WenS eerste kans Permutatiecode 0

Transcriptie

1 WeS eerste kas Permutatiecode 0 Aatekeige op de vrageblade zij NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik make va schrijfgerief e ee eevoudige rekemachie; alle adere materiaal blijft achteri. Gee GSM s toegelate: voor wie met ee GSM op zich wordt betrapt, eidigt het exame omiddellijk! Leg je studetekaart duidelijk zichtbaar op je bak. Klap ekel je eige tafeltje ope. Vul, voor je begit, je vooraam, aam, studiejaar e stamummer i i het boveste kader va het atwoordblad. Vul vervolges auwgezet je stamummer i, door de gepaste vakjes i de velde A H volledig zwart te make. Draag er zorg voor dat je gee adere vakjes i deze velde zwart maakt. Op je opgaveblad staat ee permutatiecode ee getal tusse e 9. Maak het correspoderede vakje zwart i veld I. Het exame telt 25 vrage. Er is slechts éé correct atwoord per vraag. Elk correct atwoord levert put op, ee iet-correct atwoord 0 pute: er is gee giscorrectie. De atwoorde op de vrage worde igevuld door het gepaste vakje zwart te make i velde 25 i de kolomme NET. Met wat je ivult i de kolomme KLAD wordt gee rekeig gehoude. Gomme e adere correctieve bewerkige i de NET-kolomme zij NIET TOEGELA- TEN. Wees kalm, e begi met de vrage die je het makkelijkst lijke. Check, voor je afgeeft, of je NET-kolom volledig (e aar wes) is igevuld!

2 Ekele verdelige Formularium Normale verdelig Nm(z µ,σ 2 ) = (z µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 Gamma-verdelig Ga(z α,β) = β α Γ(α) zα e z/β voor z > 0 Beroulli-verdelig Be(z p) = p z q z voor z = 0, Poisso-verdelig Ps(z λ) = e λ λ z /z! voor z = 0,,2,... Maximale-likelihoodschatters Beroulli-verdelig ˆP ML (x,...,x ) = x se(x ˆ,...,x ) = Poisso-verdelig ˆΛ ML (x,...,x ) = x se(x ˆ,...,x ) = x ( x ) x Statistische teste Wald-teste met Wald-teststatistiek w e sigificatieiveau α 0 test kritiek gebied p-waarde eezijdig w < z α0 Φ(w) eezijdig w > z α0 Φ( w) tweezijdig w > z α0 /2 2Φ( w ) Ekele courate fractiele va de stadaardormale verdelig α 00( α) z α/2 0,00 99,9 3,29 0,005 99,5 2,8 0,00 99,0 2,58 0,050 95,0,96 0,00 90,0,64 2

3 0 z Oppervlakte oder de stadaardormale desiteit va 0 tot z z

4 We hale op lukrake maier balle uit ee ure met twee rode e twee blauwe balle, e ee groee bal, zoder terugplaatsig. Noem R k de gebeurteis dat de k-de getrokke bal rood is, e aaloog voor B k e G k (respectievelijk voor blauw e groe). Welke va de volgede uitsprake is da waar? A P(R 3 B G ) < P(R B 3 G 3 ). B P(R B 3 G 3 ) = 2. C P(R 3 B G ) > P(R B 3 G 3 ). D P(R 3 B G ) = 3. 2 De reële toevallige veraderlijke X heeft ee gamma-verdelig waarva de parameter α gelijk is aa 3/2 e de parameter β ogeked is. We eme ee steekproef (x,...,x ) va grootte uit deze verdelig. Wat is de maximale-likelihoodschattig ˆB ML (x,...,x ) voor de parameter β? A 2 3 x B x C π 3x D gee va de bovestaade 3 We gooie ee dobbelstee. We oeme A de gebeurteis dat we ee eve aatal oge gooie, B de gebeurteis dat we 4 of meer oge gooie e C de gebeurteis dat we 4 of mider oge gooie. Welke va de volgede uitsprake is waar? A A, B e C zij logisch oafhakelijk. B A e B C zij logisch oafhakelijk. C A B e C zij logisch oafhakelijk. D B \ A e C zij logisch oafhakelijk. 4

