fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

Transcriptie

1 fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë

2 Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules

3 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd e/of opebaar gemaakt door middel va druk, fotokopie, microfilm of op welke adere wijze ook zoder voorafgaade schriftelijke toestemmig va de uitgever. Het is toegelate voor leerkrachte om deze tekst te reproducere voor gebruik i de klas.

4 Voorwoord Het leerpla Wiskude A voor de derde graad bevat oderwerpe zoals iteratie, differetiaalvergelijkige, discrete wiskude (i.h.b. rije), umerieke methode e fractale. Deze oderwerpe omvatte zeer mooie wiskudige begrippe e eigeschappe. Bovedie hebbe ze heel wat raakvlakke met de realiteit. Deze tekst toot hoe deze topics met mekaar i verbad kue gebracht worde met als rode draad iteratie. Het is de bedoelig om leerlige op ee boeiede, leerzame, dyamische e iteractieve maier aa wiskude te late doe e dit door gebruik te make va techologie i combiatie met heel wat logisch redeeerwerk. We starte met te toe hoe iteratie leidt tot het dyamisch bestudere va elemetaire reële fucties. We voere begrippe i zoals vaste pute e periodische pute die ook i de adere dele zulle opduike. Grafische aalyses, d.m.v. webgrafieke, zij ee grote hulp om o.a. deze pute op te spore. E computeralgebra is ee krachtig hulpmiddel voor het uitvoere va het rekewerk om te toe dat deze grafische veroderstellige correct zij. Deze aapak laat toe om op ee dyamische maier om te gaa met begrippe zoals covergetie e afgeleide. Dyamische systeme is de tak va de wiskude die veraderede processe bestudeerd. I vele disciplies treft me processe aa die veradere i de tijd: veraderede weersomstadighede i de meteorologie, op e eergaade bewegig va de aadelemarkt i de ecoomie, evolutie va de omvag va populaties i de ecologie, bewegig va hemellichame i de astroomie, sligerbewegige i de fysica, veraderige va chemicalië Soms leide begisituaties tot voorspelbaar gedrag maar soms tot ovoorspelbaar chaotisch gedrag. We bestudere i dit oderdeel recursievergelijkige, complexe iteratie e geïtereerde fuctiesysteme. Vertrekkede va discrete recursievergelijkige itroducere we differetiaalvergelijkige. Basered op keis va afgeleide, losse we ekele eevoudige differetiaalvergelijkige exact op. Voor moelijkere differetiaalvergelijkige gebruike we ee umerieke oplossigsmethode, de methode va Euler, gebaseerd op de umerieke afgeleide e iteratie. Teslotte bestudere we ekele iteratieve beaderigsmethode voor ulpute va reële fucties: de bisectiemethode, de regula falsi e de methode va Newto-Raphso. Deze methode kue zivol gebruikt worde als itroductie tot het programmere e algorithmisere. We toe ook we dat het beadere va ulpute met de methode va Newto-Raphso iets aders is da het zoeke aar vaste pute.

5

6 Ihoud Deel : Iteratie Wat is iteratie?...9. Bae...0. Fixput of vast put.... Periodieke baa of cyclus....3 Uiteidelijk vast put of uiteidelijk periodiek put Covergetie e divergetie Chaos Grafische aalyse Webgrafieke met de TI-83/84 Plus Webgrafieke met Derive Itermezzo over rije Nog ekele baaaalyses Vaste e periodieke pute wiskudig bekeke Fixputstellig Aatrekkede e afstotede vaste pute Defiitie aatrekkede e afstotede vaste pute Aatrekkede e afstotede periodische cycli Bifurcaties Vaste pute Periodische pute Het Feigebaum-diagram Ee discreet dyamisch marktmodel Gegeves va ee discreet dyamisch marktmodel Opstelle va ee recursief voorschrift Bepale va de evewichtswaarde...39

7 Deel : Dyamische processe Recursievergelijkige va de e orde...4. Rekekudige rije...4. Meetkudige rije Ekele adere voorbeelde De recursievergelijkig u au + b Oefeige Meervoudige lieaire recursie Samehagede lieaire recursie Ee bevolkigsmodel Ee prooi-roofdiermodel Logistisch groeimodel Opstelle logistisch model Grafische aalyse va het logistisch groeimodel Voorbeelde va ee logistisch groeimodel Complexe iteratie Julia-verzamelige Aalyse va de bae De Madelbrot-verzamelig Periode va de Madelbrot-bolle Periode versus Julia-verzamelige Rotatiegetalle Optellig va de rotatie-getalle De Madelbrot-verzamelig: ee artistiek medium Geïtereerde fuctiesysteme Cotracties Geïtereerde fuctiesysteme (IFS) IFS met Codesatie Beeldverwerkig...69

8 Deel 3: Numerieke methode Differetiaalvergelijkige...7. Va discreet aar cotiu...7. Ekele differetiaalvergelijkige Ekele voorbeelde De methode va Euler Ekele expoetiële toepassige Het beadere va ulpute...8. Beadere va vierkatswortels...8. Numeriek bepale va ulpute De bisectiemethode De regula falsi De methode va Newto-Raphso Het programmere va de methode va Newto-Raphso Vaste pute...90 Appedix A: Complexe getalle Defiitie Goiometrische vorm va ee complex getal Modulus va ee complex getal Argumet va ee complex getal Goiometrische vorm va ee complex getal Rekee met complexe getalle i goiometrische vorm Expoetiële voorstellig va ee complex getal...95

9 Appedix B: Complexe getalle met Cabri Geometry II Macro s i Cabri Cabri e coördiate De som va twee complexe getalle Het verschil va twee complexe getalle Het product va twee complexe getalle Ivers va ee complex getal Quotiët va twee complexe getalle De Madelbrot-verzamelig Het kwadraat va ee complex kwadraat De Madelbrot-verzamelig Meu s...05 Literatuur... 07

10 Deel. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde x ( ): F F F F F x x F( x ) x F( x ) F( F( x )) F ( x )... x F( x ) F ( x )... waarbij F beteket dat F keer wordt uitgevoerd. Deze fuctie oemt me de iteratiefuctie. Voor ee startwaarde x 0 geereert ee iteratieproces ee rij x0, x, x, x3,..., x,.... I deel zal F steeds ee reële fuctie voorstelle. Voorbeelde a. Stel F( x) x. De startwaarde geereert de volgede rij: x x.4... x x x Voor iedere x0 + geldt: x x x x x x x x x x x x De terme va de rij die otstaat, zulle geleidelijk aa ogeveer de waarde aaeme. We zegge dat de rij covergeert aar. De volgede twee voorbeelde toe dat iteratie vrij sel ka leide tot igewikkelde uitdrukkige. 9

11 b. Voor F( x) x + c bekome we x x + c ( x + c) + c [( x + c) + c] + c... c. E iterere met de logistische familie va fucties F( x) ax( x), a geeft: x ax ( x ) a x ( x )( ax ( x ))... I wat volgt is het de bedoelig dat we het gedrag va rije, otstaa uit ee iteratie-proces, gaa bestudere. Bij ee iteratieproces oeme we de rije die otstaa de bae behorede bij de startwaarde.. Bae Bij het bestudere va de bae bij iteratieprocesse zij de grafische rekemachie e computeralgebra hadige hulpmiddele. We zulle afwisseled gebruik make va de TI- 83/84 Plus e Derive. Voor F( x) x toe de oderstaade schermafdrukke hoe de grafische rekemachie ka gebruikt worde om ee eerste idee te krijge va de baa va. Het steeds opieuw uitvoere va de iteratie doe je door telkes op ENTER te drukke.... De commado s ITERATES e ITERATE va Derive ka je ook gebruike om ee aatal stappe va bae te berekee. De sytax va beide commado s ziet er als volgt uit: ITERATES(iteratiefuctie, variabele, startwaarde, aatal stappe) ITERATE(iteratiefuctie, variabele, startwaarde, aatal stappe) I de bovestaade output werde stappe e 5 exact bereked e 3 e 6 beadered tot op 4 decimale auwkeurig. Met de grafische rekemachie kue, via de mode sequece, deze bae grafisch voorgesteld worde. Met TRACE kue de terme bestudeerd worde. 0

