Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=
|
|
- Albert de Smet
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige i de biologie?? Heb je je al ees afgevraagd hoe computerprogrammeurs de virtuele omgevige creëre die gebruikt worde i computerspelletjes? I dit hoofdstuk vid je op deze vrage ee atwoord.. Rije. De rij va Fiboacci Stel dat je ee babykoppel koijtjes bezit. Na éé maad zij ze volwasse e dus vruchtbaar. Na weer éé maad krijgt het volwasse koppel zelf ee babykoppel koijtjes. We veroderstelle dat er gee koijtjes doodgaa e dat elk ieuw koppel a twee maade weer ee ieuw paar voortbregt (zie volgede figuur). oáàéå=j=n
2 Beschouw i de volgede tabel de voortplatig va de koije. Maad Aatal volwasse pare Aatal babypare Totaal aatal Het totaal aatal koijepare vormt de rij va Fiboacci:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, Elke term is de som va de twee voorgaade terme. I symbole: u ( ) = u ( 2) + u ( ). Dit oemt me het recursieve voorschrift va de rij. Bij het berekee va ieuwe elemete, maak je gebruik va de keis va de vorige elemete. Je zou de elemete i de rij ook kue beschouwe als resultate va ee fuctie u : \{}. Je kut aatoe (zie bijlage A) dat voor de rij va Fiboacci het voorschrift gegeve wordt door : u: \{} : 5 Ga dit a voor u(), u(5) e u(). Ee dergelijk voorschrift oemt me het expliciete voorschrift va de rij. Je maakt u ekel gebruik va het volgummer of idex va het elemet. De op het eerste zicht eigeaardige getalle uit de rij va Fiboacci blijke op heel wat plaatse voor te kome i de atuur. Zoebloeme Het hart va ee zoebloem vertoot spirale die i tegegestelde richtig lope. Het aatal spirale i wijzerzi e i tegewijzerzi zij meestal twee opeevolgede Fiboaccigetalle. Zoebloeme va gemiddelde grootte hebbe meestal 34 e 5 5 spirale. De geoloog T. O Coell e zij vrouw hebbe i 95 ee reuzezoebloem gevode met 44 e 233 spirale. oáàéå=j=o
3 Aaasse Als je de verschillede spirale bij ee aaas telt, bekom je getalle uit de rij va Fiboacci Niet allee i de atuur kome de getalle va Fiboacci verrassed veel voor. Twee voorbeelde : Muziek De zwarte toetse uit de tooladder vorme de 5-toige schaal die later uitgebreid werd met de witte toetse (de 8-toige schaal). Same vorme ze de 3-delige schaal. De vijfdelige schaal is bovedie gegroepeerd i 2 e 3. Poëzie Ee limerick is opgebouwd uit 5 lije met ee totaal aatal va 3 versmate of maatslage, gegroepeerd per 2 of 3 De vrouw va ee deke i Lake Lag s achts diepe zuchte te slake, Zij kreude zacht : O! Het kriebelt mij zo : Wel ee deke i bed, maar gee lake. (Alex va der Heide) 3 mate 3 mate 2 mate 2 mate 3 mate 3 mate.2 Rekekudige e meetkudige rije Voorbeeld Beschouw de rij 5, 8,, 4, 7, 2, 23, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = u ( ) + 3 Expliciet: u ( ) = u() + 3( ) Ee rij waarbij elke term met eezelfde getal verschilt va de vorige oemt me ee rekekudige rij. Het verschil, v, tusse twee opeevolgede terme is steeds gelijk. oáàéå=j=p
4 Voorbeeld 2 Beschouw de rij 6, 8, 54, 62, 486, 458, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = 3 u ( ) Expliciet: u ( ) = u() 3 Ee rij waarbij elke term met eezelfde factor verschilt va de vorige oemt me ee meetkudige rij. De verhoudig, r, va twee opeevolgede terme is dus steeds gelijk. Defiities Ee reële rij u is ee afbeeldig va \{} i. De algemee term va de rij is het beeld u ( ) va door u. We otere u ( ) door Ee rekekudige rij met begiterm u e verschil v is de rij met algemee term u ( ) = u = u + ( ) vmet u e v reële getalle. Ee meetkudige rij met begiterm u e verhoudig q is de rij met algemee term u ( ) = u = uq met u e q reële getalle Merk op dat voor zowel rekekudige als meetkudige rije ook recursieve voorschrifte gegeve kue worde. u. Voorbeeld 3 Beschouw de rij, 3, 7, 5, 3, Het recursieve e expliciete voorschrift zij: Recursief: u = 2 u + Expliciet: u = 2 Het recursieve voorschrift va deze rij ka algemee geformuleerd worde als volgt: > : u = au + b ( a, b, u ) met begiterm u. Dit resulteert i ee meetkudige rij als a e b = e ee rekekudige rij als a = e b. Opmerkige Me spreekt va ee strikt stijgede rij als \{}: u+ > u Me spreekt va ee stijgede rij als \{}: u+ u. Elke strikt stijgede rij is stijged. Me spreekt va ee strikt dalede rij als \{}: u+ < u. Me spreekt va ee dalede rij als \{}: u+ u. Elke strikt dalede rij is daled. Me spreekt va ee strikt mootoe rij als de rij strikt daled of strikt stijged is. oáàéå=j=q
