Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:

Transcriptie

1 Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure opzoekigswerk e dekwerk kue wij u mee geiete. De tekst gaat over de Gulde Sede e de getallerij va Fiboacci. Ee oderwerp dat wiskudige al eeuwe lag boeit. Ook vadaag og blijft het oderwerp bijzoder actueel, e daar zulle hulpmiddele zoals grafische reketoestelle e computers ogetwijfeld iet vreemd aa zij. Het oderwerp lijkt bijzoder geschikt om leerlige aa te biede als module i de Vrije Ruimte va de derde graad of i het kader va Begeleid Zelfstadig Lere. Het gaat om ee heel mooi stukje wiskude e bovedie kee de Gulde Sede e de getallerij va Fiboacci toepassige i de kust, i de weteschap, i de atuur. Metee vakoverschrijded dus. Op het iteret is heel wat bijkomed materiaal te vide over dit oderwerp. We vermelde ee tweetal RL s: Domiiek Ramboer Paul Decuypere

2 Fiboacci: joger da je dekt! -2- DEEL I DE GLDEN SNEDE. Defiitie e costructie De Griekse wiskudige Euclides (ogeveer 300 v. Chr.) schreef de Elemete, d.i. ee verzamelig va 3 Boeke. I Boek 6 behadelt hij de verdelig va ee lijstuk i uiterste e middelste rede. Hij bedoelt hiermee de verdelig va ee lijstuk i twee stukke zodat de verhoudig va het grootste deel tot het kleiste deel gelijk is aa de verhoudig va het gehele lijstuk tot het grootste deel (die verhoudig wordt de gulde sede geoemd, otatie Phi = p) Adere beamige: de goddelijke verhoudig, de gulde sede. a b A G B Het komt er dus op aa op [AB] ee put G te bepale zodat: AG AB a a+ b = = GB AG b a it a a + = b volgt b a a b a b a = ab+ b 2 = + zodat p = a b ee oplossig is va de vergelijkig 2 2 x = x+ x x = 0 De positieve oplossig daarva is a + 5 p = = b 2 De egatieve oplossig is 5 p' = waarbij (product p p' = ) 2 p' = p De otatie Phi werd i 94 igevoerd door Théodore Cook ter ere va de klassieke beeldhouwer Phidias die het Partheo i Athee met beelde gedecoreerd heeft. I 996 werd Phi door computers bereked op decimale i ee tijd va 29 mi. 6 sec. I mei 2000 werd Phi bereked op.5 miljard decimale i mider da 3 uur tijd.

3 Fiboacci: joger da je dekt! -3- Costructie va G we zoeke ee put G op [AB] zo dat AG + = p = 5, GB 2 GB 5 5 of: we zoeke ee put G op [AB] zo dat p' = = = = AG p 2 2 I de costructie zie we: AC = 5 2 e verder AG = AS = 5 = ( 5 ) = -p'

4 Fiboacci: joger da je dekt! Phi is irratioaal (Bewijs uit het ogerijmde) Stel dat p = Phi ka geschreve worde als ee breuk e stel dat a / b de overeevoudigbare vorm is va die breuk. Da hebbe de atuurlijke getalle a e b allee de factor gemee. it p² = p + () volgt a²/b² = a/b + waaruit oderstaade twee gelijkhede a² = ab + b² a² - ab = b² of a² = b(a+b) a(a-b) = b² waaruit b a² (2) a b² (3) Omdat a e b atuurlijke getalle zij die allee maar als gemeeschappelijke factor hebbe, hebbe b e a² ook allee als gemeeschappelijke factor. it (2) volgt da b =. Aaloog volgt uit (3) dat a =. Maar da is p = / =. Dit voldoet iet aa () e dus is de oderstellig dat p ka geschreve worde als ee breuk vals. p ka dus iet geschreve worde als ee breuk of og p is irratioaal Phi met 500 decimale

5 Fiboacci: joger da je dekt! Phi als kettigbreuk Wij defiieerde Phi als de positieve wortel va de vergelijkig p² = p + Als we beide lede va de vergelijkig dele door p da komt er p = + /p Vadaar ee adere defiitie va p : het getal dat meer is da zij omgekeerde. Waar we p ook zie, wij dit moge vervage door + /p. Dus p = + /( + /p). Als we dit steeds maar herhale da komt er dat p ka geschreve als de oeidig doorlopede kettigbreuk: Met ee grafisch reketoestel vide we Of met Derive

6 Fiboacci: joger da je dekt! -6- Phi = p ka og op ee adere maier beaderd worde. itgaade va p²= + p komt er: p = sqr ( +p) sqr = = sqr ( + sqr ( +p)) = sqr ( + sqr ( + sqr( + p))) = = Met ee grafisch reketoestel Met Derive