12 De pute kue ook met lijstukke verbode worde idie je de plotstijl als volgt aapast. Idie je de pute va de baa te klei vidt, ka je aa de grafiek ee putewolk toevoege va de volgede lijste: Lseq(,,0,0) e Lseq(u(),,0,0). Voor het plotte va rije met Derive gebruike we het ITERATES commado als volgt: Idie we het dyamisch gedrag va de kwadratisch fuctie F( x) x bestudere ( bestudere wat voor bae er optrede bij verschillede startwaarde), leidt dit vrij sel tot de volgede classificatie: Als x > zal F ( x ) steeds groter e groter worde. We otere dit als volgt: F ( x) + voor +. Als 0 < x < zal F ( x ), aarmate groter wordt, steeds dichter e dichter bij 0 kome te ligge. We otere dit als volgt: F ( x) 0 voor +. Nog ekele speciale gevalle: x : F () x : F () x 0 : F (0) 0

13 Bovestaad voorbeeld geeft aa dat er verschillede soorte va bae bestaa. We bekijke ekele spelciale gevalle.. Fixput of vast put Idie we voor F( x) x de baa va bekijke, zie we dat de startwaarde, oder het iteratieproces, iet veradert. We zegge dat de startwaarde ter plaatse blijft. oeme we ee vast put of fixput. Defiitie x is ee vast put va F als F( x) x. Duidelijk geldt dat de baa va ee vast put ee costate rij is: x F( x) x F ( x) F( F( x)) F( x) x x x x... Bepale va ee vast put (i) Algebraïsch oplosse va de vergelijkig F( x) F( x) x alle x -waarde zij vaste pute x. F( x) x x 4 x x 4 x x x 4 0 x ± 5 F( x) 3 x 3 3 x x x x 0 x 0 of x - of x (ii) Grafisch oplosse met de grafische rekemachie. Idie het algebraïsch oplosse moeilijk of omogelijk is, biedt de grafische rekemachie ee umeriek alteratief door de sijpute te bepale va de grafiek y F( x) met de bisectrice va het eerste kwadrat, y x. Voor F( x) cosx geeft dit het volgede resultaat:. Periodieke baa of cyclus De baa va 0 voor ka sel bereked worde, l.: F( x) x De baa va 0 oeme we ee periodieke baa va periode of ee -cyclus.

14 Defiitie x oeme we ee periodiek put va F als er ee > 0 bestaat zodat F ( x) x. De kleiste waarde voor waarvoor dit geldt oeme we de periode. Idie x 0 ee periodiek put is met periode komt a iteraties het iteratieproces terug terecht i de startwaarde x x x F( x ) x F ( x ) x F ( x )... x F ( x ) x x x... x x x x... x x x x x... x x... of De baa va x 0 is ee periodieke baa met periode of ee -cyclus. Voorbeeld Voor 3 5 F( x) x + x+ is 0 ee periodiek put met periode 3. De baa va ul, , is ee 3-cyclus. Merk op dat de rij behorede bij ee periodieke baa slechts ee eidig aatal verschillede terme bevat. Bepale va periodieke pute F heeft ee periodiek put idie er ee > 0 bestaat e ee x zodat F ( x) x. Het bepale va de -cycli va F( x) x komt eer op het oplosse va 4 ( x ) x x x x 0. F ( x) x: Echter de eerste twee ulpute zij vaste pute va F. Vazelfspreked geldt dat vaste 3 4 pute va F ook vaste pute zij va F, F, F,... De startwaarde die ee -cyclus bepale zij 0 e -. De periodieke pute kue ook grafische, umerieke maier als volgt bereked worde. 3

15 Het zoeke va periodieke bae wordt al sel vrij complex. Bijvoorbeeld voor het bepale va evetuele pute die ee 5-cyclus bepale voor ee veelterm va graad komt eer op 5 het oplosse va ee vergelijkig va graad 3. E wat dacht je va de veralgemeig aar het zoeke va evetuele -cycli. Dit geeft aa dat er ood is aa adere techieke om -cycli op te spore, waarover later. We bekijke og eve ee iets of wat speciaal voorbeeld. x als 0 x< 0.5 Beschouw de stuksgewijs gedefiieerde fuctie: Dx ( ). x als 0.5 x< Voor iedere x [0,[ bereket D het decimale deel va x. Bijvoorbeeld: D (0.5) 0.3 e D (0.7) 0.4 Merk op dat 0 ee vast put is voor D. Deze fuctie heeft tal va periodieke bae. Ekele voorbeelde: -cyclus 3-cyclus 3-cyclus Opmerkige: (i) Voor ee periodisch put x 0, periode, geldt: F ( x0) F ( F ( x0)) F ( x0) x0. (ii) Elk elemet va ee -cyclus is ee periodiek put va periode. 4

16 .3 Uiteidelijk vast put of uiteidelijk periodiek put Soms is x 0 gee vast put of de baa va x 0 gee periodieke baa maar ee ader put va de baa va x 0 wel ee vast of periodiek put. x 0 oeme we da ee uiteidelijk vast put of ee uiteidelijk periodiek put. I éé va de voorgaade voorbeelde maakte we al keis met ee uiteidelijk vast put. Namelijk voor F( x) x is - ee uiteidelijk vast put:... Ook otmoette we reeds de -cyclus voor F( x) x. Ka je vertrekkede va deze -cyclus ee uiteidelijk periodiek put bedeke? Idie we terug de fuctie D bekijke uit het put. zie we sel i dat ee uiteidelijk vast put is. Hetzelfde geldt voor met met. Vertrekkede va de vermelde periodieke pute voor D bekome we o.a. de volgede uiteidelijk periodieke pute. De meeste bae voor D hebbe echter ee ader karakter die we op deze maier zeer moeilijk kue otdekke. Hit: Bepaal x -waarde zodat x 0. 5

17 .4 Covergetie e divergetie Covergete e divergete bae hebbe we al otmoet bij de fuctie F( x) x. We bestudere u de rol va de parameter a 0 voor de lieaire familie F( x) ax. a Voor de fuctie F( x) x zij alle pute vaste pute. a a > De baa va iedere x 0 ( 0) verwijdert zich steeds verder va het vast put 0. We zegge dat de baa divergeert aar oeidig of og iedere baa vlucht aar oeidig. 3 x0 ax0 a x0 a x0... a x < a < De baa va iedere x 0 ( 0) adert steeds dichter e dichter het vast put 0 e uiteidelijk zij de terme praktisch gelijk aa ul. We zegge dat de baa aar ul covergeert of og iedere baa wordt aagetrokke door ul. a.5 Chaos Eevoudige reële fucties hebbe vaak ee zeer complex dyamisch gedrag. De bae vertoe ee zeer chaotisch gedrag e dit gedrag is tot op hede og altijd iet oder cotrole. Deze bae vertoe voor os gee ekel patroo. Ee voorbeeld. Voor F( x) x is 0 ee uiteidelijk vast put: Maar voor ee startwaarde dicht bij ul, bv. x 0 0., vertoot de baa ee ogal chaotisch patroo. 6