5 Me spreekt va ee mootoe rij als de rij daled of stijged is. Elke strikt mootoe rij is steeds mootoo. Me spreekt va ee costate rij als: IN \{}: u+ = u. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar bove begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemajoreerd. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar oder begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemioreerd. Me spreekt va ee begresde rij als de rij aar bove EN aar oder begresd is..3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije Beschouw de rekekudige rij u = 5, 8,, 4, 7, 2, 23, 26,, 3 + 2, Beschouw de oderstaade pare va somme: u2 + u4 = 22 u+ u5 = 22 u3 + u4 = 25 u5 + u2 = 25 u3 + u5 = 28 u2 + u6 = 28 Dit geeft de volgede tabel: u u u + u Verwoord de hierbove gevode relatie i de vorm va ee algemee eigeschap. EIGENSCHAP Voor ee rekekudige rij u geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk + ul = ur + us (ii) \{} : ui = u u = ( u+ u) 2 i= oáàéå=j=r
6 BEWIJS Zij u ee rekekudige rij met verschil v e k, l, r, s zoals i het gegeve. Om te bewijze dat uk + ul = ur + us schrijf uk, ul, u r e u s i.f.v. u e v. u u k v k = + ( ). k + l = + + l ( ). u = u + l v u u 2 u ( k l 2). v e u u r v r = + ( ). r + s = + + s ( ). u = u + s v u u 2 u ( r s 2). v Hieruit volgt dat uk + ul = ur + us. Zij \{} e stel S = u+ u2 + u u. We bepale de som va volgede maier: S = u + u2 + u u S = u + u + u u 2 S = ( u + u ) + ( u + u ) + ( u + u ) ( u + u ) terme Pas op 2 S eigeschap (i) toe om aa te toe dat S = ( u + u). 2 S met zichzelf op de.3.2 Meetkudige rije EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij u met ee positieve verhoudig geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk ul = ur us \{} : u = u... u = ( u u ) (ii) i= i Het bewijs va eigeschap verloopt aaloog als het bewijs va de gelijkaardige eigeschap voor rekekudige rije. Probeer het bewijs te formulere! Opmerkig Formuleer ee eigeschap voor het product va de eerste terme va ee meetkudige rij met ee egatieve verhoudig. Maak ee oderscheid tusse eve e oeve. oáàéå=j=s
7 EIGENSCHAP 2 Voor ee meetkudige rij met verhoudig q geldt: (i) u u = u als q = q (ii) u u = u q als q BEWIJS Het eerste geval is overduidelijk daar voor q = alle terme gelijk zij aa u. Veroderstel da dat q. I dit geval geldt : u u = u + u q+ u q + u q u q = u ( + q+ q + q q ) Uit q = ( q) ( + q+ q + q q ) volgt het te bewijze. Opmerkig Voor < q < wordt q praktisch ul voor voldoede groot. q u u q Hieruit volgt voor u u = u = e voor voldoede groot dat q q q u verwaarloosbaar is t.o.v. q. Voor u voldoede groot geldt: u u. q u q q oáàéå=j=t
8 .4 Uitgewerkte voorbeelde Rije worde o.a. gebruikt om : dyamische processe te beschrijve (dek bijvoorbeeld aa het radioactief verval va ee stof, de voortplatig va ee bepaalde diersoort, ), getalle te beadere (dakzij het gebruik va rije kue vierkatswortels met ee reketoestel of computer sel bereked worde), bij fucties te oderzoeke wat er gebeurt als x zeer grote of zeer kleie waarde aaeemt. Voorbeeld - Itrest Waeer me bij ee bak ee geldbedrag op ee spaarrekeig plaatst, krijgt me daar ee vergoedig voor i de vorm va itrest. Stel dat we ee kapitaal va op ee spaarrekeig zette gedurede ee aatal jare tege ee itrestvoet va 5%. Bij ekelvoudige itrest krijgt me per jaar ee vergoedig va 5. Het kapitaal groeit da jaarlijks aa volges ee rekekudige rij. Stel u = het kapitaal a jare i het geval va ekelvoudige itrest. I werkelijkheid past me echter samegestelde itrest toe. Dit wil zegge dat me i de loop va ee volged jaar iet allee itrest krijgt op het oorsprokelijk kapitaal maar ook op de itrest die me de vorige jare heeft otvage e die me op de spaarrekeig laat staa. Stel v = het kapitaal a jare i het geval va samegestelde itrest. We make ee tabel met de aagroei va het begikapitaal u = v =. aatal jare u 5.,5 = ,5 =. (,5) ,5 =. (,5) ,5 =. (,5) (,5) Bij samegestelde itrest groeit het kapitaal aa volges ee meetkudige rij e dit is voor de spaarder gustiger. De algemee formule voor de jaarlijkse samegestelde itrest is ( ) v K = K. + i = K. q, waarbij K het begikapitaal, K het kapitaal a jare, i de itrestvoet (voor 5% is i =,5) e q= + i=.5 de groeifactor per jaar is. De maadelijkse groeifactor is we de formule K = K q = K ( ) + i. 2 q e de dagelijkse groeifactor 365 q. Met het aatal dage bekome Tegewoordig passe de meeste bake ee dagelijkse itrest toe volges de formule K 36 i 36 = K +. oáàéå=j=u