7 Fiboacci: joger da je dekt! Het decimaal deel va ee getal e va zij kwadraat Stel vast dat p e p² (i elk geval al tot aa het egede cijfer) hetzelfde decimaal deel hebbe. Is dit ook zo voor de oeidig veel decimale die we iet i beeld krijge? Het atwoord is ja wat: p² = + p of p² - p = Zij er og adere positieve getalle met deze eigeschap. Voor de atuurlijke getalle is het uiteraard zo ( 5 = = ). Zij er (echte) ratioale getalle met die eigeschap, zij er og irratioale getalle? De algebra va de tweedegraadsfuctie bregt hier de oplossig. Zij x ee getal met hetzelfde decimale deel als zij kwadraat, da is: x² - x = ( N 0 ) De positieve oplossig va deze vierkatsvergelijkig is: ( ) x = Voor = komt er: x = ( 5 ) 2 + = Phi = 2 x = 2 (triviaal) = 3 x = ( 3 ) 2 + = 4 x = ( 7 ) 2 + Me ka steeds verder gaa. Me vidt ofwel irratioale getalle, ofwel atuurlijke getalle. Me vidt ooit echte breuke. Immers als + 4 ee volkome kwadraat is, da is het ee oeve getal e de wortel daaruit is ook oeve. Telt me daar bij e deelt me het resultaat door 2 da is het resultaat ee atuurlijk getal.

8 Fiboacci: joger da je dekt! De verdelig va ee rechthoek Costrueer ee driehoek bie ee gegeve rechthoek zo, dat als me de driehoek wegeemt, er drie driehoeke overblijve met dezelfde oppervlakte. Het komt er op aa de pute E e F te bepale zodat: Opp( DAE) = Opp( EBF) = Opp( FCD) xw ( + z) = yw= ( x+ yz ) it de gelijkheid va het eerste e het derde lid volgt xw = yz of w/z = y/x. () Beide zijde va de rechthoek worde verdeeld i stukke met dezelfde verhoudig. Welke verhoudig? it de gelijkheid va de eerste twee lede volgt: (w + z)/w = y/x of + z/w = y/x. (2). Stel y/x = p e vervag () i (2). Er komt + /p = p of p + = p² e dus is p= Phi. Maar da is y = p.x e w = p.z E e F worde dus bepaald door de gulde sede uit te voere op [AB] e [CD]. I de oderstaade Cabri-figuur werde E e F gecostrueerd. Met Cabri ku je de proef make: de drie oppervlakte zij gelijk.

9 Fiboacci: joger da je dekt! Phi e de gelijkzijdige driehoek Opgave: De gelijkzijdige driehoek ABC is beschreve i de cirkel (O). MN is middeparallel. Verlegt me MN aar rechts, da wordt de cirkel gesede i ee put S. Er is te bewijze dat N het lijstuk [MS] verdeelt i uiterste e middelste rede. Bewijs: Stel de zijde va de driehoek gelijk aa 2. Da is MN = NB = NA = Verleg MN ook aar liks; het sijput met de cirkel oeme we R. Stel NS = MR = x Het te bewijze komt eer op: x / = / (+x) of x² + x = Door gebruik te make va de eigeschap 'macht va ee put t.o.v. ee cirkel' komt er: NR. NS = NA. NB of (+x).x =. of x + x² =. Bedekig Als me deze eigeschap ook aalytisch wil bewijze, gaat me beseffe dat i sommige situaties de sythetische meetkude ee zeer krachtig e efficiët istrumet is.

10 Fiboacci: joger da je dekt! Kattekeige bij de Gulde Sede.7. Fra Luca Pacioli leefde i de tijd dat Columbus Amerika otdekte. Hij was miderbroeder e wiskudige. Vaaf 496 was hij werkzaam als wiskudeleraar aa het hof va de hertog va Milaa: Ludovicus Sforza. Daar raakte hij bevried met Leoardo da Vici, die veel iteresse had voor wiskude. I 498 schrijft Pacioli zij De Divia Proportioe. De tekeige zij va de had va da Vici, die de "goddelijke verhoudig" ook i zij kustwerke heeft toegepast. De Divia Proportioe bevat de stellige va Euclides i verbad met de gulde sede e ee studie va de regelmatige veelhoeke. Hij maakt echter ook beschouwige va esthetische e mystische aard. Pacioli heeft ook werk gepubliceerd i.v.m. het oplosse va vergelijkige va de derde e vierde graad. Hij wordt ook og wel de "vader va het boekhoude" geoemd. Schilders als Dali e Picasso e architect Le Corbusier verwerke de gulde sede i hu werke.

