7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties"

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

2 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 1. Verklarede statistiek.... Ee populatieparameter schatte Putschatte Itervalschatte Hoe het werkt, i theorie Ee voorbeeld Ee kasmodel voor itervalle Hoe het werkt, i de praktijk Ee voorbeeld Ee kasmodel voor betrouwbaarheidsitervalle Ee experimet Observeerbaarheid Hoe werke betrouwbaarheidsitervalle? Het Rad va Fortui Niet zeker, e da? Betrouwbaarheid is Betrouwbaarheid e precisie De betrouwbaarheid veradere Wat is ee foutemarge? Ee voorbeeld uit de media Hoe groot moet de steekproef zij? De theorie De praktijk Extere iformatie Speel op veilig Exit polls bij ipte verkiezige Risicobaby s Voor iets gaat de zo op Drie basisgroothede Samevattig...7 Cetrum voor Statistiek 1

3 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 1. Verklarede statistiek Bij de studie va kasmodelle heb je geleerd hoe je uit het kasmodel va de populatie allerlei eigeschappe ka afleide voor het kasmodel va het steekproefgemiddelde of va de steekproefproportie. I de verklarede statistiek ga je omgekeerd te werk. Uit de iformatie i ee steekproef probeer je iets te wete te kome over ee kemerk va de populatie, zoals het populatiegemiddelde of de populatieproportie. kasmodelle verklarede statistiek populatie populatie steekproef steekproef Cetrum voor Statistiek

4 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties. Ee populatieparameter schatte Het gemiddelde geboortegewicht va alle kidere die i 003 i Vlaadere gebore zij ke je iet omdat je de volledige populatie va al die geboortegewichte iet hebt. Maar dit gemiddelde geboortegewicht bestaat wel. Je oteert het met μ. Om dezelfde rede weet je ook iet wat de echte proportie meisjes is bij al die geboorte. Maar ook die bestaat e zij wordt geoteerd door π. Groothede zoals μ e π zij populatieparameters. Het zij vaste getalle. Zij geve ee bepaalde eigeschap va ee populatie weer. Maar je ket ze iet. Ee populatieparameter zoals de populatieproportie π ka je probere te schatte op basis va wat je i je steekproef hebt gezie. Je ka dat op verschillede maiere doe. Je ka éé getal (éé put aageve, amelijk de proportie successe die jij i je steekproef vidt. Dat oem je putschatte. Je ka ook werke met itervalle. Dat oem je itervalschatte. 3. Putschatte Je trekt ee steekproef (EAS va grootte = 100 uit de geboorte va het jaar 003 e je hebt daar 53 meisjes tusse. Jij moet u zegge wat de proportie meisjes is va alle kidere die i 003 zij gebore. Wat ga je doe? Begi met de groothede va het vraagstuk duidelijk te beschrijve, met de juiste otatie. Opdracht 1 De vraag gaat over de proportie meisjes va alle geboorte i 003. Gaat die vraag da over ee populatieproportie of over ee steekproefproportie? Wat is de juiste otatie? Jij hebt 53 meisjes i je steekproef. Wat is da je gevode steekproefproportie? Hoe oteer je die? Hoort bij jouw uitkomst ook ee kasmodel? Hoe heet dat e met welke otatie duid je dat aa? Om op de vraag over de proportie meisjes va 003 te atwoorde heb je eigelijk iet veel keuze. De eige iformatie die je hebt is je eige steekproef. Daari heb je 53 % meisjes gevode. Wat jij u ka zegge is dat, volges jou, er ee proportie va 53 % meisjes gebore is i 003. Wat zou je aders wel zegge e hoe zou je dat veratwoorde? Iderdaad, je hebt u het beste gedaa wat je ko doe. Maar toch geeft dat iet zo goed gevoel. Waarom? Wat heeft je medeleerlig, die uit dezelfde populatie ook ee steekproef va grootte = 100 heeft getrokke, gevode? E als je iet hetzelfde hebt, wie heeft da gelijk? Cetrum voor Statistiek 3

5 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties I de verklarede statistiek ka je je gelijk iet hale op basis va ee uitkomst. Je moet gaa kijke aar het oderliggede kasmodel dat die uitkomst geereert. Hier heb je gewerkt met ee kasmodel P dat u ees ee te grote e da ees ee te kleie proportie p oplevert, maar waarbij je weet dat, bij heel veel herhalige, de gevode proporties p gemiddeld op de populatieproportie π valle wat EP ( = π. Maar bij ee putschattig ka je iet aageve hoever je va de echte π terechtkomt e met welke kas. Om daar iets meer over te wete moet je va ee put overstappe op ee iterval. Nota. Om de populatieproportie π te schatte werk je met het kasmodel P. Dat oem je ee schatter va π. Ee toevallige uitkomst p oem je ee schattig. Als het gemiddelde va ee schatter samevalt met de populatieparameter die hij schat da spreek je over ee overtekede schatter. Zo is P ee overtekede schatter va π wat EP ( = π. E X is ee overtekede schatter va μ wat E X =. ( μ 4. Itervalschatte Bij ee itervalschattig voor π moet je het kasmodel va de steekproefproportie P kee. Om te starte oderstel je dat de steekproef groot geoeg is zodat je de ormale beaderig ka gebruike Hoe het werkt, i theorie Je weet va vroeger dat elke ormale met 95 % kas iet verder va zij gemiddelde valt da 1.96 stadaardafwijkige. Als de steekproefproportie P zich (beadered gedraagt als ee ormale da ka je voor P schrijve dat: ( π π P 1.96 se( P P se( P = 0.95 P komt met 95 % kas terecht i het iterval π 1.96 se( P ; π se( P = π ± 1.96 se( P. Als jij u ee steekproef trekt e jouw steekproefproportie p uitreket da ka je rod je gevode p ee iterval make va de vorm p ± 1.96 se( P = p 1.96 se( P ; p se( P. Ee belagrijke eigeschap va het iterval dat je op die maier opstelt otdek je i de volgede opdracht. Cetrum voor Statistiek 4

6 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Opdracht Waeer bevat het iterval p ± 1.96 se( P de populatieproportie π? Waeer iet? Waar moet je daarvoor met je steekproefproportie p zij terechtgekome? Kijk goed aar figuur 1. Daar vid je het atwoord. Schrijf dit atwoord u ook op i je eige woorde. kasmodel voor de steekproefproportie P π 1.96 se( P π π se( P p 1.96 se( P p p se( P Figuur Ee voorbeeld Werk met ee steekproef va grootte = 70 uit de populatie geboorte va het jaar 003 e kijk aar de proportie meisjes daari. Als je mag aaeme dat de populatieproportie gelijk is aa π ( 1 π 0.487( π = da is se( P = = Oderstel u ees dat 0 leerlige elk ee steekproef va grootte = 70 trekke e otere welke proportie p zij daari vide. Daara make zij elk ee iterval va de vorm p 1.96 se( P ; p se( P. I dit voorbeeld is dit dus [ p 1.96 (0.06 ; p (0.06]. Als je voor elk va die leerlige hu iterval teket da zou je ee resultaat kue krijge zoals figuur. Cetrum voor Statistiek 5