9 I de volgede tabel zie je de verschillede resultate (afgerod) voor os voorbeeld. aatal jare jaarlijks maadelijks dagelijks We kue os de vraag stelle a hoeveel jaar het startkapitaal verdubbeld is. We vergelijke de ekelvoudige e samegestelde itrest als volgt: Uit de bovestaade schermafdrukke ka je cocludere dat a 5 jaar het kapitaal zeker verdubbeld is bij samegestelde itrest. We kue dit jaartal ook berekee door gebruik te make va de logaritme. Stel dat het kapitaal verdubbeld is a x jaar. Da geldt: x x x log 2 2v =, 5 v 2 =, 5 log 2 = log(, 5 ) log 2 = x log(, 5) x= 4, 2. log(, 5) Voorbeeld 2 Ee bediede i ee bedrijf krijgt ee begisalaris va 2 per maad e ee jaarlijkse opslag va 2. Zij loo groeit aa volges ee rekekudige rij. Ee tweede bediede krijgt hetzelfde begisalaris maar kiest, tot verbazig va de bedrijfsdirecteur, voor ee halfjaarlijkse opslag va slechts 5. jaar eerste tweede Welke loosverhogig verkies jij? Voorbeeld 3 - De driehoek va Sierpiski We starte met ee gelijkzijdige driehoek. We trasformere de driehoek tot ee ieuwe figuur door de middes va elke zijde met elkaar te verbide. Je bekomt i de oorsprokelijke driehoek drie ieuwe driehoeke zoals hieroder aagegeve. Elk va die driehoeke ku je op dezelfde wijze trasformere e zo ga je maar door oáàéå=j=v
10 Na ee vijftal stappe veradert het uitzicht va de bekome driehoek og auwelijks. Ee ieuwe trasformatie levert eezelfde beeld op. De figuur die je uiteidelijk bekomt, oemt me de driehoek va Sierpiski. Het is ee typevoorbeeld va fractale, meetkudige objecte die ee sterke zelfgelijkvormigheid vertoe. Het zij limietobjecte va ee iteratieproces. Iedere stap bij de costructie va de driehoek va Sierpiski is te beschouwe als de uie va de beelde va de vorige figuur oder drie affiee trasformaties i het vlak. I dit geval zij de trasformaties telkes ee samestellig va ee verschuivig e ee homothetie met schaalfactor.5. Aatal trasformaties Aatal driehoeke Voorbeeld 4 - DIN-papierformate Volges het DIN (Deutsches Istitut für Normug) moete de afmetige voor papierformate voldoe aa de volgede voorwaarde. Het grootste formaat A heeft ee oppervlakte va m². Als ee blad va het formaat A i twee wordt geplooid, bekomt me ee blad va het formaat A +. Alle formate zij gelijkvormig zodat me tijdes het kopiëre ka vergrote of verkleie aar ee ader DIN-formaat. We bepale de afmetige va de formate A tot A 5. We stelle de volgede vier betrekkige op tusse de hoogte e breedte h, b, h, b va de h h h formate A e A : h b =, h = b, b = e 2 b = b. Door i de vierde betrekkig b, h e b te substituere i fuctie va h, krijge we de volgede afmetige volge : 4 h = 2, waaruit A A A 2 A 3 A 4 A 5 hoogte (mm) breedte (mm) Op ee kopieertoestel ka me ee tekst va ee A 4-formaat vergrote op ee A 3-formaat door op de zoomtoets 4% te drukke e verkleie op ee A 5-formaat door op de zoomtoets 7% te drukke. Verklaar! oáàéå=j=nm
11 Voorbeeld 5 - Frequetie va muziekote Iedere geluidsgolf ka grafisch voorgesteld worde door ee siuscurve. De toohoogte va ee muziekoot wordt bepaald door de frequetie, f, va de siuscurve va de geluidsgolf die deze oot voortbregt. Hoe groter de frequetie, hoe hoger de toohoogte. Twee ote die ee octaaf verschille - bijvoorbeeld ee lage do e hoge do - klike heel mooi same. Dit komt omdat de frequetie va ee hoge do precies dubbel zo groot is als de frequetie va ee lage do. Dit geldt ook voor de adere gelijkamige muziekote. Ee volledig octaaf bestaat uit dertie ote, amelijk acht hele ote (de witte toetse op ee piao) e vijf halve ote (de zwarte toetse op ee piao: de kruise e/of de molle). De frequetie va de opeevolgede ote ( witte e zwarte ) va ee otebalk vorme ee meetkudige rij met als eigeschap dat de frequetie over ee hele octaaf verdubbelt. 