18 3. Grafische aalyse Ee istrumet om het dyamisch gedrag va ee fuctie F te bestudere is het make va ee grafische aalyse of webgrafiek. Op ee webgrafiek vid je o.a. de grafiek va F e de rechte y x. Om de eerste iteratiestap, vertrekkede vauit x 0, grafisch voor te stelle, tekee we de volgede lijstukke: (i) ee vertikaal lijstuk vaaf ( x 0,0) tot het put ( x0, F( x 0)) op de grafiek, (ii) ee horizotaal lijstuk vaaf ( x0, F( x 0)) tot het put ( F( x0), F( x 0)) op de rechte y x, (iii) ee vertikaal lijstuk vauit ( F( x0), F( x 0)) tot ( F( x ), F( F( x ))) ( F( x ), F ( x )). Door dit proces steeds verder te zette, bekome we de opeevolgede iteraties F ( x 0). ( x, F( x )) 0 0 ( F ( x ), F( x )) ( F ( x ), F ( x )) ( x0,0) 3. Webgrafieke met de TI-83/84 Plus We illustrere deze werkwijze aa de had va ekele voorbeelde a. F( x) x Vazelfspreked moet de fuctiemode, MODE, voor het tekee va ee webgrafiek igesteld staa als sequece (SEQ). Stel de grafiekstijl, d[format], i als Web. Na het defiiëre va de recursief gedefiieerde rij, druk je bv. ZOOM 0:ZoomFit. De grafiek va de iteratiefuctie same met de rechte y x worde automatisch geteked. Ee druk op TRACE toot de startwaarde. 7

19 Met de cursor, e, ka de webgrafiek stap voor stap opgebouwd e bestudeerd worde. Soms is izoome oodzakelijk om ee beter beeld te krijge. Bovestaade scherme toe de baa va x 0 9 : (9,0) (9, 9) (3,3) (3, 3) ( 3, 3) ( 3, 3 )... of vert. horiz. vert. hor. vert. hor Grafisch ka je agaa dat elke positieve startwaarde x0 ee trap geereert die leidt aar het vast put. b. F( x) cosx De baa va x 0 3 covergeert aar het vast put va F( x) cosx. c. F( x) x. De vaste pute va F zij de oplossige va de vergelijkig x, x e de periodieke pute va periode de oplossige va ( x,), x verschilled va de vaste pute. 8

20 Oderstaade schermafdrukke toe de bijhorede -cyclus. Door de startwaarde te veradere, bekome we de volgede classificatie: Voor x 0 >, (vast put va F), bv. x 0.8, divergeert de baa aar +. Elke, < x0 <, , bv. x 0 0.5, is ee uiteidelijk periodiek put. E voor x 0 <, , bv. x 0, divergeert de baa aar Webgrafieke met Derive Het tekee va ee webgrafiek ka met de volgede commado s i Derive. Het commado graf komt eer op het tekee va éé iteratiestap. Het commado web teket de iteratiefuctie, de rechte y x e ee aatal iteratiestappe,. Vooraleer ee webgrafiek te tekee, moet je eerst de iteratiefuctie F defiiëre e evetueel maueel ee startwaarde a opgeve. De startwaarde ka ook opgegeve worde als ee schuifbalk (Derive 6) vauit het grafische vester. Merk op dat het aatal iteratiestappe igesteld staat op 50. 9

21 We illustrere eve ee webgrafiek gebruikmaked va ee schuifbalk. Defiieer de iteratiefuctie als F( x) cos( x) e bereke het resultaat va het commado web. Het resultaat hierva is ee gigatische uitdrukkig. Zorg dat deze uitdrukkig gemarkeerd is e ope zo ee D-vester. Kies da i het Isert-meu de optie Slider Bar e vul het Slider Bar Properties-vester zoals hieraast afgebeeld i. Sommige iteratiefucties vrage heel wat rekewerk waardoor het odig is het aatal iteratiestappe te vermidere, evetueel zoder slider bar te werke e beaderd te werke De webgrafieke, behorede bij verschillede startwaarde late vermoede dat alle bae covergere aar het uieke vast put. Ekele plots: x 0 x 0 3. x 0 5 x

22 3.3 Itermezzo over rije Ee rij, x0 x x x3 x4..., is strikt wiskudig gezie ee fuctie va aar : Het voorschrift va rije die otstaa uit ee iteratieproces oemt met recursief. Iedere term is afhakelijk va zij voorgager vertrekkede va ee startwaarde x 0. Idie we voor de e term ee uitdrukkig kee i fuctie va spreke we over ee expliciet voorschrift. Zo bepale de voorschrifte ( ) e 0 0 x, x + voor > dezelfde rije. x x : 0 x(0): x x(): x x(): x 0 De TI-83/84 Plus gebruikt iet de otatie x voor rije. Het is mogelijk om gelijktijdig drie rije te defiiëre: u, v e w x( ): x We bekijke eve terug de webgrafiek voor F( x) x. Eerdere aalyses toode dat alle bae leide aar het vaste put x 0. We bekijke de pute op de grafiek va F die otstaa door grafische aalyse. x+ ( ) ( x, x ) ( x4, x5) ( x3, x4) ( x, x ) 3 y x F( x) x ( x, x ) 0 x 0 x( ) Grafische aalyse creëert op de grafiek va F ee rij koppels: ( x0, x) ( x, x) ( x, x3) ( x3, x4) ( x4, x5)... ( x, x + )... De zojuist igevoerde rigoureuse defiitie va ee rij geeft: ( x, x+ ) ( x( ), x( + )). Hieruit kue we cocludere dat ee webgrafiek voor ee iteratiefuctie F de waarde + x( ) F ( x) uitzet op de x -as t.o.v. x( + ) F ( x) op de y -as.

23 3.4 Nog ekele baaaalyses a. Ee volledige baaaalyse I sommige gevalle kue we met ee grafische aalyse het dyamisch gedrag va ee iteratiefuctie F volledig beschrijve. Als voorbeeld beschouwe we F( x) 3 x. Om dit te illustrere gebruike we de Java Applet Web diagram va het Freudethal Istituut te Utrecht ( De applet ka opgestart worde via oderdeel Wiskude projecte Iteratie... De werkig va deze applet spreek voor zich. Het is i dit geval vrij eevoudig de vaste pute te berekee: 3 F( x) x x x 0 x( x ) 0 x of x 0 of x. Grafische aalyse vertelt os dat: Voor x 0 < geldt dat de baa covergeert aar 0. Voor x 0 > vlucht de baa aar oeidig: x 0 > 0 : de baa divergeert aar + x 0 < 0 : de baa divergeert aar

24 Ekele webgrafieke ter illustratie va het bovestaade: x 0.6 x 0.6 x x Merk op dat er i dit geval gee -cycli zij. Door i de applet de parameter k te verhoge, k wordt de grafiek getood va F ( x ) e ka je agaa of er ieuwe vaste pute otstaa. Fx ( ) F ( x ) x 0 x 0 We wille toch eve beadrukke dat grafische aalyse, al is het ee heel hadige tool om te toe wat er allemaal gebeurt, gee rigoureus bewijs vormt. Daarom bekijke we i de volgede paragaaf de wiskudige achtergrod. Maar eerst og ee laatste voorbeeld. 3

