déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå"

Transcriptie

1 déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë

2 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd e/of opebaar gemaakt door middel va druk, fotokopie, microfilm of op welke adere wijze ook zoder voorafgaade schriftelijke toestemmig va de uitgever. Het is toegelate voor leerkrachte om deze tekst te reproducere voor gebruik i de klas.

3 Voorwoord Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe wil i auw cotact met leraars wiskude e weteschappe hededaagse thema s vertale aar de dagelijkse lespraktijk. I het kader va dit project heeft het Limburgs Uiversitair Cetrum same met medewerkers va verschillede Limburgse secudaire schole ee bijzoder project rod wiskude opgezet voor leerlige va de 3de graad secudair oderwijs. Met dit eerste project heeft de stuurgroep wiskude gekoze om ee lik te legge tusse rije i de wiskude, het begrip covergetie e limiet e thema s uit de biologie e iformatica. Aa de had va deze werktekst otdekt u same met uw leerlige hoe het komt dat bloemehartjes zo dicht gevuld zij, dat huisjesslakke zo perfect gevormde schelp hebbe, dat virtuele omgevige gebaseerd zij op wiskudige pricipes Met dit projectwerk wordt aagetood dat wiskude best uitdaged ka zij e vele overwachte toepassige heeft i adere disciplies. De tekst poogt om het verieuwigsproces i de wiskude (auwere aasluitig bij de leefwereld va de leerlige, spiraalsgewijze aapak e het aabiede va meer actieve werkvorme) toe te passe. Het grafische aspect speelt hieri ee belagrijke rol. Er wordt i de tekst da ook bijzodere aadacht besteed aa de grafische aalyse va begrippe als covergetie e limiete. Omdat i de eidterme va het wiskudeoderwijs ook het ICT-gebeure ee belagrijke plaats ieemt, heeft ook dat aspect ee belagrijke plaats gekrege. Het eerste deel va de tekst bregt het begrip rij aa. Aa de had va verrassede probleme otdekke leerlige de basispricipes. I ee tweede deel wordt verder igegaa op covergetie e wordt het begrip limiet aagekodigd. I de bijlages worde bepaalde thema s verder uitgediept. Achteraa de tekst vidt u ee aatal uitvergrote tekeige die op trasparat kue worde gekopieerd. Bij de tekst is ook ee website otwikkeld om de odige software te dowloade of oplossige va probleme te bestudere ( Het is iet oodzakelijk om de tekst itegraal i de klas aa te biede. De tekst wil vooral ee stimulas zij om verieuwede thema s, die passe bie het leerpla, i de les te behadele. We wese je boeiede lesse e hope va je feedback te moge verwachte. Dat ka via de vermelde website. Wil je graag meewerke aa dit soort projecte, aarzel da iet om éé va oze medewerkers te cotactere. Ook dat ka via de vermelde website Veel plezier met dit project voor u e uw leerlige. Prof. Dr. Herma Callaert Coördiator Scholeetwerk. Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe is ee iitiatief va Dirk Va Mechele, Vlaams miister va Fiacië e Begrotig, Iovatie, Media e Ruimtelijke Ordeig, i overleg met Marlee Vaderpoorte, Vlaams miister va Oderwijs e Vormig. Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe wordt, i opdracht va de Vlaamse regerig, gerealiseerd door de admiistratie Weteschap e Iovatie va het miisterie va de Vlaamse Gemeeschap e door het Limburgs Uiversitair Cetrum. oáàéå=j=p

4 Ihoud Ileidig 5. Rije 5. De rij va Fiboacci 5. Rekekudige e meetkudige rije 7.3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije 9.4 Uitgewerkte voorbeelde.5 Opdrachte. Limiet va ee rij: covergetie of divergetie 5. Eigelijke of eidige limiet 5. Oeigelijke of oeidige limiet 8.3 Covergetie va rekekudige e meetkudige rije 3 Appedix A: De rij va Fiboacci 34 A. Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci 34 A. De gulde sede 35 A.3 De rij va Fiboacci i de kust 36 A.4 De rij va Fiboacci i de atuur 38 Appedix B: Rije e de TI-83/84 Plus 4 B. Voorbeeld 4 B. Het plotte va de rij 4 B.3 Webdiagram 4 Appedix C: Fracdes 44 C. De familie vo Koch 44 C. Geïtereerde fuctiesysteme (IFS) 45 C.3 Hadleidig 46 C.4 Istallatie 48 Appedix D: Trasparate Error! Bookmark ot defied. Appedix E: Bibliografie 7 oáàéå=j=q

5 Ileidig Waarom vorme zoebloempitte bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5? Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige i de biologie? Heb je je al ees afgevraagd hoe computerprogrammeurs de virtuele omgevige creëre die gebruikt worde i computerspelletjes? I dit hoofdstuk vid je op deze vrage ee atwoord.. Rije. De rij va Fiboacci Stel dat je ee babykoppel koijtjes bezit. Na éé maad zij ze volwasse e dus vruchtbaar. Na weer éé maad krijgt het volwasse koppel zelf ee babykoppel koijtjes. We veroderstelle dat er gee koijtjes doodgaa e dat elk ieuw koppel a twee maade weer ee ieuw paar voortbregt (zie volgede figuur). oáàéå=j=r

6 Beschouw i de volgede tabel de voortplatig va de koije. Maad Aatal volwasse pare Aatal babypare Totaal aatal Het totaal aatal koijepare vormt de rij va Fiboacci:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Elke term is de som va de twee voorgaade terme. I symbole: u ( ) = u ( ) + u ( ). Dit oemt me het recursieve voorschrift va de rij. Bij het berekee va ieuwe elemete, maak je gebruik va de keis va de vorige elemete. Je zou de elemete i de rij ook kue beschouwe als resultate va ee fuctie u : \{}. Je kut aatoe (zie bijlage A) dat voor de rij va Fiboacci het voorschrift gegeve wordt door : u: \{} : 5 Ga dit a voor u(), u(5) e u(). Ee dergelijk voorschrift oemt me het expliciete voorschrift va de rij. Je maakt u ekel gebruik va het volgummer of idex va het elemet. De op het eerste zicht eigeaardige getalle uit de rij va Fiboacci blijke op heel wat plaatse voor te kome i de atuur. Zoebloeme Het hart va ee zoebloem vertoot spirale die i tegegestelde richtig lope. Het aatal spirale i wijzerzi e i tegewijzerzi zij meestal twee opeevolgede Fiboaccigetalle. Zoebloeme va gemiddelde grootte hebbe meestal 34 e 5 5 spirale. De geoloog T. O Coell e zij vrouw hebbe i 95 ee reuzezoebloem gevode met 44 e 33 spirale. oáàéå=j=s

7 Aaasse Als je de verschillede spirale bij ee aaas telt, bekom je getalle uit de rij va Fiboacci. 8 3 Niet allee i de atuur kome de getalle va Fiboacci verrassed veel voor. Twee voorbeelde : Muziek De zwarte toetse uit de tooladder vorme de 5-toige schaal die later uitgebreid werd met de witte toetse (de 8-toige schaal). Same vorme ze de 3-delige schaal. De vijfdelige schaal is bovedie gegroepeerd i e 3. Poëzie Ee limerick is opgebouwd uit 5 lije met ee totaal aatal va 3 versmate of maatslage, gegroepeerd per of 3 De vrouw va ee deke i Lake Lag s achts diepe zuchte te slake, Zij kreude zacht : O! Het kriebelt mij zo : Wel ee deke i bed, maar gee lake. (Alex va der Heide) 3 mate 3 mate mate mate 3 mate 3 mate. Rekekudige e meetkudige rije Voorbeeld Beschouw de rij 5, 8,, 4, 7,, 3, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = u ( ) + 3 Expliciet: u ( ) = u() + 3( ) Ee rij waarbij elke term met eezelfde getal verschilt va de vorige oemt me ee rekekudige rij. Het verschil, v, tusse twee opeevolgede terme is steeds gelijk. oáàéå=j=t