5 4 De waarschijlijkheid dat het morge zal regee is 40%. De waarschijlijkheid dat het overmorge zal regee is 30%. Wat is da de meest iformatieve ware uitspraak over de waarschijlijkheid p dat het morge of overmorge zal regee? A p [40%,70%]. B p = 58%. C p = 55%. D p [30%,70%]. 5 Beschouw de maximale-likelihoodschatters ˆB 0,ML e ˆB,ML voor de coëfficiëte β 0 e β va de best passede rechte voor datapute (x k,y k ), k =,...,, bij ekelvoudige lieaire regressie overeekomstig met de kleistekwadratemethode. Hieri is σ 2 > 0 de costate variatie va de oafhakelijke, ormaal verdeelde, e ulvertekede meetfoute. Veroderstel dat ˆB 0,ML e ˆB,ML ogecorreleerd zij. Welke va de volgede uitsprake is da waar? A ˆB 0,ML e ˆB,ML zij afhakelijk. B ˆB 0,ML + ˆB,ML is ormaal verdeeld. C ˆB,ML is gee cosistete schatter. D Gee va de bovestaade uitsprake is waar. 6 De waarschijlijkheid dat het op ee willekeurige dag i Wakkerdam reget is /3. Kare, ee iwooster va Wakkerdam, is ee fervete jogster. Als het iet reget, da is de waarschijlijkheid dat Kare die dag gaat jogge gelijk aa 2/3. Als het reget, da gaat Kare zeker iet jogge. Als je weet dat Kare iet gig jogge, wat is da de waarschijijkheid dat het die dag regede? A 2/3 B C 3/5 D gee va de bovestaade 5

6 7 Twee toevallige veraderlijke X e X 2 zij beide stadaardormaal verdeeld. Ze zij bovedie ogecorreleerd. Ee derde toevallige veradelijke Y die oafhakelijk is va X e va X 2, is chi-kwadraatverdeeld met 4 vrijheidsgrade. Welke va de oderstaade uitsprake is iet waar? A X 2 + X 2 2 +Y is chi-kwadraatverdeeld met 6 vrijheidsgrade. B 2X 2 + 3X 2 2 is chi-kwadraatverdeeld met 5 vrijheidsgrade. C X 2 + X 2 2 is gamma-verdeeld met parameters α = e β = 2. D E(X 2 + X 2 2 ) = var( 2 Y ). 8 We eme ee steekproef va grootte uit ee biomiale verdelig met parameters N (aatal experimete) e p (waarschijlijkheid op succes). Welke va de volgede uitsprake is waar? e de stadaard- e de stadaard- e de stadaard- e de stadaard- A De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeve door k= X k p( p) fout erop is. B De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeve door k= X k p( p) fout erop is N. C De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeve door k= X k N p( p) fout erop is N. D De maximale-likelihoodschatter voor p is gegeve door k= X k N p( p) fout erop is. 6

7 9 Va ee reële toevallige veraderlijke X 0 wete we dat E(X 2 ) > 0. Welke va de volgede fucties zou ee geldige mometefuctie M X va X kue zij? M X (t) A 0 t M X (t) B 0 M X (t) t C 0 M X (t) t D 0 t 7

8 0 Aa vijf studete va de Uiversiteit Get werd gevraagd om het voedsel i Resto De Brug te beoordele met ee heeltallige score va ul tot tie. De resultate va deze kleie equête zij weergegeve i ee va de oderstaade kader-metstaafdiagramme. Als je weet dat de beoordelige va vier studete 2, 3, 7 e 8 ware (de beoordelig va de vijfde studet is iet gegeve), welk va de oderstaade kader-met-staafdiagramme is da het correcte? A B C D , , X e Y zij twee oafhakelijke cotiue toevallige veraderlijke die elk uiform verdeeld zij over [,]. De toevallige veraderlijke U e V worde gedefiieerd als U = X +Y e V = X Y. Welke va de oderstaade uitsprake is waar? A f U,V (u,v) = /4 als u + v 2. B U e V hebbe dezelfde margiale verdelige. C U e V zij oafhakelijk. D Gee va de bovestaade uitsprake is correct. 2 Ee toevallige veraderlijke X heeft ee positieve verwachtigswaarde E(X) > 0. Welke gres op de waarschijlijkheid dat X tusse 0 e 2E(X) ligt, volgt uit de Chebyshevogelijkheid? A P(0 < X < 2E(X)) 2 E(X 2 ) E(X) 2 B P(0 < X < 2E(X)) 2 E(X 2 ) E(X) 2 C P(0 < X < 2E(X)) var(x) E(X) 2 D P(0 < X < 2E(X)) var(x) E(X) 2 8

