Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen

Transcriptie

1 Les 7-8: Parameter- e Vergelijkigstoetse I Theorie : A. Algemee :. Hypothese formulere. H 0 : ul-hypothese H : alteratieve hypothese. teekproef eme. x e zij te berekee uit de steekproefresultate. 3. Toetsgrootheid berekee. 4. Aavaardigsiterval costruere. 5. Besluit trekke. A.d.h.v. de toetsgrootheid e het aavaardigsiterval of de p-waarde gaa we H 0 aavaarde of verwerpe. B. pecifiek : Door gebruik te make va de bijgevoegde schema's kue we uitmake welke verdelig e toetsgrootheid me moet gebruike. C. pecifiek voor vergelijkigstoetse : Gepaarde waaremige : Met elke X i is ee Y i geassocieerd. I het bijzoder is, Niet-gepaarde waaremige : Er zij twee steekproeve uit verschillede populaties.

2 PARAMETERTOETEN Gemiddelde Populatie N(µ, σ) σ obeked σ beked X µ Z X µ Z σ N(0,) N(0, ) Populatie verdelig obeked σ X µ obeked T σ X µ beked Z σ t(-) N(0, ) Variatie - Voorwaarde : Populatie N(µ, σ) < ( ) χ (-) σ σ ( ) N(0, ) σ

3 VERGELIJKINGTOETEN Gemiddelde Gepaarde Waaremig σ beked, N of 0 d Z σ N(0, ) σ d obeked, N of 30 T d t(-) Oafhakelijke Waaremig, > 30 Z, < 30, N e σ σ T X X + X X + N(0, ) t( + -) Variatie - Voorwaarde : Populatie N(µ, σ) F F( -, -) Met: di xi yi d ( di d) i d d i i ( ) ( ) + +

4 AANVAARDINGINTERVALLEN H 0 is altijd va de vorm : H 0 :. Voor T : -zijdig H : X µ verwerpe als T [-t -α/ ; t -α/ ] -zijdig H : X > µ verwerpe als T ]- ; t -α ] -zijdig H : X < µ verwerpe als T [-t -α ; + [. Voor Z : -zijdig H : X µ verwerpe als Z [-µ -α/ ; µ -α/ ] -zijdig H : X > µ verwerpe als Z ]- ; µ -α ] -zijdig H : X < µ verwerpe als Z [-µ -α ; + [ 3. Voor χ : -zijdig H : σ verwerpe als χ [χ α/ ; χ -α/] -zijdig H : > σ verwerpe als χ [0 ; χ -α] -zijdig H : < σ verwerpe als χ [χ α ; + [ 4. Voor F : -zijdig H : verwerpe als F [Fα/ ; F -α/ ] -zijdig H : > verwerpe als F [0 ; F-α ] -zijdig H : < verwerpe als F [Fα ; + [

5 II Oefeige :. Ee fabrikat va medische flesjes geeft voor zij flesjes ee gemiddelde ihoud va 600 ml op e is ee stadaarddeviatie va 0 ml. Om het gemiddelde te toetse, eme we ee steekproef va 00 stuks. Deze steekproef levert ee gemiddelde waarde va 550 ml. We toetse of de fabrikat gelijk heeft. (α 5%). De resultate va het tetame statistiek plege ee ormale verdelig te volge waarbij het gemiddelde va de behaalde pute per studet 5 e de stadaardafwijkig 5 is. Ee groep va 5 studete krijgt elke avod voor zij gaa studere ee tablet ETUDON te slikke. Op het tetame blijkt hu gemiddelde score 57 pute te bedrage. Toets met α 0,05 of het ETUDON -resultaat verschilt va dat va de adere studete. 3. De stadaardafwijkig op het gewicht (dat N(µ, σ)) va tubes zalf, die gemiddeld 400 gram wege, is steeds gelijk geweest aa 5 gram. Ee steekproef va 0 tubes levert os u ee va 3 gram. Is de veraderig i variabiliteit sigificat bij α 0,? E bij α 0,05? 4. Volges ee farmaceutisch bedrijf zoude er va ee bepaald geeesmiddel gemiddeld 00 pille per flesje moete zitte. Ee steekproef uitgevoerd door ee verbruikersorgaisatie toot dat de gemiddelde ihoud va 50 flesjes slechts 9 is, met 7. Toets (-zijdig e met α 5%) of de fabrikat gelijk heeft e bereke de p-waarde. 5. Het gemiddelde IQ va 6 studete afkomstig uit Atwerpe bedraagt 07 met A 0. Voor 3 studete uit Brussel bedraagt het gemiddelde IQ met B 8. Is er ee sigificat verschil tusse de gemiddelde IQ's va de studete uit de beide stede? (IQ N(µ, σ)) a. Voor α 5% b. Voor α %