7 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties π 1.96 se( P π ( π se( P (0.06 Figuur gevode p leerlig 1 37 / leerlig 3 / leerlig 3 44 / gevode iterval p 1.96 (0.06 ; p (0.06 proportie [ ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] Tabel 1 Cetrum voor Statistiek 6

8 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties De derde leerlig is met zij proportie i de rechterstaart terechtgekome, voorbij het put (0.06. Hij heeft daara, zoals alle adere leerlige, zij iterval opgesteld. Maar dat iterval bevat de echte populatieproportie π iet wat ligt iet i [ ; ]. Bij alle adere leerlige ligt wel i het door he opgestelde iterval. Zij hebbe allemaal ee iterval dat de populatieproportie π wel bevat. Figuur is ee grafische voorstellig va wat je i the log ru verwacht. Als je miljoee dergelijke itervalle zou opstelle da zou ogeveer 95 % va die itervalle de populatieproportie π bevatte e 5 % iet Ee kasmodel voor itervalle Figuur toot dat elke leerlig ee eige uitkomst heeft a het trekke va zij steekproef. Die uitkomst is ee iterval. Nu ka je terug de basisvraag stelle. Wat zal er gebeure als ik ee steekproef zal trekke e ook zo iterval zal make? Welk iterval zal ik da hebbe? Je weet dat het eige goede atwoord op zo vraag gegeve wordt door ee kasmodel. Hier is dat ee model dat je vertelt welke itervalle je allemaal ka uitkome e met welke kase. Als je ee toevallig gevode iterval va ee leerlig hebt voorgesteld door [ p 1.96 (0.06 ; p (0.06] da is het ogal logisch dat je het kasmodel voor die itervalle met hoofdletters opschrijft, amelijk als P 1.96 (0.06 ; P (0.06. Dek goed a over dit kasmodel, wat het is de eerste keer i je leve dat je zoiets tegekomt. Je bet odertusse al gewoo geraakt om te werke met modelle die zegge op welke maier getalle tot jou kome. Maar u heb je ee model dat zegt op welke maier itervalle tot jou kome. Het model P 1.96 (0.06 ; P (0.06 geereert itervalle waarbij je 95 % kas hebt dat er ee iterval tot jou zal kome dat de populatieproportie π bevat. Dat komt omdat P zelf met kas 95 % terechtkomt i [ π 1.96 (0.06 ; π (0.06]. Voor elke waarde p die daar terechtkomt ka je het bijhorede iterval [ p 1.96 (0.06 ; p (0.06] make. Dat is da ee iterval dat π bevat, dat heb je op figuur 1 geleerd. 4.. Hoe het werkt, i de praktijk Tot u toe heb je gezie hoe je a het trekke va ee steekproef ee iterval va de vorm p 1.96 (0.06 ; p (0.06 ko make. Dat is iet moeilijk wat a het trekke va de [ ] steekproef ke je jouw geobserveerde proportie p. Bij de eerste leerlig was dat p = 0.59e zo kwam die aa het iterval [ p 1.96 (0.06 ; p (0.06] = [ ; ]. Dat is ee geked iterval, met geked begiput e geked eidput. Cetrum voor Statistiek 7

9 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Vawaar het getal 1.96 komt bij die berekeig is duidelijk. Dat is het kritisch put va de stadaard ormale verdelig waeer je i het cetrum ee kas va 95 % wil hebbe. Maar waar komt die 0.06 vadaa? Dat is de stadaardfout va de steekproefproportie e de formule daarvoor is π (1 π se( P =. Als je met ee steekproef va grootte = 70 werkt da ka je de oemer al ivulle. Maar wat doe je met de teller? Daar staat de populatieproportie π i. Daarvoor heb je tot u toe igevuld, maar eigelijk mag dat iet. Als je de populatieproportie π aa het schatte bet da ke je ze iet. Wat moet je da ivulle voor die teller? De oplossig bestaat eri dat je de populatieproportie π i de formule va proportie p die jij i je steekproef hebt gevode. se( P vervagt door de Ee voorbeeld De eerste leerlig had ee proportie p = Zij ket de populatieproportie π iet e ka dus het π (1 π π(1 π iterval p 1.96 ; p iet uitrekee. Maar als zij π vervagt door p (1 (1 da krijgt zij het iterval 1.96 p p p ; p 1.96 p p +. Dat ka zij wel volledig uitrekee, daarvoor moet zij π iet kee. Voor haar levert dat [ 0.41 ; ]. Ee iterval dat op deze maier verkrege wordt is ee 95 % betrouwbaarheidsiterval voor π. De GRM gebruikt deze praktijk -formule om betrouwbaarheidsitervalle uit te rekee. Dat gaat als volgt. Druk, loop aar TEST e da aar beede aar 1-PropZIt e druk Í. Vul het scherm i zoals aagegeve, loop aar Calculate e druk Í. Je ka u de gevode p e het 95 % betrouwbaarheidsiterval voor π gewoo afleze. De resultate va ekele adere leerlige staa i tabel. gevode iterval gevode (1 (1 proportie 1.96 p p ; p 1.96 p p + leerlig 1 37 / [ 0.41 ; ] leerlig 3 / [ ; ] leerlig 3 44 / [ ; 0.74 ]... Tabel Cetrum voor Statistiek 8

10 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 4... Ee kasmodel voor betrouwbaarheidsitervalle De itervalle die de leerlige hebbe opgesteld zij va de vorm (1 ( p p p ; p 1.96 p p +. Het kasmodel dat deze itervalle geereert stel je voor met hoofdletters. Dat wordt dus (1 ( P P P ; P 1.96 P P +. Dit kasmodel geereert uitkomste die itervalle zij. Zij worde betrouwbaarheidsitervalle geoemd. Als je met dit kasmodel heel veel itervalle zou make da zulle ogeveer 95 % va die itervalle de populatieproportie π bevatte e 5 % va die itervalle zulle dat iet doe. (1 ( P P P ; P 1.96 P P I het kasmodel voor betrouwbaarheidsitervalle + het getal 1.96 staa. Dat wijst erop dat je met de ormale beaderig werkt. zie je Om de ormale beaderig te moge gebruike bestaat er ee criterium e i dat criterium komt de populatieproportie π voor. Die ke je iet. Ook hier bestaat de oplossig eri dat je π vervagt door de proportie p die jij i je steekproef vidt. Het aagepaste criterium zegt dat er moet voldaa zij p 15 aa. Bemerk dat p = aatal successe i je steekproef. Iderdaad, (1 p 15 aatal successe aatal successe p = aatal successe steekproefgrootte = =. E (1 p is iets aders da het aatal mislukkige i je steekproef. Je moet i je steekproef dus mistes 15 successe e 15 mislukkige hebbe om de ormale beaderig te moge gebruike Wat moet je doe als er iet voldaa is aa dat criterium voor de ormale beaderig? Da maak je gebruik va ee recet otdekte eigeschap. Die zegt dat je moet optelle bij het gevode aatal successe e optelle bij het gevode aatal mislukkige. Dat beteket dus ook dat je 4 moet optelle bij de steekproefgrootte. E deze ieuwe getalle gebruik je i hetzelfde model als vroeger, met het kritisch put uit de ormale verdelig. Als je bij ee steekproef va grootte 30 slechts 3 successe gevode hebt da werk je met x = 5 voor het aatal successe e = 34 voor de steekproefgrootte. Zo krijg je [ 0.03 ; 0.7 ] als 95 % betrouwbaarheidsiterval voor π. De steekproefproportie p = die je GRM i zo geval aageeft is da iet meer de succesproportie p = 3/ 30 = 0.10 die jij echt i je steekproef hebt gevode. Cetrum voor Statistiek 9

