eenzijdige test, moeten we gebruik maken van t 10 [9] = 1, 833 (uit tabel met procentwaarden van de t verdeling). 5

6 Het verwerpingsgebied is dan ]1, 833, + [ De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid T is gelijk aan = 4, 74 (nadat uit de steekproefgegevens werd berekend : x = 300 en s 2 = 4000 en deze ligt in het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen We formuleren als nulhypothese : H 0 : σ 2 4 tegenover de alternatieve hypothese H 1 : σ 2 > 4 We hebben hier een (eenzijdige) test waarbij een vooropgezette variantie moet worden getest aan de hand van een waargenomen variantie (χ 2 test). Als toetsingsgrootheid T nemen we dan T = ns2 n = 10 σ 2 0 waarin σ 2 0 = 4 en Als de nulhypothese waar is, dan is T χ 2 verdeeld met 10 1 = 9 vrijheidsgraden. Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een eenzijdige test, moeten we gebruik maken van χ 2 5[9] = 16, 92 (uit tabel met procentwaarden van de χ 2 verdeling, in die tabel wordt χ 2 [5] voorgesteld als g 0,95 ). Het verwerpingsgebied is dan ]16, 92, + [ De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid T is gelijk aan = (nadat uit de steekproefgegevens werd berekend : s 2 = 69 en deze ligt in het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen We hebben hier te maken met een verschiltoets voor het gemiddelde bij gegeven varianties. Omdat de steekproeven voldoende groot zijn (omvang 50) hoeft men niet te weten of de kansverdeling van de examenresultaten normaal is. We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ X = µ Y tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ X µ Y (tweezijdige test) Als toetsingsgrootheid T nemen we dan het verschil X Y σ 2 X n1 + σ2 Y n2 Als de nulhypothese waar is, dan is T standaard normaal verdeeld. Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een tweezijdige test, moeten we gebruik maken van λ 5 = 1, 96 (uit tabel). 6

7 Het verwerpingsgebied is dan ], 1, 96[ ]1, 96, + [ De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid T is gelijk aan ,5 = 3, 77 en deze ligt in het rechterdeel van het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen We hebben hier te maken met een verschiltoets voor het gemiddelde bij gelijke, maar onbekende varianties. We formuleren als nulhypothese : H 0 : µ X = µ Y tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ X µ Y (tweezijdige test) Als toetsingsgrootheid T nemen we dan X Y n1 n 2 waarin S P n 1 + n 2 n 1 = 6 en n 2 = 5 en SP 2 = n 1SX 2 + n 2SY 2 (de pooled variance). n 1 + n 2 2 Als de nulhypothese waar is, dan is T t verdeeld met n 1 + n 2 2 = 9 vrijheidsgraden Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een tweezijdige test, moeten we gebruik maken van t 5 [9] = 2, 26 (uit tabel). Het verwerpingsgebied is dan ], 2, 26[ ]2, 26, + [ Met de steekproefgegevens vindt men dat x = 25, y = 20, s 2 X = 22, 7 en s 2 Y = 46 waaruit s2 P = 6 22,7= = 40, 7. De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid T is dan gelijk aan = 1, 29 en deze ligt niet in het verwerpingsgebied zodat 40, we de nulhypothese mogen aanvaarden. Er is dus geen signifikant verschil tussen de gemiddelde leveringstijden van beide leveranciers In het eerste deel van de oefening hebben we te maken met een verschiltoets voor de variantie (F test). We formuleren als nulhypothese : H 0 : σx 2 = σ2 Y tegenover de alternatieve hypothese H 1 : σx 2 σ2 Y (tweezijdige test) Als toetsingsgrootheid T nemen we dan n 1(n 2 1)SX 2 n 2 (n 1 1)SY 2 n 2 = 5. waarin n 1 = Als de nulhypothese waar is, dan is T F verdeeld met (n 1 1, n 2 1) = (4, 4) vrijheidsgraden. 7

