Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005

Transcriptie

1 Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie f(x) te kue otwikkele i ee reeks fucties u (x) va eevoudiger vorm. Het bekedste voorbeeld is de Taylorotwikkelig waarbij de betreffede fuctie wordt otwikkeld i ee machtreeks, d.w.z. ee reeks die opgebouwd is uit de basispolyome u (x) x : f(x) a x. 0 Soms zal me voor de basisfucties, waaraar me otwikkelt, graag gebruik make va de fucties si x e cos x. De vraag is u: Aa welke eise moet ee 2π-periodieke fuctie f(x) voldoe opdat f(x) te schrijve is als f(x) a 0 (a cos x + b si x)? (1) Het rechterlid va deze gelijkheid heet da de Fourierreeks va f(x); me zegt: f(x) wordt otwikkeld i ee Fourierreeks. De coëfficiëte a e b zij reële getalle. De bij (1) behorede partiële somme zij de zogeaamde trigoometrische polyome: a 0 N (a cos x + b si x) (2) Het is duidelijk dat (eidige) trigoometrische polyome iet toereiked zij om algemee periodieke fucties te beschrijve. We krijge dus te make met de sommatie va ee oeidige reeks, m.a.w. met de vraag aar de covergetie va de rij der partiële somme va die reeks. Er zij zeer verschillede maiere om dit covergetieprobleem te beadere, afhakelijk va de vraag welke soort covergetie me west te gebruike.wij zulle kijke aar putsgewijze covergetie. Dit is de klassieke beaderig: me probeert ee trigoometrische reeks te make (bij ee gegeve 1

2 fuctie f(x) ), die i ieder put x va het periode-iterval de waarde f(x) tot som heeft. Stel we hebbe 2π-periodieke fuctie f. Hoe moete we de a e de b i de trigoometrische reeks kieze om ee kas te hebbe dat deze putsgewijs covergeert aar f(x)? Deze vraag zulle we i paragraaf 3 beatwoorde. Vordat we dat doe berekee we i paragraaf 2 ee aatal itegrale die bij het atwoord op deze vraag ee belagrijke rol spele. I paragraaf 3.1 bekijke we de stellig va Dirichlet die os vertelt welke fucties f ee Fourierreeks hebbe die putsgewijs covergeert e waarva de putsgewijze som da ook f(x) is. Teslotte leide we resultate af voor de Fourierreeks va eve e oeve fucties e bekijke we de complexe variat va Fourierreekse. 2 Ekele itegrale I deze paragraaf berekee we ee aatal stadaard itegrale. Deze itegrale hebbe we straks odig als we de coëfficiëte a e b va de Fourierreeks wille afleide. Bewerig 2.1 cos x dx { 0, als N \ {0}, 2π als 0. (3) si x dx 0, voor alle N (4) Bewijs: si x si mx dx { 0 als, m N e m of m 0, π als, m N \ {0} e m. 0 als, m N e m, cos x cos mx dx π als, m N \ {0} e m. 2π als m 0. (3): Als N \ {0} geldt: Voor 0 geldt: (5) (6) si x cos mx 0 voor alle, m N. (7) [ si x cos x dx cos x dx 0. 1 dx 2π. 2

3 (4) Als N \ {0} geldt: Voor 0 geldt: [ cos x si x dx si x dx (5) Voor, m N met m 0 geldt: si x si mx dx si 2 x dx [ 1 π si 2x 4 0 dx ( ) cos 2x dx 2 π. Voor, m N met m geldt dat e m iet beide 0 kue zij. Zoder beperkig der algemeeheid eme we aa dat > 0 e we vide [ si x si mx dx 1 cos x si mx m cos x cos mx dx [ m 2 si x cos mx m2 2 si x si mx dx m cos x cos mx dx m 2 si x si mx dx 2 Dus ( ) 1 2 m 2 si x si mx dx 0 met m geeft dit si x si mx dx 0 Het geval m 0 volgt direct uit het feit dat si 0 0. (6) Stel, m N \ {0} e m. Da geldt cos x cos mx dx cos 2 x dx [ 1 si 2x + x 2 2 π. 1 (cos 2x + 1) dx 2 1 (π + π) 2 3

4 Voor, m N \ {0} e m berekee we: cos x cos mx dx [ ] 1 π si(x) cos(mx) m 0 + si(x) si(mx) dx [ m ] π 2 cos(x) si(mx) m2 2 m + si(x) si(mx) dx cos(x) cos(mx) dx m 2 cos(x) cos(mx) dx 2 Dus ( ) 1 m2 2 cos(x) cos(mx) dx 0 met m geeft dit cos(x) cos(mx) dx 0 De adere gevalle zij eevoudig zelf uit te rekee, gebruik dat cos 0 1. (7) Het geval waarbij e/of m ul zij is eevoudig zelf a te rekee met behulp va het feit dat cos 0 1 e si 0 0. Het ader geval ka weer afgeleid worde door twee keer partieel te itegrere. 3 De Fourierreeks va ee fuctie Gegeve is ee 2π-periodieke fuctie f(x). De eerste vraag is u: hoe moet je de a e b i de trigoometrische reeks kieze om althas ee kas te hebbe dat deze putsgewijs covergeert aar f(x)? Wij zoude aldus kue redeere: Veroderstel, we hebbe reeds de voorstellig va f(x) als: f(x) a 0 (a cos x + b si x) Da is voor willekeurige k N \ {0} :, f(x) si kx a 0 2 si kx + (a cos x si kx + b si x si kx) We gaa dit itegrere over ee periode-iterval [, π]. Veroderstel u dat de reeks i het rechterlid termsgewijs mag worde geïtegreerd. Da vide 4

