Opgave 1 Zij θ R, n 1 en X 1, X 2,..., X n onafhankelijk, identiek verdeelde stochasten met kansdichtheidsfunctie. f θ (x) =

Transcriptie

1 Opgave 1 Zij θ R, 1 e X 1, X 2,..., X oafhakelijk, idetiek verdeelde stochaste met kasdichtheidsfuctie { 1 als x (θ 2, θ + 2) f θ (x) = als x (θ 2, θ + 2). a pt) Bepaal E(X 1 ) e V ar(x 1 ). ANTWOORD: X 1 is ee uiforme verdeelde stochast op (θ 2, θ + 2), dus E(X 1 ) = 1 (θ 2 + θ + 2) = θ, of bereke: dxf 2 θ (x)x = dx 1x = 1 8 x2 θ+2 = 1 ((θ + 8 2)2 (θ 2) 2 ) = 1 (8θ) = θ. 8 Omdat X 1 ee uiforme stochast is geldt: V ar(x 1 ) = (θ+2 ())2 = 16 = Of bereke V ar(x 1 ) = E(X1) 2 E(X 1 ) 2 = E(X1) 2 θ 2. E(X1) 2 = dxf θ (x)x 2 = dx 1 x2 = 1 12 x3 θ+2 = 1 ((θ )3 (θ 2) 3 ) = 1 12 (θ3 + 6θ θ + 8 (θ 3 6θ θ 8)) = 1 V ar(x 1 ) = E(X 2 1) θ 2 = θ θ2 = (12θ2 + 16) = θ Dus b pt) Bepaal de cumulatieve distributiefuctie F X va X 1. x ANTWOORD: F X (x) = P (X x) = dyf θ (y) als x 2 + θ 1 F X (x) = (x θ + 2) als 2 + θ < x < 2 + θ 1 als x 2 + θ Defiieer Y 1 := mi{x 1, X 2,..., X } e Y = max{x 1, X 2,..., X } c 6pt) Bepaal de kasdichtheidsfuctie va Y 1 e Y i terme va de (cumulatieve) distributiefuctie va X 1. ANTWOORD: F Y (y) := P (Y y) = P (max{x 1, X 2,..., X } y) = P (X 1 y, X 2 y,... X y) = P (X i y) = F X (y). Omdat f Y (y) = d dy F Y (y) geldt: f Y (y) = F X (y) 1 d dy F X(y) = F X (y) 1 f X (y). Aaloog geldt: F Y1 (y) := P (Y 1 y) = P (mi{x 1, X 2,..., X } y) = 1 P (mi{x 1, X 2,..., X } > y) = 1 (P (X 1 > y, X 2 > y,... X > y) = 1 P (X i > y) = 1 (1 F X (y)). Omdat f Y1 (y) = d dy F Y 1 (y) geldt: f Y1 (y) = (1 F X (y)) 1 d dy F X(y) = (1 F X (y)) 1 f X (y). d 2pt) Zij Y 1 e Y oafhakelijk? Licht je atwoord toe. ANTWOORD: Y 1 e Y zij afhakelijk. Omdat het miimum va stochaste ooit groter ka zij da het maximum, geldt f Y1,Y (y 1, y ) = als y 1 > y. Maar f Y1 (y 1 )f Y (y ) >, dus de kasdichtheidsfuctie factorizere iet e dus zij de stochaste Y 1 e Y afhakelijk.

2 We gaa u twee schatters voor θ met elkaar vergelijke: T 1 := 1 X i e T 2 = 1(Y Y ). e 2pt) Zij T 1 e T 2 zuivere schatters va θ? ANTWOORD: T i is zuiver als E(T i ) = θ. E(T 1 ) = E( 1 X i ) = 1 E(X i ) = E(X 1 ) = θ E(T 2 ) = E( 1(Y Y )) = θ. Dit is i te zie met ee symmetrie-argumet of door de verwachtigswaarde va Y 1 e Y uit te rekee. E(Y 1 ) = dyf Y1 (y)y = dy (1 F X (y)) 1 f X (y)y = dy (1 1(y θ + 2))( 1) 1 θ+2 y = dy ( 1 1y θ))( 1) 1y Substitueer z = 1 1y + 1 θ, da geldt: 2 E(Y 1 ) = E(Y ) = dz z 1 (2+θ z) = (2+θ) dyf Y (y)y = Substitueer z = 1 (y θ + 2), da geldt: E(Y ) = (θ 2). dz z 1 (z + 1θ 1) = 1 2 dy (F X (y)) 1 f X (y)y = dz z 1 1 dz z = (2+θ). +1 dy ( 1 (y θ+2))( 1) 1y dz z 1 + 2(θ 2) dz z 1 = + +1 Dus geldt: E(T 2 )=E( 1 2 (Y 1+Y )) = 1 2 (E(Y 1)+E(Y )) = 1 2 ((2+θ) ())=θ. f 6pt) Bepaal V ar(t 1 ) ANTWOORD: V ar(t 1 ) = V ar( 1 X i ) = 1 2 V ar(x i ) = 1 V ar(x 1) wat de stochaste X 1,..., X zij oafhakelijk e idetiek verdeeld. V ar(x 1 ) = 3, zie opgave b, e dus geldt: V ar(t 1) = 3. Gegeve is dat V ar(t 2 ) = g 3pt) Welke schatter va θ is het zivolste. ANTWOORD: Omdat T 1 e T 2 allebei zuiver zij kieze we de schatter met de kleiste variatie, i.e., T 2. 8 h 5pt) Bousopgave: Laat zie dat V ar(t 2 ) =. U mag gebruike dat de gezamelijke kasdichtheidsfuctie va Y 1 e Y gegeve wordt door: { ( 1) (y f Y1,Y (y 1, y ) = y 1 ) 2 als θ 2 < y 1 < y < θ + 2 aders V ar(t 2 ) = V ar( 1 2 (Y 1 + Y )) = 1 V ar(y 1 + Y 2 ) = 1 (V ar(y 1) + V ar(y 2 ) + 2Cov(Y 1, Y 2 )). V ar(y 1 ) = E(Y1 2 ) E(Y 1 ) 2 E(Y1 2 ) = dyf Y1 (y)y 2 = θ+2 dy (1 F X (y)) 1 f X (y)y 2 =

