n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.

Transcriptie

1 Limiete

2 Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek lijkt er wel door te gaa Je ziet ee voorbeeld op de grafiek rechts, met ee fuctie f die ee perforatieput heeft i P (, We zage reeds dat we dit otere als f ( = (merk op dat f iet bestaat, omdat dom f We bekijke ee rij origiele f (,,949,,995,,9995,,9999 waarvoor geldt dat + ( f? = Wat doet de beeldrij Dit is uiteraard het resultaat dat we verwachtte: de beeldrij covergeert aar Maar geldt dit voor alle rije va origiele die covergere aar? Het is dit dat we gaa formulere als defiitie va (eidige iet De iet va ee fuctie f voor gaade aar a R is gelijk aa b R als e slechts als voor elke rij va origiele ( uit het domei va f die aar a covergeert, de beeldrij f ( covergeert aar b I symbole: : f = b dom f = a f = b + + (met de otatie ( dom f bedoele we uiteraard dat N : dom f ( Deze defiitie blijft gelde als de beeldrij f divergeert aar + of Je ka echter ook het begrip iet va ee fuctie defiiëre zoder gebruik te make va iete va rije Dit is grafisch heel makkelijk i te zie: + + R R f = b ε, δ, dom f: a δ f b ε I woorde: Hoe klei je ee marge op de y -as (ε ook kiest, je ka altijd ee marge op de -as (δ kieze zodat alle fuctiewaarde va -waarde die dichter da δ bij a ligge (behalve a zelf, dichter da ε bij b zulle ligge Liker- e rechteriete We bekijke ees de grafiek va de fuctie f ( 4 = Bgta + π Cursus differetiaalrekeig - iete - - S Mettepeige

3 Deze fuctie gedraagt zich zeer eigeaardig i de buurt va = Het is duidelijk dat f iet bestaat, wat alle beeldrije die covergere aar va egatieve origiele zulle aar covergere terwijl alle zulke rije va positieve origiele aar 3 zulle covergere We oeme dit respectievelijk de likeriet e de rechteriet va deze fuctie voor gaade aar We kue dit ook algemee defiiëre: De likeriet va ee fuctie f voor gaade aar a R is gelijk aa b R als e slechts als voor elke strikt stijgede rij va origiele ( uit het domei va f die aar a covergeert, de beeldrij ( f ( covergeert aar b I symbole: f ( = b ( dom f, ( a: = a f ( = b + + De rechteriet va ee fuctie f voor gaade aar a R is gelijk aa b R als e slechts als voor elke strikt dalede rij va origiele ( uit het domei va f die aar a covergeert, de beeldrij ( f ( covergeert aar b I symbole: f ( = b ( dom f, ( a: = a f ( = b + + ( Deze defiities blijve gelde als de beeldrij f divergeert aar + of Ook hier kue we deze iete defiiëre zoder het over rije te hebbe: + + R, R, : = ε δ δ ε f b dom f a a f b + + R, R, : = ε δ + δ ε f b dom f a a f b b Limiet voor ± Volledig aaloog aa het voorgaade kome we tot de volgede defiities: De iet va ee fuctie f voor gaade aar + is gelijk aa b R als e slechts als voor elke rij va origiele ( uit het domei va f die aar + divergeert, de beeldrij ( f ( covergeert aar b I symbole: : f = b dom f =+ f = b Dit gaat uiteraard volledig aaloog voor Deze defiities blijve gelde als ook de beeldrij ( f divergeert aar + of E ook hier kue we deze iete defiiëre zoder het over rije te hebbe: + + ε R, R, : + f = b r dom f r f b ε + ε R, R, : f = b r dom f r f b ε Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

