Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Transcriptie

1 Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23

2

3 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe (expliciete) formule: u = v + b somrij: S ( )( ) = 2 + u + u Eigeschappe meetkudige rij: b = begiwaarde r = rede recursieve formule: u = r u met u = b directe (expliciete) formule: u = b r + b( r ) somrij: S = r Stijge e dale va ee rij Stijge Ee rij heet stijged als elke term groter of gelijk is da de voorgaade term, dus als u u (of als f '( ) ) Ee rij heet strikt stijged als elke term groter is da de voorgaade term, dus als u > u Dale Ee rij heet daled als elke term kleier of gelijk is da de voorgaade term, dus als u u (of als f '( ) ) Ee rij heet strikt daled als elke term kleier is da de voorgaade term, dus als u < u Voorbeeld met directe formule Oderzoek of de rij u 5,8 = stijged of daled is. f( ) = 5,8 zodat f '( ) = 5,8 l(,8) = 5 l(,8),8 < wat l(,8) < f () < dus de rij is (strikt) daled. (dat wist je feitelijk al, het is immers ee meetkudige rij met r < ) Voorbeeld met recursieve formule Oderzoek of de rij u =,8 u met u = 5 stijged of daled is. u u =,8 u u =, 2 u Omdat u > is, 2 u < zodat de rij dus (strikt) daled is.

4 Begresd Ee rij heet aar bove begresd als er ee M bestaat zodat voor elke geldt u M. I het algemee bedoele we hier met M de kleist mogelijke waarde va M. Ee rij heet aar oder begresd als er ee m bestaat zodat voor elke geldt u m. I het algemee bedoele we hier met m de grootst mogelijke m. Ee rij heet begresd als de rij aar bove é aar oder begresd is. Mootoo e costat Ee rij heet mootoo als de rij stijged of daled is. Ee rij heet costat als elke term gelijk is aa de voorgaade term, dus als u = u Covergetie / divergetie Covergetie Als voor ee willekeurige gegeve rij u geldt: lim u = L met L da heet de rij coverget e de limiet(waarde) va de rij is da L. We zegge: de rij covergeert aar L. Divergetie Als voor ee willekeurige gegeve rij u geldt: lim u =± of da heet de rij diverget. lim u bestaat iet STELLING Iedere mootoe begresde rij is coverget. Als je dus wilt aatoe dat ee rij coverget is ku je: of: aatoe dat lim u = L met L aatoe dat de rij stijged of daled is (mootoo) é dat de rij begresd is.

5 Limiet berekee Als ee rij coverget is (dat is dus vooraf beked) da ku je bij ee directe formule de limietwaarde berekee door lim u te berekee. Heb je echter ee recursieve formule e gee directe formule da ku de volgede methode gebruike: - Als de rij covergeert, veradere de terme op het laatst (bija) iet meer, - Da is dus u = u - Stel u dat u = u = x - Maak u va de recursieve formule ee vergelijkig e los die op - Limietwaarde gevode! voorbeeld met directe formule Gegeve is rij u =, te bepale is of deze rij covergeert of divergeert ( ) (2+ 3) ( + )(2+ ) u u = = = = + ( ) + + ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) lim( u u ) = lim = de rij covergeert dus. ( + ) De limietwaarde va de rij is hiermee iet bestemt! De rij covergeert amelijk aar lim u = lim = lim = Voorbeeld met recursieve formule u = Gegeve is het volgede recursieve voorschrift: 2 u = u +, 2. 4 Gegeve is teves dat voor elke waarde va geldt: u > 2 oplossig: De rij is gee meetkudige of rekekudige rij, we moete aatoe dat de rij stijged is, er is al gegeve dat de rij begresd is (immers u > 2 voor elke ). Aa te toe is: u u > 2 2 u u = ( u ) + u = ( u ) u Stel u dat u - = p 2 Da moet aagetood worde dat 4 p p + > voor p >2 2 ofwel p 4p+ 4> voor p >2 2 D = ( 4) 4 4= dalparabool, met éé sijput met de X-as.