2 Omdat f = f q = 2 f geldt dat de rede va deze meetkudige rij gelijk is aa Dit ku je zie aa de legte va de pijpe va ee kerkorgel. Bij ee klassiek orgel worde de geluidsgolve voortgebracht door de blaaspijpe. Hoe lager de pijp, hoe groter de frequetie e hoe lager de too. Als de pijpe opgesteld zij va lage aar hoge toe, zulle de opeevolgede pijpe /2 steeds korter worde met ee factor 2, zodat om de 2 pijpe de legte wordt gehalveerd. Ook bij ee gitaar ku je deze meetkudige rij vaststelle. Hier wordt de toohoogte bepaald door de legte va de saar. Hoe korter de saar, hoe hoger de too. De legte va de saar wordt bepaald door de vaste houder op de buik va de gitaar e het dwarsstaafje op de hals waarop de viger va de speler geplaatst is. De legte va de saar va twee opeevolgede ote eemt af met ee factor /2 2 e de legte va de sare va twee ote die ee octaaf verschille veradert met ee factor 2. Voorbeeld 6 - De Koch-kromme A. CONSTRUCTIE Figure zoals de Koch-kromme (zie oderstaade figuur) bekom je door ee aaeeschakelig va steeds dezelfde costructie. I het ideale geval zou die aaeeschakelig ooit eidige. I elke tussestap bekom je vaak ee mooie figuur, met ee hele fije structuur afhakelijk va hoever je gevorderd bet i de opeevolgig va stappe. Hieroder verduidelijke we de costructie va de Koch-kromme. We starte met ee lijstuk, dat we de basis oeme. De basis wordt verdeeld i drie gelijke stukke e het middelste gedeelte vervage we door ee gelijkzijdige driehoek zoder basis. Deze figuur oemt me de geerator. I ee volgede stap passe we dezelfde costructie toe op ieder lijstuk va de geerator. Op ieder lijstuk va deze ieuwe figuur passe we weer deze costructie toe,. De limietfiguur die ostaat uit dit iteratieproces oemt me de Koch-kromme, die me ee klassieker mag oeme i de wereld va fractale. oáàéå=j=nn
12 Als we de basis va de Koch-kromme vervage door ee gelijkzijdige driehoek e de voorgaade costructie toepasse op iedere zijde geeft dit ee Koch-eilad, ook de Koch-seeuwvlok geoemd. B. DE KOCH-SNEEUWVLOK EN MEETKUNDIGE RIJEN De costructie va de seeuwvlok va Koch otstaat op ee gelijkaardige maier als ee meetkudige rij. I plaats va getalle te beschouwe die steeds met eezelfde factor vermeigvuldigd worde, beschouw je hier driehoeke, die steeds met eezelfde factor verkleid worde. Stap Beschouw ee gelijkzijdige driehoek T met zijde a e oppervlakte A. Stap We verkleie T met ee factor / 3 (/ 3 T ) e plakke drie va deze ieuwe driehoeke op elke zijde va de vorige. De seeuwvlok die zo otstaat heeft 3 4 zijde met elk ee legte va 3 a. Stap 2 We verkleie / 3 T opieuw met ee factor / 3 (/ 9 T ) e plakke 3 4 va deze og kleiere driehoeke op elke zijde. De bekome seeuwvlok heeft u 2 a = 3 4 zijde met elk ee legte va. 9 oáàéå=j=no
13 Stap 3 C. DE OPPERVLAKTE VAN DE KOCH-SNEEUWVLOK Bij elke stap k voege we kleie driehoeke met zijde k s k toe. Voor deze rije geldt: stap aatal toegevoegde driehoeke legte zijde toegevoegde driehoeke 3 a / a / a /27 k 34 k = s = a (/ 3) k k k 3 2 Voor de driehoek T geldt A = a. Beschouw de rij A met 4 de e costructiestap va de Koch-seeuwvlok. Da geldt : A de oppervlakte va de figuur uit A A s A a A a k 2 k 2 2 k+ = k + k k = k + 34 =. 2k k + k 2 k Ak + = A a 2 k De uitdrukkig tusse hake ku je opvatte als de som va elemete va ee meetkudige rij met begiterm e verhoudig 4. Uit eigeschap 2 va meetkudige rije volgt dat deze som ogeveer 9 2 gelijk is aa 9 = voor k voldoede groot. De oppervlakte va de Koch-seeuwvlok is gelijk aa: A= A + a = a + a = 3 a = A Ee oeidig proces resulteert blijkbaar i ee ieuwe figuur met eidige oppervlakte. oáàéå=j=np