4 Eigeschappe voor iete va fucties a Limiete va bewerkige va fucties We hebbe alle rekeregels die volge al beweze i het hoofdstuk rije Dat deze blijve gelde voor iete va fucties volgt omiddellijk uit de (rij-defiities va deze iete We verkrijge zo de gekede eigeschappe (op voorwaarde dat de iete waarva sprake bestaa e zivol zij Voor alle fucties f e g, alle reële getalle r R e alle atuurlijke getalle N geldt: ( f + g = f ( + g( ( f g = f ( g( ( r f = r f ( f f = g( g f ( ( = f ( (op voorwaarde dat g f ( = f ( Ook de rekeregels voor oeidige iete die we zage i het hoofdstuk rije blijve hier uiteraard gelde b Basisiete Uit de defiitie va iete va fucties volge ook omiddellijk de volgede basisiete: c= c (met c R a = a a = a (met N = a + = a (met uiteraard a R als eve is c De isluitstellig(e Bij rije hebbe we de isluitstellig beweze Ook hier blijft deze stellige uiteraard gelde, same met twee heel eevoudige hulpstellige: Als R, met a δ Als R, met a δ Als R, met a δ geldt dat f ( = g(, da zal f ( = g( geldt dat f ( g(, da zal f ( g( geldt dat g( f ( h(, e g( = h( da zal ook g( f ( h( = = (dit heet ook de isluitstellig voor fucties Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

5 3 Rekeregels voor iete va fucties Afspraak: de otatie is ee korte otatie voor twee iete: + e a Limiete va veeltermfucties f = c + c + + c + c+ c, met c, da geldt: Stel dat f = f a (de fuctiewaarde berekee a f ( = c (de iet va de hoogstegraadsterm Bewijs: f ( = ( c + c + + c + c + c f eig ( = ca + c a + + ca + ca+ c = f ( a f ( = ( c + c + + c + c + c c c c f ( = c f Voorbeelde: * ( * c c c c eig = c + c 6 3 = 6 3= 3 3 = 3 3 =+ Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige c c c c c c = c c b Limiete va ratioale fucties Stel dat f ( T a + a + + a + a+ a = = m N b + b Als N( a : f ( m Als N( a T( a m m b b b c, da geldt: T a = (de fuctiewaarde berekee N a = da heeft de fuctie ee verticale asymptoot = a Om de liker e rechteriete voor a te berekee (altijd + of is ee teketabel odig Als N( a T( a = = da ka je met het algoritme va Horer de graad va de teller e de oemer verlage Je krijgt da ee ieuwe eevoudigere iet f f ( Horer = ' ' ' ' ' ( a + a + + a + a + a ( ' m ' m b ' ' ' m + bm + + b + b + b ( a ( a a = (de iet va het quotiët va de hoogstegraadsterme m b m Bewijs: volgt uit de eigeschappe va iete e de rekeregels voor iete va veelterme

6 Voorbeelde: * * * = = = 48 ( = = = = = + tekeoderzoek 3 + * Dus = e = = = = * c Limiete va irratioale fucties =+ Als de fuctiewaarde f ( a gedefiieerd is (iet obepaald zal zoals bij alle adere fucties ook hier gelde dat r ( met f = f a We bekijke de mogelijke obepaaldhede va dichterbij: a r r Net als bij ratioale fucties is er hier i het geval ( r ee teketabel odig Voorbeeld: * 3 5 = + tekeoderzoek 3 + /// Dus = e = Hier moet vermeigvuldigd worde met de toegevoegde wortelvorm omdat je pas da (met of zoder Horer het gemeeschappelijke ulput ka wegdele Voorbeeld: * = = * = + 3 = 8 Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

7 Ook voor de iete f ( ± ± zij er specifieke maiere om obepaaldhede weg te werke: Hier ka de hoogste macht va i teller e oemer voorop gezet worde Hiervoor moet soms vaoder ee wortelteke gehaald worde Let daarbij op: Als + da is Voorbeeld: * = 3+ =, maar als da is = + Vermeigvuldige met de toegevoegde wortelvorm herleidt deze obepaaldheid tot het vorige geval Voorbeeld: * ( = + d Limiete va goiometrische fucties: si Stellig: = siα Bewijs: We bekijke eerst de rechteriet α α Met adere woorde α = 3 ( = = = = e stelle dus dat α ], π [ Als we ee hoek α bekijke uit het eerste kwadrat op de goiometrische cirkel da i het eevoudig om i te zie dat de oppervlakte va driehoek OEP kleier is da de oppervlakte va de cirkelsector bepaald door α die op zij beurt weer kleier is da de oppervlakte va driehoek OET Dus geldt er: siα α taα α α ], π [: siα cosα Neem hieri de iet α e er moet gelde dat α = siα Verader je hierbij α i α, da krijg je: ( α α α α siα α α α = =, dus ook de si siα α siα likeriet is We moge dus besluite dat =, e dus ook dat = α siα α α Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