8 Bij een drempelwaarde α = 0, 05 in een tweezijdige test, moeten we gebruik maken van F 0,025 [4, 4] = 9, 60 (uit tabel) en F 0,975 [4, 4] = 1 F 0,025 [4, 4] = 1 9, 60 = 0, 104 (eigenschap F 1 p[m, n] = F 1 p [n,m] ). Het verwerpingsgebied is dan ], 0, 10[ ]9, 60, + [ Met de steekproefgegevens vindt men dat x = 3000, y = 1000, s 2 X = en s 2 Y = De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid T is dan gelijk aan = 23, 3 en deze ligt in het verwerpingsgebied zodat we de nulhypothese moeten verwerpen. Er is dus een signifikant verschil tussen de varianties van beide groepen. In het tweede deel van de oefening moeten we een verschil van gemiddelden testen (bij verschillende varianties). Als nulhypothese formuleren we : H 0 : µ X = µ Y tegenover de alternatieve hypothese H 1 : µ X µ Y (tweezijdige test) Als toetsingsgrootheid T neemt men dan X Y S 2 X n1 + S2 Y n 2 die als de nulhypothese waar is, een t verdeling bezit met bij benadering min(n 1, n 2 ) 1 vrijheidsgraden. Hier is n 1 = n 2 = 5 zodat we een t verdeling hebben met 4 vrijheidsgraden. Bij α = 0, 05 bekomt men het verwerpingsgebied ], t 5 [4][ ]t 5 [4], + [=], 2, 78[ ]2, 78, + [ De waargenomen waarde van de toetsingsgrootheid bedraagt = 2, 66 en deze ligt niet in het verwerpingsgebied Er is dus geen signifikant verschil tussen de gemiddelden van beide groepen. 8

9 5 15 We moeten gebruik maken van de χ 2 aanpassingstoets. Als nulhypothese stellen we dat het gewicht van de pruimen normaal verdeeld is. In deze veronderstelling worden de theoretische relatieve frekwenties gevonden met de formule P (a X < b) = Φ(b) Φ(a) = Ψ( b µ σ ) Ψ(a µ σ ) en daaruit heeft men dan de theoretische absolute frekwenties (door te vermenigvuldigen met 80 = som van de steekproeffrekwenties). De waarden van µ en σ worden geschat door x en s. Op deze manier bekomt men voor de theoretische frekwenties : gewichtsklasse theoretische frekwentie < 40 8 [40, 50[ 7, 2 [50, 60[ 10, 1 [60, 70[ 12, 2 [70, 80[ 12, 6 [80, 90[ 11, 1 [90, 100[ 8, , 5 De toetsingsgrootheid T is gelijk aan (W i T i ) 2 met W i de waargenomen frekwenties en T i de berekende theoretische T i i frekwenties. Deze bezit een χ 2 verdeling met k 1 m vrijheidsgraden waarin k = 8 (aantal klassen) en m = 2 (het aantal geschatte parameters om T i te kunnen berekenen). Met α = 0, 05 vindt men χ 2 [5] = 11, 1 zodat het verwerpingsgebied gelijk is aan ]11, 1 + [ De waargenomen waarde van T is (na berekening) gelijk aan 19,42 en deze ligt in het verwerpingsgebied. We mogen dus niet veronderstellen dat het gewicht van de pruimen normaal verdeeld is. 9

10 5 16 We moeten gebruik maken van de χ 2 aanpassingstoets. Als nulhypothese stellen we dat de tijdsduur negatief exponentieel verdeeld is. In deze veronderstelling worden de theoretische relatieve frekwenties gevonden met de formule P (a X < b) = b a ϕ(x) dx = [ e λx ] b a en daaruit volgen dan de theoretische absolute frekwenties door te vermenigvuldigen met 74 (som van de steekproeffrekwenties) Omdat µ = 1 λ kan λ geschat worden met 1 x waarbij x = 1, 75 (gegeven). Op deze manier bekomt men voor de theoretische absolute frekwenties : tijdsduur tussen twee storingen theoretische frekwentie minder dan 1 uur 32 tussen 1 en 2 uur 19 tussen 2 en 3 uur 10 tussen 3 en 5 uur 9 meer dan 5 uur 4 De toetsingsgrootheid T is gelijk aan (W i T i ) 2 met W i de waargenomen frekwenties en T i de berekende theoretische T i i frekwenties. Deze bezit een χ 2 verdeling met k 1 m vrijheidsgraden waarin k = 5 (aantal klassen) en m = 1 (het aantal geschatte parameters om T i te kunnen berekenen). Met α = 0, 05 vindt men χ 2 [3] = 7, 8 zodat het verwerpingsgebied gelijk is aan ]7, 8 + [ De waargenomen waarde van T is gelijk aan ligt niet in het verwerpingsgebied = 0, 7 en deze We mogen dus veronderstellen dat de tijdsduur tussen twee storingen negatief exponentieel verdeeld is. 10