14 Het aatal zijde va de figuur i de k e costructiestap is gelijk aa 3 4 k. De omtrek va de seeuwvlok is a k costructiestappe gelijk is aa k 4 3a 3. Hoe meer costructiestappe je zet, hoe groter de omtrek. Het is zelfs zo dat de omtrek obegresd groter wordt. Het feit dat de omtrek va de Koch-seeuwvlok oeidig is, maakt het resultaat va ee eidige oppervlakte og verrasseder. Me zou kue zegge dat de Koch-seeuwvlok ee voorstellig geeft va de som va de elemete va ee oeidige meetkudige rij. D. ITERATIE De Koch-seeuwvlok is ee typevoorbeeld va ee iteratieproces dat aa de basis ligt va het creëre va virtuele omgevige. I plaats va figure te toe aa de had va bitmaps die veel bestadsruimte ieme, traag ilaadbaar e iet dyamisch, kue computerspecialiste dergelijke iteratieprocesse gebruike om allerlei vorme te beschrijve. Met ee relatief eevoudig computeralgoritme kue dergelijke vorme sel zichtbaar gemaakt worde (zie bijlage C). Voorbeeld 7 - Grote e kleie wijzers Beschouw ee aaloog uurwerk met wijzers die met ee cotiue selheid roddraaie. Hoe dikwijls zal de grote wijzer de kleie wijzer ihale tusse. uur ( s achts) e 3. uur ( s middags)? Dit gebeurt elf maal, amelijk eemaal tijdes ieder gas uur (bijvoorbeeld tusse. e 2. uur), behalve tusse. uur e 3. uur. I de loop va deze twee uur gebeurt dit maar éémaal, amelijk om 2. uur. Dit is logisch wat waeer de grote wijzer twaalf maal is rodgedraaid, is de kleie wijzer eemaal rod geweest. Hoe laat (= hoeveel miute a het passere va het gase uur) zal de grote wijzer telkes de kleie voorbij steke? Bijvoorbeeld tusse 7. e 8. uur gebeurt dit later (= meer miute a het gase uur) da tusse 4. e 5. uur omdat de kleie wijzer meer voorsprog heeft op de grote wijzer die dus telkes va bove vertrekt. Welke soort rij vorme deze tijdstippe? Als voorbeeld berekee we exact het tijdstip waarop de grote wijzer de kleie wijzer ihaalt tusse 7. e 8. uur. Voor de twee wijzers moete we eezelfde eeheid gebruike. Als eeheid gebruike we de miuut. Voor de grote wijzer is dit logisch. Maar als de kleie wijzer op 7 staat, heeft hij de waarde 35. Om 7. uur precies staat de grote wijzer op e de kleie wijzer op 35. Als de grote wijzer zich verplaatst heeft aar 35, heeft de kleie wijzer zich ook ee stukje verder verplaatst. Waeer de grote wijzer dit stukje overbrugd heeft, is de kleie wijzer weer ee og kleier stukje verder bewoge e moet de grote wijzer ook dit stukje weer overbrugge. Maar da gaat de kleie wijzer weer ee beetje verder,. Volges de paradox va Zeo zal de grote wijzer de kleie wijzer ooit kue ihale, maar het is duidelijk dat dit wel zal gebeure (de tijd staat iet stil!). Maar waeer juist? De selheid va de kleie wijzer is twaalf keer kleier da die va de grote wijzer. Waeer de grote wijzer de eerste 35 miute heeft overbrugd, heeft de kleie wijzer 35 2 miute afgelegd. Als de grote wijzer deze afstad heeft igehaald, heeft de kleie wijzer weer miute afgelegd. oáàéå=j=nq
15 Deze stukjes vorme dus ee meetkudige rij met 35 ( t ) als eerste term e ( q ) als verhoudig. 2 Vermits de verhoudig kleier is da, kue we stelle dat de som va deze (oeidig vele) stukjes eidig is e ogeveer gelijk aa: t ,88... q = = = = 2. Het juiste tijdstip is dus 7 uur e 38,88 miute of 7:38:,99 uur. De adere tijdstippe vid je i de volgede tabel: tusse t e uur som ( q = ) = tijdstip exact uur e 5,4545 mi :5:27, uur e,99 mi 2::54, uur e 6,3636 mi 3:6:2,88 4 uur e 2,88 mi 4:2:49,99 5 uur e 27,2727 mi 5:27:6, uur e 32,7272 mi 6:32:43, uur e 38,88 mi 7:38:,99 8 uur e 43,6363 mi 8:43:38,88 9 uur e 49,99 mi 9:49:5,4545 uur e 54,5454 mi :54:32,7272 uur e 6 mi 2:: Deze tijdstippe vorme ee rekekudige rij met als verschil uur e 6 Dit is atuurlijk het elfde deel va de verlope 2 uur. miute, of 72 miute. oáàéå=j=nr
16 Voorbeeld 8 - Ee botsede bal Laat ee balletje valle va op ee hoogte va éé meter e meet hoe hoog het balletje weer opbotst. Doe dit verschillede kere e maak ee zo auwkeurig mogelijk gemiddelde. Deze (gemiddelde) hoogte drukke we uit i ee percetage ( p % ) e oeme dit de veerkracht va het balletje (Als het balletje 7 cm opbotst, is de veerkracht 7%). We gaa u berekee a hoeveel secode het balletje doodvalt. Dit is waeer het balletje iet meer botst, maar begit te rolle. Dit ka met ee eevoudige chroometer gecotroleerd worde. We gaa eerst a welke afstad het balletje heeft afgelegd. Het valt eerst m aar beede. Daara botst het weer op e valt weer over de hoogte die p % is va de vorige hoogte. Deze opeevolgede hoogtes vorme ee meetkudige rij met als eerste term e verhoudig p %. De totale afgelegde weg is: p 2 3 p p p + p + 2 ( ) = + 2 =. p p Idie bijvoorbeeld de veerkracht 7% is, is de totale afgelegde weg 7 3 meter. 