Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie is, hoe groter de waarden onderling van elkaar verschillen. Dus je neemt alle observaties, die tel je bij elkaar op en die deel je door het aantal observaties. Dan heb je het gemiddelde. Hier trek je dan weer elke keer de individuele observaties af en dat antwoord kwadrateer je. Dan heb je de variantie. Dus als je de waardes 2,4,6 hebt is het gemiddelde (2+4+6)/3= 4. Dan doe je (4-2)²+(4-4)²+(6-4)²= 8. De variantie is dus 8. Als je hier weer de wortel uittrekt dan heb je de standaardvariatie. 8= 2,828. T-toets: Deze toets is ook voor één steekproef uit één populatie net zoals de Z-toets. Voorwaarden t-toets: 1. Voor één steekproef uit één populatie. 2. Wanneer n <100, bij normale verdeling, onbekende standaarddeviatie. 3. Wanneer n > 30, bij NIET-normale verdeling. Dus geen t-toets als n<30 en de populatie NIET normaal verdeeld is!! Hypothesen: Linkseenzijdig toetsen: H0: μ μ0 en : μ < μ0 Rechtseenzijdig toetsen: H0: μ μ0 en : μ > μ0 Tweezijdig toetsen: H0: μ = μ0 en : μ = μ0 Toetsingsgrootheid: om een t-toets uit te kunnen voeren moet je eerst het steekproefgemiddelde ( ) omzetten in een T-score. Dit is de toetsingsgrootheid waarmee H0 getoetst wordt. Formule voor T-score: = Verkregen steekproefgemiddelde s = standaarddeviatie van de steekproef u0 = veronderstelde waarde voor het populatiegemiddelde (µ) n = steekproefgrootte df = aantal vrijheidsgraden Er is dus geen σ meer in deze formule zoals bij de Z-score. Deze σ is vervangen door de standaarddeviatie van de steekproef (s). T-verdeling: is net zoals de normale verdeling symmetrisch, en het gemiddelde is 0. Als we een steekproef van n <100 hebben en de verdeling is normaal verdeeld, en we hebben een onbekende σ, dan kunnen we zeggen dat de T-scores van het gemiddelde T-verdeeld zijn. Dit geldt ook voor steekproeven van n >30, bij een niet normaal verdeelde steekproef. Elke t-verdeling wordt volledig door het zogenoemde aantal vrijheidsgraden (df = degrees of freedom) bepaald. Er zijn zo veel t-verdelingen als er vrijheidsgraden zijn. Hoe groter het aantal vrijheidsgraden, hoe meer de t-verdeling op een standaardnormale verdeling lijkt.

2 Vrijheidsgraden: stel je gemiddelde ligt van te voren vast. Zeg maar dat je gemiddelde 10 is. Als ik dan in totaal van 5 getallen op het gemiddelde van 10 moet komen en ik nu willekeurig 4 getallen kies. Bijvoorbeeld 5,11,3 en 8. Dan moet ik het vijfde getal zodanig uitkiezen, dat het gemiddelde wel 10 wordt. Dit kan alleen met het getal 23, want ( )/ 5 = 10. Voor de toets van één gemiddelde is het aantal vrijheidsgraden dus gelijk aan df = N -1. Beslissingsregel: bij de t-toets kan je ook H0 verwerpen op basis van 2 manieren: Overschrijdingskansen Linkszijdig toetsen: Pl (t ) α Rechtszijdig toetsen: Pr (t ) α Tweezijdig toetsen: Pd (t ) = 2* Pl (t ) α als < µ0 = 2* Pr (t ) α als > µ0 Je kunt alleen alle mogelijke overschrijdingskansen berekenen als je over een programma beschikt, omdat er net zoveel t-verdelingen bestaan als er vrijheidsgraden zijn. Kritieke waarden Stel je hebt α =0,05 en een steekproefgrootte van 19. Dan is het aantal vrijheidsgraden df= 19-1 =18. Dan kijk je vervolgens in de tabel achter in je boek bij linkseenzijdige toetsing bij df=18 en α=0,05. Dan vind je het getal 1,734. Als het om de linker kritieke waarden gaat, is het een min getal. Dus -1,734. Als het om rechter kritieke waarden gaat, dan is het een plus getal, namelijk +1,734. Bij een tweezijdige toetsing vind je het getal 2,101. De kritieke t-waarden zijn dus -2,101 en +2,101. Dus je kunt stellen dat H0 verworpen wordt voor alle waarden kleiner dan -1,734 bij linker kritieken waarden. En bij rechter kritieken waarden wordt H0 verworpen bij alle waarden die hoger zijn dan +1,734. Bij de tweezijdige toetsing wordt H0 verworpen als de waarde kleiner is dan -2, 101 of groter is dan +2,101. Wanneer het aantal vrijheidsgraden groter is dan 100, dus df > 100, dan zijn de verschillen met een normale verdeling zo klein, dat je ook de tabel voor de standaardnormale verdeling mag gebruiken. Effectgrootte: bij een significant resultaat rapporteren we ook bij de t-toets de grootte van het effect aan de hand van Cohens d. d = M- µ0 s. Je gebruikt hierbij dezelfde richtlijnen als bij de Z-toets. Rapporteren: wanneer we de resultaten rapporteren, geef je bij de t-toets de waarde van de toetsingsgrootheid t, de vrijheidsgraden tussen haakjes en de p-waarde. Wanneer de resultaten significant zijn, wordt ook de effectgrootte gegeven. Voorbeeld: De gemiddelde tijd op de 100 meter (M=12,42; s= 0,23) van de universitaire studenten was significant sneller dan 12,5 seconden, t (109) = - 3,65, p < 0,001, d = 0,35.