8 Voorbeeld Beschouw de rij 6, 8, 54, 6, 486, 458, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = 3 u ( ) Expliciet: u ( ) = u() 3 Ee rij waarbij elke term met eezelfde factor verschilt va de vorige oemt me ee meetkudige rij. De verhoudig, r, va twee opeevolgede terme is dus steeds gelijk. Defiities Ee reële rij u is ee afbeeldig va \{} i. De algemee term va de rij is het beeld u ( ) va door u. We otere u ( ) door u. Ee rekekudige rij met begiterm u ( ) = u = u + ( ) vmet u e v reële getalle. Ee meetkudige rij met begiterm u ( ) = u = uq met u e q reële getalle u u e verschil v is de rij met algemee term e verhoudig q is de rij met algemee term Merk op dat voor zowel rekekudige als meetkudige rije ook recursieve voorschrifte gegeve kue worde. Voorbeeld 3 Beschouw de rij, 3, 7, 5, 3, Het recursieve e expliciete voorschrift zij: Recursief: u = u + Expliciet: u = Het recursieve voorschrift va deze rij ka algemee geformuleerd worde als volgt: > : u = au + b ( a, b, u ) met begiterm. u Dit resulteert i ee meetkudige rij als a e b = e ee rekekudige rij als a = e b. Opmerkige Me spreekt va ee strikt stijgede rij als \{}: u + > u Me spreekt va ee stijgede rij als \{}: u + u. Elke strikt stijgede rij is stijged. Me spreekt va ee strikt dalede rij als \{}: u + < u. Me spreekt va ee dalede rij als \{}: u + u. Elke strikt dalede rij is daled. Me spreekt va ee strikt mootoe rij als de rij strikt daled of strikt stijged is. oáàéå=j=u

9 Me spreekt va ee mootoe rij als de rij daled of stijged is. Elke strikt mootoe rij is steeds mootoo. Me spreekt va ee costate rij als: IN \{}: u+ = u. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar bove begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemajoreerd. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar oder begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemioreerd. Me spreekt va ee begresde rij als de rij aar bove EN aar oder begresd is..3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije Beschouw de rekekudige rij u = 5, 8,, 4, 7,, 3, 6,, 3 +, Beschouw de oderstaade pare va somme: u + u4 = u+ u5 = u3+ u4 = 5 u5 + u = 5 u3+ u5 = 8 u + u6 = 8 Dit geeft de volgede tabel: u u u + u Verwoord de hierbove gevode relatie i de vorm va ee algemee eigeschap. EIGENSCHAP Voor ee rekekudige rij u geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk + ul = ur + u (ii) \{} : ui = u u = ( u+ u ) i= s oáàéå=j=v

10 BEWIJS Zij u ee rekekudige rij met verschil v e k, l, r, s zoals i het gegeve. Om te bewijze dat uk + ul = ur + u s schrijf u, u, u e u s i.f.v. u e. k l r k = + ( ). k + l = + + l ( ). u u k v u = u + l v u u u ( k l ). v v e r = + ( ). r + s = + + s ( ). u u r v u = u + s v u u u ( r s ). v Hieruit volgt dat uk + ul = ur + u s. Zij \{} e stel S = u+ u + u u. We bepale de som va S met zichzelf op de volgede maier: S = u + u + u u S = u + u + u u S = ( u + u ) + ( u + u ) + ( u + u ) ( u + u ) terme Pas op S eigeschap (i) toe om aa te toe dat S = ( u + u)..3. Meetkudige rije EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij u met ee positieve verhoudig geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk ul = ur u (ii) \{} : ui = u... u = ( u u ) i= Het bewijs va eigeschap verloopt aaloog als het bewijs va de gelijkaardige eigeschap voor rekekudige rije. Probeer het bewijs te formulere! s Opmerkig Formuleer ee eigeschap voor het product va de eerste terme va ee meetkudige rij met ee egatieve verhoudig. Maak ee oderscheid tusse eve e oeve. oáàéå=j=nm

11 EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij met verhoudig q geldt: (i) u u = u als q = u u = u (ii) q q als q BEWIJS Het eerste geval is overduidelijk daar voor q = alle terme gelijk zij aa u. Veroderstel da dat q. I dit geval geldt : u u = u + u q+ u q + u q u q = u ( + q+ q + q q ) Uit q = ( q) ( + q+ q + q q ) volgt het te bewijze. Opmerkig Voor < q < wordt q praktisch ul voor voldoede groot. q u u q Hieruit volgt voor u u = u = q q q verwaarloosbaar is t.o.v. u e voor voldoede groot dat u + +. q q. Voor voldoede groot geldt: u... u u q q oáàéå=j=nn

12 .4 Uitgewerkte voorbeelde Rije worde o.a. gebruikt om : dyamische processe te beschrijve (dek bijvoorbeeld aa het radioactief verval va ee stof, de voortplatig va ee bepaalde diersoort, ), getalle te beadere (dakzij het gebruik va rije kue vierkatswortels met ee reketoestel of computer sel bereked worde), bij fucties te oderzoeke wat er gebeurt als x zeer grote of zeer kleie waarde aaeemt. Voorbeeld - Itrest Waeer me bij ee bak ee geldbedrag op ee spaarrekeig plaatst, krijgt me daar ee vergoedig voor i de vorm va itrest. Stel dat we ee kapitaal va op ee spaarrekeig zette gedurede ee aatal jare tege ee itrestvoet va 5%. Bij ekelvoudige itrest krijgt me per jaar ee vergoedig va 5. Het kapitaal groeit da jaarlijks aa volges ee rekekudige rij. Stel u = het kapitaal a jare i het geval va ekelvoudige itrest. I werkelijkheid past me echter samegestelde itrest toe. Dit wil zegge dat me i de loop va ee volged jaar iet allee itrest krijgt op het oorsprokelijk kapitaal maar ook op de itrest die me de vorige jare heeft otvage e die me op de spaarrekeig laat staa. Stel v = het kapitaal a jare i het geval va samegestelde itrest. We make ee tabel met de aagroei va het begikapitaal u = v =. aatal jare u 5.,5 = 5 5.,5 =. (,5) ,5 =. (,5) ,5 =. (,5) (,5) Bij samegestelde itrest groeit het kapitaal aa volges ee meetkudige rij e dit is voor de spaarder gustiger. De algemee formule voor de jaarlijkse samegestelde itrest is ( ) v K = K. + i = K. q, waarbij K het begikapitaal, K het kapitaal a jare, i de itrestvoet (voor 5% is i =,5) e q = + i =.5 de groeifactor per jaar is. De maadelijkse groeifactor is we de formule K = K q = K ( ) + i. q e de dagelijkse groeifactor 365 q. Met het aatal dage bekome Tegewoordig passe de meeste bake ee dagelijkse itrest toe volges de formule K 36 i 36 = K +. oáàéå=j=no

13 I de volgede tabel zie je de verschillede resultate (afgerod) voor os voorbeeld. aatal jare jaarlijks maadelijks dagelijks We kue os de vraag stelle a hoeveel jaar het startkapitaal verdubbeld is. We vergelijke de ekelvoudige e samegestelde itrest als volgt: Uit de bovestaade schermafdrukke ka je cocludere dat a 5 jaar het kapitaal zeker verdubbeld is bij samegestelde itrest. We kue dit jaartal ook berekee door gebruik te make va de logaritme. Stel dat het kapitaal verdubbeld is a x jaar. Da geldt: x x x log v =, 5 v =, 5 log = log(, 5 ) log = x log(, 5) x= 4,. log(, 5) Voorbeeld Ee bediede i ee bedrijf krijgt ee begisalaris va per maad e ee jaarlijkse opslag va. Zij loo groeit aa volges ee rekekudige rij. Ee tweede bediede krijgt hetzelfde begisalaris maar kiest, tot verbazig va de bedrijfsdirecteur, voor ee halfjaarlijkse opslag va slechts 5. jaar eerste tweede Welke loosverhogig verkies jij? Voorbeeld 3 - De driehoek va Sierpiski We starte met ee gelijkzijdige driehoek. We trasformere de driehoek tot ee ieuwe figuur door de middes va elke zijde met elkaar te verbide. Je bekomt i de oorsprokelijke driehoek drie ieuwe driehoeke zoals hieroder aagegeve. Elk va die driehoeke ku je op dezelfde wijze trasformere e zo ga je maar door oáàéå=j=np