9 3 We eme ee toevallige steekproef x,...,x met grootte uit ee ormale verdelig met gekede variatie σ 2 > 0. Welke va de oderstaade itervalle is ee 99,5% betrouwbaarheidsiterval voor de verwachtigswaarde µ = E(X)? A (, x + 2,8 σ ) ( ) B x 2,58 σ,+ C (x 2,8σ, x + 2,8σ) ) D (x 2,58 σ, x + 2,58 σ 4 Op de oderstaade figuur is (ee deel va) de distributiefuctie va ee reële toevallige veraderlijke X geteked. Welke va de oderstaade uitsprake is correct? F X (z) 3/4 /2 / z A P(X = 2) = /2. B P(X 4) = 0. C q /2 = 5/2. D Gee va de bovestaade uitsprake is correct. 5 De toevallige veraderlijke X is uiform verdeeld over {, 2, 3} e de toevallige veraderlijke Y is uiform verdeeld over [,3]. Welke va de oderstaade uitsprake is correct? A P(X > 2) = P(X 2). B var(x) = 2var(Y ). C P(X = ) = P(Y = ). D P(X 2) = P(Y 2). 9

10 6 Op de oderstaade waarschijlijkheidsboom zij iet alle waarschijlijkhede igevuld. 3 C 2 A B D E Welke va de oderstaade uitsprake is altijd waar? A P(A C c ) [0, 2 ]. B P(D E) =. C P(B C) 2. D P(A c ) 2. 0

11 7 We herhale ee Beroulli-experimet met waarschijlijkheid p = 2 op succes op oafhakelijke wijze tot ee eerste succes optreedt. De geometrisch verdeelde veraderlijke N is het aatal falige voor ee eerste succes. Ik krijg a afloop va het experimet ( 2 )N euro. Wat is het verwachte aatal euro s dat ik zal krijge? Hit: kijk aar de oderstaade waarschijlijkheidsboom. p p 2 p 4 p 8 A 2 B C 2 3 D 2

12 8 Beschouw de volgede Matlab-fuctie: fuctio res = DoeIets ( ) % deze fuctie doet iets % ivoer : is ee atuurlijk getal ( verschilled va ul ) X = 4* rad (,); X = sum (X)/; DeltaX = X-X; res = sum ( DeltaX.^2)/( -); ed Op deze maier is doeiets ee fuctie va. We make groter e groter maar iet zo groot dat er zich umerieke foute voordoe. Da wordt het zeer waarschijlijk dat de waarde voor doeiets () dicht bij welk getal zal kome te ligge? A B 2 C 4 D 6 9 Beschouw ee toevallige steekproef X,...,X 5 va grootte 5 uit ee ormale verdelig met parameters µ = 2 e σ 2 = 5. Welke va de oderstaade uitsprake is correct? A (X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) 2 e S5 2 zij gecorreleerd. B S 2 5 heeft ee χ2 -verdelig met 4 vrijheidsgrade. C cov(x,x 5 ) < var(x 5 ). D Gee va de bovestaade uitsprake is correct. 20 We eme ee toevallige steekproef X,...,X va grootte uit ee ormale verdelig met parameters µ = 0 e σ 2 > 0. Wat is de met deze steekproef correspoderede Fisher-iformatie voor de stadaardafwijkig σ? A 2 σ 2 B σ 2 C 2 σ 2 D σ 2 2