11 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Kasmodel voor ee 95 % betrouwbaarheidsiterval voor de populatieproportie π Als ik i mij steekproef mistes 15 successe e mistes 15 mislukkige vid, da werk ik met het kasmodel (1 ( P P P ; P 1.96 P P + (* I het adere geval tel ik op bij het gevode aatal successe e tel ik ook op bij het gevode aatal mislukkige. Bij de steekproefgrootte tel ik dus 4 op. Deze ieuwe getalle gebruik ik da i (*. Tabel 3 Nota. Bij het rapportere va je betrouwbaarheidsiterval voor π ga je als volgt te werk. Als je toevallig ee steekproef getrokke hebt waarvoor de uitgerekede formule ee egatief resultaat geeft voor de odergres va je betrouwbaarheidsiterval da maak je daar ee ul va. Ee proportie ka immers ooit egatief zij. Eezelfde opmerkig geldt als je voor de bovegres ee getal vidt dat groter is da 1. Daar maak je ee 1 va. p 15 Je GRM doet gee cotrole op het criterium voor de ormale beaderig. (1 p 15 Dat moet je dus vooraf zelf doe e evetueel aagepaste getalle i je GRM ibrege Ee experimet Als je kijkt aar de itervalle die de leerlige gevode hebbe da zij die va de vorm (1 ( p p p ; p 1.96 p p +. Sommige va deze itervalle bevatte de populatieproportie π maar sommige ook iet. Je verwacht dat, i the log ru er ogeveer 95 op de 100 itervalle π wel zulle bevatte. Je ka dat ees experimeteel agaa op ee eevoudig voorbeeld. Om te wete of de gevode betrouwbaarheidsitervalle de echte populatieproportie π te pakke hebbe moet je atuurlijk wete wat π is. Je start dus met ee 0 1 populatie die je ket e da doe π (1 π p(1 p je alsof je ze iet ket zodat je moet vervage door. Cetrum voor Statistiek 10

12 Statistiek voor het secudair oderwijs Werk u met ee 0 1 populatie X die ee 60 % succeskas heeft. Die ziet er zo uit. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties x 0 1 P(X=x Kasmodel voor ee 0 1 populatie Tabel 4 X met succeskas π = 0.6 Op basis va ee steekproef va grootte = 50 stel je u ee 95 % betrouwbaarheidsiterval op voor π. Je moet hierbij gebruik make va je gevode steekproefproportie p wat je oderstelt dat je (1 ( p p p ; p 1.96 p p π iet ket. Dit beteket dat je het iterval + moet berekee waarbij je bovedie p e moet aapasse als je iet mistes 15 successe e 15 mislukkige i je steekproef hebt gevode. Opdracht 3 Werk same i groepjes va 5 leerlige. Elke leerlig werkt eerst afzoderlijk e daara breg je alle resultate same. Trek 0 keer ee steekproef va grootte = 50 e stel telkes ee 95 % betrouwbaarheidsiterval op voor π. Gebruik daarvoor je GRM op de volgede maier. Vertaal tabel 4 i ee vaasmodel e zet dit vaasmodel i de lijst h. Druk da kies CLSVAAS e druk keer Í. Vul i dat je met ee steekproef va grootte = 50 wil werke e dat je 0 keer zo steekproef wil trekke. Het programma heeft ogeveer 1 miuut odig. Bemerk dat het programma zegt dat er 0 steekproefgemiddelde i de lijst d staa. Jij trekt hier steekproeve uit ee 0 1 populatie e da krijgt het steekproefgemiddelde de aam steekproefproportie. Je krijgt dus als resultaat i d de proportie successe p die i elk va die 0 steekproeve gevode zij. Daarmee moet je u 0 keer ee betrouwbaarheidsiterval opstelle. Dat doe je als volgt. Cetrum voor Statistiek 11

13 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Druk, kies INTERVAL e druk keer Í. Tik 95 waeer er aar de betrouwbaarheid i percet wordt gevraagd e druk Í. Vul i dat je telkes ee steekproef va grootte hebt getrokke e druk Í. = 50 Tik 0.6 om de waarde va π i te brege e druk Í. Tik 1(=ja om de itervalle te tekee e druk Í. Bekijk de itervalle e druk da Í. Je GRM zegt u hoeveel va die 0 itervalle π = 0.6 bevatte. I dit voorbeeld zij er dat 19 va de 0. Hoeveel zij er dat bij jou? Schrijf jouw getal i tabel 5. De 0 itervalle staa i e (odergres e f (bovegres. Je ka die daar gaa bekijke met e 1:Edit. Vat u de resultate va alle leerlige va je groep same. leerlig 1 aatal aatal betrouwbaarheidsitervalle betrouwbaarheidsitervalle die π = 0.6 wel bevatte die π = 0.6 iet bevatte leerlig leerlig 3 leerlig 4 leerlig 5 TOTAAL Tabel 5 Hoeveel percet va alle opgestelde itervalle bevat de populatieproportie? I the log ru zou dat ogeveer 95 % moete zij. Cetrum voor Statistiek 1

14 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 4.3. Observeerbaarheid Uiteidelijk wil je a het trekke va je steekproef iet terechtkome op ee iterval waar og ee obekede π i staat. De succesproportie π i de populatie ka je ooit observere, de succesproportie p i je getrokke steekproef zie je wel. Dat je i de praktijk overstapt va observeerbaarheid. π (1 π op p(1 p heeft dus gewoo te make met Bij elke grootheid ka je kijke of zij aa het toeval oderhevig is e of zij observeerbaar is. Je ka daarbij de volgede omschrijvige gebruike. Observeerbaar : als je a het trekke va ee steekproef de steekproefresultate i je grootheid ivult da zal er i je grootheid gee ekel obeked elemet meer staa. Aa het toeval oderhevig : als je de volgede keer juist dezelfde procedure toepast (uit dezelfde populatie ee steekproef va dezelfde grootte trekt, da zal je voor je grootheid heel waarschijlijk ee adere waarde vide da vorige keer. Grootheid Observeerbaar Aa het toeval oderhevig π Nee Nee P Ja Ja Ja Nee π (1 π π(1 π P 1.96 ; P Nee (1 ( P P P ; P 1.96 P P + Ja Ja Ja Verklarig De populatieproportie is ee vast getal dat je iet ket. De steekproefproportie is aa het toeval oderhevig maar a de steekproef ke jij jouw proportie. De steekproefgrootte wordt vooraf vastgelegd e is geked. Na de steekproef ka je jouw waarde p va P ivulle maar π blijft obeked. Na de steekproef ka je jouw waarde p va P ivulle e da ke je het iterval. Tabel 6 Cetrum voor Statistiek 13