14 Na ee vijftal stappe veradert het uitzicht va de bekome driehoek og auwelijks. Ee ieuwe trasformatie levert eezelfde beeld op. De figuur die je uiteidelijk bekomt, oemt me de driehoek va Sierpiski. Het is ee typevoorbeeld va fractale, meetkudige objecte die ee sterke zelfgelijkvormigheid vertoe. Het zij limietobjecte va ee iteratieproces. Iedere stap bij de costructie va de driehoek va Sierpiski is te beschouwe als de uie va de beelde va de vorige figuur oder drie affiee trasformaties i het vlak. I dit geval zij de trasformaties telkes ee samestellig va ee verschuivig e ee homothetie met schaalfactor.5. Aatal trasformaties Aatal driehoeke Voorbeeld 4 - DIN-papierformate Volges het DIN (Deutsches Istitut für Normug) moete de afmetige voor papierformate voldoe aa de volgede voorwaarde. Het grootste formaat A heeft ee oppervlakte va m². Als ee blad va het formaat A i twee wordt geplooid, bekomt me ee blad va het formaat A +. Alle formate zij gelijkvormig zodat me tijdes het kopiëre ka vergrote of verkleie aar ee ader DIN-formaat. We bepale de afmetige va de formate A tot A 5. We stelle de volgede vier betrekkige op tusse de hoogte e breedte formate A e A : h h h h b =, h = b, b = e =. b b h, b, h, b va de 4 Door i de vierde betrekkig b, h e b te substituere i fuctie va h, krijge we h =, waaruit de volgede afmetige volge : A A A A 3 A 4 A 5 hoogte (mm) breedte (mm) Op ee kopieertoestel ka me ee tekst va ee A 4-formaat vergrote op ee A 3-formaat door op de zoomtoets 4% te drukke e verkleie op ee A 5-formaat door op de zoomtoets 7% te drukke. Verklaar! oáàéå=j=nq

15 Voorbeeld 5 - Frequetie va muziekote Iedere geluidsgolf ka grafisch voorgesteld worde door ee siuscurve. De toohoogte va ee muziekoot wordt bepaald door de frequetie, f, va de siuscurve va de geluidsgolf die deze oot voortbregt. Hoe groter de frequetie, hoe hoger de toohoogte. Twee ote die ee octaaf verschille - bijvoorbeeld ee lage do e hoge do - klike heel mooi same. Dit komt omdat de frequetie va ee hoge do precies dubbel zo groot is als de frequetie va ee lage do. Dit geldt ook voor de adere gelijkamige muziekote. Ee volledig octaaf bestaat uit dertie ote, amelijk acht hele ote (de witte toetse op ee piao) e vijf halve ote (de zwarte toetse op ee piao: de kruise e/of de molle). De frequetie va de opeevolgede ote ( witte e zwarte ) va ee otebalk vorme ee meetkudige rij met als eigeschap dat de frequetie over ee hele octaaf verdubbelt. Omdat f = f q = f geldt dat de rede va deze meetkudige rij gelijk is aa. 3 Dit ku je zie aa de legte va de pijpe va ee kerkorgel. Bij ee klassiek orgel worde de geluidsgolve voortgebracht door de blaaspijpe. Hoe lager de pijp, hoe groter de frequetie e hoe lager de too. Als de pijpe opgesteld zij va lage aar hoge toe, zulle de opeevolgede pijpe / steeds korter worde met ee factor, zodat om de pijpe de legte wordt gehalveerd. Ook bij ee gitaar ku je deze meetkudige rij vaststelle. Hier wordt de toohoogte bepaald door de legte va de saar. Hoe korter de saar, hoe hoger de too. De legte va de saar wordt bepaald door de vaste houder op de buik va de gitaar e het dwarsstaafje op de hals waarop de viger va de speler geplaatst is. De legte va de saar va twee opeevolgede ote eemt af met ee factor / e de legte va de sare va twee ote die ee octaaf verschille veradert met ee factor. Voorbeeld 6 - De Koch-kromme A. CONSTRUCTIE Figure zoals de Koch-kromme (zie oderstaade figuur) bekom je door ee aaeeschakelig va steeds dezelfde costructie. I het ideale geval zou die aaeeschakelig ooit eidige. I elke tussestap bekom je vaak ee mooie figuur, met ee hele fije structuur afhakelijk va hoever je gevorderd bet i de opeevolgig va stappe. Hieroder verduidelijke we de costructie va de Koch-kromme. We starte met ee lijstuk, dat we de basis oeme. De basis wordt verdeeld i drie gelijke stukke e het middelste gedeelte vervage we door ee gelijkzijdige driehoek zoder basis. Deze figuur oemt me de geerator. I ee volgede stap passe we dezelfde costructie toe op ieder lijstuk va de geerator. Op ieder lijstuk va deze ieuwe figuur passe we weer deze costructie toe,. De limietfiguur die ostaat uit dit iteratieproces oemt me de Koch-kromme, die me ee klassieker mag oeme i de wereld va fractale. oáàéå=j=nr

16 Als we de basis va de Koch-kromme vervage door ee gelijkzijdige driehoek e de voorgaade costructie toepasse op iedere zijde geeft dit ee Koch-eilad, ook de Koch-seeuwvlok geoemd. B. DE KOCH-SNEEUWVLOK EN MEETKUNDIGE RIJEN De costructie va de seeuwvlok va Koch otstaat op ee gelijkaardige maier als ee meetkudige rij. I plaats va getalle te beschouwe die steeds met eezelfde factor vermeigvuldigd worde, beschouw je hier driehoeke, die steeds met eezelfde factor verkleid worde. Stap Beschouw ee gelijkzijdige driehoek T met zijde a e oppervlakte A. Stap We verkleie T met ee factor / 3 (/ 3 T ) e plakke drie va deze ieuwe driehoeke op elke zijde va de vorige. De seeuwvlok die zo otstaat heeft 3 4 zijde met elk ee legte va 3 a. Stap We verkleie / 3 T opieuw met ee factor / 3 (/ 9 T ) e plakke 3 4 va deze og kleiere driehoeke op elke zijde. De bekome seeuwvlok heeft u 3 4 4= 3 4 zijde met elk ee legte va a. 9 oáàéå=j=ns

17 Stap 3 C. DE OPPERVLAKTE VAN DE KOCH-SNEEUWVLOK Bij elke stap k voege we kleie driehoeke met zijde toe. Voor deze rije geldt: k stap aatal toegevoegde driehoeke legte zijde toegevoegde driehoeke 3 a /3 3 4 a / a /7 k 34 k = s = a (/ 3) k k s k k 3 Voor de driehoek T geldt A = a. Beschouw de rij A met 4 de e costructiestap va de Koch-seeuwvlok. Da geldt : A de oppervlakte va de figuur uit k 3 k Ak+ = Ak + k sk = Ak + 34 a = A. k k + a k k Ak + = A a k De uitdrukkig tusse hake ku je opvatte als de som va elemete va ee meetkudige rij met begiterm e verhoudig 4. Uit eigeschap va meetkudige rije volgt dat deze som ogeveer 9 9 gelijk is aa = voor k voldoede groot. De oppervlakte va de Koch-seeuwvlok is gelijk aa: A = A + a = a + a = 3 a = A Ee oeidig proces resulteert blijkbaar i ee ieuwe figuur met eidige oppervlakte. oáàéå=j=nt