3 Betrouwbaarheidsinterval: als je wil berekenen met welk percentage zekerheid het populatiegemiddelde binnen bepaalde grenzen ligt, moet je het betrouwbaarheidsinterval berekenen. De formule hiervoor is: = steekproefgemiddelde s = standaarddeviatie van de steekproef n = steekproefgrootte µ = populatiegemiddelde df = aantal vrijheidsgraden t = positieve z-waarde waarvoor geldt Pd(t) = α bij df = n 1. SPSS: Hieronder de namen gegeven die in een SPSS-output voorkomen. Zo kan je alle missende waardes berekenen. N: steekproefgrootte Mean: steekproefgemiddelde Std. Deviation: standaarddeviatie Std. Error Mean: (SE ): Standaardfout van het gemiddelde t: Df: n-1 Mean difference: mean- test value Lower & upper: -Tkrit * std. Error mean < µ < +Tkrit * std. Error mean Om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen moet je weten wat het steekproefgemiddelde is, wat het betrouwbaarheidsniveau is (meestal 95%). Hiermee kan je vervolgens het significantieniveau berekenen. Je doet dan 100% -95% = 5%. Dit deel je door 100. Als je dan ook nog het aantal vrijheidsgraden (df) weet (dit is gewoon door N-1 te doen). Kan je vervolgens in de kolom met tweezijdige toetsing opzoeken wat de bijbehorende t-waarde is.

4 Dus als voorbeeld: Er is een aselecte steekproef genomen van 60 waarnemingen en het gemiddelde is gelijk aan 24, en de standaarddeviatie is 3. N = 60 µ = 24 s = 3 Df = 60-1=59 Significantieniveau: 0,05 (want 95%) Tkrit= 2,001 Formule: -Tkrit * (s/ N) < µ < +Tkrit * (s/ N) Dus 60-2,001 * (3/ 60) < µ < 60+2,001 * (3/ 60) = 60-2,001 * 0,387 <µ < 60+2,001 * 0,387 = 59,226 < µ < 60,774. Dus het betrouwbaarheidsinterval is [59,226, 60,774]. 5.2 T-toets voor gepaarde waarnemingen: De t-toets met gepaarde waarnemingen werkt met afhankelijke steekproeven. Als we bijvoorbeeld bij elke persoon niet één keer, maar twee keer een test afnemen, is er sprake van herhaalde metingen. Matchen: Wanneer we bij elke persoon in een steekproef een persoon zoeken die, met betrekking tot enkele achtergrondvariabelen, zo veel mogelijk lijkt op deze persoon. Voorwaarden t-toets voor gepaarde waarnemingen: 1. Wanneer de steekproeven afhankelijk zijn. 2. Wanneer n < 100 (kleine steekproef), normaal verdeeld en onbekende standaarddeviaties. 3. Steekproeven n > 30, en het aantal paren groter of gelijk is aan 30. Hierbij hoeft de populatie niet per se normaal verdeeld te zijn. Dus het mag niet als de twee afhankelijke steekproeven kleiner dan 30 zijn en de populatie niet normaal verdeeld is. Of de variabelen waarom het gaat niet op interval niveau gemeten zijn. Hypothesen: Linkszijdig toetsen: H0: µv 0 en H1 µv < 0 Rechtszijdig toetsen: H0: µv 0 en H1 µv > 0 Tweezijdig toetsen: H0: µv = 0 en H1 µv = 0 Toetsingsgrootheid voor de T-toets voor gepaarde waarnemingen: Om de hypothese te kunnen toetsen, beginnen we om van de verschilscores het gemiddelde en de standaarddeviatie te bereken. Verder is de t-toets voor gepaarde waarnemingen identiek aan de t-toets voor één gemiddelde.