6 6. Het oliegehalte i 0 verschillede stale zeewater uit de buurt va de geteisterde hetlad-eilade werd bepaald door middel va referetiemethodes. De gemete waarde zij : taal Meth. A Meth. B Mag me aaeme dat beide methode hetzelfde gemiddelde resultaat geve? (Veroderstel α 5% e N(µ, σ)) 7. Gegeve : 00 x x 5,3 5 Kome deze steekproeve uit populaties met verschillede gemiddelde (Bij α 5%)? 8. De firmas JF e Q verkope beide flesjes otsmettigsmiddel. Uit ee steekproef va 50 flesjes va JF e 50 flesjes va Q, vidt me de volgede resultate : x JF 97 ml JF 3 ml x Q 93 ml Q ml Mag me aaeme dat µ JF µ Q? (Gebruik α %)

7 III Oplossige. µ 600ml σ 0ml 00 x 550 α 5% z x µ σ N(0, ) Toetsgrootheid z N(0, ) -4,66 Aavaardigsiterval costruere. -zijdig z µ ( α ); α µ ( ) H 0 x µ als z [ µ 0,975; µ 0 0,975] [,96;,96] H 0 wordt verworpe. P-waarde: P P P [ z < 4,7] + P[ z > 4,7] [ z > 4,7] ( pz < 4,7) ( 0,99998) 0, µ5 5 5 x 57 α 5%

8 . H 0 : x µ. Toetsgrootheid 57 5 T. 5,67 5 T(4) [ t( ); t( ) ] [,06;,06] Besluit: H 0 aavaarde, dwz gee beduided verschil 3. GN(µ,σ ) σ 5 µ α 5%. H 0 σ ² ². Toetsgrootheid 9.3² x 9 σ ² 3,3 x 9 3. Aavaardigsgebied costruere x α ; x ²σ ² als x² 3,3 [ x ; x ] 3,3 4. H 0 verwerpe α 0,05 0,95 [ 0,7;30,44]

9 4. µ00 50 x 9 7 α 5%. H 0 : x µ. toetsgrootheid 9 00 T. 7-3, Aavaardigsiterval T µ ; µ α α [,0;,0] Besluit: H 0 verwerpe. x µ x A 07 A 0 x B B 8 µ A 6 µ B 3 A) H 0 : µ A µ B test of σ A σ B ) H 0: σ A σ B ) Toetsgrootheid 00 F, ) Aavaardigsiterval H 0: [ F 0,005; F0,975] 0,34;3,8 [ ]

10 F (5,)0,05 F (,5).0,975,96 5. Besluit:,56 [ 0,34;3,8] H 0 aavaarde. σ σ A B 5B. H 0 : µ A µ B. Toetsgrootheid T x x T( + ) + A B ( ) + ( ) + 9,7 07 T -,46 9, T t α ; t α,05;,05 5% [ ] % [,77;,77] 4. H 0 aavaarde 6. 0, α0,05 N(µ,σ). H 0 : µ A µ B

11 d T d. T. t ( _) 3,5. 5,85 d. d di 35 3,5 0 ( di d )² 0,89.308,5 9 5,85 t(-) 3. A.I. t t [ t ; t ] 4. H 0 aavaarde α ; α 0,975 O,975 [,6; +,6] x 5 x 5,3 5 α 5. H 0 µ µ? 5 5,3. z, 4 ² 5² A.I. [,96;,96] 4. H 0 aavaarde 8. F 50 Q 50

12 x x JF Q JF Q α 0,0. Is µ gf µ Q? z, 9 3² ² A.I. µ α ; µ α [,36;,36] 4. H 0 Me mag iet aaeme dat µ gf µ Q