18 Het aatal zijde va de figuur i de k e costructiestap is gelijk aa 3 4 k. 4 De omtrek va de seeuwvlok is a k costructiestappe gelijk is aa 3a 3. Hoe meer costructiestappe je zet, hoe groter de omtrek. Het is zelfs zo dat de omtrek obegresd groter wordt. Het feit dat de omtrek va de Koch-seeuwvlok oeidig is, maakt het resultaat va ee eidige oppervlakte og verrasseder. Me zou kue zegge dat de Koch-seeuwvlok ee voorstellig geeft va de som va de elemete va ee oeidige meetkudige rij. D. ITERATIE De Koch-seeuwvlok is ee typevoorbeeld va ee iteratieproces dat aa de basis ligt va het creëre va virtuele omgevige. I plaats va figure te toe aa de had va bitmaps die veel bestadsruimte ieme, traag ilaadbaar e iet dyamisch, kue computerspecialiste dergelijke iteratieprocesse gebruike om allerlei vorme te beschrijve. Met ee relatief eevoudig computeralgoritme kue dergelijke vorme sel zichtbaar gemaakt worde (zie bijlage C). k Voorbeeld 7 - Grote e kleie wijzers Beschouw ee aaloog uurwerk met wijzers die met ee cotiue selheid roddraaie. Hoe dikwijls zal de grote wijzer de kleie wijzer ihale tusse. uur ( s achts) e 3. uur ( s middags)? Dit gebeurt elf maal, amelijk eemaal tijdes ieder gas uur (bijvoorbeeld tusse. e. uur), behalve tusse. uur e 3. uur. I de loop va deze twee uur gebeurt dit maar éémaal, amelijk om. uur. Dit is logisch wat waeer de grote wijzer twaalf maal is rodgedraaid, is de kleie wijzer eemaal rod geweest. Hoe laat (= hoeveel miute a het passere va het gase uur) zal de grote wijzer telkes de kleie voorbij steke? Bijvoorbeeld tusse 7. e 8. uur gebeurt dit later (= meer miute a het gase uur) da tusse 4. e 5. uur omdat de kleie wijzer meer voorsprog heeft op de grote wijzer die dus telkes va bove vertrekt. Welke soort rij vorme deze tijdstippe? Als voorbeeld berekee we exact het tijdstip waarop de grote wijzer de kleie wijzer ihaalt tusse 7. e 8. uur. Voor de twee wijzers moete we eezelfde eeheid gebruike. Als eeheid gebruike we de miuut. Voor de grote wijzer is dit logisch. Maar als de kleie wijzer op 7 staat, heeft hij de waarde 35. Om 7. uur precies staat de grote wijzer op e de kleie wijzer op 35. Als de grote wijzer zich verplaatst heeft aar 35, heeft de kleie wijzer zich ook ee stukje verder verplaatst. Waeer de grote wijzer dit stukje overbrugd heeft, is de kleie wijzer weer ee og kleier stukje verder bewoge e moet de grote wijzer ook dit stukje weer overbrugge. Maar da gaat de kleie wijzer weer ee beetje verder,. Volges de paradox va Zeo zal de grote wijzer de kleie wijzer ooit kue ihale, maar het is duidelijk dat dit wel zal gebeure (de tijd staat iet stil!). Maar waeer juist? De selheid va de kleie wijzer is twaalf keer kleier da die va de grote wijzer. Waeer de grote wijzer de eerste 35 miute heeft overbrugd, heeft de kleie wijzer 35 miute afgelegd. 35 Als de grote wijzer deze afstad heeft igehaald, heeft de kleie wijzer weer miute afgelegd. 44 oáàéå=j=nu

19 Deze stukjes vorme dus ee meetkudige rij met 35 ( t ) als eerste term e ( q ) als verhoudig. Vermits de verhoudig kleier is da, kue we stelle dat de som va deze (oeidig vele) stukjes eidig is e ogeveer gelijk aa: t ,88... q = = = =. Het juiste tijdstip is dus 7 uur e 38,88 miute of 7:38:,99 uur. De adere tijdstippe vid je i de volgede tabel: tusse t e uur som ( q = ) = 6 tijdstip exact uur e 5,4545 mi :5:7,77 uur e,99 mi ::54, uur e 6,3636 mi 3:6:,88 4 uur e,88 mi 4::49,99 5 uur e 7,77 mi 5:7:6, uur e 3,77 mi 6:3:43, uur e 38,88 mi 7:38:,99 8 uur e 43,6363 mi 8:43:38,88 9 uur e 49,99 mi 9:49:5,4545 uur e 54,5454 mi :54:3,77 uur e 6 mi :: Deze tijdstippe vorme ee rekekudige rij met als verschil uur e 6 Dit is atuurlijk het elfde deel va de verlope uur. miute, of 7 miute. oáàéå=j=nv

20 Voorbeeld 8 - Ee botsede bal Laat ee balletje valle va op ee hoogte va éé meter e meet hoe hoog het balletje weer opbotst. Doe dit verschillede kere e maak ee zo auwkeurig mogelijk gemiddelde. Deze (gemiddelde) hoogte drukke we uit i ee percetage ( p % ) e oeme dit de veerkracht va het balletje (Als het balletje 7 cm opbotst, is de veerkracht 7%). We gaa u berekee a hoeveel secode het balletje doodvalt. Dit is waeer het balletje iet meer botst, maar begit te rolle. Dit ka met ee eevoudige chroometer gecotroleerd worde. We gaa eerst a welke afstad het balletje heeft afgelegd. Het valt eerst m aar beede. Daara botst het weer op e valt weer over de hoogte die p % is va de vorige hoogte. Deze opeevolgede hoogtes vorme ee meetkudige rij met als eerste term e verhoudig p %. De totale afgelegde weg is: p 3 p p p + p + ( ) = + =. p p Idie bijvoorbeeld de veerkracht 7% is, is de totale afgelegde weg 7 3 meter. g t Uit de formule voor de vrije val h = volgt dat t = h. g Op dezelfde maier berekee we de totale tijd. 3 p p p p t = = + g g p Voor p = 7 wordt dit da bijvoorbeeld 5,77s. Voorbeeld 9 - Spare e lee Jaarlijks spare va ee vast bedrag Stel dat je vaaf ee leeftijd va 4 jaar ieder jaar 5 spaart. Als je dit doet tot je 3 jaar bet, hoeveel heb je da op je spaarboekje staa i de veroderstellig dat gedurede deze hele periode de itrestvoet 8% is? Je eerste betalig va 5 heeft op het eide 6 jaar itrest opgebracht e heeft da ee waarde va 5 (,8) 6. Zo heeft je tweede betalig op het eide de waarde va 5 (,8) 5. De laatste betalig va 5 doe je als je 9 bet e heeft ee jaar later ee waarde va 5, ) Het totale kapitaal is : 5 (, 8) + (, 8) + (, 8) (, 8) + (, 8) = 5 (, 8) t. Deze som ka bereked worde als de som va de terme va de meetkudige rij met =6 e. Deze som is gelijk aa 6 (,8) 5, 8 = 5 3, 75 = 637,5 (,8) euro. 6 t= u = q =, 8 oáàéå=j=om