11 Fiboacci: joger da je dekt! Als je zo' gezicht wilt da moet je er ook ee gulde sede i je portemoee bijeme!

12 Fiboacci: joger da je dekt! -2- DEEL II DE RIJ VAN FIBONACCI 2. Wie was Fiboacci Fiboacci, "de grootste Europese wiskudige va de Middeleeuwe", werd gebore i Pisa rod 75. Hij oemde zichzelf Fiboacci (filius Boacci, zoo va Boacci). Hij staat ook beked oder de aam Leoardo Pisao. (Leoardo va Pisa). Pisa was i die tijd ee belagrijk commercieel cetrum. Er werd veel hadel gedreve met alle gebiede rod de Middelladse Zee. Zij vader, Guilielmo Boacci was commercieel afgevaardigde va Pisa i de Noord-Afrikaase stad Bugia (Bougie) va waaruit wasse kaarse werde uitgevoerd. Leoardo groeide dus op i het Moorse Noord-Afrika. Hij oderam va daaruit veel reize i het Middelladse-Zee gebied. Hij kwam i cotact met hadelaars va heel dit gebied e leerde zo verschillede maiere va rekee kee. Hij besefte vlug dat het Hidoe-Arabisch decimaal systeem veel voordele had e i elk geval veel hadiger was da de Romeise cijfers. I zij Liber Abaci (rekeboek) behadelde hij het rekee i het decimaal stelsel. Hij vod veel avolgig bij de Europese wiskudige va die tijd. Bij de Romeise cijfers was er gee ood aa ee symbool voor "ul" of "iets". I het decimaal positiestelsel was zo' symbool wel oodzakelijk. (MMIII ). Toch was er bij de hadelare va die tijd og ee weerstad tege het ieuw systeem. Ze beweerde o.a. dat me 000 gemakkelijk ko vervalse tot 999. Het zal og 200 jaar dure tot het decimaal talstelsel i heel Europa werd toegepast. Liber Abaci bevat ook het grootste deel va de algebra e de rekekude die op dat momet i de Arabische wereld geked was (vierkatswortels, vergelijkige va de eerste e de tweede graad,..) I 220 verschee zij Practica geometriae, waari alle keis over meetkude e driehoeksmetig va die tijd opgeteked werd. Eé va de behadelde oderwerpe was de formule va Heroo, die de oppervlakte va ee driehoek uitdrukt i fuctie va de zijde S = s(s a)(s b)(s c) Fiboacci stierf i 240. Hij heeft ee stadbeeld gekrege i de abijheid va de beroemde Scheve Tore i zij geboortestad.

13 Fiboacci: joger da je dekt! De hoigraat va Fiboacci Hieroder vid je ee betegelig i de vorm va ee hoigraat. Het is de bedoelig va started op tegel A, te stappe aar de tegel uiterst rechts. Me moet steeds "vooruit" gaa d.w.z. dat allee volgede bewegigszie toegelate zij:. Vauit A ka me op éé maier aar de aapalede tegel rechtsbove: Vauit A ka me op twee maiere aar de aapalede tegel rechtsoder: e Too aa dat me vauit A op 233 verschillede maiere aar de uiterst rechtse tegel ka gaa. Schrijf op elke tegel het getal dat aageeft op hoeveel maiere me vauit A aar die tegel ka gaa.

14 Fiboacci: joger da je dekt! Het koijeprobleem I 202 stelde Fiboacci volged probleem i zij Liber Abaci: Als me aaeemt dat ee paar babykoije a éé maad volwasse is, ee volwasse paar koije elke maad ee paar babykoije voortbregt (ee maelijk e ee vrouwelijk), er gee koije sterve, me start met éé paar babykoije aa het begi va de eerste maad. Hoeveel paar koije zij er da ee jaar later? Het aatal pare koije aa het begi va elke maad is,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60, 987,..

15 Fiboacci: joger da je dekt! De vormigswet voor de rij De vormigswet is eevoudig: F() = F(2) = vaaf = 3 is F() = F(-2) + F(-).. De oeidig voortlopede rij die op die maier otstaat is de zogeaamde rij va Fiboacci. Die aam werd gegeve door Lucas (Eduard Lucas, ). De algemee Fiboacci-rij begit met twee willekeurige atuurlijke getalle. De volgede terme worde gevormd door de twee vorige op te telle. Ee voorbeeld is de rij va Lucas: 2,, 3, 4, 5, 9, 4, 23,.. Hieroder vid je ee paar kleie programma's i.v.m. de rij va Fiboacci voor TI83 of TI84. I FIBO worde de getalle va Fiboacci i display gebracht kleier of gelijk aa ee i te geve getal G. I de uitvoerig werd G = 5000 geome. I FIBO2 wordt het de getal uit de rij bereked. Wil je hetzelfde doe voor ee algemee rij va Fiboacci, da volstaat het i de eerste lij va de programma's de begiterme i A e B i te voere.