5 Eerst zet je het om in een t-score. Dit doe je met de volgende formule: = het gemiddelde verschil tussen twee steekproeven S v = standaarddeviatie van de verschilscores µ v = veronderstelde gemiddelde verschil tussen de populaties n = aantal paren df = aantal vrijheidsgraden Vervolgens volgt er een t-verdeling met n 1 vrijheidsgraden. Wanneer H0 niet verworpen hoeft te worden, betekend dit dat de t -waarde ongeveer 0 is. Hoe verder de t -score van de 0 af ligt, hoe groter de kans is dat H0 moet worden verworpen. Beslissingsregel: Dit kan ook door middel van overschrijdingskansen en kritieke waarden. Overschrijdingskansen Linkszijdige toetsing: Pl (t ) α Rechtszijdige toetsing: Pr (t ) α Tweezijdige toetsing: Pd (t ) α Kritieke waarden Je moet eerst bepalen welke t-waarden horen bij α en het aantal vrijheidsgraden. Stel je hebt een α = 0,05 en je steekproefgrootte is n = 28. Je df is dus 27 (n-1). Dan kijk je weer in de tabel achter in je boek bij eenzijdige toetsing. Dan vind je de waarde 1,703 als T- waarde. Dit betekent dus dat Pl(t ) = -1,703 = Pr(t ) = +1,703. Dus bij linkszijdige toetsing geldt dat wanneer de gevonden waarde kleiner is dan -1,703, H ₒ verworpen dient te worden. Bij rechtszijdige toetsing geldt dat wanneer de gevonden waarden groter is dan +1,703, H0 ook verworpen dient te worden. Voor tweezijdige toetsing kijk je in de kolom tweezijdige toetsing. Dan vind je de waarde 2,052. H0 moet verworpen worden als de gevonden waarde tussen buiten -2,052 en +2,052 ligt. Betrouwbaarheidsinterval: De formule voor het betrouwbaarheidsinterval is de volgende: = het gemiddelde tussen de twee steekproeven S v = standaarddeviatie van de verschilscores µ v = veronderstelde gemiddelde verschil tussen de populaties n = aantal paren df = aantal vrijheidsgraden t = positieve t-waarden waarvoor geld dat Pd(t) = α bij df= n -1.

6 Hoe doe je dit in spss? 1. Voer je gegevens in. 2. In het voorbeeld uit het boek zijn 22 paren (cases), dus voer je de t-toets uit. 3. Ga naar Analyze Compare means Paired Samples T-test. 4. Voer de variabelen in bij Paired Variabeles en klik op OK. 5. Er verschijnt een venster, waarin Mean: het gemiddelde verschil tussen beide schattingen. Std. Dev. : deze delen door 100, dan heb je t. Sig. (2-tailed): de tweezijdige overschrijdingskans. Om Pr of Pl te krijgen, moet je dit getal door 2 delen (en uiteraard voor Pl een min-getal zetten). 5.3 Toets voor de correlatie: Deze toets doe je om te kijken of er een lineair verband aanwezig is in de populatie. Het kan gaan om een verband tussen verschillende variabelen van personen, of het kan zijn dat er een verband gemeten wordt tussen verschillende tijdstippen. Verder kan het ook gaan om de correlatie tussen dezelfde variabelen die gemeten zijn bij gematchte of natuurlijke paren. Om vast te stellen of er een verband aanwezig is, trekken we een steekproef uit de populatie en bepalen we van elke persoon de waarden op de twee variabelen waartussen we de samenhang willen bepalen, vervolgens berekenen we de correlatie. Voorwaarden voor de toets voor de correlatie: 1. De variabelen X en Y op interval niveau gemeten zijn. 2. De variabelen X en Y moeten een bivariaat-normale kansverdeling hebben. Dit houdt in dat de Y-waarden voor elke waarde van X normaal verdeeld moeten zijn en andersom. Hypothesen voor de toets voor de correlatie: Linkseenzijdig toetsen: H0: 0 en H₁: < 0 Rechtseenzijdig toetsen: H0: 0 en H₁: > 0 Tweezijdig toetsen: H0: = 0 en H₁: = 0 Toetsingsgrootheid voor de toets voor de correlatie: Eerst heb je een steekproef uit de populatie, hieruit bepaal je van elk persoon de waarden op twee variabelen waarvan je het verband wil bepalen. Dan bereken je de correlatie (r). Deze moet worden omgezet in een t-score. Dat gebeurd met onderstaande formule: r = correlatie in de steekproef n= steekproefgrootte Beslissingsregels: Met behulp van overschrijdingskansen bepalen we eerst de overschrijdingskans van t, onder de aanname dat H0 juist is. Het berekenen van deze overschrijdingskansen kan alleen via SPSS.