15 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 5. Hoe werke betrouwbaarheidsitervalle? I de verklarede statistiek is er iets wat jij volledig oder cotrole hebt e er is ook iets waar jij helemaal gee vat op hebt. Het eerste is het model e het tweede is de uitkomst. Je leert statistiek om te wete met welk model je moet werke e om dit model te kue aapasse aa je eige eise. Daara gebruik je dat model. Op basis va jouw toevallige steekproefresultate heb jij da ee toevallige uitkomst va jouw model gevode. Wat die uitkomst is heb jij iet i hade. Dat is u eemaal zo, wat zo werkt statistiek Het Rad va Fortui Om goed het verschil tusse het kasmodel voor betrouwbaarheidsitervalle e jouw betrouwbaarheidsiterval te zie, make we ee vergelijkig met ee rad va fortui. Om te begie mag jij aa de quizmaster vrage om het rad va fortui i ee aatal gelijke sectore te verdele (bijvoorbeeld i 100 sectore e om i elke sector ee kaartje te hage. Op dat kaartje moet ee iterval staa met begi- e eidput tusse ul e éé. Verder mag jij zegge hoeveel itervalle de echte populatieproportie π moete bevatte. Als jij graag 95 kaartjes hebt met itervalle die π bevatte da eemt de quizmaster 100 kaartjes, 95 goede e 5 slechte, e hagt die i willekeurige volgorde i de 100 sectore. Hij vertelt je iet welke de goede e welke de slechte kaartjes zij. Daara verdwijt hij voorgoed. Nu be jij aa de beurt. VOORALEER je aa het rad draait ka je zegge dat je ee kas va 95 % hebt om ee iterval te vide dat de echte π bevat. Iderdaad, op 95 va de 100 kaartjes staat ee goed iterval e op de adere 5 kaartjes staat ee slecht iterval. Da draai je aa het rad e a ee tijdje stopt het bij éé bepaalde sector. Het kaartje dat i die sector hagt moet jij eme. Dat is jouw betrouwbaarheidsiterval. Wat ka je u zegge, NADAT je aa het rad gedraaid hebt e jouw kaartje hebt geome? Jij staat daar u met dat kaartje i je had, waarop ee begi- e eidput va éé iterval staat. Wat de echte populatieproportie π is, weet je iet. Je zal die ook ooit kee wat allee de quizmaster kede die e hij is verdwee. Wat je (hopelijk wel weet is dat de populatieproportie π ee vast getal is, iet observeerbaar maar helemaal iet aa het toeval oderhevig. Het vaste iterval dat u op je kaartje staat bevat het vaste getal π wel of het bevat π iet. Daar ka je 100 % zeker va zij. Maar je ka gee kasuitsprake meer make over feite die al gebeurd zij. Zegge dat π met kas 95 % i jouw iterval valt is fout. De populatieproportie π is ee vast getal e dat valt iet erges met ee of adere kas. Zegge dat jouw betrouwbaarheidsiterval met kas 95 % de populatieproportie π bevat is al eve fout. Jij hebt u ee vast iterval e dat iterval bevat π wel, of het bevat π iet. Cetrum voor Statistiek 14

16 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 5.. Niet zeker, e da? Je hebt u ee zogeaamd 95 % betrouwbaarheidsiterval e wat je daar met 100 % zekerheid over weet is dat het ofwel goed is ofwel slecht. Frustrered? Eigelijk moet je de dige wat aders bekijke, i hu totale cotext. ACHTERAF heb jij iderdaad éé iterval, dat ofwel π bevat ofwel iet. Maar je ka tegelijk zegge dat jij met ee model gewerkt hebt waarbij jij VOORAF ee kas va 95 % had om ee goed iterval te vide. E u hoop je dat jouw iterval ee goed iterval is. Zekerheid heb je iet. Wat doe je daara? Voor het vervolg va je studie ga je er vauit dat je ka verder werke i de oderstellig dat π éé va de waarde va jouw iterval is. Voor jou zij dat aaemelijke waarde voor π Betrouwbaarheid is I elke taal zoekt me aar ee goed woord om uit te legge wat er gebeurt als je ee betrouwbaarheidsiterval opstelt. I het Egels spreekt me over ee 95 % cofidece iterval. Leerlig 1 zou i de Vereigde State lere dat zij moet zegge: op basis va mij steekproef ka ik 95 % cofidet zij dat bij de geboorte va het jaar 003 de proportie meisjes ligt tusse 0.43 e Of ze zou ook moge zegge: ik heb 95 % cofidece dat het iterval [ 0.43 ; 0.68 ] de proportie meisjes bij de geboorte va 003 te pakke heeft. Op het cetrale exame voor statistiek (i de USA gebruike veel leerlige iderdaad éé va beide zie als er ee vraag is over betrouwbaarheidsitervalle. Zij schrijve zo zi letterlijk op, op zo maier dat je het gevoel krijgt dat ze die zi va buite geleerd hebbe. Misschie komt dit omdat zij iet wete wat er u juist met het woord cofidece bedoeld wordt. I hu dagelijkse spreektaal komt I have 95 % cofidece that iet voor. Ook i het Nederlads is het ee probleem. Zegge dat je ee iterval hebt gevode dat met 95% betrouwbaarheid (e dus NIET met 95 % kas de populatieproportie π bevat blijft ee moeilijke uitspraak. Je moet die uitspraak telkes dubbel iterpretere. De aalogie met ee rad va fortui ka je daarbij helpe. Het begrip 95 % betrouwbaarheid bestaat uit dele: 95 % e betrouwbaarheid. 1. De 95 % verwijst aar het model waarmee je gewerkt hebt, of aar het rad va fortui, waarbij je er VOORAF zelf hebt kue voor zorge dat je 95 % kas had op ee goed iterval.. Het woord betrouwbaarheid verwijst eraar dat je met dat rad va fortui al gespeeld hebt. ACHTERAF zit je daar met jouw iterval. Het ka ee goed of ee slecht zij. E da werk je verder met wat volges jou aaemelijke waarde voor de populatieproportie π zij. De waarde waar je vertrouwe (= cofidece i hebt. Dat zij de waarde die jij i jouw iterval gevode hebt. Iets aders heb je iet. Zekerheid ook iet. Als voor het opstelle va ee betrouwbaarheidsiterval aa jou gevraagd wordt om te werke met ee betrouwbaarheid va 95 % da wordt daarmee bedoeld dat jij moet werke met ee MODEL dat met KANS 95 % ee goed iterval aar jou zal sture. Ee UITKOMST uit dat model oem je daara ee 95 % BETROUWBAARHEIDSINTERVAL. Cetrum voor Statistiek 15

17 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 6. Betrouwbaarheid e precisie Waeer je beslist om met ee vooraf gekoze steekproefgrootte te werke (bijvoorbeeld met = 70 da ligt og iet alles vast. Tot u toe heb je allee 95 % betrouwbaarheidsitervalle bestudeerd, maar je ka ook met ee adere betrouwbaarheid werke De betrouwbaarheid veradere Het model voor betrouwbaarheidsitervalle i tabel 3 werkt met (1 ( P P P ; P 1.96 P P + Dit model geereert itervalle die (gemiddeld 95 keer op de 100 de populatieproportie π bevatte. Bij het opstelle va het model heb je de ormale beaderig gebruikt. Het getal 1.96 ke je heel goed uit de studie va ormale kasmodelle. Je weet dat elk ormaal model met kas 95 % iet verder da 1.96 stadaardafwijkige va zij gemiddelde valt. Voor de stadaard ormale Z schrijf je dat als P( 1.96 Z 1.96 = Dit is de rede waarom je het getal 1.96 i (* ziet verschije. Daarom ook is (* ee model voor ee 95 % betrouwbaarheidsiterval. Als je u met ee systeem wil werke dat kleiere of grotere betrouwbaarheid oplevert, da hoef je allee maar je keis over ormale kasmodelle te gebruike. Je weet bijvoorbeeld dat P( Z = 0.90 e dus is (* (1 ( P P P ; P P P + (** ee model dat 90 % betrouwbaarheidsitervalle voor π geereert. Moeilijker is het iet. Cetrum voor Statistiek 16