13 2 Het aatal klate dat biekomt i de wikel va Nathalie volgt ee Poisso-proces met ee tempo va vijf per uur. De toevallige veraderlijke N is het aatal klate dat biekomt gedurede het laatste half uur voor sluitigstijd. Elk va die klate k koopt X k artikele, voor k =,...,N. De toevallige veraderlijke X k zij oafhakelijk va elkaar e va N, e zij geometrisch verdeeld met parameter 5. Wat is da de verwachtigswaarde va het totale aatal artikele A N = N k= X k dat wordt gekocht i dat laatste half uur? Hit: Vid eerst de verwachtigswaarde E(A ) voor vaste N = > 0, e pas da de wet va totale waarschijlijkheid voor verwachtigswaarde toe. Let wel, voor N = = 0 zij er gee klate, e dus ook gee verkochte artikele: A 0 = 0. A 0 B 2,5 C 20 D Va twee reële toevallige veraderlijke X e Y wete we dat E(X) = E(Y ) = 0, var(x) = var(y ) =, ρ(x,y ) = 2 e var(xy ) = 3. Waaraa is cov(x 2,Y 2 ) gelijk? A 2 B 4 C 6 D gee va de bovestaade 3

14 23 Het bedrijf AutoScout24 liet ee equête uitvoere waarbij aa = 525 Belge gevraagd werd of ze ee Belgische vlag op hu auto zulle aabrege als de Rode Duivels de fiale va het wereldkampioeschap hale. 53 Belge atwoordde positief op deze vraag. Om de vraag aar Belgische vlagge op auto s te kue ischatte, wille we op basis va deze equête iets kue besluite over de ulhypothese dat maximaal p 0 = 7% va de Belge ee Belgische vlag op hu auto zulle aabrege. Hiervoor gebruike we ee Wald-teststatistiek, waarbij we de geschatte stadaardfout se ˆ gebruike. Het sigificatieiveau α 0 waarvoor we teste is 5%. Met x i = als de i-de Belg ee Belgische vlag aabregt op zij auto, e x i = 0 als hij dat iet doet, geeft de volgede tabel de relevate gegeves weer: Welke va de volgede uitsprake is waar? i= x i p 0 H 0 α % p p 0 5% A H 0 wordt verworpe e het effectief sigificatieiveau is ogeveer 0,93%. B H 0 wordt iet verworpe e het effectief sigificatieiveau is ogeveer 0,93%. C H 0 wordt verworpe e het effectief sigificatieiveau is ogeveer 0,27%. D H 0 wordt iet verworpe e het effectief sigificatieiveau is ogeveer 0,27%. 4

15 24 We doe ee hypothesetest over de verwachtigswaarde µ va ee ormaal verdeelde veraderlijke X, waarva we wete dat var(x) =. We wete ook dat de verwachtigswaarde µ va X ofwel gelijk is aa µ 0, ofwel gelijk is aa µ 2 (met µ 2 > µ 0, zie de oderstaade figuur), ofwel gelijk is aa µ := 2µ 0+µ 2 3. De ulhypothese H 0 e de alteratieve hypothese H zie er als volgt uit: H 0 : µ {µ 0, µ 2 }, H : µ = µ. I de figuur zij ook vier verschillede aavaardigsgebiede AG, AG2, AG3 e AG4 geteked, die overeekome met de respectieve teste δ, δ 2, δ 3 e δ 4. µ 0 µ µ 2 AG AG2 AG2 AG4 AG3 Welke va de vier teste heeft de kleiste obetrouwbaarheid? A δ B δ 2 C δ 3 D δ 4 25 De cotiue reële toevallige veraderlijke X heeft ee gamma-verdelig met parameters α = 2 e β > 0. Coditioeel op X = x, met x > 0, is de cotiue reële toevallige veraderlijke Y uiform verdeeld over het iterval (0,x). Welke va de volgede uitsprake is correct? A Y heeft ee expoetiële verdelig met parameter β. B P(X = ) = β 2 e /β. C X e Y zij oafhakelijk. D Gee va de bovestaade uitsprake is correct. 5