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen 8.1. Stel dat medisch onderzoek heeft uitgewezen dat als het gemiddelde nicotinegehalte van een sigaret 25 mg of meer bedraagt, de kans op longkanker

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) 8.16. Men wenst H 0 : p 0.2 te testen tegenover H 1 : p 0.4 voor een binomiale distributie met n 10. Bepaal α en β als de testfunctie gegeven

Nadere informatie

Toetsen van Hypothesen. Het vaststellen van de hypothese

Toetsen van Hypothesen. Het vaststellen van de hypothese Toetsen van Hypothesen Wisnet-hbo update maart 2008 1. en Het vaststellen van de hypothese De nulhypothese en de Alternatieve hypothese. Het gaat in deze paragraaf puur alleen om de formulering. Er wordt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 t-toetsen 2 / 18 Steekproefgemiddelde en -variantie van normale observaties Stelling. Laat X 1,..., X n o.o. zijn en N(µ, σ 2 )-verdeeld. Dan:

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12 Sheets K&S voor INF HC 1: Hoofdstuk 12 Statistiek Deel 1: Schatten (hfdst. 1) Deel 2: Betrouwbaarheidsintervallen (11) Deel 3: Toetsen van hypothesen (12) Betrouwbaarheidsintervallen (H11) en toetsen (H12)

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets Moore, McCabe, and Craig.

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Toegepaste Statistiek, Week 6 1

Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Eén ordinale en één nominale variabele Nominale variabele met TWEE categorieën, 1 en 2 Ordinale variabele normaal verdeeld binnen iedere categorie? Variantie in beide categorieën

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 1

Wiskunde B - Tentamen 1 Wiskunde B - Tentamen Tentamen 57 Wiskunde B voor CiT vrijdag januari 5 van 9. tot. uur Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven, formulebladen en tabellen. Vermeld ook uw studentnummer op uw werk en tentamenbriefje.

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1 Inhoudsopgave Deel I Schatters en toetsen 1 1 Hetschattenvanpopulatieparameters.................. 3 1.1 Inleiding:schatterversusschatting................. 3 1.2 Hetschattenvaneengemiddelde..................

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Statistiek II. 1. Eenvoudig toetsen. Onderdeel toetsen binnen de cursus: Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef

Statistiek II. 1. Eenvoudig toetsen. Onderdeel toetsen binnen de cursus: Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef Statistiek II Onderdeel toetsen binnen de cursus: 1. Eenvoudig toetsen Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef Via de z-verdeling, als µ onderzocht wordt en gekend is: Via de t-verdeling,

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 14. Dinsdag 30 Oktober

Statistiek voor A.I. College 14. Dinsdag 30 Oktober Statistiek voor A.I. College 14 Dinsdag 30 Oktober 1 / 16 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 16 Grootte steekproef Voorbeeld NU.nl 26 Oktober 2012: Helft broodjes döner kebab vol bacteriën.

Nadere informatie

Sheets hoorcollege 1 (over paragraaf 7.1) Uitgewerkte opgaven week 6 Antwoorden uitgewerkte opgaven week 6

Sheets hoorcollege 1 (over paragraaf 7.1) Uitgewerkte opgaven week 6 Antwoorden uitgewerkte opgaven week 6 MATERIALEN BIJ STATISTIEK (1991) JANUARI 010 Sheets hoorcollege 1 (over paragraaf 7.1) Uitgewerkte opgaven week 1 Antwoorden uitgewerkte opgaven week 1 11 15 Power-point sheets hoorcollege (over paragraaf

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 20 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Hypothese toetsen 2 / 1 3 / 1 Terzijde NU.nl 19 oktober 2011: Veel Facebookvrienden wijst op grotere hersenen. (http://www.nu.nl/wetenschap/2645008/veel-facebookvrienden-wijst-groterehersenen-.html)

