Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Transcriptie

1 Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va De Moivre: (cosϕ + i siϕ) = cos ϕ + i si ϕ ϕ De formule va Euler: e i = cosϕ + i siϕ Formules make met Excel Ileidig: I deze praktische opdracht maak je keis met ee aatal fucties va complexe getalle. Je leert hoe je fucties kut iterere e wat aatrekkers zij. I deel III ga je het aatrekkigsgebied va de fuctie: f ( z) + c oderzoeke. Dit blijkt ee hele bijzodere verzamelig te zij. I: Keismakig met ee aatal complexe fucties. 1.1 Gegeve is de fuctie: f ( z) z z waarbij z1 ee vast complex getal is, bijvoorbeeld = 1 z1 = i. a) Beschrijf hoe ee put i het complexe vlak wordt verplaatst door de fuctie f. Je kut hierbij deke aa spiegelige, traslaties (verschuivige), vermeigvuldigige e rotaties. b) Wat wordt het bereik va de fuctie als je als domei het eeheidsvierkat eemt. Dat is i dit geval het vierkat i het complexe vlak met als hoekpute 1+i, 1-i, -1+i e -1-i. 1. Gegeve is de fuctie g ( z). Voor =, 3 e 5. a) Beschrijf hoe ee put i het complexe vlak wordt verplaatst door de fuctie f. Je kut hierbij deke aa spiegelige, traslaties (verschuivige), vermeigvuldigige e rotaties. b) Wat wordt het bereik va de fuctie als je als domei het eeheidsvierkat eemt. c) Los op g( z) = 1. Hoe ziet deze oplossig er uit i het complexe vlak? II: Iteraties: A: Iterere bij parabole. Op het eerste gezicht lijkt er weiig iteressats te otdekke aa de fuctie f(x) = x. De grafiek erva is ee dalparabool met zij miimum i de oorsprog. Het berekee va de y-waarde gaat heel eevoudig met ee rekemachie. Voer ee getal i, bijvoorbeeld e druk op de kwadraat-toets. De uitkomst is 4, iet erg verrassed. Druk je u opieuw op de kwadraat-toets, da wordt de uitkomst va de eerste berekeig gebruikt als ivoer voor de tweede, e dat geeft als ieuwe uitkomst 16. Ga je hier mee door, da krijg je 56, vervolges 65536, e a og ee paar keer geeft de calculator ee foutmeldig, omdat de uitkomst te groot wordt. We oeme dit proces iterere.

2 ITEREREN: ee bewerkig uitvoere op ee getal e da de uitvoer opieuw als ivoer gebruike..1 Neem bij dezelfde fuctie als startwaarde 1,5. Na hoeveel stappe wordt je uitkomst groter da 100?. Neem als startwaarde 0,9. Wat valt je op? Er is ee heel aardige maier om dit iterere grafisch weer te geve. Bedek dat we telkes voor de ieuwe x de oude y gebruike. I de figuur is de diagoaal geteked ( y = x). We starte met ee x- waarde, trekke ee lijtje vertikaal omhoog tot de parabool (y) e daara ee horizotaal lijtje aar de diagoal (ieuwe x). Da weer omhoog (of omlaag) tot de parabool, ezovoort. We zie i de figuur hierbove dat de groee lij wegschiet aar oeidig. Waeer we starte met het getal 0.5, ligt dat aders. De eerste uitkomst is da 0.5, vervolges 0.065, ezovoort, i de richtig va 0. Dat geldt voor alle getalle kleier da 1. Ook hier ka het proces grafisch weergegeve worde met behulp va de diagoaal. Zie de figuur hieroder. E het getal 1 zelf? Dat blijft keurig op zij plaats. Het scheidt het gebied va getalle die door 0 worde aagetrokke va het gebied dat aar oeidig gaat. We oeme het put 0 ee AANTREKKER Het is gemakkelijk i te zie dat voor egatieve startwaarde geldt, dat alle getalle groter da -1 ook dezelfde aatrekker 0 hebbe. Getalle kleier da -1 gaa weer aar oeidig. Samegevat: de parabool f(x) = x heeft ee aatrekker i het put x = 0, voor startwaarde tusse -1 e +1. Nu gaa we kijke wat er gebeurt waeer we de parabool omhoog of omlaag verplaatse. Het verticaal verschuive va de parabool, beteket dat de fuctie wordt: f(x) = x + c. De top va deze dalparabool is u (0, c).