6 2 p 4p+ 4= ( p 2)( p 2) = p = 2 2 dus voor p >2 is 4 p p + > de rij is hiermee stijged. Omdat de rij stijged é begresd is, is de rij ook coverget. We stelle u u = u = x zodat x + = x x x+ = x 4x+ 4= x= lim u = 2. Dus: ( ) covergetie / divergetie rekekudige rije Ee rekekudige rij covergeert (aar b) als v =. Alle adere meetkudige rije divergere (ga dit a!). De somrij va ee rekekudige rij covergeert iet (waarom iet?). covergetie / divergetie meetkudige rije Ee meetkudige rij covergeert (aar b) als r =. Ee meetkudige rij covergeert (aar ) als < r < e r. De somrij bij ee meetkudige rij covergeert allee als < r < e r (hoezo?) Ees kijke of we daar iets meer over kue otdekke: + b( r ) Voor de somrij bij de rij u = b r geldt S =. r + b( r ) lim S = lim r hierbij moet je goed bedeke dat r + aar gaat als, immers r < + b( r ) b dus lim S = lim = r r. voorbeeld De rij 3,,,,..., met =,, 2, 3,.., zal covergere aar wat lim u = lim 3 ( 2 ) = De somrij met =,, 2, 3,.., zal covergere aar 6 wat lim S = = 6 2

7 Rije e de TI-spire Met de TI-spire kue we rije e ook somrije aalysere. Er staa os verschillede methode ter beschikkig. Als het bijvoorbeeld gaat om ee somrij te berekee da gaat dit meestal met ee spreadsheet het makkelijkst. Gaat het erom om éé of ekele waarde te berekee da ku je de rij i ee rekemachievester defiiëre e afzoderlijke terme berekee. Teslotte ku je ook grafieke make bij ee rij. De tijd-grafiek e de webgrafiek. Deze laatste is vooral geschikt om te oderzoeke of ee rij aar ee waarde covergere ka (evetueel afhakelijk va de begiwaarde). I ee spreadsheet Te gebruike voor rije e somrije va beperkte omvag. Recursieve e directe formule. Vooral voor iet-rekekudige e iet-meetkudige (som)rije. Voorbeeld Gegeve is de rij u =,5 u + met u = 2 Bereke u 25 e S 25 Ope ee spreadsheet, vul de eerste kolom met de ragummers door i de eerste twee celle ee e ee te type, de celle te selectere ( shift + pijl omlaag/omhoog) e vervolges opvulle ( MENU, 3:Gegeves, 3:Opvulle) tot ogeveer 3. I de volgede kolom komt de rij u. Als je ee directe formule hebt, voer je die i i de tweede cel va bove (aagegeve i de afbeeldig hieraast).

8 Heb je ee recursieve formule da vul je i cel B de waarde va u i. I cel B2 komt u de recursieformule waarbij je i plaats va u - verwijst aar cel B. Vervolges cel B2 selectere e opvulle aar beede (tot ogeveer B3) Let op ALLEEN cel B2 selectere! De somrij defiieer je u ook recursief. Vul cel C met: = b e cel C2 met: = c + b2 Selecteer cel C2 e weer opvulle tot ogeveer C3.

9 Je kut u afleze dat u 25 = 54,54 e S 25 = 5245,4 I ee rekemachievester Om ee willekeurige term te berekee ku je de rij defiiëre i ee rekemachievester. De := toets wordt gebruikt om ee rij (of formule/fuctie) te defiiëre. We defiiëre oze rij als volgt: u() := 63 ( ) 5 Om u de e term uit te rekee typ je gewoo u() i. Het resultaat is ee exacte berekeig. Wil je dit decimaal beadere da typ je 'CTL'+'ENTER'. Nu de rij gedefiieerd is ku je ook het seq( ) commado zoals hieraast gebruike om ekele opeevolgede terme te berekee. We hebbe de rij met de directe formule gedefiieerd, je kut de rij ook met ee recursieve formule defiiëre. De recursieve formule bij oze rij is: u = 63 u ( ): u = u 5 > Hiervoor gebruik je ee sjabloo. Kijk goed hoe de recursieve formule igevoerd moet worde!