16 Fiboacci: joger da je dekt! -6- Ook met Derive is de rij atuurlijk weer te geve. * Gebruik de fuctie waarbij a e b de startwaarde zij, e de hoeveelste term va de rij die moet weergegeve worde. Ee gelijkaardige fuctie is de fuctie Bijvoorbeeld: * Wil je de hele rij va Fiboacci zie ( terme), gebruik da de fuctie Bijvoorbeeld:

17 Fiboacci: joger da je dekt! -7- Oderstaade figuur bevat de grafiek va de verhoudig va twee opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci. De verhoudig F(+)/F() adert tot Phi als. Phi Phi Ook i ee algemee rij va Fiboacci is dit het geval. I het programma FIBO3 is ee algemee Fiboacci-rij igevoerd met begiterme 7 e 3. I het display verschije de waarde va het quotiët va ee term e zij voorgaade. Hier komt oze bekede Phi = p weer opduike. I Derive ka de volgede fuctie gebruikt worde om dit te cotrolere: Bijvoorbeeld: Of beter:

18 Fiboacci: joger da je dekt! Sommaties i ee Fiboacci-rij De som va alle terme va ee Fiboacci-rij is uiteraard oeidig. Maar: Wat is de som va de eerste 20 (N) terme? Wat is de som va alle terme kleier da of gelijk aa (G)? Bereke de som ? Bereke de som ? Me zou alle getalle kue opschrijve e daara optelle. Maar als het aatal terme groot is, wordt dat ee hele klus. We zulle de GRM ischakele. De som va de eerste N terme wordt bereked met volged programma FIBO4. De methode is algemee. De TI83-84 geeft exacte waarde tot e met N=47. ( Wil je het programma hereme: druk da ENTER; het programma verlate, druk da CLEAR) Voor de som va alle terme kleier da of gelijk aa G is er ee probleem. Hoeveel getalle zij dat? Wat is het grootste getal? Volged programma FIBO5 geeft ee atwoord op beide vrage. Met FIBO4 ka me da de som berekee. (vervolg programma FIBO5) Stel vast dat er 27 terme zij, kleier da De grootste is Met FIBO4 vidt me dat de som gelijk is aa

19 Fiboacci: joger da je dekt! -9- I Derive is de volgede fuctie bedoeld om eerst te wete te kome hoeveel terme va de rij er zij die kleier zij da ee gegeve getal g (eerst wordt dat aatal getood, vervolges het grootste getal va de rij va Fiboacci dat og kleier is da het gegeve getal): Bijvoorbeeld: Er zij dus 27 getalle kleier da , de grootste erva is Om de som te berekee gebruike we da de fuctie ( is het aatal terme va de som) Hier toegepast:

20 Fiboacci: joger da je dekt! -20- Toch ka me zoder GRM of PC al heel wat realisere. Neem u volgede opgave: Bereke de som () Bestaat er ee formule voor de som va de eerste N terme va de rij va Fiboacci? Ja, e ze is gemakkelijk te vide door eerst speciale gevalle te bestudere. (= heuristiek). F-rij S() = S(2) + = 2 S(3) = 4 S(4) = 7 S(5) = 2 Bemerk dat de partieelsomme S(), S(2), S(3), S(4), S(5) telkes mider zij da het getal va Fiboacci dat erbove staat: S(2) = + = 2 = 3 - = F(4) - (*) S(5) = = 2 = 3 - = F(7) -. Hieruit otstaat het vermoede: S(N) = F(N+2) - (2) We bewijze dit door volledige iductie. (2) is waar voor N = 2: zie (*) Als (2) waar is voor N = I, dus als S(I) = F(I+2) - (**), da is te bewijze dat (2) ook waar is voor N=I+ dus dat S(I+) = F(I+3) -. S(I+) = S(I) + F(I+) (pas u (**) toe) = F(I+2) - + F(I+) = F(I+2) + F(I+) - (vormigswet i Fiboacci-rij) S(I+) = F(I+3) - We passe formule (S) toe om () te sommere. F(N+) = = F(N+2) = = De gevraagde som is dus