5 we met behulp va de itegrale die we i paragraaf 2 hebbe uitgereked dat f(x) si kx dx a 0 si kx dx (a cos x si kx + b si x si kx) dx b k π. Va de itegrale achter het somteke blijft dus bija iets over. Me vidt b 1 π f(x) si x dx, N \ {0}. (8) We kue f(x) ook met cos kx vermeigvuldige, i dat geval vide we (oder dezelfde aaame als bove) dat voor willekeurige k N, f(x) cos kx dx Me vidt u dat a 0 cos kx dx (a cos x cos kx + b si x cos kx) dx a k π. a 1 π f(x) cos x dx, N. (9) We kere u de zaak om: Voor ee gegeve 2π-periodieke fuctie [die geacht wordt op het periode-iterval itegreerbaar te zij] defiiëre we de zogeaamde Fouriercoëfficiëte a e b door de bovegegeve formules. Daarmee costruere we ee trigoometrische reeks, die de Fourierreeks va f(x) wordt geoemd. We schrijve: f a 0 (a cos x + b si x). dus iet met het -teke, om te beadrukke dat over de covergetie va de Fourierreeks (laat staa over de waarde va de som voor diverse x) a priori iets beked is! Verder geve we de N-de partiële som va de Fourierreeks va f aa met s N (x) a N 0 (a cos x + b si x) Voor we ee stellig geve die os wat meer zegt over de relatie tusse de Fourierreeks va f e de fuctie f zelf, bekijke we eerst maar ees ee voorbeeld: Voorbeeld 1: Zij f de periodieke fuctie op R met periode 2π die op (, π] gegeve wordt door { 1 voor < x 0, f(x) 1 voor 0 < x π. 5

6 Me reket gemakkelijk uit dat de Fouriercoëfficiëte gegeve worde door a 1 π 0 f(x) cos x dx 1 cos x dx + 1 cos x dx π π 0 { 0 als 0 [ ] si x 0 π + [ ] si x π π als Voor N \ {0} geldt: We schrijve b 1 π 0 f(x) si x dx 1 si x dx + 1 π π [ cos x ] [ 0 cos x π + π { 0 als eve als oeve. 4 π f N, oeve cos x. π si x dx 3.1 Stellig over Fourierreekse Oder welke omstadighede mag verwacht worde dat de Fourierreeks putsgewijs covergeert e of da de putsgewijze som juist f(x) is? Daartoe blijkt te moete worde voldaa aa ekele (doorgaas ruimschoots vervulde) voorwaarde, die vaak de Dirichlet-codities worde geoemd. Eerst ee defiitie: Defiitie: Ee fuctie f wordt stuksgewijs cotiu op het iterval [a, b] geoemd, als er ee eidig stel pute a a 0 < a 1 <... < a m 1 < a m b bestaat zo dat f cotiu is op elk der ope itervalle (a k 1, a k ) voor k 1,..., m. Ee periodieke fuctie oeme we stuksgewijs cotiu als deze stuksgewijs cotiu is op ee periode-iterval. Stellig 3.1 (Hoofdstellig va Dirichlet) Zij f ee stuksgewijs cotiue, 2π-periodieke fuctie. Veroderstel dat i ee put t wordt voldaa aa de volgede voorwaarde: 6

7 1. De limiete lim f(x) : f(t+) e lim f(x) : f(t ) x t x t bestaa e zij eidig [m.a.w. f is cotiu i t of heeft i t hoogstes ee sprog-discotiuïteit]; 2. Ook de limiete bestaa e zij eidig. f(t + h) f(t+) lim h 0 h e f(t + h) f(t ) lim h 0 h Da covergeert de Fourierreeks va f i het put t met als som f(t+) + f(t ), 2 d.w.z. het rekekudig gemiddelde va f(t+) e f(t ). Als f i t cotiu is, voldoet deze i t vazelf aa de eerste coditie; de tweede coditie zegt da dat f i t bovedie (temiste) liks- e rechtsdifferetieerbaar moet zij. Is daaraa voldaa da covergeert de Fourierreeks precies aar de fuctiewaarde f(t) ter plaatse. Voorbeeld 2: De i Voorbeeld 1 gedefiieerde fuctie voldoet overal aa de Dirichlet codities maar is iet overal cotiu. De berekede Fourierreeks is gelijk aa f(x) als x gee veelvoud is va π e gelijk aa 0 als x ee veelvoud is va π. 4 Fourrierreekse va eve e oeve fucties We oeme ee fuctie ee eve fuctie als voor alle x geldt dat f(x) f( x). Ee fuctie heet oeve als voor alle x geldt dat f( x) f(x). Fourrierreekse va eve e oeve fucties hebbe de volgede eigeschap: Lemma 4.1 (1) Als ee 2π-periodieke fuctie eve is, da heeft de bijbehorede Fourierreeks allee cosiusterme. (2) Als ee 2π-periodieke fuctie oeve is, da heeft de bijbehorede Fourrierreeks allee siusterme. 7