8 ta ta si si Gevolg: Ook = wat = = = = cos cos si si si si si si Voorbeelde: * = 4= 4= 4 3 ta 5 ta 5 * = ta 5 * 5 ( 5+ ta( = = = ( = 5+ = 5 5 Opm: I de fysica e de sterrekude wordt si vaak vereevoudigd tot voor kleie waarde va Dat dit mag is duidelijk ee gevolg va de et beweze iet 4 Asymptote a Verticale asymptote De (grafiek va ee fuctie f heeft ee verticale asymptoot (VA met vergelijkig = a als e slechts als: f ( =+ of f ( =+ of f ( = of f ( Verticale asymptote kue ekel voorkome op de gres va het domei va ee fuctie, aagezie ee fuctiewaarde iet oeidig ka zij Voorbeeld: De fuctie cot f = heeft oeidig veel verticale asymptote met vergelijkig = kπ, omdat cot= e cot=+ kπ kπ = b Horizotale asymptote De (grafiek va ee fuctie f heeft ee horizotale asymptoot (HA met vergelijkig y= b als e slechts als: f ( = b of + f = b Voorbeeld: De fuctie ( + + ( + f = + + heeft ee horizotale asymptoot h y= wat: = + = + + c Schuie asymptote = De (grafiek va ee fuctie f heeft ee schuie asymptoot (SA met vergelijkig y= m+ q als e slechts als: f ( ( m+ q = of f ( ( m q + = + Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

9 Stellig: Als y= m+ q ee SA is va f, da is Bewijs: ( f ( ( m q ( f ( m q f ( = e q m = + = = ( f m f q f ( f ( ( m+ q = m = m = ± ( f ( m q = q= ( f ( m Deze formules voor m e q worde de formules va Cauchy geoemd Voorbeeld: De fuctie m= f = + + heeft ee schuie asymptoot s y= + wat: = + + ( + + ( + q= + + q= q= = = = Opmerkig: bij ratioale fucties zage we dat ee fuctie maar éé HA of SA ka hebbe, maar u merk je dat dit bij adere soorte fucties iet zo is Het gedrag op hoeft iet oodzakelijk hetzelfde te zij als het gedrag op + 5 Cotiuïteit a Defiitie Ee fuctie f heet cotiu i a dom f (f is dus discotiu i ee put a dom f Ee fuctie f heet likscotiu i a dom f Ee fuctie f heet rechtscotiu i a dom f als e slechts als = f f a a als of als f f a a f a als e slechts als f ( = f ( a als e slechts als f ( = f ( a iet bestaat Ee alteratieve defiitie voor cotiuïteit ( zoder iete ka als volgt gegeve worde: + + f is cotiu i a,, dom f: a f ( f ( a ε R δ R δ ε Merk op dat we cotiuïteit ekel defiiëre voor pute i het domei va de fuctie Cursus differetiaalrekeig - iete S Mettepeige

10 Bij uitbreidig heet ee fuctie cotiu f i ee iterval [ ab, ] dom f als ze rechtscotiu is i a, likscotiu i b e cotiu i alle pute va ] ab, [ b Eigeschappe Uit de defiitie va cotiuïteit e de eigeschappe va iete va fucties volge omiddellijk de volgede eigeschappe: Als f e g cotiu zij i a, da zij ook f + g, f g e f g cotiu i a Als f e g cotiu zij i a, e g( a, da is ook f g cotiu i a Als f cotiu is i a e g is cotiu i f ( a, da is ook g f cotiu i a Als f cotiu is i a da is f cotiu i f ( a (op voorwaarde dat f ( a dom f Met adere woorde: bija alle fucties die wij kee zij cotiu i hu domei Dat geldt voor veeltermfucties, ratioale fucties, irratioale fucties, goiometrische fucties, cyclometrische fucties (e ook epoetiële e logaritmische fucties Ee voorbeeld va ee fuctie die iet cotiu is ee put va haar domei is de sigumfuctie waarva je hieraast de grafiek ziet Deze is overal cotiu behalve i, wat ( bestaat iet f = maar sg( Ook samegestelde fucties kue discotiu zij Zo is de fuctie f, = iet cotiu i, Ze is er echter wel likscotiu, wat f ( f = Deze fuctie vertoot ee sprog, dat is typisch voor ee discotiuïteit c De stellig va Bolzao Stellig: Als f cotiu is i [ ab, ] e f ( a f ( b da heeft f ee ulwaarde i [, ] ab Bewijs: We stelle voor de eevoud f ( a e f ( b (het adere bewijs verloopt aaloog We stelle ee algoritme op dat os zal toelate het ulput te defiiëre: a+ b Noem m het midde va a e b, dus stel m = Als f ( m = da is de stellig beweze f m oem da a = m e stel b = b Als Als f ( m oem da a a = e stel b = m We krijge zo ee ieuw iterval [ a, b ], met f ( a e b a f b, e breedte b a = Cursus differetiaalrekeig - iete - - S Mettepeige