21 Fiboacci: joger da je dekt! -2- Ee opgave als: sommeer is moeilijker da de vorige. Waarom? Oplossig. Met FIBO5 de term bepale die voorafgaat aa 378 (kies G= 37800). Er komt De opgave is teruggebracht tot de vorige. Idem voor het gebruik met Derive: gebruik eerst fibmax om het getal 9648 te wete te kome. Oefeige. Geld formule (S) og voor de rij va Lucas. Lucas- rij: 2,, 3, 4, 7,, 8, 29, 47,.. S(2)= S(3)= S(4)= S(5)= Geld de formule (S) og voor ee algemee Fiboacci-rij? Oderzoek: 2, 5, 7, 2, 9, 3, 50, S(2)= S(3)= S(4)= S(5)= Besluit: S(N) = Wat wordt de formule voor ee algemee Fiboacci-rij waarva de tweede term b is? S(N) = De programma's FIBO4 e FIBO5 kue gebruikt worde voor algemee Fiboacci-rije. Het volstaat de getalle A e B aa te passe. I Derive zij alle vermelde formules metee opgesteld om toe te passe op algemee Fiboacci-rije. Het lijkt aageweze om voor de leerlige alle formules hier te budele i ee utility-file. Hoewel het ook ee mooie uitdagig ka zij voor de leerlige om zowel met ee GRM als met Derive de fucties zelf i te voere e te begrijpe.

22 Fiboacci: joger da je dekt! De stamboom va ee dar Het probleem over de koije va Fiboacci is iet realistisch. De getallerij, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 24, 55,.. was wellicht al beked bij de Oude Grieke vauit de apicultuur. De stamboom va hoigbije levert immers dezelfde rij op. I ee bijekoloie heeft me: éé koigi, ee vrouwtje dat met koigiebrood gevoed wordt, e dat de eiere legt. werkbije die vrouwelijk zij e gee eiere legge e otstaa zij uit eiere va de koigi die door ee maetje bevrucht werde. darre die maelijk zij e voortkome uit obevruchte eiere. Maelijke bije hebbe dus maar éé ouder (moeder), vrouwelijke bije hebbe twee ouders (moeder e vader). Hieroder vid je de stamboom va ee dar. Breid hem og met éé geeratie uit. Ee dar heeft ouder, 2 grootouders, 3 overgrootouders, 5 betovergrootouders, 8 betoudovergrootouders, 3.. De rij va Fiboacci:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60, 987, 597, 2584, 48, 6765, 0946,

23 Fiboacci: joger da je dekt! Kaarte va Fiboacci Stellig va Zeckedorf De kaarte va Fiboacci zij bedacht door de Caadese wiskudige Roger V. Jea om ee atuurlijk getal te rade va tot 75. Ee persoo kiest ee getal uit het aagegeve iterval e somt de ummers op va de kaarte waarop dit getal zich bevidt. De persoo die moet rade, moet allee maar de som make va de kleiste getalle op de aageduide kaarte. Die getalle make deel uit va de rij va Fiboacci. Voorbeeld. Iemad dekt aa het getal 7 e zegt dat zij getal zich bevidt op de kaarte 9, 6 e , 4, 6, 9, 2, 4, 7, 9, 22, 25, 27, 30, 33, 35, 38, 40, 43, 46, 48, 5, 53, 56, 59, 6, 64, 67, 69, 72, 74 2, 7, 0, 5, 20, 23, 28, 3, 36, 4, 44, 49, 54, 57, 62, 65, 70, 75 3, 4,, 2, 6, 7, 24, 25, 32, 33, 37, 38, 45, 46, 50, 5, 58, 59, 66, 67, 7, , 6, 7, 8, 9, 20, 26, 27, 28, 39, 40, 4, 52, 53, 54, 60, 6, 62, 73, 74, 75 8, 9, 0,, 2, 29, 30, 3, 32, 33, 42, 43, 44, 45, 46, 63, 64, 65, 66, 67 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 47, 48, 49, 50, 5, 52, 53, 54, 68, 69, 70, 7, 72, 73, 74, , 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 3, 32, 33 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 5, 52, 53, 54 55, 56, 57, 58, 59, 60, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 7, 72, 73, 74, 75 De som va de kleiste getalle op die kaarte is = 7

24 Fiboacci: joger da je dekt! -24- De opbouw va die kaarte steut op de stellig va Edouard Zeckedorf. Die stellig zegt dat elk atuurlijk getal op slechts éé maier ka geschreve worde als ee som va iet-opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci. Als het getal zelf ee Fiboacci-getal is, da bestaat de som maar uit éé term: het getal zelf. E. Zeckedorf was ee Belgische amateur-wiskudige, gebore i Luik i 90 e er overlede i 983. Hij was dokter i het Belgisch leger. Om de Zeckedorf-voorstellig te vide va 2004 gaat me als volgt te werk: 2004 = (597 is het grootste Fiboacci-getal kleier da 2004) = = Vul de kaarte va Fiboacci aa zodat ze kue gebruikt worde voor getalle va tot = 77 = 78 = 79 = 80 = De rij va Fiboacci:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60, 987, 597, 2584, 48, 6765, 0946,