3 De vraag is, wat gebeurt er u waeer we deze fuctie iterere? Het atwoord is hierbove te zie, waar c gelijk aa -0,5 is gekoze. We zie dat er weer ee aatrekker is, maar die is u iet meer ul. De aatrekker is precies het sijput va de parabool met de diagoaal! Het adere sijput va de parabool met de diagoaal heeft ook betekeis: waeer de startwaarde rechts va dit sijput ligt, da gaat het iterere aar oeidig..3 Bereke met behulp va de abc-formule de sijpute va deze parabool met de diagoaal. Rod af op drie decimale. Wat is i dit geval de aatrekker e welke begiwaarde worde uiteidelijk aar deze aatrekker toe getrokke?.4 Oderzoek zelf wat er gebeurt i het geval c = -1. Is hier ook sprake va ee aatrekker? E zo ja, welke begiwaarde worde hier aar toe getrokke? B Iterere met je Grafische Rekemachie:.5 Toets i op je GR: 5 [eter] e da *[As]+1 [eter] [eter] [eter] [eter] [eter]. Wat valt je op? De atwoorde die je krijgt zij de iteraties va de fuctie f ( x) = x + 1 met begigetal 5. De verschillede iteraties otere we vaak als f 1 (5), f (5), f 3 ( 5) ez. Dus f 1 (5) =11, f (5) =3 e 3 f (5) = 47. Ga a dat i dit geval f 10 (5) =6143. Bij deze fuctie blijkt f (5) op de duur oeidig groot te worde als aar oeidig gaat. De rij va iteraties heet da diverget. Opdrachte: 1.6 Gegeve f ( x) = 1+. Bereke f 10 (1), f 11 (1) e f 1 (1). Verwacht je dat deze rij va iteraties x diverget is? Ee rij die iet diverget is heet coverget. De opeevolgede iteraties zulle steeds dichter bij ee bepaalde waarde kome, de limietwaarde..7 Gegeve is: g ( x) = x 0,5. Bereke g 0 () e g 0 (1). Wat valt je op? Blijkbaar is het mogelijk dat ee bepaalde fuctie bij het iterere voor de ee begiwaarde coverget is e voor de adere diverget. Dit pricipe komt straks weer terug als we de Julia-verzamelig gaa oderzoeke. b) Het bijzodere is dat deze methode va iterere met de GR ook toegepast ka worde met complexe getalle..8 Neem f ( z) = (1 + 3 i) z. Bereke f 3 ( + i) e f 6 ( + i). Had je deze atwoorde kue voorspelle? Dek aa opgave 1.1.

4 C: Iterere met Excel Ook i Excel ku je iterere met complexe getalle. Neem als voorbeeld de fuctie f ( z) 0,5. Om complexe getalle te iterere i Excel maak je ee aparte kolom voor Re(z) e ee aparte kolom voor Im(z). Stel we wille de opeevolgede iteraties va 0,6+0,4i berekee da zou dat i Excel er zo uit kue zie. Het iterere va de fuctie f(z)=z^+c met z = a+bi a 0,6 b 0,4 c -0,5 a b 1 0,6 0,4-0,3 0,48 3-0,6404-0,88 4-0, , Het is aa jullie om te otdekke welke formules hier gebruikt zij..9 Als f ( z) 0,5, druk da f(a+bi) uit i a e b..10 Bereke met behulp va Excel f 50 (0,6 + 0,4i). Is hier sprake va covergetie? Zo ja, wat is da de limiet? III: Complexe fucties e de Juliaverzamelig. Ileidig: I het hoofdstuk over iterere hebbe we gezie dat de fuctie f ( x) = x 0,5 als aatrekker heeft het put x = -0,366. Alle startwaarde tusse -1,366 e 1,366 worde bij het iterere aar deze aatrekker toe getrokke. Het iterval <-1,366; 1,366> wordt ook wel het aatrekkigsgebied geoemd, het is de verzamelig va alle startwaarde die aar de aatrekker worde toegetrokke. Aa het eid va dat hoofdstuk hebbe we gezie dat je ook met complexe getalle kut iterere. Ook i het complexe vlak kue we dus spreke over aatrekkers e aatrekkigsgebiede. Het aatrekkigsgebied is i dit geval ee deel va het complexe vlak. 3.1 Gegeve is de fuctie f ( z). Bewijs dat i dit geval z = 0 de aatrekker is e het aatrekkigsgebied de cirkelschijf is die wordt beschreve door: Het aatrekkigsgebied va f ( z) + c is vaak ee stuk igewikkelder als c 0. Op de site: staat ee applet waarmee je voor verschillede waarde va c het aatrekkigsgebied kut late tekee. Dit aatrekkigsgebied wordt ook wel ee Juliaverzamelig geoemd. 3. Maak met behulp va de applet zelf ekele Julia-verzamelige. Neem voor c ook ees ee complex getal. Dit oderdeel moet je late aftekee. Oderzoek ook de werkig va het izoome e het toe va details. 3.3 Ee Juliaverzamelig is ee voorbeeld va ee fractal. Zoek op iteret ee goede defiitie va het woord fractal e geef ekele voorbeelde. I welke vakgebiede worde fractals zoal toegepast? z <1.

5 De grillige vorm va de meeste Julia-verzamelige is iet zo makkelijk te verklare. Wat wij wel kue doe is met behulp va oze iteratietechieke cotrolere of ee bepaald put wel of iet tot ee Julia-verzamelig behoort. 3.4 Hieroder zie je de Julia-verzamelig die hoort bij de fuctie f ( z) + 0,35 + 0, 417i. Oderzoek met behulp va iterere i Excel of de volgede pute bij deze Julia-verzamelig hore: z = 0,5 0, 36i, z = 0,15 0, 59i e z = 0,177 0, 36i Het is ook mogelijk va het iterere i Excel ee grafiek te make. Je gebruikt hiervoor dezelfde methode als i het PO over modellere. Pas dit ees toe voor de gevalle va 3.4. Wat valt je op? 3.6 Eige oderzoek: Wat ku je og meer over Julia-verzamelige te wete kome? Suggesties: Kies zelf ee geschikte Julia-verzamelig e teke deze met behulp va de applet. Ku je iets zegge over het aatal aatrekkers va deze Julia-verzamelig? Oderzoek of de fuctie ook dekpute heeft. Dat zij pute die op zichzelf worde afgebeeld. Spele deze og ee rol i de Julia-verzamelig? Wat voor soort symmetrie zie je bij de Julia-verzamelige? Geef hiervoor ee verklarig met behulp va de formule f ( z) + c