25 b. Ee glimp op chaos We bekijke, d.m.v. grafische aalyse, de baa va x 0 0. voor F( x) x. De baa va x 0 0. toot gee patroo. De baa sligert zo maar wat hee e weer tusse - e. We zegge dat de baa ee chaotisch gedrag vertoot. Dit voorbeeld toot aa dat met grafische aalyse het iet mogelijk is alle bae te beschrijve. 4

26 4. Vaste e periodieke pute wiskudig bekeke 4. Fixputstellig Eé criterium dat aageeft dat ee vast put bestaat is gebaseerd op ee belagrijk resultaat uit de aalyse: de tussewaardestellig. Tussewaardestellig Voor ee cotiue fuctie F:[ a, b] bestaat er voor iedere y 0 tusse Fa ( ) e Fb ( ) bestaat ee x0 [ ab, ] zodat F( x0) y0. Fixputstellig Voor iedere cotiue fuctie F:[ a, b] [ a, b] bestaat ee fixput of vast put i [ ab., ] Fb () y 0 Fa ( ) a x 0 b I paragraaf hebbe we ee fixput gedefiieerd als ee oplossig va de vergelijkig F( x) x. M.a.w. evetuele fixpute zij de ulpute va de fuctie T( x) F( x) x. Vermits voor iedere x0 [ ab, ] geldt dat f ( x) [ a, b] a f( x) b wete we: Ta ( ) Fa ( ) a 0 e Tb ( ) Fb ( ) b 0. De tussewaardestellig zegt os dat er ee x0 [ ab, ] bestaat, zodat T( x0) F( x0) x0 0. M.a.w. x 0 is ee vast put va F. De fixputstellig veroderstelt twee voorwaarde, cotiuïteit e dat het iterval [ ab, ] door de fuctie F i zichzelf wordt afgebeeld. Beide voorwaarde moete voldaa zij opdat de fixputstellig mag toegepast worde. Idie aa éé va de voorwaarde iet voldaa is, moge we iet cocludere dat er ee fixput is. Bedek aa de had va oderstaade grafieke fuctievoorschrife die leide tot ee tegespraak idie iet voldaa is aa éé va beide voorwaarde. b a a T F b F y x y x F Ook is het belagrijk dat het iterval geslote is. Too dat voor fixputstellig iet mag worde toegepast. F x op ] [ 0, de 5

27 4. Aatrekkede e afstotede vaste pute I paragraaf bekeke we al F( x) x. Vergelijke we de vaste pute 0 e da zie we dat bae va pute i de buurt va 0 aar 0 covergere e bae va pute i de buurt va steeds verder weg va gaa, ofwel covergere ze aar ul ofwel vluchte ze aar oeidig. (,) (,) We oeme 0 aatrekked e afstoted. Je ka dit vergelijke met ee stabiel e labiel evewicht. 4.3 Defiitie aatrekkede e afstotede vaste pute Beschouw de lieaire familie F( x) ax met a. Wat is de ivloed va de parameter a op het dyamisch gedrag va deze lieaire familie. We vorme os ee idee met behulp va webdiagramme. F( x) ax met a > F( x) ax met 0< a < F( x) ax met a < F( x) ax met < a < 0 6

28 De hellig va de rechte y ax is bepaled voor het aatrekked of afstoted zij va het vast put 0, l. a > Elke baa wordt door het vast put 0 afgestote. 0< a < Elke baa wordt het vast put 0 aagetrokke. < a < 0 Elke baa sprigt hee e weer rod 0 e wordt er door aagetrokke. a < Elke baa sprigt hee e weer rod 0 maar wordt afgestote door 0 I de eerste twee gevalle oemt me de baa ook wel ees mootoo e de twee laatste alterered. Dit suggereert dat bij iet lieaire fucties de afgeleide ( de hellig va de raaklij) het oderscheid bepaalt tusse aatrekkede e afstotede vaste pute. Neem terug F( x) x. Er geldt: F '(0) 0 e F '(), hetgee de voorgaade webgrafieke verklaart Defiitie Veroderstel dat x 0 ee vast put is va F. We oeme x 0 ee aatrekked vast put als ' F ( x ) <, 0 x 0 ee afstoted vast put als ' F ( x ) > e 0 x 0 eutraal als ' F ( x ), 0 Wat eutrale vaste pute betreft, kue we gee algemee uitspraak doe e moete we geval per geval bestudere. Ekele voorbeelde. F( x) x Ieder put is ee vast put e gee ekel is aatrekked of afstoted F( x) x 0 is het eige vaste put e is och aatrekked och afstoted. Waarom? F( x) x x Grafische alyse geeft aa dat het vast put, 0, lags liks afstoted is e lags rechts aatrekked. 7

29 We verduidelijke e veratwoorde de voorgaade defiitie, o.a. gebruikmaked va de volgede belagrijke stellig. Middelwaardestellig Voor ee op [ ab, ] cotiue e op ],[ ab afleidbare fuctie F geldt dat er ee c ( a, b) bestaat zodat: Fb ( ) Fa ( ) F'( c). b a M.a.w. er bestaat temiste ee put (, cfc ()) waar de raaklij aa de grafiek evewijdig is met de rechte door de pute ( afa, ( )) e (, bfb ()) Aatrekked vast put Voor ee aatrekked vast put x 0 va F bestaat ee iterval ],[ ab, met x0 ],[ ab, zodat voor iedere x die behoort ],[ ab geldt dat: F ( x ) opieuw behoort tot ],[ ab voor iedere e F ( x) x0 idie +. a. Ee volledig baaaalyse Neem F x. is ee aatrekked fixput vermits F '(). Ee korte berekeig toot dat voor iedere x I ]0.5,.75[ geldt dat F'( x ) < : F'( x) < x > x> x 4 a c b F Voor iedere x I bestaat ee c tusse x e zodat F( x) F() x F'( c) <. M.a.w. F( x) F() F( x) < x, wat wille zegge dat voor iedere x I F( x ) dichter bij komt te ligge da x e dus ook behoort tot I. x F( x) F() F ( x ) zal og dichter kome te ligge, F ( x) x idie +. b. Algemee 0 x kue we ee iterval I ] x δ, x δ [ Voor 0 voor iedere x I geldt dat 0.5 x F( x) F ( x).75 F 3 ( x ) og dichter,... zodat F ( x) I e ( δ > 0 ) vide e ee λ > 0 zodat F ' ( x) < λ <. Volges de middelwaardestellig bestaat er ee c I zodat F( x) F( x0 ) x x 0 F'( c) < λ. 8

30 Vermits x 0 ee vast put is geldt: F( x) x0 < λ x x0 < x x0. M.a.w. F( x) I. Dezelfde procedure uitvoere op F( x) I geeft ( ) ( 0) ( ) 0 λ ( ) ( 0) λ 0 F x F x F x x < F x F x < x x Zodat ook weer Het steeds verder zette va deze procudure geeft voor iedere dat F ( x) x0 < λ x x0 < x x0 F ( x) I. Zo is iedere F ( x) I e vermits λ 0 voor + geldt dat F ( x) x0 idie +. Afstoted vast put Ee gelijkaardige redeerig leidt tot de veratwoordig va de defiitie va afstoted vast put. Voor ee afstoted vast put, x 0, bijhorede bij ee iteratiefuctie F bestaat ee iterval ( ab, ) zodat x0 ( ab, ) e voor iedere x ( ab, ) verschilled va x 0 bestaat ee atuurlijk getal > 0 zodat F ( x) ( a, b). 4.4 Aatrekkede e afstotede periodische cycli Ook periodieke pute kue aatrekked, afstoted of eutraal zij. Beschouw de iteratiefuctie x met als vaste pute 5 F( x) e + 5 F ( x) x ( x ) x heeft als extra oplossige x e x 0, de pute die de -cylus bepale voor F.. Met ee grafische aalyse kue we otdekke dat de baa voor pute i de buurt va deze periodieke pute worde aagetrokke tot de -cyclus, meer bepaald voor x 0 <, We oeme - e 0 aatrekkede periodieke pute. Startwaarde.6 Startwaarde -.6 9