25 Fiboacci: joger da je dekt! De formule va Biet (Jacques Philippe Marie Biet ( )) Tot u toe werde de elemete va de rij va Fiboacci bepaald door de vormigswet: de eerste twee terme zij gelijk aa, de volgede terme zij gelijk aa de som va de twee vorige. Om ee term te berekee moet me dus alle voorgaade kee. De formule va Biet geeft omiddellijk de de term. Stellig. De de term = F() va de Fiboacci-rij wordt gegeve door: = Bewijs: p = ( 5 ) 2 + e p' ( 5 ) 2 = zij de wortels va x² - x - = 0 it p² - p - volgt p² = p +. E dus p 3 = p² + p = p + + p = 2p + p 4 = 2p²+ p = 2(p + ) + = 3p + 2 p 5 = 3p²+ 2p = 3(p + ) + 2p = 5p + 3 p 6 = 5p²+ 3p = 5(p + ) + 3p = 8p + 5 (8 = F(6), 5 = F(5) ) De coëfficiëte e de costate i de rechter lede hierbove zij opeevolgede Fiboacci-getalle. Door volledige iductie ka me bewijze dat (*) p = F().p + F(-) Aaloog: p' = F().p' + F(-) Daaruit volgt Zodat p - p' = F() (p - p') F() = (p - p' ) / (p - p') F() = (p - p' ) / 5 (*) Bewijs door volledige iductie va de eigeschap: p = F().p + F(-). () De eigeschap is waar voor = 2 : p² = F(2).p + F() p² = p + (klopt) Stel dat () waar is voor e bewijs dat de eigeschap og geldt voor +. Er is dus te bewijze dat p + = F(+).p + F() p.p = [F() + F(-)].p + F() (defiitie va de rij) [F().p + F(-)].p = [F() + F(-)].p + F() (toepassig va ()) F().p.p = F().p + F() (vereevoudige) p² = p + (dat klopt) (vereevoudige)

26 Fiboacci: joger da je dekt! De stellig va Lucas Voor de elemete F() va de rij va Fiboacci geldt dat: lim F(+)/F() = p als. it de formule va Biet volgt: F( + ) = p + - p' + = p. p - p'. p' F() p - p' p - p' = p. p - p. p' + p. p' - p'. p' p - p' = p. (p - p' ) + p' (p - p') p - p' = p + p' (p - p') p - p' (deel u teller e oemer door p' ) = p + p - p' (p/p') - 5 = p + (p/p') ( p/p' > e dus (p/p') als ) = p + 0 (als ) Fraçois Edouard Aatole Lucas (842-89) Na studies aa de Ecole Normale i Amies werkte hij aa het Observatorium va Parijs. Tijdes de Fras-Pruisische Oorlog (870-7) diede Lucas als officier bij de artillerie. Na de oorlog werkte hij als professor aa befaamde Lycées i Parijs. Lucas is het best geked om zij werk over getalletheorie. Hij bestudeerde de algemee Fiboacci-rije (o.a. de Lucas-rij) e otwikkelde methodes om a te gaa of ee getal ee priemgetal is. I 876 bewees hij dat (Mersee-getal) ee priemgetal is. Dat is het grootste priemgetal dat otdekt is zoder de hulp va computers. Hij is de auteur va ee vierdelig werk 'Récréatios Mathématiques' ( ). De 'Tore va Haoi '-puzzel is zij uitvidig. Lucas stierf te gevolge va ee stom ogeval. Tijdes ee baket liet ee keler ee schotel valle. Ee opspriged stuk verwodde Lucas aa de kaak. Ekele dage later stierf hij als gevolg va ee otstekig va zij wode.

27 Fiboacci: joger da je dekt! -27- Veralgemeig va de stellig va Lucas Proefodervidelijk hebbe we gezie dat, voor ee algemee rij va Fiboacci, de verhoudig F(+)/F() ee limiet heeft, die we u q zulle oeme (e waarva we vermoede dat hij gelijk is aa Phi = p). I de limiet is da lim F( + ) = lim F( + 2) = q F() F( + ) lim F( + ) = lim F() + F( + ) = q F() F( + ) lim F( + ) = lim F() + F() F( + ) q = /q + q² = q + E dus is q = p (de positieve wortel va dezelfde vierkatsvergelijkig) Stel vast dat de begiwaarde va de rij iet gebruikt werde i het bewijs. Met welke twee getalle we ook begie, de verhoudig va twee opeevolgede terme zal steeds p = Phi als limiet hebbe. ******* Voor wie de formule va Lucas wil bewijze, uitgaade va de formule va Biet, volge hier ee paar tips. Stel A = ( + 5 )/2 e B = ( - 5)/2. Het bewijs zal o.a. steue op de eigeschappe: A.B = -, + A + B A B =, = 5 5 Veel zoekgeot!