3 Substitueer z = 1 1y + 1 θ, da geldt: 2 E(Y 2 1 ) = (2 + θ) dz z 1 (2 + θ z) 2 = dz z (2 + θ) dz z + 6 dz z 1 ((2 + θ) z 2 8z(2 + θ)) = dz z +1 = (2 + θ) (2 + θ) + 6 Dus geldt: V ar(y 1 ) = (2 + θ) 2 32 (2 + θ) + 6 ((2 + θ) (2 + θ) 2 32 (2 + θ) + 6 ( θ)2 + 8(2 + θ) 16( )2 = 3(2 + θ) 2 2 (2 + θ) ( )2. Vawege symmetrie geldt: V ar(y 1 ) = V ar(y ). +1 )2 = Nu moete we Cov(Y 1, Y ) og bepale. Cov(Y 1, Y ) = E(Y 1 Y ) E(Y 1 )E(Y ) Om E(Y 1 Y ) te bepale moete we de gezamelijke verdelig va Y 1 e Y kee. f Y1,Y (y 1, y ) = f Y1 (y 1 )f Y (y Y 1 = y 1 ). Stel θ 2 < y 1 < y < θ + 2. Da geldt: Opgave 3 Ee bestaad medicij werkt bij 75% va de patiëte. Ee ziekehuis wil gaa werke met ee ieuw medicij als ze 95% zeker zij dat het ieuwe medicij mistes eve goed is als het bestaade medicij. Om dat a te gaa is het ieuwe medicij toegedied aa 1 patiëte. Het ieuwe medicij werkte bij 8 patiëte. U mag er vauit gaa dat = 1 voldoede groot is om limietresultate te gebruike. a 5pt) Formuleer de ulhypothese e de alteratieve hypothese. ANTWOORD: Zij p de kas dat het ieuwe medicij werkt bij ee patiet. H : p <.75 H A : p.75 b 1pt) Is er voldoede bewijs om het ieuwe medicij te gaa gebruike? ANTWOORD: Het aatal patiëte waarbij het medicij aaslaat is da Bi(1, p) verdeeld. De schatter ˆp va p is ˆp = 8 =. De variatie va ee biomiaalverdeelde stochast is p(1 p) e de variatie va de fractie is p(1 p). Ee schatter 1 5 va de variatie is dus ˆp(1 ˆp). Omdat dit ee cotiue fuctie va ˆp is e ˆp ee zuivere schatter va p is zal ˆp(1 ˆp) ee asymptotische zuivere schatter zij va p(1 p). De schatter va de variatie va de fractie is dus.8(1.8) =.16 e dus is ee 1 1 schatter va de stadaarddeviatie. =.. 1 Ee eezijdig 95% betrouwbaarheidsiterval voor p is dus: (ˆp z.5. ) = ( , ) = (.732 )..75 is bevat i het 95% betrouwbaarheidsiterval, dus er is iet voldoede bewijs om het ieuwe medicij te gaa gebruike.

4 Opgave 2 Stel dat het IQ va studete die het vak WISB161 volge ormaal verdeeld is, maar dat het gemiddelde e de variatie va de ormale verdelig iet beked is. Stel dat je wilt teste, met ee sigificatieiveau gelijk aa α =.5, of het IQ va deze populatie hoger is da het ladelijke gemiddelde va 1. Daartoe meet je het IQ va 5 willekeurig gekoze studete, e de gevode IQ-waarde zij: {121, 97, 122, 119, 11}. a 1pt) Bereke ee geschikt betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde IQ va WISB161-studete e cocludeer op basis va dit betrouwbaarheidsiterval of het gemiddelde IQ va deze populatie hoger is da 1.