31 Vazelfspreked is het iet oodzakelijk dat alle bae door de -cyclus worde aagetrokke. Beschouw bv. de startwaarde -,7 e.7. Os basered op de termiologie va aatrekkede e afstotede vaste pute bekome we de volgede defiitie. Defiitie Ee periodiek put met periode is aatrekked (afstoted) op voorwaarde dat dit put ee aatrekked (afstoted) vast put is va F. Om te bepale of ee periodiek put x 0, periode, aatrekked (afstoted) is, hebbe we de afgeleide odig va F i x 0. Heel wat rekewerk. De kettigregel leert os: ( f g) '( x) f '( g( x)) g'( x). Dit geeft: ( F ) '( x ) F'( F( x )) F'( x ) F'( x ) F'( x ) ( F ) '( x ) F'( F ( x )) ( F ) '( x ) F'( x ) F'( x ) F'( x ) ( F )'( x ) F'( x )... F'( x ) F'( x ) F'( x ) 0 0 Voor het voorgaade voorbeeld geeft dit: ( F ) '(0) F'( ) F'(0) ( ) 0 0, aatrekked. We toode al dat voor 3 ' 3 5 F( x) x + x+ het put 0 ee 3-cyclus bepaalt. ' 5 Het bepale va ( F )( x ) vraagt veel rekewerk. Met F ( x) 3x+ bereke we vrij vlug 3 ' ' ' ' dat ( F )(0) F (). F (). F (0).. > zodat de 3 cyclus afstoted is. 8 30

32 5. Bifurcaties De eigeschappe va de reële kwadratische fucties F( x) x + c met c zij tot i de kleiste details geked. Echter het dyamisch gedrag va de fuctie is uiterst gecompliceerd e tot op de dag va vadaag og iet geheel geked. We bekijke eve ee glimp va deze Road to Chaos. 5. Vaste pute We starte met het zoeke aar fixpute, de oplossige va x + c x x x+ c 0. Het bestaa va vaste puhte is afhakelijk va de waarde va D 4c. We oderscheide drie gevalle. (i) D< 0 c > 4 I dit geval zij er gee vaste pute. De grafiek va F( x) x + c heeft gee sijpute met de rechte y x. (ii) Grafische aalyse toot dat i dit geval het dyamisch gedrag vrij eevoudig is, l. alle bae vluchte (divergere) aar oeidig. D 0 c 4 x is het eige vast put. Dit vast put is eutraal daar F '( ). Grafische aalyse toot dat voor x met x > 0.5 alle bae aar oeidig vluchte, -0.5 ee uiteidelijk vast put is, F( 0.5) 0.5, e voor alle x ( 0.5,0.5) de bae covergere aar het uieke vaste put. Dit laatse iterval oeme we het aatrekkigsgebied va het vast put. Het rigoreus aatoe wat het aatrekkigsgebied is, is over het algemee zeer igewikkeld. We gebruike ekel webdiagramme om os hier va te overtuige. (iii) D> 0 c< 4 Idie we c kleier eme da.5, bekome we twee vaste pute. We kue zegge dat het ee fixput zich opsplitst i twee ieuwe vaste pute. We oeme dit ee bifurcatie. 4c + 4c De vaste pute zij p e p. 3

33 Computeralgebra, CAS, is ee uitsteked hulpmiddel om het karakter va deze vaste pute te bestudere. De volgede berekeig toot dat p voor c < steeds afstoted is, F'( p ) >. 4 Gebruikmaked va CAS zie we vrij sel voor welke waarde va c het vast put p aatrekked is. Voor 3 c is p eutraal e voor 4 3 c < afstoted. 4 Overtuig je zelf aa de had va ekele voorbeelde, uitgewerkt met grafische aalyse 3 4c + 4c dat voor < c < het aatrekkigsgebied gelijk is aa,. 4 4 Neem bv. c 0, c 0.5 e c Periodische pute 3 Idie c < wordt, veradert p va aatrekked aar afstoted. We vrage os af of i 4 dit geval alle bae, va pute verschilled va de vaste pute, divergere aar oeidig. 3

34 We kijke eve of er -cycli zij voor bv. c. Grafische zie we omiddellijk dat er twee ieuwe vaste pute optrede voor periodieke pute voor F F, Voor ee cocreet geval, bv. c., ka ook de grafische rekemachie gebruikt worde om ee umerieke aalyse uit te voere. Grafisch kue de vaste pute bepaald worde e met het commado MATH<MATH> 8:Derive bereke je de afgeleide i de vaste pute. 33

35 Ook periodische pute kue met de TI-83/84 Plus als volgt oderzocht worde. We berekee, algemee, de pute va de -cyclus voor 3 c <. 4 Waeer is deze -cyclus aatrekked? Uitdrukkig #0 geeft ee atwoord op de bovestaade vraag. Voor afstoted worde. Bepaal voor c. met grafische aalyse (aar aalogie bij vaste pute) het aatrekkigsgebied voor de -cyclus. Idie we deze procedure herhale, vide we ee m > zodat voor aatrekkede 4-cyclus bestaat. 5 Weerom treedt er i c ee bifurcatie op. 4 5 c < zal de -cyclus 4 5 m< c< er ee 4 Het steeds verder zette va de procedure geereert ee rij getalle c > c > c 3 >... met c i > e voor c+ < c < c heeft F( x) x + c ee aatrekkede -cyclus. 34

36 Op weg aar c wordt het dyamisch gedrag va F steeds gecompliceerde om uiteidelijk te belade i ee chaotische toestad. Het complete gedrag voor c -waarde dicht bij - is tot op hede og steeds iet geked (zie paragraaf.5 e 3.3 b). 35

37 6. Het Feigebaum-diagram Bij het bestudere va de ivloed va parameterveraderige op het dyamisch gedrag va ee fuctie F maakt me gebruik va het oderstaade diagram dat me het Feigebaum-diagram oemt, geoemd aar de wis- e atuurkudige Feigebaum (gebore i 944 i Philadelphia, USA) die deze iteraties als éé va de eerste bestudeerde. F( x) x + c Bovestaade plot wordt verticaal lij per lij als volgt gecostrueerd. De paramater c wordt uitgezet op de X -as e we berekee bv. ee 40-tal iteraties, vertrekkede va ee startwaarde x 0, die we iet aaduide op de plot Daara plotte we bv. de volgede 00 iteraties, (, cf ( x 0)) tot e met (, cf ( x 0)). Op deze plot krijge we ee goede beaderig va de aatrekkede cycli per parameter. Voor Fx ( ) x + c zie we ee eerste vertakkig bij 3 c. Het aatrekkede vast put 4 5 splitst zich op i ee aatrekkede -cyclus. Bij c doet zich ee periodeverdubbelig 4 voor, e da volge de periodeverdubbelige zich sel a mekaar op. Dit oemt me de periode-verdubbeligs-route tot chaos. Voor de c -waarde, c > c > c 3 >..., die zorge voor ee periodeverdubbelig otdekte c Feigebaum dat de rij c c c3 c,, 4 c5,... covergeert aar c c3 c3 c4 c5 c6 ee costate δ 4,669..., die me de Feigebaum-costate oemt. De Java Applet Webgrafiek laat op eevoudig maier toe ee Feigebaum-diagram te plotte. 36