28 Fiboacci: joger da je dekt! Formule va Biet e berekeige met de TI83 (84) Omdat de absolute waarde va ( ) kleier is da 0.5 voor > 0, zal de vorm ( ) de getalle va Fiboacci beadere met ee fout die kleier is da 0.5. Vb. ( ) ( ) = = Door af te rode op (op 0 decimale a) otstaa de exacte getalle va Fiboacci. Het zij immers atuurlijke getalle. Het laatste schermpje is ee toepassig op: F(+) F() x p (Stellig va Lucas)

29 Fiboacci: joger da je dekt! Het aatal cijfers i F() Met de formule va Biet of de stellig va Lucas ka me met de TI83 (84) exacte getalle uit de rij va Fibocci vide tot aa F(49) = (0 cijfers) Voor = 50 komt er F(50) = E 0 dus ee getal va cijfers Voor = 478 komt er F(478) = E 99 dus ee getal va 00 cijfers. Voor = 479 komt er OVERFLOW F(479) A 479 / 5 met A = ( 5 ) 2 + log F(479) = 479 log A - log 5 = getal met 00 cijfers log F(500) = 500 log A - log 5 = F(500) bevat 05 cijfers log F(000) = 000 log A - log 5 = F(000) bevat 209 cijfers.

30 Fiboacci: joger da je dekt! Berekeig va F() met behulp va matrices I de rij va Fiboacci gelde volgede gelijkhede: + + = = We kue dit als matrixvergelijkig schrijve: = = = = = = = =. 0 = = F() = 89 F(2) = 44 ; Ook hier ka me exacte getalle berekee tot F(49). Vaaf = 256 geeft het reketoestel ee foutmeldig.

31 Fiboacci: joger da je dekt! Wat hebbe Fiboacci-bure gemee? Hebbe de bure F(9)= 34 e F(0)= 55 ee echte deler ( ) gemee? Die vraag wordt moeilijker voor F(35) = e F(36) = Die vraag wordt erg moeilijk voor F(240) e F(24), getalle met 50 e 5 cijfers. Computers zulle dat og wel aakue, maar ooit moete ook de krachtigste computers passe. I de tabel hieroder staa de eerste 25 Fiboacci-getalle otbode i factore. Cotroleer dat twee opeevolgede ooit ee factor gemee hebbe. De eerste 25 Fiboacci getalle, otbode i factore : = 2 : = 3 : 2 priem 4 : 3 priem 5 : 5 priem 6 : 8 = : 3 priem 8 : 2 = 3 x 7 9 : 34 = 2 x 7 0 : 55 = 5 x : 89 priem 2 : 44 = 2 4 x : 233 priem 4 : 377 = 3 x 29 5 : 60 = 2 x 5 x 6 6 : 987 = 3 x 7 x 47 7 : 597 priem 8 : 2584 = 2 3 x 7 x 9 9 : 48 = 37 x 3 20 : 6765 = 3 x 5 x x 4 2 : 0946 = 2 x 3 x : 77 = 89 x : priem 24 : = 2 5 x 3 2 x 7 x : = 5 2 x 300 Wat de krachtigste computers iet kue "bewijze", ka wel door ee heel eevoudige redeerig. De rij ka voorgesteld worde door,, 2,.., b-a, a, b, a+b,.. Als a e b ee gemee deler hebbe da is dit ook ee deler va het volged getal a+b e va het vorig getal b-a. Als a e b gee gemee deler hebbe da hebbe b e a+b er ook gee. Immers als ze er wel ee hadde da zou dit ook ee deler zij va hu verschil e dat is precies a.

32 Fiboacci: joger da je dekt! -32- Vadaar: I ee algemee Fiboacci-rij, die begit met twee getalle die oderlig odeelbaar zij, zij ook alle pare opeevolgede getalle oderlig odeelbaar. Dit is het geval i de rij va Fiboacci (begipaar, ) e i de rij va Lucas (begipaar 2,). Aderzijds, als de twee begigetalle ee gemee deler hebbe da zal die deler voorkome i alle terme va de rij. Vb. 3, 9, 2, 2, 33, 54,.. Besluit: Fiboacci-bure hebbe allee gemee wat hu verste voorouders gemee hebbe! * * * * * Het volstaat wat op het iteret te surfe om te beseffe dat de getalle va Fiboacci heel veel eigeschappe hebbe. We vermelde er hier og éé. Me ka bewijze (met de formule va Biet) dat : F(.k) = F(k)-voud Zo is F(38) = = 9349 x 48 = 9349 x F(9) F(8) = 2584 = 292 x F(3) = 323 x F(6) = 76 x F(9) = 2584 x F(2) Daaruit volgt als i gee priemgetal is, ook F(i) gee priemgetal is. Er is éé uitzoderig: F(4) = 3. Of og: als F(i) ee priemgetal is, da is i ook ee priemgetal. itzoderig F(4)=3. Zo heeft het priemgetal 233 het priemgetal 3 als ragummer. Adere voorbeelde vid je i de tabel hierbove. Het omgekeerde : " Als i ee priemgetal is, da is F(i) ee priemgetal" IS NIET WAAR Als je de tabel doorloopt, da begit het ochtas veelbeloved. Het loopt toch al mis bij 9. F(9) = 48 = 3 x 37. Op de webpagia va Dr. Ro Kott (bijgewerkt tot oktober 2003) waarop voorliggede tekst gebaseerd is, staat o.a. te leze dat voor het priemgetal i = 375 het bijhored getal F(375) uit 7839 cijfers bestaat e dat me og iet weet of dit al of iet ee priemgetal is! Ga a dat de methode die we gezie hebbe om het aatal cijfers va ee F() te berekee, og werkt voor F(375)!