2 g t Uit de formule voor de vrije val h = volgt dat t 2 2 = h. g Op dezelfde maier berekee we de totale tijd. 2 3 p 2 p 2 p 2 p 2 2 t = = + 2 g g p Voor p = 7 wordt dit da bijvoorbeeld 5,77s. Voorbeeld 9 - Spare e lee Jaarlijks spare va ee vast bedrag Stel dat je vaaf ee leeftijd va 4 jaar ieder jaar 5 spaart. Als je dit doet tot je 3 jaar bet, hoeveel heb je da op je spaarboekje staa i de veroderstellig dat gedurede deze hele periode de itrestvoet 8% is? Je eerste betalig va 5 heeft op het eide 6 jaar itrest opgebracht e heeft da ee waarde va 5 (,8) 6. Zo heeft je tweede betalig op het eide de waarde va 5 (,8) 5. De laatste betalig va 5 doe je als je 29 bet e heeft ee jaar later ee waarde va 5, ) 5 (, 8) + (, 8) + (, 8) (, 8) + (, 8) = 5 (, 8) t t= Het totale kapitaal is :. Deze som ka bereked worde als de som va de terme va de meetkudige rij met u = q=, 8 e = 6. 6 (,8) Deze som is gelijk aa 5,8 = 5 32,752 = 637,5 euro. (,8) oáàéå=j=ns
17 Het gespaarde bedrag va 8 (6 maal 5) is meer da verdubbeld. De algemee formule voor ee jaarlijks kapitaal k dat gedurede jare wordt gespaard tege ee t ( + i) itrestvoet va i (=.i %) is het eidkapitaal K = k ( + i) = k ( + i). i Lee va ee bedrag Lee is het omgekeerde va spare. Je betaalt eveees jaarlijks (of maadelijks) ee vast bedrag. Bij spare heb je het geld odig op het eide va ee bepaalde periode e bij ee leig heb je het geld odig i het begi va ee bepaalde periode. Eerst berekee we het bedrag dat we zoude gespaard hebbe met de jaarlijks gestorte afbetalige. Daara beschouwe we dit bedrag als ee eidkapitaal waarva we u het begikapitaal wille hebbe. Stel dat je ee voorlopig obeked bedrag B wil lee. Om dit geleed bedrag terug te betale, stort je vaaf volged jaar - e dit gedurede 6 jaar - 5. Idie we dit geld zoude gespaard hebbe, kue we a 6 jaar beschikke over ee kapitaal va 5 5 (, 8) t = 56, 2 euro. Let op de adere begi- e eidwaarde voor t te opzichte va de t= formule bij het spare. Dit komt omdat alle stortige u éé jaar later gebeure. De algemee formule voor dit bedrag wordt met dezelfde otaties als hierbove is: ( + i) K = k + i = k i t ( ). t= Dit is het gespaarde eidbedrag K 6 over 6 jaar. Het overeekomstige begibedrag K = B is het bedrag waarover we u wille beschikke. Volges de formule K K ( i) 6 = K waaruit volgt B K 442,57 56, 2.(, 8) De algemee formule is B t= = = euro. = + geldt t k ( + i) t= k ( + i) k = = = B het geleed bedrag is, k het bedrag is va de jaarlijkse afbetalige, i de itrestvoet is (.i %), het aatal jare is waarover de leig loopt. ( ) waarbij ( + i) i ( + i) i ( + i) oáàéå=j=nt
18 .5 Opdrachte Opdracht - Wereldbevolkig Als er 5 miljard mese zij op aarde e de groei bedraagt jaarlijks,6%. Ka je da de bevolkigstoeame voorspelle? Teke het verloop va deze rij met je grafische rekemachie. Bepaal grafisch a hoeveel tijd de wereldbevolkig groter is da 6 miljard. Opdracht 2 - Visbak Veroderstel dat je ee visbak hebt met l kraatjeswater. Het water is iet heel zuiver. Me stelt de pollutie q =, (cocetratie i kg/l). Wekelijks verdampt 2 l zuiver water. Daardoor eemt de cocetratie va de verotreiigig toe. Om dat tege te gaa eemt me vijf liter water uit het aquarium e voegt me weer 7 l kraatjeswater toe zodat de bak weer volledig vol is. Beschrijf de evolutie va de hoeveelheid verotreiigig i de visbak aa de had va rije. Ku je m.a.w. zegge hoeveel verotreiigde stof er og aawezig is i het water a weke. Opdracht 3 - Beheer va ee woud I ee bos zij de bome geklasseerd i drie groepe: A mider da jaar oud - [,[ B tusse de e de 3 jaar - [,3] C ouder da 3 jaar - ]3, + [ We eme aa dat allee oude bome kapot gaa. I 2 jaar gaa 2% va de bome va A aar B, % va B aar C e 5% va C gaat kapot. Ee boom va A bregt gemiddeld 5,2 ieuwe bome voort, ee boom va B gemiddeld 5 e ee boom va C gemiddeld 2. Stel A, B, C de populaties va A, B e C e A+, B+, C+ de populaties va 2 jaar adie. Neem als begipopulaties A =, B = 2 e C = 2. Beschrijf de evolutie va de populatie i dit bos. Maak gebruik va rije va matrices. Opdracht 4 Ee vlieg legt ee afstad va m af i verschillede stappe. I éé stap legt ze telkes de halve weg af va wat og overblijft. Noem u de afgelegde weg a stappe. Ku je ee voorschrift vide voor u? Legt de vlieg ooit de volledige weg af. Opdracht 5 Beschouw ee woud met 4 