11 Herhale we deze redeerig ogmaals (met iterval [ a, b ], met f ( a e m als midde va [, ] a b, da krijge we ee ieuw b a = f b, e breedte b a Blijve we op deze maier verder gaa da vide we ofwel ooit ee ulwaarde m (e da is de stellig beweze, ofwel krijge we twee rije ( a e ( b De rij ( a is mootoo stijged e aar bove begresd door b, e de rij b is mootoo daled e aar oder begresd door a, dus beide rije covergere oem a = A e b = B + + Aderzijds halveert de legte b a telkes, zodat geldt: b a B A= b a = ( b a = = A= B Stel c= A= B We bewijze u og dat c de ulwaarde is die we zoeke + f a f c = f a N: f ( c = f b f c = f b + Opmerkig: het bewijs va deze stellig is ee algoritme dat os toelaat om het gezochte ulput te beadere tot op elke geweste auwkeurigheid Bekijk zeker ees de applet over deze stellig d De tussewaardestellig Ee logische veralgemeig va deze stellig zegt dat ee cotiue fuctie alle fuctiewaarde tusse twee waarde i ee iterval bereikt: Als f cotiu is i [, ] ab, met f ( a f ( b, e γ ee fuctiewaarde tusse f ( a e f ( b, da bestaat er ee ], [ zodat c ab f c = γ Bewijs: Pas de stellig va Bolzao toe op de fuctie g( = f ( γ e Stellig va Weierstrass Ee zeer belagrijke stellig i de aalyse is de stellig die zegt dat elke cotiue fuctie i ee iterval ook begresd is e dus ee supremum e ee ifimum bereikt Dit is de stellig va Weierstrass Hieraast zie je de stellig geïllustreerd Het bewijs va deze stellig valt (ver buite het bereik va deze cursus f Regula falsi Ee adere methode om ulpute te beadere is de regula falsi We vertrekke weer va ee fuctie f die cotiu is i [ ab, ], e stelle voor de eevoud f ( a e f ( b Cursus differetiaalrekeig - iete - - S Mettepeige

12 Deze methode werkt op dezelfde maier als de methode, op éé detail a De waarde m i + zulle u iet de middes zij va de itervalle [ i, i] AB i i met de -as (hierbij is Ai ( ai, f ( a i e i( i, ( i startpute A( a, f ( a e B( b, f ( b : f ( b f ( a De koorde heeft als vergelijkig AB y f ( a = ( a a b maar de -coördiate sijpute va de koorde B b f b We voere de berekeig uit voor de b a We vide het sijput met de -as door y= te stelle (e da is = m : f b f a f ( a = m a b f a + a f a = f ( b f ( a m a f b + a f a b a f ( b f ( a a f ( b b f ( a f ( a = ( a m = b a f b f a Als f ( m = da is dit het gezochte ulput Als f ( m oem da a = m e stel f ( m oem da a = a e stel b = m b = b Als Blijve we op deze maier verder gaa da vide we ofwel ee ulwaarde m (e da is de stellig beweze, ofwel ka je bewijze dat de rij ( m covergeert aar het ulput Het bewijs va deze methode valt echter (heel ver buite het bestek va deze cursus Ee belagrijk verschil met de methode va Bolzao is dat hier de breedte va het iterval [ ab i i] iet oodzakelijk willekeurig klei wordt Cursus differetiaalrekeig - iete - - S Mettepeige