18 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 6.. Wat is ee foutemarge? Leerlig 1 heeft i haar steekproef va 70 geboorte 37 meisjes gevode. Dat is ee proportie p Zij gebruikt het model (* e vidt [ 0.41 ; ] voor haar 95 % betrouwbaarheidsiterval voor π. Je ka dat iterval ook schrijve als 0.59 ± I percete uitgedrukt is dat 5.9 % ± 11.7 % Zij wil ook wete wat er gebeurt als zij met ee 90 % betrouwbaarheid zou werke. Daarom vult zij haar gevode proportie i i het model (** e krijgt ee 90 % betrouwbaarheidsiterval dat eruit ziet als [ ; 0.67 ]. Dat iterval ka je schrijve als 0.59 ± of als 5.9 % ± 9.8 % 95 % betrouwbaarheidsiterval 11.7% 5.9% 11.7% 90 % betrouwbaarheidsiterval 5.9% 9.8% 9.8% Figuur 3 Je merkt dat, bij ee gevode proportie p, ee 90 % betrouwbaarheidsiterval korter is da ee 95 % betrouwbaarheidsiterval. Dat ko je vooraf wete. Bij (* gebruik je 1.96 e bij (** De halve legte va ee betrouwbaarheidsiterval, dat is dus het getal dat a ± staat, oem je de foutemarge. Hoe korter het iterval hoe preciezer de iformatie. Maar daarvoor betaal je ee prijs. Je moet da met ee model werke waarbij de kas groter is op ee slecht iterval. Bij (** is die kas 10 % e bij (* is die maar 5 %. Wat je zopas gezie hebt is algemee waar. Ee grotere betrouwbaarheid gaat same met ee grotere foutemarge. Je hebt da mider precieze iformatie (wat ee lager iterval. Omgekeerd, als je bereid bet om ee model te gebruike dat met mider kas ee goed iterval geereert (bijvoorbeeld met kas 90 % i plaats va met kas 95 % da krijg je i ruil meer precieze iformatie (wat ee korter iterval. Je moet dus zelf de voor- e adele afwege waeer je beslist met welk model je wil werke. Daarvoor moet je de cotext va het oderzoek kee. Cetrum voor Statistiek 17

19 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Opdracht 4 Wat is de foutemarge va ee 80 % betrouwbaarheidsiterval voor π bij 37 gevode successe i ee steekproef va grootte = 70? Verwacht je ee preciezer (e dus korter iterval te vide da bij ee 95 % betrouwbaarheidsiterval? Waarom? Zoek u dat iterval e zeg wat de foutemarge is. Too je redeerig e je berekeige. Opdracht 5 Met welk rad va fortui werk je als je, zoder π te kee, zelf zo rad zou moete make dat ee 100 % betrouwbaarheidsiterval oplevert? Wat moet je da op de kaartjes schrijve die je aa dat rad hagt? Wat gebeurt er i de statistiek als je zekerheid (100 % betrouwbaarheid wil hebbe? Cetrum voor Statistiek 18

20 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 6.3. Ee voorbeeld uit de media Ee krat schrijft dat er bij 4 op de 10 va de 1301 odervraagde gezie s ochteds same wordt otbete. Er staat ook bij dat het oderzoek ee foutemarge va.6 % heeft. Als je zoiets i ee krat leest da mag je erva uitgaa dat zij met het model (* gewerkt hebbe. I dit oderzoek is de gevode steekproefproportie p = 0.4 (4 op de 10 gezie zodat ee 95 % betrouwbaarheidsiterval voor π (π is de proportie va alle Vlaamse gezie die same otbijte gelijk is aa p(1 p 0.4(1 0.4 p ± 1.96 = 0.4 ± 1.96 = 0.4 ± % ±.6% 1301 Datum : 13/01/005 Titel : Vlaamse gezie streve gezod otbijt a Vlaamse gezie wete over het algemee goed wat gezod otbijte is e probere daar zo cosequet mogelijk aar te hadele. Vooral moeders ete e drike wat zij deke dat bij ee evewichtig otbijt hoort. Dat blijkt uit ee oderzoek va de Gezisbod over het otbijtgedrag va hu lede. I vier op de tie va de odervraagde gezie wordt same otbete. Vaders otbijte wel vaker i hu eetje. Oudere kidere ete vaker allee da hu jogere broertjes of zusjes. Vlaams miister va Volksgezodheid e Gezi Ige Vervotte beadrukt dat ee gezellig otbijt bijdraagt tot ee positieve geziscultuur. Ze odigt de Gezisbod uit om same met adere betrokkee cocrete acties op te zette om gezode voedig og meer te stimulere. Het oderzoek va de Gezisbod heeft ee foutemarge va,6 procet. Hoger opgeleide e lagere schoolkidere zij oververtegewoordigd. Opdracht 6 Sommige mese die dit artikel leze deke als volgt. I die studie ware er 40 % gezie die verklaarde dat zij same otbijte, maar de oderzoekers zij er iet zeker va of er i de totale populatie va alle gezie ook juist 40 % zij die same otbijte. Daarom hebbe zij ee foutemarge bepaald. Dat is de maximale fout (te groot of te klei die er ka opzitte. De populatieproportie is misschie iet exact 40 % maar zij ligt zeker tusse 37.4 % e 4.6 %. Wat dek jij va deze uitspraak? Zeg ook welke coclusie jij zelf uit het bericht i die krat trekt. Doe dit met ee zo auwkeurig mogelijk woordgebruik. Cetrum voor Statistiek 19

21 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 7. Hoe groot moet de steekproef zij? Bij elk echt statistisch oderzoek is de vraag aar de grootte va de te trekke steekproef zeer belagrijk. Het gaat iet allee over tijd e geld va de oderzoekers. Dikwijls zij bij ee oderzoek ook adere betrokke, zoals patiëte bij de speurtocht aar ieuwe geeesmiddele De theorie (1 ( P P P ; P 1.96 P P Uit tabel 3 weet je dat + 95 % betrouwbaarheidsitervalle voor de populatieproportie π geereert. het kasmodel is dat Als jij u ee steekproef trekt e daari ee proportie p successe hebt, da stel jij jouw (1 (1 95 % betrouwbaarheidsiterval op. Dat is da 1.96 p p p ; p 1.96 p p + of, wat (1 hetzelfde is, 1.96 p p p p(1 p ±. Je ka atuurlijk ook p ± z schrijve als je met ee algemee kritisch put z uit de stadaard ormale wil werke. p(1 p De foutemarge z die je hier ziet bestaat uit 3 groothede: de betrouwbaarheid die bepaalt wat z is. Wil je 95 % betrouwbaarheid da is z = Werk je met 90 % betrouwbaarheid da is z = de gevode steekproefproportie p die i de teller voorkomt de steekproefgrootte die i de oemer voorkomt Als jij zegt dat je ee 95 % betrouwbaarheidsiterval wil make met ee foutemarge va 3 % da hoef je dat allee maar i te vulle i p(1 p foutemarge = z of i z p(1 p z p(1 p = = (*** foutemarge foutemarge ( Voor jouw vraag is de grootte va de te trekke steekproef gelijk aa ( (1 = = z p p p p ( foutemarge ( 0.03 Zie je het probleem hier? Je probeert te bepale hoe groot de steekproef moet zij die je zal trekke. E om te wete hoe groot die moet zij zou je al de resultate va die steekproef moete hebbe, wat je hebt p odig! Dat is de wereld op zij kop. Cetrum voor Statistiek 0