21 Het gespaarde bedrag va 8 (6 maal 5) is meer da verdubbeld. De algemee formule voor ee jaarlijks kapitaal k dat gedurede jare wordt gespaard tege ee t ( + i) itrestvoet va i (=.i %) is het eidkapitaal K = k ( + i) = k ( + i). i Lee va ee bedrag Lee is het omgekeerde va spare. Je betaalt eveees jaarlijks (of maadelijks) ee vast bedrag. Bij spare heb je het geld odig op het eide va ee bepaalde periode e bij ee leig heb je het geld odig i het begi va ee bepaalde periode. Eerst berekee we het bedrag dat we zoude gespaard hebbe met de jaarlijks gestorte afbetalige. Daara beschouwe we dit bedrag als ee eidkapitaal waarva we u het begikapitaal wille hebbe. Stel dat je ee voorlopig obeked bedrag B wil lee. Om dit geleed bedrag terug te betale, stort je vaaf volged jaar - e dit gedurede 6 jaar - 5. Idie we dit geld zoude gespaard hebbe, kue we a 6 jaar beschikke over ee kapitaal va 5 5 (,8) t = 56, euro. Let op de adere begi- e eidwaarde voor t te opzichte va de t= formule bij het spare. Dit komt omdat alle stortige u éé jaar later gebeure. De algemee formule voor dit bedrag wordt met dezelfde otaties als hierbove is: ( + i) K = k + i = k i t ( ). t= Dit is het gespaarde eidbedrag K 6 over 6 jaar. Het overeekomstige begibedrag K bedrag waarover we u wille beschikke. Volges de formule K K ( i) 6 56, = K.(,8) waaruit volgt B = K = 44,57 euro. De algemee formule is B t= t k ( + i) t= k + i k = = = B het geleed bedrag is, k het bedrag is va de jaarlijkse afbetalige, i de itrestvoet is (.i %), het aatal jare is waarover de leig loopt. = + geldt ( ) ( ) ( + i) i ( + i) i ( + i) waarbij = B is het oáàéå=j=on

22 .5 Opdrachte Opdracht - Wereldbevolkig Als er 5 miljard mese zij op aarde e de groei bedraagt jaarlijks,6%. Ka je da de bevolkigstoeame voorspelle? Teke het verloop va deze rij met je grafische rekemachie. Bepaal grafisch a hoeveel tijd de wereldbevolkig groter is da 6 miljard. Opdracht - Visbak Veroderstel dat je ee visbak hebt met l kraatjeswater. Het water is iet heel zuiver. Me stelt de pollutie q =, (cocetratie i kg/l). Wekelijks verdampt l zuiver water. Daardoor eemt de cocetratie va de verotreiigig toe. Om dat tege te gaa eemt me vijf liter water uit het aquarium e voegt me weer 7 l kraatjeswater toe zodat de bak weer volledig vol is. Beschrijf de evolutie va de hoeveelheid verotreiigig i de visbak aa de had va rije. Ku je m.a.w. zegge hoeveel verotreiigde stof er og aawezig is i het water a weke. Opdracht 3 - Beheer va ee woud I ee bos zij de bome geklasseerd i drie groepe: A mider da jaar oud - [,[ B tusse de e de 3 jaar - [,3] C ouder da 3 jaar - ]3, + [ We eme aa dat allee oude bome kapot gaa. I jaar gaa % va de bome va A aar B, % va B aar C e 5% va C gaat kapot. Ee boom va A bregt gemiddeld 5, ieuwe bome voort, ee boom va B gemiddeld 5 e ee boom va C gemiddeld. Stel A, B, C de populaties va A, B e C e A +, B +, C + de populaties va jaar adie. Neem als begipopulaties A =, B = e C =. Beschrijf de evolutie va de populatie i dit bos. Maak gebruik va rije va matrices. Opdracht 4 Ee vlieg legt ee afstad va m af i verschillede stappe. I éé stap legt ze telkes de halve weg af va wat og overblijft. Noem u de afgelegde weg a stappe. Ku je ee voorschrift vide voor u? Legt de vlieg ooit de volledige weg af. Opdracht 5 Beschouw ee woud met 4 bome. Va die bome worde er jaarlijks % gekapt e verkocht. I de plaats daarva worde er telkes ieuwe geplat. Hoeveel bome staa er i het bos a jaar? Opdracht 6 Ee blad papier met ee dikte va, mm plooit me i twee. De dikte wordt da, mm. Na og ee keer dubbel plooie wordt de dikte,4 mm, Wat wordt de dikte a 3 maal plooie? E a 5 maal? Hoe dikwijls moet me het blad papier plooie om de afstad va de aarde tot de maa (385. km) te overbrugge? Probeer ee blad papier met A4-formaat ee aatal keer plooie? Hoeveel maal lukt dit? Stel dat ee blad papier met ee dikte va, mm ee voldoede aatal keer ka geplooid worde. Wat moet da de oppervlakte va het blad zij opdat de oppervlakte a dertig keer plooie cm² is? Cotroleer of het volume va het ogeplooide blad papier e het volume va de stapel a 3 keer plooie gelijk zij. oáàéå=j=oo

23 Opdracht 7 - Met alle Chieze.. Toe ee rijke Chiese pris tege het valle va de avod vaststelde dat hij, ver va zij kasteel, de terugweg iet meer vod, geraakte hij paiek. Gelukkig kwam hij twee arme ladmae tege, die lags de rad va de weg zate te schake e die hem de juiste terugweg kode uitlegge. Als beloig mochte zij aa de pris ee rijkelijke vergoedig vrage. Tot grote verbazig va de pris, zeide de twee mae dat zij al gelukkig zoude zij met ekele graakorrels. Zij vroege éé graakorrel op het eerste vakje va hu schaakbord, twee korrels op het tweede vakje, vier op het volgede, da acht, ezoverder tot het laatste, vierezestigste vakje. De pris maakte zich de bedekig dat deze twee arme kerels wel met heel weiig tevrede ware e odigde he da ook uit om s aderedaags met paard e kar aar het paleis te kome om hu beloig af te hale. E s avods liet de pris de hoeveelheid graa door zij graameester berekee. Hoeveel graakorrels ligge er op het vierezestigste vakje? Hoeveel graakorrels ligge er op het hele schaakbord? Als éé korrel ee massa va,5 g heeft, wat is da de totale massa? Opdracht 8 - De Tores va Haoi Ee tore va Haoi bestaat uit ee aatal schijve met verschillede diameter, die over ee verticale staaf (A) geschove worde, zodat de diameters va de schijve aar bove toe afeme. Met behulp va ee middestaaf (B) moete de schijve over ee derde staaf (C) geschove worde, zodaig dat bij elke beurt juist éé schijf mag verplaatst worde e er ooit ee grotere schijf op ee kleiere schijf mag ligge. A B C Hoeveel verplaatsigsbeurte zij er odig als de tore 3, 4, 5, 6 schijve bevat? Geef ee recursief e ee expliciet voorschrift voor deze rij. Volges de legede bevidt zich i ee tempel va Haoi ee tore met 64 schijve. Moike zij bezig met het verplaatse va deze schijve. Iedere miuut, dag e acht, wordt er éé schijf verplaatst. Als de tore volledig verplaatst is, zal de wereld vergaa. Waeer zal dat zij als ze op 8 oktober 47 gestart zij met deze opdracht? oáàéå=j=op

24 Opdracht 9 - Spare e lee Als we stelle dat de itrestvoet 6% is kue we os de volgede vrage stelle. Welk bedrag kue we lee als we gedurede jaar jaarlijks 5 terugbetale? Welk bedrag moete we gedurede jaar jaarlijks betale om ee bedrag va te lee? We wille 5 lee e hiervoor jaarlijks 3 betale. Hoeveel jare zal deze leig lope? oáàéå=j=oq

25 . Limiet va ee rij : covergetie of divergetie. Eigelijke of eidige limiet.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks % bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal het aatal bome stabilisere? Zal het aatal bome blijve toeeme? Als model voor het bestudere va deze vraagstellig defiiëre we de volgede rij: u = 4 e > : u = ipart(,8 u + ). Met het commado ipart bedoele we het geheel gedeelte va ee reëel getal. Voor de TI-83/84 Plus vid je dit commado i het MATH<NUM>-meu. Het bestudere va de tabel met terme e het plotte va de pute ( u, ) geeft ee eerste idee over de evolutie va de populatie bome. Wat kue we zegge a.h.v. bovestaade schermafdrukke over het aatal bome vaaf ee zekere -waarde? Wat is het atwoord op de vooraf gestelde vrage? Bij toeemede -waarde adere de terme va deze rij aar We zegge dat deze rij covergeert aar oeme we de greswaarde of de limietwaarde va deze rij. lim u = lim u( ) = 4996 Wiskudige otatie: Grafische aalyse Defiieer de rij : u = 4 e > : u =,8 u + 3,6. lim u (i) Wat cocludeer je over met de termetabel e/of de grafiek? + (ii) Bepaal het expliciete voorschrift va deze rij. Hit : + a + a a - = a a. oáàéå=j=or