7 Overschrijdingsgrenzen Linkseenzijdig toetsen: Pl(tr) α Rechtseenzijdig toetsen: Pr(tr) α Tweezijdig toetsen: Pd(tr) = 2 * PL (tr) α als r < 0 = 2 * PR(t ) α als r > 0 Kritieke waarden Weer moet je eerst bepalen welke kritieke t-waarden horen bij een bepaald aantal vrijheidsgraden en bij α. H0 wordt verworpen als de t-score van de correlatie buiten de kritieke waarden vallen. Effectgrootte: ook voor de correlatie heeft Cohen richtlijnen opgesteld ter beoordeling van de grootte van het effect, oftewel het sterkte van het verband. Correlatie r Beoordeling Percentage verklaarde variantie r² 0,10 Klein/zwak 1% 0,30 Middelgroot/middelmatig 9% 0,50 Groot/sterk 25% Rapporteren: wanneer we de resultaten rapporteren, geven we bij de toets voor de correlatie niet de waarde van de toetsingsgrootheid t, maar rapporteren we de waarde van de correlatie zelf. Daarbij wordt de steekproefgrootte gegeven, de p-waarde en of er eenzijdig of tweezijdig is getoetst. Wanneer de correlatie positief is, zet je er een + voor. 5.4 Toets voor de proportie: veronderstel dat we in een bepaalde populatie of meer dan de helft voor een bepaalde maatregel is. Hierbij heb je te maken met een dichotome variabele: een variabele met slechts twee waarden (ja of nee). De z-toets voor proporties is slechts van toepassing in binomiale situaties, dat betekent dat we onafhankelijke gebeurtenissen en gelijk blijvende kansen veronderstellen. De data die hierbij verzamelt wordt is een aselecte steekproef uit een dichotome populatie. De steekproef moet groot genoeg zijn dat de benadering met een normale verdeling gepast is. Bij een dichotome variabele spreken we vaak over successen en mislukkingen. Een succes vindt plaats als een persoon in de steekproef die juiste waarde heeft, als een persoon niet die waarde heeft is het een mislukking. De proportie successen wordt aangegeven met en de proportie mislukkingen met 1-. In de steekproef wordt het proportie successen aangegeven met p en de proportie mislukkingen met q. De nulhypothese en alternatieve hypothese luiden als volgt: Toetsingsgrootheid:voor de toetsingsgrootheid bij grote steekproeven mag gebruikt maken van de normale verdeling. Naarmate n groter wordt, gaat de binomiale verdeling namelijk steeds meer op een normale verdeling lijken. Elke waarde moet dan wel hoger dan 5 zijn.

8 P= proportie successen in de steekproef = populatie proportie uit H0 n = steekproefgrootte. Beslissingsregels: met behulp van overschrijdingskansen bepalen we de overschrijdingskansen van de toetsingsgrootheid zp onder de aanname dat H0 juist is. De nulhypothese wordt weer verworpen wanneer de p-waarde kleiner is dan of gelijk is aan het significantieniveau α. Met behulp van kritieke waarden bepalen we eerst de juiste kritieke z-score. Rapporteren: bij het rapporteren van de resultaten geven we eerst de proportie in de steekproef en de steekproefgrootte. Dan worden alleen de waarde van de toetsingsgrootheid z en de p-waarde gegeven. Betrouwbaarheidsinterval voor proporties: als n x p en n x q groter zijn dan 5, kunnen we een (1-α) x 100% betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie berekenen. Bij het berekenen gaan we uit van de proportie in de steekproef p als schatter van de populatieproportie. = proportie in de populatie p = proportie in de steekproef n = steekproefgrootte z = tweezijdige kritieke waarde