8 Bewijs: Laat f ee 2π-periodieke eve fuctie zij. Da geldt: a 1 π f(x) si x dx 0 omdat de itegrad oeve is. Voor x [, π] geldt dat: f( x) si ( x) f(x) ( si x) f(x) si x. Als f ee 2π-periodieke oeve fuctie is geldt: b 1 π f(x) cos x dx 0 De itegrad is amelijk weer oeve: voor x [, π] geldt f( x) cos ( x) f( x) cos x f(x) cos x. Merk op dat het voor het berekee va de a e b gee probleem is als de fuctie i eidig veel pute va het periode iterval iet aa de codities va ee eve/oeve fuctie voldoet, zie voorbeeld 1, de fuctie is bija oeve. Voorbeeld 3: Laat f de 2π periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door f(x) x 2. We zette dus de fuctie 2π-periodiek voort: f(x + 2kπ) f(x), voor k Z. We wille de Fourrierreeks va f berekee e bekijke voor welke waarde va x de Fourierreeks aar f(x) covergeert. Merk eerst op dat de fuctie f eve is, e daarom geldt dat b 0 voor alle. We berekee de overige coëfficiete: a 0 1 [ 1 π 3 x3 2 3 π2, a 1 π 1 π 0 1 π x 2 cos x dx 1 π si x 2x dx [ 2x 2 π cos x 2 2 π [ x 2 si x 1 π cos x dx 2 2 ( cos π + cos π) [ 2 3 π si x 2 2 ( cos π + cos π) 4 2 ( 1). We gebruike hier dat cos π ( 1). Met de stellig va Dirichlet geldt f(x) 1 3 π2 + 4 ( 1) cos x. 2 si x 2x dx voor alle alle x R (f is cotiu e overal bestaat de liker e rechter afgeleide). Er zij twee pute die iteressat zij om ader te oderzoeke: x 0 e x π: 8

9 x 0 Omdat i dit put f gelijk is aa zij Fourierreeks hebbe we het volgede: 0 1 ( 1) 3 π π2 12 ( 1) +1 2 x π Omdat i dit put f gelijk is aa zij Fourierreeks hebbe we het volgede: π π2 + 4 ( 1) 2 cos π 1 3 π π De complexe variat va Fourrierreekse Laat f : R R ee 2π-periodieke fuctie zij. Soms wil me f schrijve als f(x) c e ix. Hierbij zij x R e f(x) R e c C. Als f op bovestaade wijze te schrijve is geldt dat c 1 2π f(x)e ix dx De stellig va Dirichlet is va ook toepassig op deze complexe Fourrierreekse. De relatie tusse de reële e complexe Fourrierreekse is als volgt: Als f ee reëelwaardige 2π periodieke fuctie is e a, b e c zij de bijbehorede Fourriercoëfficiëte dat geldt N N c e ix a 0 N (a cos x + b si x), waari a c + c 2 Re c 1 π b i(c c ) 2 Im c 1 π f(x) cos x dx f(x) si x dx 6 Opgave 1. Laat f : R R de 2π-periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door { 0 als x (, 0], f(x) 1 als x (0, π] Schets f (ook buite (, π]). Bereke de Fourrierreeks va f. Voor welke x covergeert de Fourierreeks va f aar f(x)? Waaraar covergeert de Fourierreeks i de adere gevalle? 9

10 2. Laat f : R R de 2π-periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door f(x) x. Schets f (ook buite (, π]) Bereke de Fourrierreeks va f. Voor welke x covergeert de Fourierreeks va f aar f(x)? Welke resultaat vid je voor x 0? 3. Laat g : R R de 2π-periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door g(x) x. Schets g (ook buite (, π])bereke de Fourrierreeks va g. Voor welke x covergeert de Fourierreeks va g aar g(x)? Wat is er voor de adere waarde va x aa de had? 4. Laat f : R R de 2π-periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door { 0 als x (, 0], f(x) si xals x (0, π] Schets f (ook buite (, π]). Bereke de Fourrierreeks va f. Voor welke x covergeert de Fourierreeks va f aar f(x)? 5. Laatf : R R de 2π-periodieke fuctie zij die op het iterval (, π] gegeve wordt door { x als x (, 0], f(x) π x als x (0, π] Schets f (ook buite (, π]). Bereke de Fourrierreeks va f. Voor welke x covergeert de Fourierreeks va f aar f(x)? Waaraar covergeert de Fourierreeks i de adere gevalle? 10