33 Fiboacci: joger da je dekt! Fiboacci-getalle e Pythagorische driehoeke Er bestaat ee eevoudige maier om Pythagorische driehoeke te geerere uitgaade va vier opeevolgede getalle va ee algemee Fiboacci-rij. 2, 5, 7, 2,......, b-a, a, b, a+b,... Eerste rechthoekszijde: het dubbel product va de twee bieste getalle 70 2ab Tweede rechthoekszijde: het product va de buiteste twee getalle 24 b² - a² Schuie zijde: de som va de kwadrate va de bieste twee getalle 74 a² + b² Iderdaad: 74² = 70² + 24² (a²+ b²)² = (2ab)² + (b²- a²)². De zijde 70, 24, 74 hebbe 2 als gemee factor. Ook 35, 2, 37 zij zijde va ee Pythagorische driehoek. * * * * * Er bestaa heel wat formules i.v.m. de getalle va de rij va Fiboacci. Eé daarva is ee formule va Lucas: (te bewijze met de formule va Biet) F()² + F(+)² = F(2+) We kue die formule meetkudig iterpretere. Ieder Fiboacci-getal met oeve ragummer (uitzoderig F() = ) ka gezie worde als de legte va de schuie zijde va ee Pythagorische driehoek. Het volstaat bovestaade techiek toe te passe. Neem vier opeevolgede Fiboacci-getalle: F(-), F(), F(+), F(+2) Rechthoekszijde: 2 F() F(+) e F(-) F(+2) Schuie zijde: F()² + F(+)² = Lucas-formule = F(2+). Voorbeeld: F() = = e dus = 5 Zijde va de driehoek: 2 F(5) F(6) F(4) F(7) F()

34 Fiboacci: joger da je dekt! -34- Ee adere iterpretatie va de formule va Lucas is deze: als me twee opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci eemt als legte va de rechthoekszijde, da is de legte va de schuie zijde gelijk aa de vierkatswortel uit ee Fiboacci getal.

35 Fiboacci: joger da je dekt! Getalle va Fiboacci i de driehoek va Pascal Als je de som maakt va de "diagoale" i de driehoek va Pascal da otstaa de getalle va Fiboacci. De verklarig hiervoor is dat de som va de elemete op ee diagoaal gelijk is aa de som va de elemete op de twee vorige diagoale. Zo is de som va de elemete op de vierde diagoaal gelijk aa 3, op de vijfde diagoaal gelijk aa 5 e op de zesde digoaal gelijk aa 8. Die eigeschap is het gevolg va de maier waarop de driehoek va Pascal is opgebouwd. Ee getal uit de driehoek va Pascal is gelijk aa de som va twee getalle uit de rij erbove: het getal erbove e het getal liks daarva.

36 Fiboacci: joger da je dekt! -36- EEN GEDICHT VAN MARJOLEIN KOOL REEKS VAN FIBONACCI 'k Dacht u eve voor te stelle aa Boacci's slimste zoo, die beslist tot tie ko telle, maar dat vod hij te gewoo. Daarom telde hij ee tijdje Heeft die kul ze op ee rijtje? werd door meigee gedacht. Tot ze merkte hoe hij telde: elke term bleek steeds de som va de twee daarvoor gestelde. Nee, die zoo was lag iet dom. Hoe verkrijgt u die getalle? Neem ee lief koijepaar, laat dat ees per maad bevalle, va ee tweelig weliswaar. Die da vrolijk e gedreve, a ee kleie week of acht, op hu beurt het leve geve aa ee dubbel ageslacht. E terwijl u dit laat fokke, telt u paartjes. staat paf! Of u mompelt licht geschrokke: ''t Is bij de koije af.'