22 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 7.. De praktijk I de praktijk moet je probere ee goede (beaderede waarde te gebruike voor de succesproportie p die je verwacht te zulle vide i je steekproef. Dat ka op maiere. Ofwel gebruik je extere iformatie, ofwel speel je op veilig Extere iformatie Extere iformatie ka je hale uit vorige oderzoeke, uit de literatuur, uit pilootstudies ez. Als deze iformatie betrouwbaar is e als je gee grote veraderige verwacht tegeover wat er vroeger gevode werd, da ka je die extere iformatie gebruike om te bepale met welke steekproefgrootte je u moet werke. Bij extere iformatie zet je ee dubbele stap. Extere iformatie geeft je immers ee (beadered idee over de succesproportie i de populatie, dus over π. E da redeeer je als volgt. Als ik uit zo populatie trek, da verwacht ik i mij steekproef ee succesproportie p die iet te ver afligt va π. E da gebruik je wat je weet overπ als ee beaderede waarde voor p i (***. Op vid je heel wat iformatie over Vlaadere i de publicatie VRIND 006. Va alle leerlige i de tweede e derde graad secudair oderwijs zitte er ogeveer 31 % i het TSO. Dat is ee cijfer voor heel Vlaadere voor de periode Jouw vraag is u: hoeveel percet leerlige zitte er dit jaar i mij provicie i het TSO? Je wil dit sel wete, op basis va ee steekproef e zoder te moete wachte tot de volledige ischrijvigslijste va alle schole gepubliceerd zij. Als je mag oderstelle dat jouw provicie iet veel verschilt va de algemee tred i Vlaadere da beteket dit dat er daar globaal ook ogeveer 31 % leerlige voor TSO kieze. Dit is dus ee vermoede over de populatieproportie π i jouw studie (jouw populatie bestaat uit alle leerlige e + 3 e graad i jouw provicie. Als i jouw provicie (bij beaderig 31 % va de leerlige voor TSO kieze da verwacht je dat je ook ogeveer 31 % successe (= leerlige die voor TSO kieze i je steekproef zal vide. I de formule (*** vervag je da p door 31 %. Om ee 95 % betrouwbaarheidsiterval op te stelle voor de proportie leerlige die dit jaar i jouw provicie TSO volge heb je de volgede steekproefgrootte odig als je wil werke met ee foutemarge va ogeveer 3 %. Uit (*** volgt dat je leerlige moet trekke. = p(1 p 1.96 (0.31( ( 0.03 ( 0.03 Nota Bij het bepale va de steekproefgrootte rod je af aar bove. Cetrum voor Statistiek 1

23 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 7... Speel op veilig Soms heb je gee extere iformatie of is die iet betrouwbaar of iet stabiel. Hoe moet je da iets over de te verwachte p te wete kome? I de formule (*** om te bepale staat iet p maar wel p (1 p. Wat p zal zij weet je iet, maar je weet wel dat elke proportie ee getal is tusse 0 e 1. Je zou dus ees kue oderzoeke wat de mogelijke waarde zij va p (1 p terwijl je p laat lope va 0 tot 1. Met je GRM is dat gee probleem. Idie odig druk je eerst y < e 1:ClrDraw. Pas p aa zoals aagegeve. Druk da o. Zorg ervoor dat alle fucties af staa. Loop aar ee fuctie die og vrij is, bijvoorbeeld \Y 7 = e tik da 1 same met de greze waar je met y : de gepaste ogelijkheidstekes ivult. Druk da r. Terwijl p va 0 aar 1 loopt zie je dat p (1 p ee stuk va ee parabool beschrijft. De maximale waarde va p (1 p is 0.5 e die wordt bereikt voor p = 0.5. De redeerig is u als volgt. Voor ee 95 % betrouwbaarheidsiterval met 1.96 p (1 p ee foutemarge va 0.03 heb je ee steekproefgrootte odig die gelijk is aa = Wat ( p (1 p is weet je iet maar het ka ooit groter zij da 0.5. Dat gebeurt voor p = 0.5. Vervag dus p door 0.5 e werk met = 1.96 (0.5(1 0.5 ( 0.03 geoeg e je foutemarge is zeker ooit meer da wat er gevraagd was (0.5(1 0.5 ( Je steekproef is da zeker groot Bemerk dat je ee steekproef va = 1068 leerlige uit je provicie moet trekke als je de extere iformatie iet vertrouwt e dus op veilig speelt Exit polls bij ipte verkiezige I 000 ame Hillary Clito e Rick Lazio het tege elkaar op om U.S. seator te worde i de staat New York. Soms zij dergelijke verkiezige vooraf al duidelijk e wit de favoriete kadidaat met ee voorsprog va meer da 40 % op zij tegestrever. Maar bij Hillary was dat helemaal iet zo duidelijk e de peilige vooraf voorspelde voor haar ee ipte overwiig, zoiets rod de 55 % va de stemme. Op de dag va de verkiezige wil je op basis va ee exit poll sel kue zegge wie er gewoe heeft. Daarom probeer je met ee zo klei mogelijke steekproef te werke, wat dat gaat het selst. Je stelt voor om gebruik te make va de extere iformatie (Hillary haalt waarschijlijk 55 %. Je stelt ook voor om de foutemarge wat groter te eme, zoals 5 %. Beide voorstelle zij hier iet aa te rade. Cetrum voor Statistiek