26 Om het resultaat va (i) grafisch voor te stelle tekee we va web-diagram. Eerst worde de grafieke geplot va de volgede fucties f : x x e g: x,8x+ 3,6 u ee g f Met TRACE start de cursor op de startwaarde 4. Ee druk op de pijltoets verbidt ( 4,) met ( 4, g( 4)) = ( 4,6.8). M.a.w ( u ( ),) wordt verbode met ( u(), u()). Met wordt (-4,6.8) verbode met (6.8,6.8) f. Drukke op herhaalt deze procedure. Het etwerk va verticale (behoud va x-waarde) e horizotale (behoud va y-waarde) lijstukke adert steeds dichter tot het sijput va f e g. (-4,6.8) g (6.8,6.8) f (6.8,-.84) g (-.84,-.84) f (-.84,5.7) g of (u(),u()) g (u(),u()) f ~ (u(5),u(6)) g Algebraïsch bepale we het sijput va f e g als volgt: y = x e y =,8x+ 3, 6 x=,8x+ 3, 6,8x = 3, 6 x= y = oáàéå=j=os

27 ..3 Covergetie Defiieer de rij u met het expliciete voorschrift va de rij uit put..: \{}: 6 (,8). u = + Voer bovedie de volgede twee costate rije i: IN \{} : v =,5 e w =, 5. Kies ee volle lij als grafiekstijl. Plot de drie rije. Met TRACE e de pijltjestoets ka je de beeldpute volge e vaststelle dat vaaf ee zekere -waarde alle volgede beeldpute tusse de strook gevage zij. De terme va de rij vaaf die -waarde behore tot ].5,.5[. Als = 3 heb je het beeldput (3, ) e ].5,.5[ = ].5, +.5[. OPDRACHT Herhaal deze procedure voor ]., +.[ = ].8,.[ e ]., +.[ = ].9,.[. Bepaal het ragummer zodat alle terme met ee idex > i het iterval ligge. Deze werkwijze ka je herhale voor elk strikt positief getal ε (= epsilo). DEFINITIE u covergeert aar a of lim u ε + = a Voor elk strikt positief getal bestaat er mistes éé atuurlijk getal zodat alle terme met ee grotere idex behore tot ] a ε, a+ ε[. + ( ε )( \{})( \{})( > u ] a ε, a+ ε[) OPMERKING ] a ε, a+ ε[ oemt me ee basisomgevig va a (ee ope iterval met a als midde). Er geldt: u ] a ε, a+ ε[ a ε< u < a+ ε u a < ε. oáàéå=j=ot

28 ..4 Uitgewerkt voorbeeld + Beschouw de rij u = met. Met ee tabel e ee grafiek ka je vermoede dat deze rij covergeert aar. Volges de defiitie moet je voor elke ee atuurlijk getal kue bepale zodat alle terme met ee idex groter da ε > behore tot ] ε,+ ε[. M.a.w. voor moet gelde : + + ε < < + ε ε< < ε ε< < ε. e voorwaarde: e voorwaarde: ε < is altijd voldaa (likerlid is egatief e rechterlid positief) + ε < ε < + < >. ε ε ε + ε + ε Neem ee. Da zal voor > aa de voorwaarde voldaa zij. ε ε +, Voor bijvoorbeeld ε =, moet =., u, u3, u 4,... e alle volgede terme behore tot ]., +.[ = ].9,.[. 3 Bijvoorbeeld: u =, 9.. Oeigelijke of oeidige limiet.. Voorbeeld Op -- kreeg Arthur ee spaarrekeig va 5. Elk jaar bedraagt de itrest 5% e jaarlijks wordt 5 bijgestort. Arthur is jaar e mag gee geld va zij rekeig afhale. Volges welk model groeit het kapitaal? RECURSIEF VOORSCHRIFT u = 5 e > : u = u +,5 u + 5 =,5 u + 5 EXPLICIET VOORSCHRIFT u = + = 5 (, 5) ((, 5) ) 5 (, 5) oáàéå=j=ou

29 Zowel uit de oderstaade tabel als uit de grafiek cocludeer je dat de terme va de rij blijve toeeme. We zegge dat deze rij divergeert aar +. lim u Wiskudige otatie:. + =+.. Grafische aalyse We costruere ee web-diagram voor de rij u = 5 e > : u = u + 6. Het web va verticale e horizotale lijstukke covergeert i dit geval iet aar éé put maar verwijdert zich steeds verder e verder aar +. OPDRACHT Neem voor hetzelfde recursieve voorschrift achtereevolges als startwaarde e -7. Teke i beide gevalle ee web-diagram. Stel idie odig ee tabel op va de rij. Wat stel je vast?..3 Divergetie Idie we de rij uit put.. plotte same met de costate rij v = 75 bekome we het volgede resultaat. u 7 = 58 e alle terme va deze rij met ee idex groter 7 zulle de vooropgestelde gres va 75 overstijge. Hoe groot we de gres ook kieze, vaaf ee bepaalde idex zulle de terme de gres overschrijde. Vadaar de volgede defiitie. oáàéå=j=ov

30 DEFINITIE lim u + = + of u divergeert aar + Voor elk positief reëel getal r kue we ee atuurlijk getal zodat alle terme va de rij met ee idex > + bepale het getal r overstijge ( r )( \{})( \{})( > u > r) Idie we i de bovestaade defiitie u > r divergetie aar. Wiskudige otatie: lim u vervage door =. u < r bekome we de defiitie voor OPDRACHT Overtuig jezelf, grafisch of met ee tabel dat de rij u = divergeert aar. r > Volges de defiitie moet voor ee willekeurige vaaf ee bepaalde idex u = < r. Bepaal zodat voor alle geldt dat u > Doe hetzelfde voor de rij u = < r.. Maak evetueel eerst ee tabel. OPMERKINGEN (i) Niet elke rij heeft ee limiet. π Beschouw de rij u = si[( ) ] =,,,,,,... Deze rij oemt me alterered. De rij heeft gee eidige e gee oeidige limiet. Me zegt ook dat deze rij diverget is. (ii) Als ee rij ee limiet heeft, is de limiet eig. Veroderstel eve dat covergeert e dat zowel u lim u + = als lim u = 5. + Stel bijvoorbeeld ε =. Het is omogelijk dat voor alle idices groter da ee zekere gres geldt dat u ] ε,+ ε[ = ],3[ e u ]5 ε,5+ ε[ = ]4,6[ Dit geeft aa dat de veroderstellig verkeerd is. Algemee ka me aatoe dat de limiet va ee rij uiek is. Net zoals hierbove leidt de veroderstellig lim u = a e lim u = b met a b tot ee b a cotradictie; stel bijvoorbeeld ε = oáàéå=j=pm

31 .3 Covergetie va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = u + v i.f.v. het verschil v. a) v > We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i de positieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. b) v < We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i egatieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar. c) v = We plotte ee web-diagram met u = 7. Het web covergeert aar het put (7,7). We kue besluite dat de rij covergeert aar Meetkudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = q u i.f.v. de verhoudig q. a) q > We plotte ee web-diagram met q = e u =, 5. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. We passe de startwaarde aa: u =. We kue besluite dat de rij divergeert aar. I beide gevalle divergeert de rij. oáàéå=j=pn