Nadere informatie

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

College 2 Enkelvoudige Lineaire Regressie

College 2 Enkelvoudige Lineaire Regressie College Enkelvoudige Lineaire Regressie - Leary: Hoofdstuk 7 tot p. 170 (Advanced Correlational Strategies) - MM&C: Hoofdstuk 10 (Inference for Regression) - Aanvullende tekst 3 Jolien Pas ECO 011-01 Correlatie:

Nadere informatie

variantie: achtergronden en berekening

variantie: achtergronden en berekening variantie: achtergronden en berekening Hugo Quené opleiding Taalwetenschap Universiteit Utrecht 8 sept 1995 aangepast 8 mei 007 1 berekening variantie Als je de variantie met de hand moet uitrekenen, is

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober Statistiek voor A.I. College 12 Dinsdag 23 Oktober 1 / 20 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 20 3 / 20 Jullie - onderzoek Wivine Tijd waarop je opstaat (uu:mm wordt weergeven als uumm). Histogram

Nadere informatie

Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing

Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing M, M & C, Chapter 6, Introduction to Inference 6.1 Estimating with Confidence 6.2 Tests of Significance 6.3 Use and Abuse

Nadere informatie

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel

Nadere informatie

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week : de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week : het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties:

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1]

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] 15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] Voorbeeld 1: Een vulmachine vult flessen met een inhoud van X ml. X is normaal verdeeld met μ = 400 en σ = 4 Er wordt een steekproef genomen van 40 flessen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook

Hoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook Hoofdstuk 2 Aanduiding 1: X ij Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook ± a Formule 5: X nieuw = bx oud betekent t X nieuw = X oud/b betekent

Nadere informatie

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2010-2011 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995 Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica Maandag 29 mei 1995 Tweede jaar kandidaat arts + Tweede jaar kandidaat in de biomedische wetenschappen Naam: Voornaam: Vraa Kengetal g Blad 1

Nadere informatie

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16 modulus strepen: uitkomst > 0 Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n 10 ttest ( x ) 105 101 3,16 n-1 4 t test > t kritisch want 3,16 >,6, dus 105 valt buiten het BI. De cola bevat niet significant

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

Inhoud. Woord vooraf 13. Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17. Hoofdstuk 2. Kansverdelingen en kansberekening 28

Inhoud. Woord vooraf 13. Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17. Hoofdstuk 2. Kansverdelingen en kansberekening 28 Inhoud Woord vooraf 13 Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17 1.1 Wat is de bedoeling van statistiek? 18 1.2 De empirische cyclus 19 1.3 Het probleem van de inductieve statistiek 20 1.4 Statistische

Nadere informatie

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Medische statistiek 1 Les 1: Waarschijnlijkheidrekening I Theorie A Inleidende defenities V: de verzameling van alle mogelijke uitkomsten A,B,... : een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten in V Q

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WenS eerste kans 2012 2013 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur Tentamen Kansrekening en statistiek wi205in 25 juni 2007, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 4. Recap: Hypothese toetsen. Recap: One-sample t-toets

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 4. Recap: Hypothese toetsen. Recap: One-sample t-toets Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 4 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap: Hypothese toetsen t-toets

Nadere informatie

Feedback examen Statistiek II Juni 2011

Feedback examen Statistiek II Juni 2011 Feedback examen Statistiek II Juni 2011 Bij elke vraag is alternatief A correct. 1 De variabele X is Student verdeeld in een bepaalde populatie, met verwachting µ X en variantie σ 2 X. Je trekt steekproeven

Nadere informatie

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Business Administration / Bedrijfskunde Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Algemeen Vak : Statistische Methoden Groep : niet van toepassing en Technieken Vakcode : BKB0019t Soort tentamen : gesloten

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie

Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori

Nadere informatie

HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN

HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN Toetsen van hypothesen 1 HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN 1. Inleiding...2 2. Beslissingsregels...5 2.1. Beslissen op grond van kritische grenzen...5 2.1.1. Het α-risico...6 2.1.2. Het β-risico...7 2.2.

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Eenwegs- en tweewegs-variantieanalyse

Hoofdstuk 10 Eenwegs- en tweewegs-variantieanalyse Hoofdstuk 10 Eenwegs- en tweewegs-variantieanalyse 10.1 Eenwegs-variantieanalyse: Als we gegevens hebben verzameld van verschillende groepen en we willen nagaan of de populatiegemiddelden van elkaar verscihllen,

Nadere informatie

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e.