24 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Opdracht 7 Ka je, vooraleer verder te leze, redee bedeke waarom beide voorstelle hier iet aa te rade zij? Welke? Dek aa wat je i de praktijk vereemt op radio e TV waeer me probeert te voorspelle wie er zal wie bij ipte verschille tusse partije (of politici. De vermelde 55 % is twijfelachtig. Dat getal schommelde ook ogal wat i de weke die aa de verkiezige voorafgige, afhakelijk va de krat of de TV-zeder die de peilig had late uitvoere. Soms was het 5 % e ee adere keer 56 %. Je ka dus maar beter op veilig spele e 0.50 ivulle voor p. Ee foutemarge va 5 % is i deze situatie af te rade. Als je bijvoorbeeld bij je exit poll ee overwiig voor Hillary vidt va 53 % da zit je met ee betrouwbaarheidsiterval dat er uitziet als [ 48 % ; 58 % ]. Je aaemelijke waarde vertelle je da dat Hillary zowel ka verlore hebbe als gewoe. Dat helpt iet veel. Werk dus liever met ee kleie foutemarge, zoals % Voor ee 95 % betrouwbaarheidsiterval met ee foutemarge va ogeveer % moet je werke 1.96 (0.5(1 0.5 met ee steekproef va grootte = = ( Het oderzoeksbureau dat op 7 ovember 000 (de dag va de verkiezige de exit poll uitvoerde werkte met 3 kiezers waarva er 144 voor Hillary Clito hadde gestemd. Zij vode 55.7 % ±.1 % of [ 53.6 % ; 57.8 % ] voor hu 95 % betrouwbaarheidsiterval. Alle aaemelijke waarde voor het percet va alle kiezers dat voor Hillary heeft gestemd ligge hier bove de 50 % e dus was de TV er als de kippe bij om te zegge dat Hillary de verkiezige had gewoe. Na het telle va alle 6. miljoe stembiljette bleek dat 56.0 % kiezers op Hillary Clito had gestemd Risicobaby s Kidere met ee te laag geboortegewicht lope groter risico op allerlei complicaties. I de geeeskude spreekt me over laag geboortegewicht waeer ee kid mider da.5 kg weegt. Met de term zeer laag geboortegewicht bedoelt me gewichte beede 1.5 kg bij de geboorte. Da heb je echt ee baby met verhoogd risico. I Vlaadere zij er gelukkig weiig kidere die bij de geboorte mider da 1.5 kg wege. Dat zij er 8 à 9 per duized. Dit cijfer komt uit ee medisch tijdschrift va 5 jaar gelede. Maar is dat ook de voorbije 3 jaar zo gebleve? Je wil voor het percet risicobaby s die de voorbije 3 jaar i Vlaadere zij gebore ee 95 % betrouwbaarheidsiterval opstelle. Hoe pak je dat aa? Cetrum voor Statistiek 3

25 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Ee formule blideligs toepasse is meestal gee goed idee. Je zou als volgt kue redeere. Ik heb betrouwbare extere iformatie om te gisse wat ik ogeveer voor p zal vide i mij steekproef. Volges dat medisch tijdschrift is de proportie zo 9 op duized. Verder werk ik met de klassieke 95 % betrouwbaarheid e met de klassieke 3 % foutemarge. Ik moet dus werke met ee steekproef va grootte 1.96 (0.009( = 39 ( 0.03 STOP. e DENK! Om de zaak op de spits te drijve zou je ees kue oderstelle dat er maar 9 risicobaby s per hoderdduized geboorte zij. Da moet je slechts ee steekproef trekke va grootte 1.96 ( ( = Is dat iet fatastisch? ( Eve erstig Als je vooraf ee vermoede hebt dat de populatieproportie π heel klei is, let da goed op de foutemarge waarmee je wil werke. Bij het voorbeeld va de risicobaby s is die totaal ziloos. Als het waar is dat er ogeveer 8 à 9 risicobaby s per 1000 geboorte zij, da beteket ee erstige vermeerderig dat er bijvoorbeeld 1 per duized risicobaby s zoude zij, e ee gevoelige vermiderig heb je als er i plaats va 9 slechts 5 à 6 per duized zij. Wat heb je da aa ee iterval met ee foutemarge va 3 % of dus va 30 per duized? Dat is absurd! I de cotext va deze studie is ee zivolle foutemarge 1 à per duized. Als je die gebruikt da 1.96 (0.009( verhoogt de beodigde steekproef drastisch, amelijk tot = Je 0.00 ( hebt bovedie u ook dat, voor ee verwachte p va ogeveer 9 per 1000, ( ( p (1 p wat twee keer ruimschoots meer da 15 is. Cetrum voor Statistiek 4

26 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 8. Voor iets gaat de zo op Meer precieze iformatie krijg je uit ee smaller iterval. Daarvoor heb je ee kleiere foutemarge odig. Die krijg je iet zomaar. Je moet daarvoor iboete op de betrouwbaarheid, ofwel heb je meer observaties odig. Alles heeft zij prijs Drie basisgroothede Hoe de drie basisgroothede op elkaar iwerke ga je u i detail bekijke. Je begit telkes met ee cocreet voorbeeld e daaruit leer je hoe het algemee pricipe werkt. Als je op veilig speelt da is het verbad tusse de beodigde steekproefgrootte betrouwbaarheid e de foutemarge gegeve door:, de = ( z ( 0.5( ( foutemarge Hierbij is z het kritisch put va de stadaard ormale dat door de geweste betrouwbaarheid wordt vastgelegd. Wil je bijvoorbeeld werke met ee betrouwbaarheid va 95 % da is z = Bij ee betrouwbaarheid va 90 % eem je z = e bij 99 % hoort z =.58. Opdracht 8 Bekijk u wat er gebeurt i verschillede situaties e geef ee iterpretatie i woorde. 1. Houd eerst eve de betrouwbaarheid vast. Kies i dit voorbeeld ees ee betrouwbaarheid va 90 % e werk met z = Zoek da de beodigde steekproefgrootte als je op veilig speelt e hoogstes ee foutemarge va 5 % wil hebbe. Doe dit ook voor adere foutemarges e vul de volgede tabel i. Zie je ee bepaald patroo verschije? Ka je dat verklare? Bij ee betrouwbaarheid va 90 % is: maximale foutemarge steekproefgrootte 5 % % 1 % Tabel 7 Is de volgede uitspraak waar: als je wil dat de foutemarge maar half zo groot is da moet je werke met ee steekproef die dubbel zo groot is? Wat is je advies voor mese die met ee zeer kleie foutemarge wille werke? Bedek dat elke extra observatie die je odig hebt tijd e geld kost. Cetrum voor Statistiek 5

27 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties. Je ka ook zegge dat je hoogstes ee foutemarge va 3 % wil e da zoeke wat de beodigde steekproefgrootte is bij ee betrouwbaarheid va 90 %. Doe dit ook voor adere betrouwbaarheid e vul de volgede tabel i. Werk telkes met de formule waar je op veilig speelt. Ka je verklare wat hier gebeurt? Bij ee maximale foutemarge va 3 % is: betrouwbaarheid steekproefgrootte 90 % 95 % 99 % Tabel 8 3. Als je vooraf zegt dat je allee maar tijd e geld hebt voor ee steekproef va grootte = 400, hoe groot zal da de foutemarge te hoogste zij bij ee betrouwbaarheid va 90 %? Vul dat i i de volgede tabel e werk met verschillede waarde voor de betrouwbaarheid. Maak gebruik va het feit dat p (1 p 0.5(1 0.5 = 0.5.Welk patroo otdek je hier? Bij ee vaste steekproefgrootte = 400 is: betrouwbaarheid foutemarge 90 % 95 % 99 % Tabel 9 Cetrum voor Statistiek 6

28 Statistiek voor het secudair oderwijs Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties 8.. Samevattig I de oderstaade tabel staat per kolom ee bepaalde situatie beschreve. Het zij de situaties die je zopas i je opdracht hebt bestudeerd. Zo zegt bijvoorbeeld kolom A: als je de steekproefgrootte iet wil veradere maar je wil wel ee grotere betrouwbaarheid da zal de foutemarge vergrote e krijg je dus ee mider precies iterval. A B C betrouwbaarheid vast foutemarge vast steekproefgrootte vast Tabel 10 Opdracht 9 Schrijf u ook voluit wat kolom B e C zegge Cetrum voor Statistiek 7