bome. Va die bome worde er jaarlijks 2% gekapt e verkocht. I de plaats daarva worde er telkes ieuwe geplat. Hoeveel bome staa er i het bos a jaar? Opdracht 6 Ee blad papier met ee dikte va, mm plooit me i twee. De dikte wordt da,2 mm. Na og ee keer dubbel plooie wordt de dikte,4 mm, Wat wordt de dikte a 3 maal plooie? E a 5 maal? Hoe dikwijls moet me het blad papier plooie om de afstad va de aarde tot de maa (385. km) te overbrugge? Probeer ee blad papier met A4-formaat ee aatal keer plooie? Hoeveel maal lukt dit? Stel dat ee blad papier met ee dikte va, mm ee voldoede aatal keer ka geplooid worde. Wat moet da de oppervlakte va het blad zij opdat de oppervlakte a dertig keer plooie cm² is? Cotroleer of het volume va het ogeplooide blad papier e het volume va de stapel a 3 keer plooie gelijk zij. oáàéå=j=nu
19 Opdracht 7 - Met alle Chieze.. Toe ee rijke Chiese pris tege het valle va de avod vaststelde dat hij, ver va zij kasteel, de terugweg iet meer vod, geraakte hij paiek. Gelukkig kwam hij twee arme ladmae tege, die lags de rad va de weg zate te schake e die hem de juiste terugweg kode uitlegge. Als beloig mochte zij aa de pris ee rijkelijke vergoedig vrage. Tot grote verbazig va de pris, zeide de twee mae dat zij al gelukkig zoude zij met ekele graakorrels. Zij vroege éé graakorrel op het eerste vakje va hu schaakbord, twee korrels op het tweede vakje, vier op het volgede, da acht, ezoverder tot het laatste, vierezestigste vakje. De pris maakte zich de bedekig dat deze twee arme kerels wel met heel weiig tevrede ware e odigde he da ook uit om s aderedaags met paard e kar aar het paleis te kome om hu beloig af te hale. E s avods liet de pris de hoeveelheid graa door zij graameester berekee. Hoeveel graakorrels ligge er op het vierezestigste vakje? Hoeveel graakorrels ligge er op het hele schaakbord? Als éé korrel ee massa va,5 g heeft, wat is da de totale massa? Opdracht 8 - De Tores va Haoi Ee tore va Haoi bestaat uit ee aatal schijve met verschillede diameter, die over ee verticale staaf (A) geschove worde, zodat de diameters va de schijve aar bove toe afeme. Met behulp va ee middestaaf (B) moete de schijve over ee derde staaf (C) geschove worde, zodaig dat bij elke beurt juist éé schijf mag verplaatst worde e er ooit ee grotere schijf op ee kleiere schijf mag ligge. A B C Hoeveel verplaatsigsbeurte zij er odig als de tore 3, 4, 5, 6 schijve bevat? Geef ee recursief e ee expliciet voorschrift voor deze rij. Volges de legede bevidt zich i ee tempel va Haoi ee tore met 64 schijve. Moike zij bezig met het verplaatse va deze schijve. Iedere miuut, dag e acht, wordt er éé schijf verplaatst. Als de tore volledig verplaatst is, zal de wereld vergaa. Waeer zal dat zij als ze op 28 oktober 47 gestart zij met deze opdracht? oáàéå=j=nv
20 Opdracht 9 - Spare e lee Als we stelle dat de itrestvoet 6% is kue we os de volgede vrage stelle. Welk bedrag kue we lee als we gedurede 2 jaar jaarlijks 5 terugbetale? Welk bedrag moete we gedurede jaar jaarlijks betale om ee bedrag va te lee? We wille 5 lee e hiervoor jaarlijks 3 betale. Hoeveel jare zal deze leig lope? oáàéå=j=om
Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree
Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het
Nadere informatiedéäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå
déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieWe kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatieRijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder
Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met
Nadere informatie2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie
2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatieWerktekst 1: Een bos beheren
Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieIteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking
1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde
Nadere informatieReeksen. Convergente reeksen
Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo 2010 - I
Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2017-II
wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel
Nadere informatieDe speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.
Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet
Nadere informatieVuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw
Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker
Nadere informatieBIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen
BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het
Nadere informatieDiscrete dynamische systemen
Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 jui 2012, ochted DUUR VAN HET EXAMEN: 3 uur (180 miute) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Exame met techologisch hulpmiddel 1/6 NL VRAAG B1 ANALYSE Blz.
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.
Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee
Nadere informatieWPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten
WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe
Nadere informatiefíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=
fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe
Nadere informatiePolynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n
Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte
Nadere informatieHoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken
Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +
Nadere informatieHET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.
HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)
TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters
Nadere informatied 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n
Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,
Nadere informatieDit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak
Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatieFuncties, Rijen, Continuïteit en Limieten
Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke
Nadere informatieBuren en overlast. waar je thuis bent...
Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.1)
imtech Arbodiest Vervoer va gevaarlijke stoffe (versie 2.1) veilig e gezod werke imtech arbodiest Wat verstaa we oder het vervoer va gevaarlijke stoffe? Gevaarlijke stoffe zij stoffe die op éé of adere
Nadere informatieHoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7
Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede
Nadere informatieUITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006
UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieBevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89
Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee
Nadere informatieMachtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178
Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur
Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald
Nadere informatieEindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I
Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer
Nadere informatieEen andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam
Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige
Nadere informatieHOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6
HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld
Nadere informatieBetrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval
Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij
Nadere informatieHandout bij de workshop Wortels van Binomen
Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides
Nadere informatieOp het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:
Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure
Nadere informatieTAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft
TAF GoedGezekerd AOV De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes i hade heeft Als zelfstadig oderemer bet u gewed aa het eme va risico s. Daarbij beoordeelt u per situatie hoe groot het risico is dat u wilt
Nadere informatieTabellenrapportage CQ-index Kraamzorg
Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2015-II
Formules Goiometrie si( t u) sitcosu costsiu si( t u) sitcosu costsiu cos( t u) costcosu sitsiu cos( t u) costcosu sitsiu si( t) sitcost cos( t) cos t si t cos t si t - - Het achtste deel p het domei [
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B2
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B HOOFDSTUK 9 KERN RIJEN a) Zie ook plaatje..., wat ieder mes schudt de had va twee adere. Dele door twee, wat bij de worde de pare hade dubbel geteld. b) c) d) ;
Nadere informatieEvaluatie pilot ipad onder docenten
Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.0)
imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte
Nadere informatieOp zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting
Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!
Nadere informatiewww.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014
diestverleig bij Zadkie Pagia 1 va 10 www.rocspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Zadkie Zadkie diestverleig bij Zadkie locatie: Marcoistraat april 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2014 DigiDoc ROCspiegel.l
Nadere informatieEen samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017
Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eame VWO 200 tijdvak 2 woesdag 23 jui 3.30-6.30 uur wiskude B Bij dit eame hoort ee uitwerkbijlage. Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer staat
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieStochastische loadflow. Beschrijving model belasting.
Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I
Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld
Nadere informatieWiskundige toepassingen bij Thermodynamica - 1 WISKUNDE. toegepast bij THERMODYNAMICA
iskudige toeassige bij Thermodyamia - ISKUNDE toegeast bij THERMODYNAMICA iskudige toeassige bij Thermodyamia - INTEGRATIETECHNIEKEN Toeassigsvoorbeeld - Het ogeome vermoge va ee omressor Beshouw oderstaad
Nadere informatieHoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht
Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.
Nadere informatieExamen PC 2 onderdeel 4A
Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met
Nadere informatieCommissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III
Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval
Nadere informatieFinanciële Wiskunde. 1
1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE
Nadere informatieWaar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?
Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.
Nadere informatieCombinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)
1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete
Nadere informatieB C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E
Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c
Nadere informatieEffectief document- en risicobeheer
Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer
Nadere informatieMexicaanse griep: A/H1N1 griep
Mexicaase griep: A/H1N1 griep Wat is de Mexicaase griep? De zogeaamde Mexicaase of varkesgriep is ee ieuwe variat va het griepvirus, met ame A/H1N1. Weiig mese hebbe immuiteit voor dit virus. Hierdoor
Nadere informatieSpelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh
Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2016-I
wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat
Nadere informatieArtikel. Regenboog. Uitgave Auteur.
Artikel Regeboog Uitgave 206- Auteur HC jy886@teleet.be De eerste overtuigede verklarig va de regeboog werd i 704 door Isaac Newto beschreve i zij boek Optics. Newto toode aa dat wit licht ee megelig is
Nadere informatieC p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15
Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO
Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig
Nadere informatie