5 Opgave 3 Zij 2 θ 2 ee parameter e zij X θ variabele op de reële getalle met kasdichtheidsfuctie ee cotiue stochastische f θ (x) = { α(θ) + θx voor x (, 1) als x (, 1). Stel dat we ee willekeurig steekproef X 1, X 2,..., X hebbe va grootte hebbe waarbij alle X i oafhakelijk e idetiek verdeeld zij als X θ. a pt) Gebruik dat f θ ee kasdichtheid is om te bepale hoe α(θ) va θ afhagt. b 2pt) Bepaal P (X θ = 1 2 ). c 3pt) Bepaal E(X θ ). d 5pt) Bepaal ee zuivere schatter va θ op basis va het steekproefgemiddelde. e 5pt) Bepaal ee formule waaraa de meest-waarschijlijke schatter (maximum likelihood schatter) va θ moet voldoe als we aa moge eme dat de absolute waarde va de meest waarschijlijke schatter kleier is da 2. f 2pt) Stel = 2, x 1 = 1 e x 3 2 = 3. Bepaal de meest waarschijlijke schattig va θ. Opgave Stel dat 1 oderzoeksteams elk ee dataset hebbe verzameld e daarmee elk ee 9%-betrouwbaarheidsiterval voor ee parameter θ gecostrueerd hebbe. Veroderstel dat de datasets oafhakelijk zij. a 5pt) Bepaal de kasfuctie va het aatal kere dat de daadwerkelijke parameterwaarde θ iet i het 9% betrouwbaarheidsiterval valt. b 1pt) Stel dat je twijfelt of elke oderzoeksgroep i staat is om ee correct 9%- betrouwbaarheidsiterval te costruere. Je kiest als ulhypothese dat elke oderzoeksgroep correct ee 9%-betrouwbaarheidsiterval ka costruere e de alteratieve hypothese is dat iet alle groepe dit kue. Om deze test uit te voere heb je zelf θ met grote auwkeurigheid bepaalt e op basis hierva gecocludeerd dat θ bevat was i 8 va de 1 9% betrouwbaarheidsitervalle. Voer ee geschikte test uit met ee sigificatieiveau va α =.56. Je mag erva uitgaa dat de steekproefgrootte groot geoeg is om asymptotsiche beaderige te moge gebruike.

6 Opgave 5 Zij X 1, X 2,..., X oafhakelijke, idetiek verdeelde Beroulli stochaste met parameter p. Defiieer ee ru als ee maximale hoeveelheid opeevolgede ee. I het oderstaade realisatie met = 12 zij er 3 rus. 1 1 }{{} ru 1 1 }{{} ru 2 { 1 als ee ru begit op positie i Zij I i = aders aatal rus }{{} ru 3 a 5pt) Bepaal de margiale kasverdelig va I 1, I 2,..., I. b 5pt) Bepaal de verwachtigswaarde va R. c 5pt) Bousopgave Bepaal de variatie va R. voor 1 i e zij R = I i het Opgave 6 Zij X 1, X 2,..., X oafhakelijke idetiek verdeelde stochaste met kasdichtheidsfuctie { 1 x f θ (x) = 1+θ e 1+θ als x > als x met 1 θ 2. Zij T 1 ee schatter va θ gedefiieerd door T 1 (X 1, X 2,..., X ) = X 1 met X := 1 X i. a 6pt) Bereke de gemiddelde kwadratische fout va T 1. b 6pt) De schatter T 1 ka schattige producere die buite het iterval [1, 2] ligge. We defiiëre daarom ee tweede schatter T 2 door T 2 (X 1, X 2,..., X ) = mi {2, max {1, T 1 (X 1, X 2,..., X )}} met adere woorde, als de schattig t 1 (x 1, x 2,..., x ) groter is da 2, da eme we 2 als schattig, als de schattig kleier is da 1, da eme we 1 als schattig. Laat zie of de gemiddelde kwadratische fout va T 2 groter, kleier, of gelijk is aa de gemiddelde kwadratische fout va T 1. Merk op, ook als je vraag a iet hebt kue beatwoorde ku je vraag b beatwoorde. c 2pt) Beargumeteer welke schatter de voorkeur heeft? Opgave 7 Zij X uiform verdeeld op (, 1) e Y ee Pareto verdelig met parameter α = 1, i.e., de kasdichtheidsfuctie va Y wordt gegeve door: { 1 als y 1 f Y (y) = y 2 aders. X e Y zij oafhakelijke stochaste. Defiieer de stochast Z door Z = X Y. a 1pt) Bepaal de cumulatieve verdeligsfuctie F Z (z). Eide.