HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

Transcriptie

1 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle

2 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld e oafhakelijk Notatie X is ee kasveraderlijke e x is zij getalwaarde i ee toevallig experimet Probleem µ e σ zij obeked e me west ze te bepale

3 Defiities Ee schatter voor µ is ee kasveraderlijke M die ekel afhagt va de kasveraderlijke X, X,..., X uit de steekproef, e die me gebruikt om µ te beadere Ee schattig is de getalwaarde va M i ee toevallig experimet Voorbeeld X Het rekekudig gemiddelde X = i i= is ee schatter voor µ Steekproef: : x = 4 is ee schattig voor µ 3

4 Defiitie Ee schatter is zuiver waeer zij verwachtigswaarde gelijk is aa de te schatte parameter Voorbeeld X is ee zuivere schatter voor µ omdat: E [ X ] = E [ i ] = E[ Xi] = µ = µ = = i = i X i Me ziet dus dat het rekekudig gemiddelde zelf ee kasveraderlijke is met ee bepaalde verdelig e met: E [ X ] = µ e Var[ X ] = Var[ i ] = = i X Var[ Xi] = i= σ.σ = 4

5 Uit de eigeschap over de som va oafhakelijke ormaal verdeelde kasveraderlijke volgt: X ~ N (µ σ, ) Bewijs X, X,, Daaruit volgt: X zij ohafhakelijk e N( µ σ, ) verdeeld X X = i i= ~ N( µ + µ µ, σ σ σ ) ~ N(µ, σ ) 5

6 Iterpretatie De verdelig va X is steeds gecetreerd rod de waarde µ e voor groter wordede steekproeve ( ) stijgt de cocetratie rod µ (m.a.w. wordt de schattig auwkeuriger) σ 0 σ 00 6

7 Gevolg Me ka verwachte dat X met ee kas va 95% ligt tusse µ -,96 σ e µ +,96 σ P [µ -,96 σ < X < µ +,96 σ ] = 0,95 Me ka ook schrijve dat: P [ X -,96 σ < µ < X +,96 σ ] = 0,95 Me oemt het iterval: [ X -,96 σ ; X +,96 σ ] ee betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde µ met obetrouwbaarheidsdrempel of α-drempel = 5% Me oemt het ook ee 95% betrouwbaarheidsiterval (BI) voor µ 7

8 Priciepe: me steut op X om iets te zegge over de obekede µ (me veroderstelt dat σ geked is) I het algemee vidt me i de tabel voor de SNV ee waarde µ α zodat, idie Z ee SNV heeft geldt dat: P [-µ α Z µ α ] = - α (voor ee gegeve α) Da is: [ X - µ α σ ; X + µ α σ ] ee BI voor µ met ee obetrouwbaarheidsdrempel = α Idie: groter wordt -α kleier wordt, (of α groter wordt) σ kleier wordt da wordt het iterval kleier 8

9 Voorbeeld Stel dat = 00, α = 5%, σ = cm e X = 7,cm bepaal ee 95% BI voor µ [ x - µ α / 00 ; x + µ α / 00 ] of [7, -,96, ; 7, +,96,] of [68,94 ; 73,6] 9

10 Opmerkige. Als groot is ( 30) e me vertrekt iet va ee NV maar va ee willekeurige verdelig, da volgt uit de cetrale limietstellig dat bij beaderig: X ~ N (µ, σ ) e bijgevolg moge de vorige formules worde gebruikt. Als groot is e σ is obeked (hetgee meestal het geval is) da mag me σ vervage door: ~ s = ( xi x) (zie paragraaf 3.) i= 0

11 3. DE VARIANTIE VAN EEN NV Twee mogelijke schatters voor σ zij: S = ( Xi X) i= schattig: s = ( xi x) i= ~ S = ( Xi X) i= schattig: ~ s = ( xi x) i=

12 De eerste uitdrukkig is éévoudiger maar is gee zuivere schatter va σ omdat (gee bewijs): E[S ] = σ σ Me ka echter aatoe dat S ~ ee zuivere schatter is va σ omdat: E[ S ~ ] = E[ S ] = σ Opmerkig: ~ S is gee zuivere schatter va σ

13 Eigeschap S ( ) S ~ = ~ χ σ σ [- vrijheidsgrade omdat de kwadrate (X i - X ) iet oafhakelijk zij] Beschouw u χ 0, 05 e χ 0, 975 χ 005, χ 0975, 3

14 Hieruit volgt: P[ χ 0, 05 ( )~ S σ χ 0, 975 ] = 95% Dit is equivalet met: ~ ~ S S P[ σ ] = 95% χ χ 0, 975 0, 05 Bijgevolg is: ~ ~ S S [ ; ] χ χ 0, 975 0, 05 ee BI voor σ met α-drempel = 5% of ee 95% BI voor σ 4

15 I het algemee wordt ee BI voor σ gegeve door: [ ~ ~ S S ; ] χ χ α/ α/ 5

16 3.3 HET GEMIDDELDE VAN EEN NV VOOR KLEINE STEEKPROEVEN EN ONBEKENDE σ Me beschouwt opieuw oafhakelijke e ormaal verdeelde kasveraderlijke: X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld e oafhakelijk Er wordt iet meer verodersteld dat groot is, zodat σ iet mag vervage worde door ~ s Eigeschap T = X µ ~ ~ t - S / 6

17 Bewijs: X µ σ / ~ N(0,) ( ) S ~ ~ χ σ vermits X e ~ S ohafhakelijk zij is: X µ σ / ~ S / ~ t - σ 7

18 Gevolg Stel de α-drempel gelijk aa 5%: P[-t 0,975 X µ ~ t 0,975 ] = 95% = - α waaruit volgt: S / ~ ~ S S P[ X - t 0,975 µ X + t 0,975 ] = 95% Bijgevolg is [ X - t 0,975 ~ S ; X + t 0,975 ~ S ] ee BI voor µ met α-drempel = 5%. I het algemee is ~ ~ S S [ X - t -α/ ; X + t -α/ ] ee BI voor µ Dit resultaat is gee beaderig. Als groot is ( 30) da adert ~ S aar σ e t -α/ aar µ α (omdat t adert aar ee N(0,)). Me bekomt da het resultaat va paragraaf 3.. 8

19 Oefeig Me maakt 0 metige va de lichaamstemperatuur va eezelfde persoo e me vidt x =36,38 C met ~ S =0,6 C. Bepaal betrouwbaarheidsitervalle voor de werkelijke temperatuur met α=5% e α=%. a) α=5%, - = 9 t 0,975 =,6 Het iterval is da: [x - t 0,975 ~ s ; x + t 0,975 ~ s ] = [36,38 -,6 06, 0 ; 36,38 +,6 06, ] 0 = [36,38-0,43 ; 36,38 + 0,43] = [35,95 ; 36,8] 9

20 b) α=%, - = 9 t 0,995 = 3,50 Het iterval is da: [x - t 0,995 ~ s ; x + t 0,995 ~ s ] = [36,38-3,50 06, 0 ; 36,38 + 3,50 06, ] 0 = [36,38-0,6 ; 36,38 + 0,6] = [35,77 ; 36,99] 0