38 7. Ee discreet dyamisch marktmodel De prijs va ee product wordt bepaald door vraag e aabod. Waeer de prijs hoog is e er is voldoede vraag zulle producete meer producere. Ee hoge prijs heeft soms als gevolg miderzij. Veroderstel dat het verbad tusse de vraag e de prijs wordt gegeve door v 00 8p e tusse aabod e prijs a p. Waeer v a spreke we va ee evewichtprijs: 00 8p p p 0. I dit model hebbe we gee prijsevolutie e spreke we va ee statisch marktmodel. Dikwijls speelt de tijd ee rol e zal de prijs evoluere. We hebbe da ee dyamisch model waarbij de prijs afhagt va de tijd. We kue de tijd als ee discrete of ee cotiue veraderlijke opvatte. Voor ee discrete veraderlijke t hebbe we ee discreet dyamisch model e zal ee rij de prijsevolutie beschrijve. Deze rij is de oplossig va ee recursievergelijkig of differetievergelijkig. Voor ee cotiue veraderlijke t zal ee fuctie de prijsevolutie weergeve e deze fuctie is de oplossig va ee differetiaalvergelijkig. 7. Gegeves va ee discreet dyamisch marktmodel Vraag, aabod e prijs zulle elke tijdseeheid veradere e worde voorgesteld door v, a e p waarbij het aatal tijdseehede voorstelt. We eme aa dat het aabod afhagt va de prijs éé tijdseeheid vroeger. Bijvoorbeeld ee ladbouwer beslist ee product te tele jaar vóór het op de markt komt. v a 00 8p p We eme aa dat voor elke geldt dat v a e dat de aagebode hoeveelheid volledig wordt verkocht. De eerste aagebode prijs legge we vast op 30 Euro, p Opstelle va ee recursief voorschrift We vide dat voor: a p0 zodat a e vermits a v 80 geldt p p 5 a p zodat a 0 e vermits a v p geldt p.5 Algemee vide we de volgede rij: p a p a v 00 8 p a p aabod vraag 37

39 We bepale ee recursievergelijkig voor p met als begivoorwaarde p Vermits p 00 8p p + 0.5p 30 geldt p 0.5p De prijs a tijdseehede wordt bereked uit de prijs éé tijdseeheid eerder. Deze vergelijkig oeme we recursievergelijkig, waaruit de terme va de rij kue bereked worde. De oplossig va deze vergelijkig is ee rij die aar 0 covergeert. De vergelijkig p p p, 5 p + 30 oeme we ee differetievergelijkig. De oplossig va bovestaade recursie vergelijkig geeft os voorschrift voor de terme va de rij i fuctie va, ook expliciet voorschrift geoemd. Er geldt: p 0,5p ,5( 0,5p + 30) + 30 ( 0,5) p 0, p 3 p 3 ( 0,5) ( 0,5 + 30) 0, ( 0,5) + ( 0,5).30 + ( 0,5) ( 0,5).30 + [( 0,5) + ( 0,5) ( 0,5) + ].30 ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) zodat p 0.( 0,5) + 0. ( 0,5) ( 0,5) zodat 3 Vergelijk het expliciet voorschrift met ee expoetiele fuctie x y ba + c met a 0.5 We bekijke de oplossig va de recursievergelijkig op ekele maiere. (i) Iteratie Na het igeve va de begivoorwaarde 30 geereert het commado, -0.5 ANS + 30, de volgede rij: 30, 5,.5, 8.75, 0.65, , 0.56,... (ii) Ee tijdsdiagram We plotte de prijsevolutie is ee tijdsdiagram, de prijs i fuctie va de tijd: p 0.5p De prijs schommelt gedempt e stabiliseert zich a ee aatal tijdseehede rod de evewichtswaarde 0, de oplossig va het statisch marktmodel. 38

40 (iii) Webgrafiek Na 5 tijdseehede bereikt de prijs al bija de evewichtswaarde 0. Ee adere begiwaarde leidt eveees tot dezelfde evewichtswaarde. Het evewicht is stabiel wat de eerste term va het expliciet voorschrift covergeert aar 0. Als we de begiwaarde voorstelle door p 0 bekome we als expliciet voorschrift p ( p0 0).( 0,5) + 0, de oplossig voor elke begivoorwaarde p 0. Ee recursievergelijkig zoder begiwaarde heeft oeidig veel rije als oplossig. Idie de begivoorwaard gespecifieerd wordt bekomet me éé oplossig die me de particuliere oplossig oemt. 7.3 Bepale va de evewichtswaarde Vertrekkede va de algemee recursievergelijkig p ap. + bvide we: p ap. + b aap ( + b) + b a p + ab+ b a p0 b( a a... a ) a a p0 b + a b b ( p0 ) a + a a (som va ee meetkudige rij) Er is evewicht idie p 0 p+ p 0 p+ p ap + b ap + b. Daar p ap. + bgeldt aap ( + b) ap zodat ap + b p. b Zo bekome we ee evewicht voor de waarde pevew., idie a a 39

41

42 Deel Dyamische processe Dyamische systeme werpe ee blik op ieuwe e boeiede aspecte va wiskude. Dyamische systeme kue beschouwd worde als de tak va de wiskude die veraderede processe bestudeerd. I vele disciplies treft me processe aa die veradere i de tijd: veraderede weersomstadighede i de meteorologie, op e eergaade bewegig va de aadelemarkt i de ecoomie, evolutie va de omvag va populaties i de ecologie, bewegig va hemellichame i de astroomie, sligerbewegige i de fysica, veraderige va chemicalië.. Het is verbazigwekked dat oeidige iteratie zelfs voor eevoudige wiskudige fucties (zoals de kwadratische fucties i éé variabele) og iet volledig is geked. Wat het labo is voor fysica, chemie, biologie is de computer e de grafische rekemachie voor wiskude om waarderig te krijge voor wiskudig oderzoek. De oderzoeker wil het gedrag lere kee va zo dyamisch systeem. Gaat de aadelemarkt stijge? Gaat het morge regee? Gaat ee populatie fruitvliegjes uitsterve? Het afhakelijk zij va vele variabele maakt sommige processe moeilijk voorspelbaar alhoewel eevoudige systeme al eve ovoorspelbaar kue zij. Soms leide begisituaties tot voorspelbaar gedrag maar soms tot ovoorspelbaar chaotisch gedrag.. Recursievergelijkige va de e orde. Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u u + b. Idie we deze vergelijkig i de vorm u u u b otere spreke we over ee differetievergelijkig. u oemt met de toeame. Uit het recursief voorschrift kue we het volgede expliciete voorschrift afleide: expliciet voorschrift: u u + b ( u + b) + b u + b ( u 3+ b) + b u 3+ 3b... u0 + b Rekekudige rije kue opgebouwd worde met de iteratiefucite F: x F( x) x+ b.. Meetkudige rije Het recursieve voorschrift va ee meetkudige rij is: u a u. Dit geeft als differetievergelijkig: u u u a u u ( a ) u. Het expliciete voorschrift is: u a u a( au ) a u 3 a ( a u 3) a u 3... a u Voor meetkudige rije gebruike we als iteratiefuctie F( x) Het vast put va F is: ax x x 0. E 0 F ' ( x) a. ax. 4

43 Voorbeeld We belegge ee kapitaal va 000 euro tege 5% samegestelde itrest per jaar. Noem u het kapitaal a jaar. 5 recursievergelijkig: u u + u, 05u 00 5 differetievergelijkig: u u 0,05u 00 expliciet voorschrift: u (,05).000 De oplossig va de recursievergelijkig is de rij u (, 05) u0 met als begivoorwaarde u Zoder begivoorwaarde heeft de recursievergelijkig oeidig veel oplossige maar voor iedere begiwaarde is er ee uieke oplossig die me ee particuliere oplossig oemt. Hieroder volgt ee grafische voorstellig va de recursievergelijkig. TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK 0 is het eige vast put e bovedie afstoted, F '(0),05 >..3 Ekele adere voorbeelde Voorbeeld We passe het vorige voorbeeld als volgt aa: 000 belegge tege 5% samegestelde itrest per jaar e op het eide va elk jaar 500 toevoege. u is het kapitaal a jaar. Wat komt er het e jaar bij? u0 u u0 0.05u Wat komt er het e jaar bij? u u u 0.05u Algemee: u u u 0, u + zodat u,05. u Voor deze tweede beleggig bekome we de iteratiefuctie F: x,05x Ook hier kue we het vast put berekee: F( x) x x Wat betreft os voorbeeld heeft dit vast put gee realistische betekeis. 4

44 Voorbeeld De begidosis va ee bepaalde medicatie bedraagt 00 mg. Per dag wordt 30% door het lichaam afgebroke e dagelijks wordt 50 mg i éé keer extra toegedied. u 0,7u + 50 De recursievergelijkig bij dit voorbeeld is met als vast put: u x 0. 0,7 3 Ga a dat i dit geval het expliciete voorschrift GRAFISCHE ANALYSE u 0, 7 (00 ) + is. 3 3 TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK Wat stel je vast idie je met ee grafische aalyse verschillede startwaarde bestudeert. Neem bijvoorbeeld 0 e 300 mg. BESLUIT De dosis 500 mg is ee stabiel evewicht daar, oafhakelijk va de begiwaarde, het 3 proces steeds aar dit evewicht evolueert. Het is ee dyamisch evewicht wat elke dag wordt 50 mg afgebroke e vervage door ee ieuwe hoeveelheid va 50 mg. Veroderstel dat 500 mg ovoldoede is voor de bestrijdig va ee ziekte e dat 00 mg 3 vereist is. Hoe ka me deze dosis opbouwe met ee miimale iame per dag? Opdat 00 mg het ieuwe evewicht zal zij, moet: F(00) 0, b 00 b 60. M.a.w. ee dagelijkse dosis va 60 mg eme leidt tot ee evewicht va 00 mg. Het ka ook als volgt: F(00) a a 0,75, m.a.w. ee gelijkaardig medicamet met 5% afbraak per dag. 43

45 .4 De recursievergelijkig u a u + b Bij de recursievergelijkig: u a u + b met ab, e begivoorwaarde u 0 hore: de differetievergelijkig: u ( a ) u, de iteratieve fuctie: F( x) ax+ b, het vast put: b ax + b x x, a het expliciet voorschrift: u au + b a( au + b) + b a u + ab+ b 3 a ( au 3+ b) + ab+ b a u 3+ b( + a+ a ) au + b( + a+ a a ) b Merk op dat de evewichtswaarde gelijk is aa a. a b b au + b a u + a a a.5 Oefeige a. Op jui 004 zij er 30 karpers i ee kweekvijver. Elk jaar worde op jui 0% karpers gevage e 0 karpers bijgezet. Me eemt aa dat per jaar eveveel karpers sterve als gebore worde. (i) Stel ee recursievergelijkig op. (ii) Maak ee tijd e ee webgrafiek. (iii) Is er ee stabiel dyamisch evewicht? b. We sluite ee leig af va 5000 euro. (leig is spaarpla met egatieve startwaarde) We betale maadelijks 50 euro e de bak reket % samegestelde itrest per maad. (i) Stel ee recursievergelijkig op. (ii) Maak ee tijdgrafiek. (iii) Na hoeveel maade is de leig afbetaald?.6 Meervoudige lieaire recursie Bij recursie va de e orde wordt elke term bereked i fuctie va de voorgager. Maar ee term ka ook bereked worde uit meerdere voorafgaade terme. De rij va Fiboacci,,,, 3, 5, 8, 3,, 34,, is ee voorbeeld va de e orde: u u + u met u0 u. Het i detail bestudere va dergelijke recursievergelijkige gaat verder da de bedoelig va deze tekst. We toe eve dat het afleide va ee expliciteit voorschrift voor de rij va Fiboacci iet zo evidet is. De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof. dr. Foy Ooms (UHasselt). 44

46 We otere het het e Fiboaccigetal met F e beschouwe de matrix A 0. Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: A. 0 0 Zo otdek je dat de machte va A als volgt opgebouwd worde met de getalle va Fiboacci: A F F + F F voor. We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va A, de eigewaarde, als volgt: λ PA ( λ) 0 det( λ I A) 0 0 λ λ 0. λ + 5 De discrimiat is 5 zodat de eigewaarde va A gelijk zij aa: λ Opmerkig + 5 ϕ oemt met ook het goude getal of de gulde sede. F Bovedie geldt: lim + ϕ F 5 e λ. De Euclidische delig va λ door PA ( λ ) geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ PA ( λ) Q( λ) + R( λ). Uit de berekeig voor PA ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet zij da twee, R( λ) b λ + c, zodat λ P ( λ) Q( λ) + b λ+ c. (*) Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix A voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( PA ( A ) 0) volgt voor uitdrukkig (*) : 0 b+ c b A PA ( A) Q( A) + b A+ c I b A+ c b c b c. F+ F E vermits A F F geldt dat b F. A A A A A 45

47 Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: λ 0 Q( λ) + b λ+ c λ b λ+ c. λ 0 Q( λ) + b λ + c λ b λ + c λ λ Uit dit stelsel berekee we b: b. λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is: F Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat :. 5.7 Samehagede lieaire recursie.7. Ee bevolkigsmodel Elk jaar verhuize 5% iwoers va stad A aar de buitewijke B va de stad e 0% iwoers va de rad B gaa i stad A woe. De begisituatie bestaat uit mese i de stad e i de rad. We veroderstelle dat het totaal aatal iwoers costat blijft. Bovestaad probleem geeft lieaire recursievergelijkige waarbij de iwoers va de stad, u, e va de rad, v, afhage va de iwoers va de stad e de rad éé jaar eerder: u 0,85u + 0,v u met. v 0,5u + 0,9v v I matrixotatie bekome we: u 0,85 0, u. v 0,5 0,9 v. Er geldt duidelijk: u 0,85 0, 0,85 0, u 0,85 0, u 0,85 0, u v 0,5 0,9 0,5 0,9 v 0,5 0,9 v 0,5 0,9 v 0 Met ee tijdsgrafiek verkrijge we al ee eerste idee va de evolutie va dit bevolkigsmodel. Met ee tabel kue we de toestad jaar a jaar afleze. Het aatal iwoers va de stad e va de rad evolueert aar ee evewicht. 46