10. De simultane kansverdeling van twee stochasten X en Y is gegeven door de volgende (onvolledige) tabel: X / /4 1. d. 0 e. Tentamen Statistische methoden MST-STM 1 april 2011, 9:00 12:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het MC formulier uw Delftse studienummer in; en op het open vragen formulier graag beide, naar volgend

Nadere informatie

Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2

Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Kansverdelingen Inductieve statistiek met Geogebra 4.2 Brecht Dekeyser Pedic 20 november 2013 Gent 1 Inhoud Nieuw in Geogebra 4.2 Kansverdelingen: Berekeningen en grafische voorstellingen Manueel in rekenblad

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

WenS tweede kans Permutatiecode 0

WenS tweede kans Permutatiecode 0 Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Geen GSM s toegelaten: voor wie tijdens

Nadere informatie

Toetsende Statistiek Week 5. De F-toets & Onderscheidend Vermogen

Toetsende Statistiek Week 5. De F-toets & Onderscheidend Vermogen M, M & C 7.3 Optional Topics in Comparing Distributions: F-toets 6.4 Power & Inference as a Decision 7.1 The power of the t-test 7.3 The power of the sample t- Toetsende Statistiek Week 5. De F-toets &

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede

Levende Statistiek. Een module voor Wiskunde D VWO. Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Levende Statistiek Een module voor Wiskunde D VWO Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede Jacob van Eeghen en Liesbeth de Wreede, Leiden 2010 ctwo, Utrecht 2010 Dit lesmateriaal kan gebruikt worden voor

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15

Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15 1 Beslissen op grond van een steekproef Hoofdstuk 15 1. a. Het gaat veel geld kosten voor de fabrikant als er te veel schuurmiddel gebruikt wordt. b. Bij een te laag gemiddelde zullen de klanten niet tevreden

Nadere informatie

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1]

4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in 1968 1 4.1 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99 Inhoud 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek 13 1.1 Een eerste verkenning 14 1.2 Frequentieverdelingen 22 1.3 Grafische voorstellingen 30 1.4 Diverse diagrammen 35 1.5 Stamdiagram, histogram en frequentiepolygoon

Nadere informatie

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse

Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse Hoofdstuk 1 Bedrijfskunde Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse - McGregor - Elton Mayo - Frank Lilian Gilbreth - Alfred Sloan - Henri Fayol Vraag 1.2 Je

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue)

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue) identificatie opleiding Marketing modulenaam Statistiek code module A12 goedkeuring door aantal lestijden 80 studiepunten datum goedkeuring structuurschema / volgtijdelijkheid link: inhoud link leerplan:

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Introductie tot de statistiek

Introductie tot de statistiek Introductie tot de statistiek Hogeschool Gent 04/05/2010 Inhoudsopgave 1 Basisbegrippen en beschrijvende statistiek 8 1.1 Onderzoek............................ 8 1.1.1 Data........................... 8

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen 24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$

Nadere informatie

Berekenen en gebruik van Cohen s d Cohen s d is een veelgebruikte manier om de effectgrootte te berekenen en wordt

Berekenen en gebruik van Cohen s d Cohen s d is een veelgebruikte manier om de effectgrootte te berekenen en wordt A. Effect & het onderscheidingsvermogen Effectgrootte (ES) De effectgrootte (effect size) vertelt ons iets over hoe relevant de relatie tussen twee variabelen is in de praktijk. Er zijn twee soorten effectgrootten:

Nadere informatie

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00

3de bach HI. Econometrie. Volledige samenvatting. uickprinter Koningstraat Antwerpen A 11,00 3de bach HI Econometrie Volledige samenvatting Q www.quickprinter.be uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen 170 A 11,00 Practicum 0: Herhaling statistiek Hier vindt u een kort overzicht van enkele

Nadere informatie

werkcollege 7 - D&P10: Hypothesis testing using a single sample

werkcollege 7 - D&P10: Hypothesis testing using a single sample cursus 11 mei 2012 werkcollege 7 - D&P10: Hypothesis testing using a single sample huiswerk opgaven Ch.9: 1, 8, 11, 12, 20, 26, 36, 37, 71 Activities 9.3 en 9.4 experimenten zelf deelnemen als proefpersoon

Nadere informatie