10 Grafieke Met de grafische rekemachie kue we rije grafisch aalysere. We hebbe hiervoor het tijd-diagram e de webgrafiek ter beschikkig. Tijddiagram Ivoer va de recursieve of directe formule. Ope ee vester grafieke e kies Meu, 3: Grafiek ivoere/bewerke 6: rij : rij Voorbeeld Gegeve is de recursieve formule u = u + 2 met u = We voere de formule i. Dek eraa de laatste regel aa te passe (de GRM begit stadaard bij u ) Voorbeeld Gegeve is de directe formule u = 2+ Formule ivoere, dek eraa dat de laatste regel weer aapast!

11 Webgrafieke Bij ee recursieve formule (recursievergelijkig) u = f( u ) hoort ee fuctie va de vorm y = f( x). Elk put met coördiate (u, u ) ligt da voor elke op de grafiek va f. Elke ieuwe waarde u breg je met behulp va de lij y = x over aar de horizotale as. De grafiek die zo otstaat heet ee webgrafiek. oefeig Gegeve is de recursieve formule u =,5 u + met u = 4 Hieroder is de grafiek va y =,5x+ e de lij y= xgeteked. - Geef u op de horizotale as de waarde va u = 4 aa. Teke da het put (u, u ) - Breg vervolges de ieuwe waarde va u over aar de horizotale as. - Teke vervolges op dezelfde maier de pute (u, u 2 ), (u 2, u 3 ), (u 3, u 4 ).

12 Opgave. Ee wage kost bij aakoop 2 EUR. Elk jaar verliest de wage 2% va zij waarde. Dat beteket dat de waarde va de wage elk jaar met ee factor.8 vermeigvuldigd wordt. De waarde va de wage a jaar stelle we voor door W. a. Geef de bijbehorede recursieve formule. Geef ook de directe formule. b. Welk soort rij vorme de getalle W, W, W 2,? c. Bereke de waarde va de wage a 8 jaar. d. Na hoeveel jaar is de wage iets meer waard? 2. Ee blad papier heeft ee dikte va. mm. We vouwe het blad achtereevolges verschillede kere dubbel. De dikte va het blad a keer vouwe stelle we voor door d. a. Geef de recursieve e de directe formule voor het berekee va de dikte a keer vouwe. b. Wat wordt de dikte a 3 keer vouwe? E a 5 keer vouwe? c. Hoe vaak moet me het blad papier vouwe om de afstad va de aarde tot de maa (385. km) te overbrugge? 3. Welke va de oderstaade somme ka je berekee m.b.v. de formule voor de som va ee rekekudige of meetkudige rij? Bereke deze somme m.b.v. de gepaste formule. a b. de som va de eerste 2 terme va de rij 3, 9, 5, 2, c. de som va de eerste terme va de rij 5, 2.5,.25, d. e f g We tekee ee spiraal als volgt: We begie met ee halve cirkel met straal 4, vervolges late we ee halve cirkel met straal 2 hierop aasluite e gaa zo door. a. Wat is de legte va de spiraal als we halve cirkels geteked hebbe? b. Kijk of je kut otdekke wat de totale legte va de spiraal wordt als we oeidig lag door zoude gaa met het tekee va halve cirkels.

13 5 I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zoek u uit of het bos zal verdwije of het aatal bome zal stabilisere of dat het aatal bome zal blijve toeeme. Laat je werkwijze duidelijk zie. 6 Ga de covergetie a va de volgede rije. Doe dit zoder GRM! a,2,3,4,... b,,,,,,,... u = ( ) c d e f,,,, , 2,,, ( ) 2 u = + ee willekeurige rekekudige rij ee willekeurige meetkudige rij