32 b) q = I dit geval is de meetkudige rij ee costate rij. We kue besluite dat de rij covergeert aar de startwaarde. c) < q< e q We plotte ee web-diagram met q =, 5 e u =. Het web covergeert aar de oorsprog. We kue besluite dat rij covergeert aar. We passe de startwaarde e verhoudig als volgt aa: q =,5 e u =. We kue weer besluite dat rij covergeert aar. I beide gevalle covergeert de rij aar. d) q = We kieze als startwaarde u = 5. De rij 5, 5,5, 5,5, 5,... heeft gee limiet We kue besluite dat rij divergeert. e) q < We plotte ee web-diagram met q = e u =. De rij,, 4, 8,6, 3,64,... heeft gee limiet. We kue besluite dat rij divergeert..3.3 Bewijze met de defiitie Grafisch hebbe we vastgesteld dat de meetkudige rij u met verhoudig q = e startwaarde u = divergeert aar +. Om dit aalytisch te bewijze moete we voor ee elk willekeurig positief reëel getal r ee atuurlijk getal kue vide zodat alle terme met ee idex groter da groter zij da r. oáàéå=j=po

33 Zij r +. Voor ee atuurlijk getal verschilled va ul geldt: log r log r u = > r log( ) > log r ( ) log > log r > + =. log log Kies da ee atuurlijk getal zodat > u log r. log Da voldoet iedere term met aa de gestelde voorwaarde. OPMERKING Deze werkwijze om limiete te bepale op basis va ee vermoede e m.b.v de defiitie is omslachtig, tijdroved e vaak moeilijk. De oodzaak voor ee hadiger werkwijze drigt zich op. Het ivoere va stadaardlimiete e rekeregels is da ook ee volgede stap. oáàéå=j=pp

34 Appedix A: De rij va Fiboacci A. Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met. De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof. dr. Foy Ooms (LUC). Beschouw de matrix A =. Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: A =. = A A A A =. = =. = =. 3 = =. 5 3 = 8 5 Zo otdek je dat de machte va A als volgt opgebouwd worde met de getalle va Fiboacci: A F F + = F F voor. We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va A, de eigewaarde, als volgt: λ A( λ) = det( λ ) = = λ λ = P I A De discrimiat is 5 zodat de eigewaarde va A gelijk zij aa: λ λ =. + 5 e λ = 5. OPMERKING + 5 ϕ = oemt met ook het goude getal of de gulde sede e F lim F + ϕ =. oáàéå=j=pq

35 De Euclidische delig va λ door A( ) P λ geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ = P ( λ) Q( λ) + R( λ ). Uit de berekeig voor P ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet A zij da twee, R( λ) = b λ + c, zodat λ = P ( λ) Q( λ) + b λ+ c. (*) A Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix A voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( ) volgt voor uitdrukkig (*) : E vermits P ( ) A A = b+ c b A = PA ( A) Q( A) + b A+ c I = b A+ c= b c + = b c A F F + = F F geldt dat b = F. Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: Uit dit stelsel berekee we b: λ = Q( λ) + b λ+ c λ = b λ+ c λ = Q( λ) + b λ + c λ = b λ + λ λ b = λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is:. A F c =. 5. Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat : 5 A. De gulde sede + 5 Het getal ϕ = wordt vaak ook de gulde sede geoemd. Dit getal speelde al sids de Grieke ee belagrijke rol i de kust e bouwkust. Het is de ideale verhoudig tusse de lijstukke va ee verdelig va ee lijstuk i twee dele. l x = = ϕ x l x x l-x oáàéå=j=pr

36 Me ka aatoe dat de gulde sede ook gevode wordt via de kettigbreuk ϕ = Wil je ϕ beadere met deze kettigbreuk, da bekom je telkes het quotiet va twee opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci: ϕ = + = 3 ϕ = + = + 5 ϕ = + = + = M.a.w. geldt dat F lim F + ϕ =. A.3 De rij va Fiboacci i de kust A.3. De bouwkust + 5 Het getal ϕ = duikt regelmatig op i de bouwkust o.a. bij de Egypteare - de hoogte e de breedte va de verschillede piramides va Gizeh verhoude zich telkes volges het getal ϕ. Grieke - de hoogte e de breedte va de verschillede Griekse tempels verhoude zich telkes volges het getal ϕ. Bijvoorbeeld de voorgevel va het Partheo i de Acropolis va Athee, lijkt volledig geïspireerd te zij op de gulde sede.,68,68 oáàéå=j=ps

37 Romeie - bij de costructie va de triomfboog va Septimus Severus duikt het goude getal 5 = op. ϕ A.3. De schilderkust Het getal ϕ duikt ook op i de schilderkust.,68 Tekeaars e schilders make gebruik va de gulde sede om mooi gevormde mese te costruere. De hoogte e breedte va de beschilderde oppervlakte verhoude zich vaak zoals de gulde sede.,68,68 Heel wat schilders gebruike bij de compositie de regel dat je object beter iet i het cetrum va het doek staat, maar beter ee beetje op zij. Ze gebruike daarbij lije die het schilderij i drie verdeelt. Deze compositie zou aageamer zij om aar te kijke. Het idee is gebaseerd op de gulde sede die de ideale verhoudig zou zij, iet allee bij de afmetige va het kader, maar ook bij de compositie. oáàéå=j=pt

38 A.4 De rij va Fiboacci i de atuur A.4. De zaadjes i ee bloemehart Meestal is het bloemehart opgebouwd uit kleie zaadjes. Ze worde geproduceerd i het midde e migrere systematisch aar de buitekat va het bloemehart. Doordat ee ieuw zaadje telkes oder ee bepaalde hoek te opzichte va het vorige zaadje otstaat, wordt de hele ruimte gevuld. De grootte va die hoek bepaalt de maier waarop de ruimte gevuld wordt. Betreft het ee hoek die te beschouwe is als ee geheel deel va 36 (= ee breuk va 36 ) da zulle de zaadjes geschikt worde op rechte lije. Op de hieraast afgebeelde figuur zie je de schikkig voor ee draaiigshoek va ,8 i 7 tegewijzerzi. Aagezie de oemer 7 is, bekom je 7 rechte lije Merk op dat a elk derde (=teller) zaadje ee volledige omwetelig is gemaakt. Idie de draaiigshoek iet op te vatte is als ee breuk, zulle de zaadjes zich iet schikke i rechte lije. Ze vorme da spiraalvormige arme die i het cetrum va het bloemehart vertrekke (zie figuur hieroder). Om het rechtlijig patroo i de schikkig va zaadjes te vermijde, zul je dus ee gedeelte va ee volledige draai moete kieze dat bepaald is door ee irratioaal getal. Als dit irratioaal getal goed beaderd wordt door ee breuk, krijg je ee reeks geboge lije die de ruimte iet perfect opvulle. Als de draaiigshoek bepaald wordt door ee irratioaal getal, dat moeilijk te beadere is door ee breuk, zal de spiraalvormig sterk aawezig zij e aaleidig geve tot ee goed gevuld bloemehart. De gulde sede is zo ee irratioaal getal. Idie de draaiigshoek bepaald wordt door deze gulde sede, zal het bloemehart optimaal gevuld zij. Dat is ook wat me experimeteel vaststelt i de atuur. Me ziet ee draaiigshoek va 37,5. Dit is de hoek ( ϕ ).36 =,5 i tegegestelde zi Voor adere irratioale getalle, vid je beduided mider goede schikkige. Het decimaal gedeelte va e is iets groter da 5 7 e dat va pi iets kleier da 7. Het volstaat om het decimaal gedeelte te eme va ϕ (=,68 ), omdat de voor de komma ekel voor ee bijkomede rotatie va 36 zorgt, die iet bijdraagt tot de schikkig. Het eme va de hoek i tegegestelde draaiigszi heeft gee ivloed heeft op de schikkig. oáàéå=j=pu

39 I beide gevalle tref je zeve arme aa, die va e draaie i wijzerzi, die va π adersom. (A) (B) (C) (D) de schikkige voor verschillede irratioale getalle. (A) getal e (B) getal pi (C) wortel (D) ϕ De gulde sede is het eige irratioaal getal waarbij i de twee draairichtige spirale te zie zij. De aatalle worde bepaald door twee opeevolgede Fiboaccigetalle. De rij va verhoudige va opeevolgede Fiboaccigetalle heeft als limiet,68 (=ϕ ) of,68 ( ), al aargelag het ϕ grootste getal i teller of oemer wordt geplaatst. Beide limietwaarde bepale dezelfde rotatiehoek omdat het decimaal gedeelte hetzelfde is. Verhoudig Decimaal,5,6667,6,65,654,69,676 Verhoudig Decimaal,5,6667,6,65,654,69,676, Beschouw bijvoorbeeld de breuk 34. Het decimaal gedeelte va ϕ is iets kleier da dat va deze beaderig. Dit resulteert i arme i tegewijzerzi. E beschouw de breuk. Deze geeft eveees ee beaderig va het decimaal gedeelte va ϕ, 34 dat i dit geval iets groter is da de beaderig. Dit resulteert i 34 arme i wijzerzi. oáàéå=j=pv

40 De spirale zij i de twee richtige aageduid. Je vidt e 34 spirale. Het feit dat de beaderede breuk het aatal spiraalarme i de zoebloem verklaart, beteket iet dat de bijhorede beaderede rotatiehoek ee eve goede opvullig oplevert. I de oderstaade figuur merk je dat ee lichte afwijkig va het goude getal i ee heel ader patroo resulteert. (A) (B) ( C) opvulpatroo voor (B),68 (= ϕ ) e twee beaderige (A),67 e (C),69 Het feit dat de gulde sede de draaiigshoek bepaalt va de zaadjes e daardoor ook het aatal spirale, is iet toevallig. Het is ee gevolg va het feit dat celle va leved materiaal (vb. plate) spiraalsgewijs aagroeie i het cetrum. De rotatiehoek is iderdaad ook 37,5. oáàéå=j=qm

41 A.4. Bloemblaadjes Aagezie de bloemblaadjes gevormd worde op het eide va éé va de reekse spirale, vid je de Fiboaccigetalle ook terug bij de aatalle va bloemblaadjes. Voor verschillede bloeme lijkt dit te kloppe, hoewel er vaker afwijkige voorkome da bij het aatal spirale i het bloemehart. Aatal bloemblaadjes bloem 3 lelie, iris (lelies hebbe vaak 6 bloemblaadjes, gevormd door twee sets va drie blaadjes.) 5 boterbloem, wilde roos, aquilegia 8 ridderspoor 3 jacobskruiskruid, cieraria aster, chicorij 34 weegbree, pyrethrum A.4.3 Deeappels Bij deappels zij de spirale heel duidelijk zichtbaar. Je vidt acht spirale i de ee richtig e dertie i de adere. Ook hier duike de Fiboacci getalle op. A.4.4 Schelpe Als je i ee rechthoek waarva de legte e de breedte zich verhoude als ϕ ee spiraal teket zoals hieroder aagegeve, bekom je ee spiraal die je bij beaderig terugvidt bij schelpe Je costrueert i de goude rechthoek het grootst mogelijke vierkat, waari je ee cirkelboog teket. Het overblijvede stuk is opieuw ee goude rechthoek, waari je de costructie telkes herhaalt. oáàéå=j=qn

42 Appedix B: Rije e de TI-83/84 Plus B. Voorbeeld We illustrere het werke met rije a.h.v. ee voorbeeld. Beschouw de evolutie va de wereldbevolkig va 5 miljard aa de had va ee rij. Me eemt aa dat de groei jaarlijks,6% bedraagt. Je kut da afleide dat de bevolkig a jaar gegeve wordt door 9 u (,6) = 5. We wille agaa waeer de kaap va 6 miljard wordt gehaald. Om ee rij te defiiëre zet je de MODE va de TI-83/84 Plus op Seq zoals hieroder aagegeve. Nadie ka je rij defiiëre via het ivoerscherm Y=. Ee rij ka zowel expliciet als recursief igevoerd worde. Defiieer de rij u zoals hieroder aagegeve. U(Mi) geeft aa wat de waarde is va de term met de kleiste idex. Om de scheve i te tikke druk je, i deze MODE gewoo op X,T,θ,. Met d[table] krijg je ee idee va de waarde va de terme va de rij. Hierva ka je gebruik make om het grafische vester (WINDOW) i te stelle als volgt: B. Het plotte va de rij De grafiek va u wordt met de bovestaade vesteristellige geplot als je op GRAPH drukt. v = 6 Defiieer bovedie de costate rij e kies hiervoor als grafiekstijl ee volle lij. Plaats hiervoor de cursor voor v()= e druk op ENTER. Met het TRACE-commado ka je grafisch a gaa waeer de kaap va 6 overschrede is. oáàéå=j=qo

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit. - Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of. Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR) Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of

Nadere informatie

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005 Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +

Nadere informatie

Reeksen. Convergente reeksen

Reeksen. Convergente reeksen Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

WPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten

WPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 11 juni 2011

Uitwerkingen toets 11 juni 2011 Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het

Nadere informatie

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå= fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2017-II

wiskunde A pilot vwo 2017-II wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006

UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006 UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

opgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!

opgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)! opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B

WISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 jui 2012, ochted DUUR VAN HET EXAMEN: 3 uur (180 miute) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Exame met techologisch hulpmiddel 1/6 NL VRAAG B1 ANALYSE Blz.

Nadere informatie

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken. Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig

Nadere informatie

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s: Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure

Nadere informatie

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen Uitwerkige ij _0 Voorkeis: Rije V_ a U = 7 + U = +,5 7 + = +,5 0,5 = 4 = 8 Na 8 rode krijge ze elk,-. V_ U() =, 06 U( ) met U(0) = 500 e U() het eidedrag a jaar. V_ a u 458 8 r u 8 9 4 = = = dus 5 u5 8

Nadere informatie

Trigonometrische functies

Trigonometrische functies Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.1)

imtech Arbodienst (versie 2.1) imtech Arbodiest Vervoer va gevaarlijke stoffe (versie 2.1) veilig e gezod werke imtech arbodiest Wat verstaa we oder het vervoer va gevaarlijke stoffe? Gevaarlijke stoffe zij stoffe die op éé of adere

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016 Oudertevredeheid ods 't Gijmik Pagia 1 va 7 www. Olie Evaluatie Istrumet OBS 't Gijmik Oudertevredeheid ods 't Gijmik maart 2016 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2016 DigiDoc Pagia 1 va 7 Oudertevredeheid

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-II

wiskunde B pilot vwo 2015-II Formules Goiometrie si( t u) sitcosu costsiu si( t u) sitcosu costsiu cos( t u) costcosu sitsiu cos( t u) costcosu sitsiu si( t) sitcost cos( t) cos t si t cos t si t - - Het achtste deel p het domei [

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

Oefeningen Analyse II

Oefeningen Analyse II ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar 27-28 9 jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

Analyse 2 - SAMENVATTING

Analyse 2 - SAMENVATTING Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

1) Complexe getallen - definitie

1) Complexe getallen - definitie Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd

Nadere informatie

Handout bij de workshop Wortels van Binomen

Handout bij de workshop Wortels van Binomen Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

Equidistributie en ergodiciteit

Equidistributie en ergodiciteit Equidistributie e ergodiciteit Michiel Lieftik, Wouter Rieks, Mike Daas 9 december 207 Ileidig Beschouw ee situatie waari me ee grote verzamelig umerieke data tot zij beschikkig heeft Ee vraag die me zich

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 13:53:17 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - ICT College

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1 PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Nieuwe wiskunde tweede fase Profiel N&T Freudenthal instituut. Eindeloze Regelmaat

Nieuwe wiskunde tweede fase Profiel N&T Freudenthal instituut. Eindeloze Regelmaat Nieuwe wiskude tweede fase Profiel N&T Freudethal istituut Eideloze Regelmaat Eideloze Regelmaat Project: Wiskude voor de tweede fase Profiel: N&T Domei: Voortgezette Aalyse Klas: VWO 6 Staat: Herziee

Nadere informatie

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,

Nadere informatie