48 Dit is ee dyamisch evewicht dat stabiel is. Adere begiwaarde evoluere weer aar hetzelfde evewicht. Ee uv-diagram (u-waarde op de x-as e v-waarde op de y-as) verduidelijkt ook mooi de evolutie va dit bevolkigsmodel. Bepaal, gebruikmaked va de tabel, de grootste e de kleiste waarde va u e v om de vesteristellige te kee e verhoog Max om de evolutie grafisch te explorere. Bepale va het expliciet voorschrift Grafisch otdekte we dat het aatal iwoers va de stad evolueert va aar ee evewicht va Gebruikmaked va de resultate va lieaire recursievergelijkige va de e orde formulere we het volgede model. u a ( ) a () Daar u + v is v u a () We vulle () e () i de eerste recursievergelijkig i e bekome zo: 40000a ,85(40000a ) + 0,( a ). E a vereevoudigig: 8 3 a a a 0, Het expliciet voorschrift voor dit bevolkigsmodel is: u , v ,75 Vazelfspreked ka dit expliciet voorschrift ook algebraïsch exact afgeleid worde door de voorwaarde u + v rechtstreeks i de recursievergelijkige i te vulle. Deze uitdrukkig geeft amelijk de samehag weer tusse u e v. 47

49 .7. Ee prooi- roofdiermodel Veroderstel dat het aatal koije i ee bepaald gebied afhakelijk is va het geboortepercetage va de koije e va het aatal dat door de aawezige vosse wordt gevage. Het aatal vosse hagt af va het aatal koije e va het sterftepercetage va de vosse. Ekele vrage als itro: (i) Als het aatal vosse zal toeeme, wat zal er da met het aatal koije gebeure? Toeame of afame? (ii) Wat is de ivloed va je eerste atwoord op het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (iii) Welke ivloed heeft dit weer op het aatal vosse? Toeame of afame? (iv) E wat beteket dit voor de koije, het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (v) Wat zal er da weer gebeure met het aatal vosse? Toeame of afame? We gaa ee wiskudig prooi-roofdiermodel opstelle. Stel dat gk 0,05 Per jaar worde 5 koije op 00 koije gebore, m.a.w. op u zij dat 0,05u koije. sk 0,00 Per jaar e per aawezige vos wordt koij op 000 opgegete, m.a.w. op u koije zij er dat 0,00u e op v vosse 0,00u v gv 0,000. Per per jaar e per koij worde op 0000 vosse gebore, m.a.w. op v vosse zij er dat 0,000v e op u koije 0,000v u sv 0,03. Per jaar sterve 3 op 00 vosse e op v vosse 0,03v. Dit resulteert i de volgede recursievergelijkige. u u + 0,05u 0,00 u v u u (,05 0,00 v ) v v 0,03v + 0,000 v u v v (0,97 + 0,000 u ) Ook zoude we os de vraag kue stelle of er ee evewichtstoestad, u v 0, bestaat. I geval va ee evewichtstoestad speelt de tijdidex gee belag. De bovestaade recursievergelijkige bepale de volgede voorwaarde voor evewicht: u 0,05u 0,00uv 0 (0,05 0,00 v) u 0 v 0, 03v+ 0, 000vu 0 ( 0, 03+ 0, 000 u) v 0 u 0, v 0 is ee oplossig maar duidelijk gee zivolle situatie om te bestudere. De adere oplossig u 50, v 50 is voor dit model ee evewichtstoestad. 48

50 Het grafisch bestudere va dit model, toot ee goed beeld va de evolutie va het prooiroofdiermodel. We plotte ee uv-diagram e ee tijdsdiagram voor de begisituatie. u0 00 e v0 50. uv-diagram Tijdgrafiek Bestudeer grafisch het effect va de variatie va de begivoorwaarde op de evolutie va dit model..8 Logistisch groeimodel De eevoudigste maier om de evolutie va ee populatie te voorspelle is het expoetiële groeimodel P ap P ap a P P ap a P... P ap a P... waarbij a > 0 ee costate is die afhagt va ecologische factore zoals voedselvoorraad, water, roofdiere, jagers, Voor dit expoetieel groeimodel geldt: a > steeds sellere toeame va de populatie, ee vlucht aar oeidig 0< a < uitsterve va de populatie a populatie veradert iet Zo expoetieel model is echter iet realistisch..8. Opstelle logistisch model Beschouw ee populatie fruitvliegjes die gebore worde e sterve i hetzelfde jaar. Bij ee te sterke groei va de fruitvliegjes zal er voedseltekort optrede of zulle vogels meer fruitvliegjes vage. De groei zal oorsprokelijk expoetieel toeeme e vaaf ee bepaald momet ombuige e afgeremd worde aar ee evewichtswaarde. Als ee leefgebied teveel vliegjes bevat zorgt voedseltekort e adere factore voor die afremmig. I het volgede model houde we hiermee rekeig met de term bp : P ap bp. Voor kleie waarde va P is er gee voedseltekort e als b veel kleier is da a, is bp relatief klei. Voor grote waarde va P wordt de term steeds belagrijker. 49

51 De populatiegrootte blijft iet stijge, zoals bij expoetiële groei, maar ka i ee begresd gebied ee maximale waarde iet overschrijde. De maximale populatiegrootte otere we met P max e op elk tijdstip geldt P < Pmax. We schrijve het kwadratisch model i de vorm P mp ( Pmax P ). Dit model heeft veel iteressate toepassige i o.a. de biologie e het ostaa gaat terug tot het werk va de Belgische wiskudige Pierre Fraçois Verhulst ( ) rod 845. a P ap bp P ( a bp ) bp ( P ). b Idie we veroderstelle dat beide modelle hetzelfde proces voorstelle, vide we dat a Pmax waarbij de parameters a e b e P max afhakelijk zij va ecologische factore. b P Idie we bovedie stelle dat x, ee fractie va P max, kue we os model als Pmax volgt schrijve: P P max P P P b P P b P P P P ( max ) max max max max het volgede model x λx ( x ) met λ > 0 e 0 x. De iteratiefuctie behorede bij dit model is F( x) λx( x)., m.a.w. bekome we Voor x 0 e x is de populatie 0, bijvoorbeeld bij x treedt verzadigig va de ruimte op waari de populatie leeft. Ee adere aapak We kue os model ook als volgt otere: P P + P P + g r P met P de toeame, g de groeivoet e r de remfactor. We veroderstelle weer dat de toeame va de populatie wordt afgeremd met ee factor P Pmax Dit geeft als model: waarbij P max de verzadigigswaarde va de populatie is. P P P + g. P. P Het overgaa aar relatieve getalle met x max. P resulteert i: x x g x x Pmax + ( ). 50

52 .8. Grafische aalyse va het logistisch groeimodel De fuctie F( x) ax( x) heeft vaste pute als: ax( x) x x 0 of a ax x 0 of a x. a I de situatie va het groeimodel geldt dat 0 x. Voor 0< a < is er éé vast put l. x 0. F'( x) a ax zodat F'(0) a< e het vast put aatrekked is. Voor iedere startwaarde voor de populatie zal i dit geval de populatie uitsterve. De startwaarde va 0.7 op de bovestaade figuur beteket 70% va P max. Voor a > heeft het model twee vaste pute x 0 e a x. a Het evewichtput x 0 wordt vaaf a > afstoted. Voor het tweede vast put geldt dat a F' a a zodat het aatrekked is voor < a < 3. De begipopulatie va 0, ( max 0 P ) evolueert aar ee evewichtstoestad va 3. Voor a > 3 worde beide vaste pute afstoted. Grafische aalyse toot dat voor a 3.3 de populatie ee periodiek gedrag, periode, vertoot. De - cyclus is i dit geval aatrekked. Algemee zal er voor 3< a < 3.45 steeds ee aatrekkede -cyclus bestaa. Voor a > 3.45 zal de twee cyclus afstoted worde. Voor bijvoorbeeld a 3.5 bestaat er ee aatrekkede 4-cylus. 5