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Betrouwbaarheidsintervallen

Betrouwbaarheidsintervallen tatistiek voor Iformatiekude, 005 Les 3 Betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we groothede va ee populatie met behulp va steekproeve kue schatte. We hebbe daarbij gezie dat

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit. - Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het

Nadere informatie

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005 Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken. Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6 Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

8. Betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden

8. Betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede tatitiek 8. Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Werktekt voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Ha Bekaert Cecile Goethal Lie Provoot Marc Vacaudeberg Statitiek

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep Mexicaase griep: A/H1N1 griep Wat is de Mexicaase griep? De zogeaamde Mexicaase of varkesgriep is ee ieuwe variat va het griepvirus, met ame A/H1N1. Weiig mese hebbe immuiteit voor dit virus. Hierdoor

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 11 juni 2011

Uitwerkingen toets 11 juni 2011 Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016 Oudertevredeheid ods 't Gijmik Pagia 1 va 7 www. Olie Evaluatie Istrumet OBS 't Gijmik Oudertevredeheid ods 't Gijmik maart 2016 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2016 DigiDoc Pagia 1 va 7 Oudertevredeheid

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II Eidexame wiskude A vwo 008-II Beoordeligsmodel Cotrole bij ieuwbouw maximumscore 4 I 00 ware er (ogeveer) 7 000 ieuwbouwwoige I 004 ware er (ogeveer) 4 800 ieuwbouwwoige De toeame is 7000 4800 00% (: de

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr.

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 9. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg DEEL. Basisideeë.... Hoe extreem mag

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie.0) veilig e gezod werke Wat is lichamelijke belastig? Oder lichamelijke of fysieke belastig verstaa we het aaeme va houdige, het make va bewegige e het zette va kracht. Alle medewerkers,

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze

Nadere informatie

2.1 De normale verdeling

2.1 De normale verdeling Les 2 Steekproeve We zulle i deze les bekijke, hoe we gegeves va ee populatie zoals het gemiddelde e de spreidig kue schatte, zoder aar elk idividu va de populatie te kijke. Het idee hierbij is, i plaats

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-01 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-01 16:0:4 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - Participatie opleidige

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1 PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke

Nadere informatie

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 13:53:17 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - ICT College

Nadere informatie

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2017-II

wiskunde A pilot vwo 2017-II wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee

Nadere informatie

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of. Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Revius Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014

Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Revius Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete studete Revius Pagia 1 va 9 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Istituut Archimedes Equete studete Revius juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete project Cross Your Borders Pagia 1 va 7 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete project Cross Your Borders juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 14:0:03 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - Tech College

Nadere informatie

Medisch vragenformulier aanvraag

Medisch vragenformulier aanvraag Medisch vrageformulier aavraag Tegemoetkomig TOG Met behulp va dit formulier e de door u meegestuurde bijlage stelt ClietFirst oafhakelijk vast i hoeverre uw kid hulp, begeleidig of toezicht odig heeft

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Farel College Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Farel College Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete studete Farel College Pagia 1 va 11 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Istituut Archimedes Equete studete Farel College juli 201 Alle rechte voorbehoude.

Nadere informatie

Koftig Texel & Lesformulier Texel per dag

Koftig Texel & Lesformulier Texel per dag Koftig Texel & Lesformulier Texel per dag Mica de Jog 0807580 2a DBKV Marlee Aredok Ihoud: Voorbereidig Lesformuliere Koftig Opgestuurde bestad aar Wieeke Voorbereidig Begisituatie: Ik ga erva uit dat

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete studenten op ROC Midden Nederland. Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument IO: Gitta.

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete studenten op ROC Midden Nederland. Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument IO: Gitta. Equete studete op ROC Midde Nederlad. Pagia 1 va 1 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete studete op ROC Midde Nederlad. IO: Gitta.verhoeve juli 214 Alle

Nadere informatie

Deel I. Kenmerken van ADHD. Hoofdstuk 1. Wat we weten over de stoornis ADHD. 1.1 De basiskenmerken

Deel I. Kenmerken van ADHD. Hoofdstuk 1. Wat we weten over de stoornis ADHD. 1.1 De basiskenmerken Deel I hoofdstuk 1 Deel I Wat we wete over de stooris ADHD Hoofdstuk 1 Kemerke va ADHD Altijd druk? De letters ADHD staa volges sommige vooral voor: Alle Dage Heel Druk. Dat klopt lag iet altijd. Niet

Nadere informatie

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008 -wet Wiset-hbo update mei. 2008 1 Ileidig De wortel--wet komt i de praktijk erg vaak voor op twee maiere, amelijk bij het eme va steekproeve e bij het bepale va de va ee aatal trekkige uit ee verdelig.

Nadere informatie

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI Help! Statistiek! Overzicht Doel: Iformere over statistiek i kliisch oderzoek. Tijd: Derde woesdag i de maad, -3 uur 8 maart: Betrouwbaarheidsitervalle 5 april: Herhaald mete met twee mate 0 mei: Statistiek

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5 Statistiek Voor studete Bouwkude College 5 toevalsfluctuaties Programma voor vadaag Terugblik Wet va de grote aatalle Verwachtigswaarde Stadaardfout e wortel wet Normale beaderig voor kashistogramme Prof.

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Van Hall Larenstein 16-11-13 Open Dag Wageningen 'Wageningen (Larenstein)' Online Evaluatie Instrument december 2013

www.hbospiegel.nl Hogeschool Van Hall Larenstein 16-11-13 Open Dag Wageningen 'Wageningen (Larenstein)' Online Evaluatie Instrument december 2013 16-11-13 Ope Dag Wageige: Pagia 1 va 11 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Va Hall Larestei 'Wageige (Larestei)' 16-11-13 Ope Dag Wageige december 2013 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN STUDIEKEUZESTAPPENPLAN www.uva.l/studie-kieze Hoe kies je ee studie? studiekeuzestappepla Weet je og iet wat je wilt studere? Begeleidig bij het studiekeuzestappepla Misschie ka dit studiekeuzestappepla

Nadere informatie

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014 diestverleig bij Zadkie Pagia 1 va 10 www.rocspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Zadkie Zadkie diestverleig bij Zadkie locatie: Marcoistraat april 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2014 DigiDoc ROCspiegel.l

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

medewerkers museumboerderij de Wendezoele

medewerkers museumboerderij de Wendezoele LES 2: KERNLES: ONTDEK DE BOERDERIE I deze les staat het beleve va het erfgoed cetraal. KENMERKEN Tijd Les wordt gegeve door Beodigde materiale 60 miute medewerkers museumboerderij de Wedezoele overzicht

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 12:4:38 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - VAVO Lyceum

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Ziekteprotocol. Avonturijn: Nieuwe Weg 5-01 n 7261 NL Ruurlo. info@avonturijn-ruurlo.nl www.avonturijn-ruurlo.nl

Ziekteprotocol. Avonturijn: Nieuwe Weg 5-01 n 7261 NL Ruurlo. info@avonturijn-ruurlo.nl www.avonturijn-ruurlo.nl Ziekteprotocol Avoturij: Nieuwe Weg 5-01 7261 NL Ruurlo Telefoo (0573) 45 81 35 Fax (0573) 45 81 33 ifo@avoturij-ruurlo.l www.avoturij-ruurlo.l KvK 41040789 Rabobak 35.67.59.865 Ziekteprotocol Op verzoek

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie